Реферат
по предмету: «Математика»
на тему: «Производная»
преподаватель Лазарева Юлия Валерьевна
Курск 2016
Содержание
Введение
1.
Понятие производной
2. Геометрический смысл производной
3.
Изучение функции с помощью производной
3.1
Возрастание и убывание функции. Экстремум функции
3.2
Достаточные условия убывания и возрастания функции
3.3 Правило нахождения экстремума
Заключение
Введение
Понятие функции является одним из основных
понятии математики. Оно не возникло сразу в таком виде, как мы им пользуемся сейчас,
а, как и другие фундаментальные понятия прошло длинный путь диалектического и исторического
развития. Идея функциональной зависимости восходит к древнегреческой математике.
Например, изменение площади, объема фигуры в зависимости от изменения ее размеров.
Однако древними греками идея функциональной зависимости осознавалась интуитивно.
Уже в 16 - 17 в. в, техника, промышленность,
мореходство поставили перед математикой задачи, которые нельзя было решить имеющимися
методами математики постоянных величин. Нужны были новые математические методы,
отличные от методов элементарной математики.
Впервые термин "функция" вводит
в рассмотрение знаменитый немецкий математик и философ Лейбниц в 1694 г. Однако,
этот термин (определения он не дал вообще) он употребляет в узком смысле, понимая
под функцией изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы. Таким
образом, понятие функции носит у него "геометрический налет". В современных
терминах это определение связано с понятием множества и звучит так: «Функция есть
произвольный способ отображения множества А = {а} во множество В = {в}, по которому
каждому элементу аА поставлен
в соответствие определенный элемент вВ. Уже в этом определении не накладывается никаких
ограничений на закон соответствия (этот закон может быть задан Формулой, таблицей,
графиком, словесным описанием). Главное в этом определении: аА!bB. Под элементами множеств А и В понимаются при этом элементы произвольной
природы.
В математике XVII в. самым же большим достижением справедливо
считается изобретение дифференциального и интегрального исчисления. Сформировалось
оно в ряде сочинений Ньютона и Лейбница и их ближайших учеников. Введение в математику
методов анализа бесконечно малых стало началом больших преобразований. Но наряду
с интегральными методами складывались и методы дифференциальные. Вырабатывались
элементы будущего дифференциального исчисления при решении задач, которые в настоящее
время и решаются с помощью дифференцирования. В то время такие задачи были трех
видов: определение касательных к кривым, нахождение максимумов и минимумов функций,
отыскивание условий существования алгебраических уравнений квадратных корней.
Первый в мире печатный курс дифференциального
исчисления опубликовал в 1696 г. Лопиталь. Этот курс состоит из предисловия и 10
глав, в которых излагаются определения постоянных и переменных величин и дифференциала,
объясняются употребляющиеся обозначения dx, dy, и др.
Появление анализа бесконечно малых революционизировало
всю математику, превратив ее в математику переменных величин.
Исследование поведения различных систем
(технические, экономические, экологические и др.) часто приводит к анализу и решению
уравнений, включающих как параметры системы, так и скорости их изменения, аналитическим
выражением которых являются производные. Такие уравнения, содержащие производные,
называются дифференциальными.
В своём реферате я хочу подробнее остановится
на приложениях производной.
1. Понятие производной
При решении различных задач геометрии,
механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного
и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию,
которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x)
и обозначают символом
Тот процесс, с помощью которого из данной
функции f(x) получают новую функцию f ' (x), называют дифференцированием и состоит
он из следующих трех шагов: 1) даем аргументу x приращение x и определяем соответствующее
приращение функции y = f(x+x) -f(x); 2) составляем отношение
3) считая x постоянным, а x ¦0, находим
,
который обозначаем через f ' (x), как
бы подчеркивая тем самым, что полученная функция зависит лишь от того значения x,
при котором мы переходим к пределу. Определение: Производной y ' =f ' (x) данной
функции y=f(x) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению
аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно,
этот предел существует, т.е. конечен. Таким образом,
, или
Заметим, что если при некотором значении
x, например при x=a, отношение
при x¦0 не стремится к конечному пределу, то
в этом случае говорят, что функция f(x) при x=a (или в точке x=a) не имеет производной
или не дифференцируема в точке x=a.
2. Геометрический смысл производной
Рассмотрим график
функции у = f (х), дифференцируемой в окрестностях точки x0
Рассмотрим произвольную
прямую, проходящую через точку графика функции - точку А(x0, f (х0))
и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)). Такая
прямая (АВ) называется секущей. Из ∆АВС: АС = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x .
Так как АС || Ox, то ÐALO = ÐBAC =
β (как соответственные при параллельных). Но ÐALO - это угол наклона секущей АВ к положительному направлению
оси Ох. Значит, tgβ = k -
угловой коэффициент прямой АВ.
Теперь будем уменьшать
∆х, т.е. ∆х→ 0. При этом точка В будет приближаться к точке А по графику, а секущая
АВ будет поворачиваться. Предельным положением секущей АВ при ∆х→ 0 будет прямая
(a), называемая
касательной к графику функции у = f (х) в точке А.
Если перейти к пределу
при ∆х → 0 в равенстве tgβ =∆y/∆x, то получим или tga =f '(x0), так как
a-угол наклона касательной к положительному направлению оси
Ох , по определению
производной. Но tga = k - угловой
коэффициент касательной, значит, k = tga = f '(x0).
Итак, геометрический
смысл производной заключается в следующем:
Производная функции
в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции,
проведенной в точке с абсциссой x0.
3. Изучение функции с помощью производной
3.1 Возрастание и убывание функции. Экстремум функции
Определение 1. Функция f(x) называется возрастающей в интервале (a,b), если
при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f(x)
также возрастают, т.е. если f(x2) > f(x1) при x2
> x1.
Рис.1 (а)
|
Рис.1 (б)
|
Из этого определения следует, что у возрастающей
в интервале (a,b) функции f(x) в любой точке этого интервала приращения x и y
имеют одинаковые знаки. График возрастающей функции показан на рисунке1(а).
Если из неравенства x2 > x1 вытекает нестрогое неравенство
f (x2) f (x1), то функция f (x) называется неубывающей в
интервале (a, b ). Пример такой функции показан на рисунке 2(а). На интервале [
x0 , x1 ] она сохраняет постоянное значение C Определение
2. Функция f (x) называется убывающей в интервале ( a, b ) если при возрастании
аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f (x) убывают, т.е.
если f(x2) < f(x1) при x2 > x1.
Из этого определения следует, что у убывающей
в интервале ( a, b ) функции f (x) в любой точке этого интервала приращения x и
y имеют разные знаки. График убывающей функции показан на рисунке 1(б).
Если из неравенства x2 >
x1 вытекает нестрогое неравенство f(x2) f(x1),
то функция f (x) называется невозрастающей в интервале ( a, b ). Пример такой функции
показан на рисунке 2(б). На интервале [ x0 , x1 ] она сохраняет
постоянное значение C.
Теорема 1. Дифференцируемая и возрастающая в интервале
(a, b) функция f(x) имеет во всех точках этого интервала неотрицательную производную.
Теорема 2. Дифференцируемая и убывающая в интервале
(a, b) функция f(x) имеет во всех точках этого интервала неположительную производную.
Пусть данная непрерывная функция убывает
при возрастании x от x0 до x1, затем при возрастании x от
x1 до x2 - возрастает, при дальнейшем возрастании x от x2
до x3 она вновь убывает и так далее. Назовем такую функцию колеблющейся.
График колеблющейся функции показан на рисунке 3. Точки A, C, в которых функция
переходит от возрастания к убыванию, так же, как и точки B, D, в которых функция
переходит от убывания к возрастанию, называются точками поворота или критическими
точками кривой y = f (x), а их абсциссы - критическими значениями аргумента x. В
той точке, где функция переходит от возрастания к убыванию, ордината больше соседних
с ней по ту и другую сторону ординат. Так, ордината точки A больше ординат, соседних
с ней справа и слева и достаточно к ней близких, т.е. значение функции в точке A,
абсцисса которой равна x0, больше значений функции в точках, абсциссы
которых достаточно близки к x0 : f (x0) > f (x0+∆x).
На рисунке 4(a) изображена функция f (x),
непрерывная в интервале ( a, b ). В интервале (a, x0] она возрастает,
на интервале [ x0 , x1 ] - сохраняет постоянное значение:
f (x0) = f (x1) = C, в интервале [ x1 , b ) - убывает.
Во всех точках, достаточно близких к x0 (или x1 ), значения
функции f (x) удовлетворяют нестрогому неравенству f (x0)f (x).
Значение f (x0) функции f (x),
при котором выполняется вышеуказанное неравенство, называется максимальным значением
функции f (x) или просто максимумом. Определение 3. Максимумом функции f (x) называется
такое значение f (x0) этой функции, которое не меньше всех значений функции
f (x) в точках x, достаточно близких к точке x0 , т.е. в точках x, принадлежащих
некоторой достаточно малой окрестности точки x0.
Так, на рисунке 3 показаны два максимума: f (x0) и f (x2).
В той точке, где функция переходит от убывания к возрастанию, ордината меньше ординат
в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от нее. Так ордината
точки B меньше ординат в точках соседних и достаточно близких к точке x1
справа и слева. Значение функции в точке, абсцисса которой равна x1,
меньше значений функции в точках, абсциссы которых достаточно мало отличаются от
x1 : f (x1) < f (x1+x).
На рисунке 4(б) изображена функция f (x),
непрерывная в интервале ( a, b ). В интервале ( a, x0 ] она убывает,
на интервале [ x0 , x1 ] - сохраняет постоянное значение:
f (x0) = f (x1) = C, в интервале [ x1 , b ) - возрастает.
Во всех точках, достаточно близких к x0 (или x1), значения
функции f (x) удовлетворяют нестрогому неравенству f (x0)f (x).
Значение f (x0) функции f (x),
при котором выполняется вышеуказанное неравенство, называется минимальным значением
функции f (x) или просто минимумом. Определение 4. Минимумом функции f (x) называется
такое значение f (x0) этой функции, которое не больше всех значений функции
f (x) в точках x, достаточно близких к точке x0 , т.е. в точках x, принадлежащих
некоторой достаточно малой окрестности точки x0. Так, на рисунке 3 показаны
два минимума: f (x1) и f (x3). По определению наибольшим значением
функции f (x) на интервале [ a, b ] является такое значение f (x0), для
которого для всех точек интервала [ a, b ] выполняется неравенство f (x0)f
(x), а наименьшим значением функции f (x) на интервале [ a, b ] является такое значение
f (x0), для которого для всех точек интервала [ a, b ] выполняется неравенство
f (x0)f (x). Из этих определений следует, что функция может достигать
своего наибольшего или наименьшего значения как внутри интервала [ a, b ] , так
и на его концах a и b. Здесь же максимум и минимум функции f (x) были определены
соответственно как наибольшее и наименьшее значения в некоторой окрестности точки
x0. Если в точке x0 функция f (x) достигает максимума или
минимума, то говорят, что функция f (x) в точке x0 достигает экстремума
(или экстремального значения). Функция f (x) может иметь несколько экстремумов внутри
интервала [ a, b ], причем может оказаться, что какой-нибудь минимум будет больше
какого-нибудь максимума. Таким образом, наибольшее значение функции f (x) на интервале
[ a, b ] - это наибольший из экстремумов функции внутри этого интервала и наибольшее
из значений функции на концах интервала. Аналогично наименьшее значение функции
f (x) на интервале [ a, b ] - это наименьший из экстремумов функции внутри этого
интервала и наименьшее из значений функции на концах интервала.
Например функция, изображенная на рисунке
3, достигает наибольшего значения f (x) в точке x2 , наименьшего - в
точке x1 интервала [ x0, x3 ]. На рисунке 5 изображена
функция, имеющая бесконечное число минимумов и максимумов.
Теорема 3 (необходимый признак экстремума). Если
функция f (x) имеет в точке x0 экстремум, то ее производная в данной
точке или равна нулю или не существует. Но функция f (x) может иметь экстремумы
и в тех точках x0, в которых ее производная не существует. Например функция
y = | x | в точке x0 = 0 не дифференцируема, но достигает минимума. Точки
такого типа называют угловыми. В них кривая не имеет определенной касательной.
Рис. 6
|
На рисунке 6 изображена функция f (x),
не имеющая в точке x0 производной [f' (x0) = ] и достигающая
в этой точке максимума. При x x0 и x < x0 f' (x)
, при x x0 и x > x0 f' (x) . Значит касательная
кривой y = f (x) при x = x0 перпендикулярна к оси Ox. Такие точки называются
точками возврата кривой y=f(x). Таким образом, необходимым признаком существования
в точке x0 экстремума функции f (x) является выполнение следующего условия:
в точке x0 производная f' (x) или равна нулю, или не существует. Этот
признак не является достаточным условием существования экстремума функции f (x)
в точке x0 : можно привести много примеров функций, удовлетворяющих этому
условию при x = x0 , но, однако, не достигающих экстремума при x = x0.
Например, производная функции y = x3 при x0 = 0 равна нулю,
однако эта функция при x0 = 0 не достигает экстремального значения.
3.2 Достаточные условия убывания и возрастания функции. Достаточные условия
экстремума функции
Теорема 4.Если функция f(x) имеет в каждой точке
интервала (a, b) неотрицательную производную, то она является неубывающей функцией
в этом интервале. Теорема 5.
Если функция f(x) в каждой точке интервала (a, b) имеет неположительную производную,
то она является невозрастающей функцией в этом интервале.
Теорема 6. (первый достаточный признак экстремума).
Если производная f '(x) функции f(x) обращается в нуль в точке x0 или
не существует и при переходе через x0 меняет свой знак, то функция f(x)
имеет в этой точке экстремум (максимум, если знак меняется с "+" на "-",
и минимум, если знак меняется с "-" на "+"). Теорема 7. (второй
достаточный признак существования экстремума функции). Если в точке x0
первая производная f '(x) функции f(x) обращается в нуль, а её вторая производная
f ''(x) отлична от нуля, то в точке x0 функция f(x) достигает экстремума
(минимума, если f ''(x) > 0, и максимума, если f ''(x) < 0). Предполагается,
что f ''(x) непрерывна в точке x0 и ее окрестности.
3.3 Правило нахождения
экстремума
1. Чтобы найти экстремум
функции, надо:
1) найти производную
данной функции;
2) приравнять производную
нулю и решить полученное уравнение; из полученных корней отобрать действительные
и расположить их (для удобства) по их величине от меньшего к большему; в том случае,
когда все корни оказываются мнимыми, данная функция не имеет экстремума;
3) определить знак
производной в каждом из промежутков, отграниченных стационарными точками ( стационарными
точками называют точки в которых производная равна 0);
4) если производная
положительна в промежутке, лежащем слева от данной стационарной точки, и отрицательна
в промежутке, лежащем справа от нес, то данная точка есть точка максимума функции,
если же производная отрицательна слева и положительна справа от данной стационарной
точки, то она данная.
Заключение
Настоящая работа даёт учащимся новый подход
к многим преобразованиям в математике, которые стандартным путём трудно разрешимы
или разрешимы, но громоздкими способами. Рассмотренные подходы нестандартного характера
для учащихся покажутся новыми и необыкновенными, что расширит их кругозор и повысит
интерес к производной.
Итак, геометрический
смысл производной: производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту
касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x0.
Литература:
“Справочник по математике” И. Бронштейн, К.
Семендяев 1948 г.(стр. 309)
“Математика” Р. Л . Вейцман, Л . Р. Вейцман,
2000 г. (стр. 42-48, 82)
“Алгебра начала анализа 10-11” А . Н .
Колмогоров,
А . М . Абрамов, Ю . П . Дудницын, Б . М .
Ивлев,
С . И . Шварцбурд, 1993 г. (стр. 95-97)
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.