Реферат по математике на тему: «Решение уравнений в целых числах»

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 303 с углубленным изучением немецкого языка и предметов художественно-эстетического цикла имени Фридриха Шиллера Фрунзенского района Санкт-Петербурга

Реферат по математике на тему:

«Решение уравнений

в целых числах»

ученицы 9Э класса

Никитина Алиса,

Уляшёва Полина

Руководитель:

учитель математики высшей категории ,

педагог дополнительного образования

Соколова Светлана Николаевна

Санкт-Петербург

2018

Содержание

Введение 3

Глава 1. Теория уравнений с двумя переменными в целых числах 4

1. Историческая справка. Диофант и история диофантовых уравнений 4

2. Делимость целых чисел. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики 6

3. Пифагоровы тройки 9

4. Теоремы о числе решений линейного диофантового уравнения 14

5. Алгоритм решения уравнения в целых числах 14

6. Способы решения уравнений 15

Глава 2. Применение способов решения уравнений. 15

Примеры решения уравнений 15

1. Алгоритм Евклида 15

2. Способ перебора вариантов 16

3. Метод рассеивания 16

4. Метод разложения на множители 20

5. Метод остатков 22

6. Задачи экзаменационного уровня 23

Заключение 25

Литература 26

Введение

Эффективным средством обучения и развития является организация учебных исследований, цель которых состоит в том, чтобы помочь учащимся самостоятельно открыть новые знания и способы деятельности, углубить и систематизировать изученное.

Тема «Решение уравнений с двумя переменными в целых числах» недостаточно полно изложена в действующих учебниках математики, а задачи по этой теме предлагаются как на олимпиадах, так и в заданиях на экзаменах. В данной работе выделены основные методы решений уравнений в натуральных и целых числах и приводится система тренировочных упражнений для закрепления каждого из рассмотренных методов.

Диофантовы уравнения это актуальная в наше время тема, т. к. решение уравнений, неравенств, задач, сводящихся к решению уравнений в целых числах с помощью оценок для переменных, встречается в различных математических сборниках и сборниках ЕГЭ.

Изучив разные способы решения квадратного уравнения с одной переменной на уроках, нам было интересно разобраться, а как решаются уравнения с двумя переменными. Такие задания встречаются на олимпиадах и в материалах ЕГЭ.

Данная тема имеет большое прикладное значение. В школьном курсе математики подробно изучаются уравнения с одной переменной и различные способы их решения. Потребности учебного процесса требуют, чтобы ученики знали и умели решать простейшие уравнения с двумя переменными. Поэтому повышенное внимание к этой теме не только оправдано, но и является актуальной в школьном курсе математики.

Данная работа может быть использована для изучения данной темы на факультативных занятиях учениками, при подготовке к выпускным и вступительным экзаменам. Мы надеемся, что наш материал поможет старшеклассникам научиться решать уравнения такого вида.

Цель: Освоить способ решения уравнений с двумя неизвестными первой и второй степени в целых числах.

Задачи:

1. Изучить учебную и справочную литературу;

2. Подобрать теоретический материал по способам решения уравнений;

3. Разобрать алгоритм решения уравнений данного вида;

4. Описать способы решения.

5. Рассмотреть ряд примеров с применением данного приема.

6. Решить уравнения с двумя переменными в целых числах из материалов ЕГЭ задания С6.

Объект исследования: Решение уравнений

Глава 1. Теория уравнений с двумя переменными в целых числах

1. Историческая справка. Диофант и история диофантовых уравнений

Решение уравнений в целых числах является одной из древнейших математических задач. Наибольшего расцвета эта область математики достигла в Древней Греции. Основным источником, дошедшим до нашего времени, является произведение Диофанта – «Арифметика». Диофант суммировал и расширил накопленный до него опыт решения неопределенных уравнений в целых числах.

История сохранила нам мало черт биографии замечательного александрийского ученого-алгебраиста Диофанта. По некоторым данным Диофант жил до 364 года н.э. Достоверно известно лишь своеобразное жизнеописание Диофанта, которое по преданию было высечено на его надгробии и представляло задачу-головоломку: В одном из древних рукописных сборников задач в стихах жизнь Диофанта описывается в виде следующей алгебраической загадки, представляющей надгробную надпись на его могиле:

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей - и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком,

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая, с подругою он обручился.

С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец;

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил,

Отнят он был у отца могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,

Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Задача-загадка сводится к составлению и решению уравнения:

1/6х+1/12х+1/7х+5+1/2х=х,

Откуда х=84 - столько лет жил Диофант.

Из работ Диофанта самой важной является «Арифметика», из 13 книг которой только 6 сохранились до наших дней. Эти книги были открыты в Венеции в 1463г.

В сохранившихся книгах Диофанта содержится 189 задач с решениями. В первой изложены задачи, приводящиеся к определенным уравнениям первой и второй степени. Остальные же пять книг содержат в основном неопределенные уравнения. В этих уравнениях еще нет систематической теории неопределенных уравнений, методы решения меняются от случая к случаю. Диофант довольствуется каким-нибудь одним решением, целым или дробным, лишь бы оно было положительным. Наиболее известной, решенной Диофантом, является задача «о разложении на два квадрата». Ее эквивалентом является известная всем теорема Пифагора. Эта теорема была известна в Вавилонии, возможно ее знали и в Древнем Египте, но впервые она была доказана, в пифагорейской школе. Так называлась группа интересующихся математикой философов по имени основателя школы Пифагора (ок. 580-500г. до н.э.).

Жизнь и деятельность Диофанта протекала в Александрии, он собирал и решал известные и придумывал новые задачи. Позднее он объединил их в большом труде под названием «Арифметика». Из тринадцати книг, входивших в состав «Арифметики», только шесть сохранились до Средних веков и стали источником вдохновения для математиков эпохи Возрождения, в том числе и для Пьера де Ферма.

Пьер де Ферма родился 20 августа 1601 года на юго-западе Франции. Он не занимался профессионально математикой, но был одним из величайших в истории математики «любителем».

Изучая задачи и решения Диофанта, Ферма черпал в них вдохновение и занимался решением аналогичных и более интересных задач. Ферма записывал для себя лишь самое необходимое для того, чтобы убедиться в правильности полученного решения.

При чтении второй книги «Арифметики», Ферма наткнулся на целую серию наблюдений, задач и решений, связанных с теоремой Пифагора и пифагоровыми тройками. Например, Диофант рассматривал существование особых троек, образующих так называемые «хромые треугольники», у которых две более короткие стороны x и y отличаются по длине только на единицу (например, x = 20,   y = 21,   z = 29   и   20² + 21² = 29²).

Вместо уравнения Пифагора x² + y² = z² Ферма занялся рассмотрением уравнения x³ + y³ = z³. Он всего лишь изменил степень на единицу, но его новое уравнение не допускало никаких решений в целых числах. Таким образом, незначительное изменение превратило уравнение, допускающее бесконечно много решений в целых числах, в уравнение, не имеющее ни одного решения в целых числах.

Ферма подверг уравнение Пифагора еще большему изменению, попробовав заменить степень 2 на целые числа бóльшие 3, и обнаружил, что найти решение в целых числах каждого из этих уравнений очень трудно. И Ферма доказал, что вообще не существует трех целых чисел x, y, z, которые удовлетворяли бы уравнению

xⁿ + yⁿ = zⁿ,     где n = 3, 4, 5, ...

На полях «Арифметики» Диофанта, рядом с задачей 8, Ферма оставил такое замечание: «Невозможно для куба быть записанным в виде суммы двух кубов, или для четвертой степени быть записанной в виде суммы двух четвертых степеней, или, в общем, для любого числа, которое есть степень больше двух, быть записанной в виде суммы двух таких же степеней. Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но поля здесь слишком узки для того, чтобы вместить его». Это замечание Ферма сделал в1637 году.

За прошедшие столетия были доказаны все утверждения Ферма, содержавшиеся в примечаниях на полях «Арифметики» Диофанта, и только Великая теорема Ферма, до недавнего времени, упорно не поддавалась усилиям математиков. Великая теорема Ферма обрела известность как самая трудная «головоломка» математики. 358 лет многие великие математики (К.Г. Баше, Л. Эйлер, Дж. Валлис Ж. Лагранж и др.) пытались доказать эту теорему, но только в конце 20 века в 1995 году она была доказана американскими математиками Э. Уайлсом и Р. Тейлором.

В настоящее время проблема решения неопределенных уравнений в целых числах хорошо разработана. Мы рассмотрим здесь некоторые методы решения уравнений в целых числах и способы доказательства того, что уравнение не имеет решений в целых числах. Многие из этих методов предполагают применение некоторых понятий и алгоритмов теории делимости. В связи с этим, прежде чем переходить непосредственно к методам решения неопределенных уравнений в целых числах обратимся к основным понятиям и алгоритмам теории делимости целых чисел.

2. Делимость целых чисел. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики

Везде далее будем рассматривать только целые числа.

Определение 2.1. Число а делится на число b (или b делит а) если существует такое число с, что а = bc. При этом число c называется частным от деления а на b.

Обозначения: (а делится на b) или ba (b делит a).

Перечислим простейшие свойства делимости, которые справедливы для любых целых чисел.

1. Если и с – частное от деления, то с – единственное.

2. Любое целое число делится на себя .

3. Если и , то .

4. Если и , то или a=b, или a= -b.

5. Если и , то а=0.

6. Если и а0, то .

7. Для того чтобы необходимо и достаточно чтобы.

8. Если , то .

9. Если сумма и , то .

Замечание 2.2. На основании свойства 7 в дальнейшем достаточно ограничиваться рассмотрением случая, когда делитель есть положительное число. Равным образом делимость произвольных целых чисел сводится к делимости неотрицательных чисел.

В соответствии с замечанием 2.2 будем рассматривать целые положительные числа.

Определение 2.3. Целое положительное число р  1 называется простым, если оно имеет ровно два положительных делителя: 1 и р.

Определение 2.4. Целое положительное число m  1 называется составным, если оно имеет, по крайней мере, один положительный делитель отличный от 1 и m.

Примеры:

1. 3 имеет ровно 2 делителя: 1 и 3, по определению 2.3, оно простое.

2. 4 имеет своими делителями 1, 4 и 2, по определению 2.4, число 4 – составное.

Замечание 2.5. В соответствии с определениями 2.3 и 2.4 все множество целых положительных чисел можно разбить на три подмножества: простые числа; составные числа; 1.

Замечание 2.6. Существует единственное простое четное число 2. Все остальные четные числа являются составными.

Перечислим основные свойства простых чисел.

Теорема 2.7. Если р и р₁ – простые числа и рр₁, то р не делится на р₁,и р₁ не делится на р.

Теорема 2.8. Если произведение нескольких целых чисел делится на простое число р, то по меньшей мере один из сомножителей делится на р.

Теорема 2.9. Для любого целого положительного числа n>1 наименьший, отличный от единицы положительный делитель всегда представляет собой простое число.

Теорема 2.10.(основная теорема арифметики). Всякое целое положительное число, отличное от единицы, может быть представлено в виде произведения простых сомножителей и при том единственным образом (с точностью до порядка следования сомножителей).

Таким образом, если m – целое положительное число, а р₁, р₂, …р_к- простые числа, то m =. Если, при этом, среди чисел р₁, р₂, …, р_к есть одинаковые, то можно записать каноническое представление целого числа, представив произведение одинаковых сомножителей в виде степени:

m =

Мы выяснили, что множество натуральных чисел можно разбить на три подмножества. Встает вопрос о числе простых чисел в бесконечном натуральном ряду. Существуют ли простые числа среди больших натуральных чисел, или с какого-то определенного числа все натуральные числа, следующие за ним, будут составными? Оказывается, что хотя в натуральном ряду можно найти участки составных чисел любой длины, множество простых чисел бесконечно. Это утверждение было доказано ещё древнегреческим математиком Евклидом и входит в его знаменитые «Начала». Приведём здесь доказательство этого утверждения:

Теорема 2.11. Множество простых чисел бесконечно.

Доказательство. Доказательство проведем от противного. Пусть множество простых чисел конечно, и пусть р – наибольшее простое число. Рассмотрим натуральное число N, которое является произведением всех простых чисел, т.е.

и прибавим к этому числу 1: . Очевидно, что полученное число не делится ни на одно простое число от 1 до р, следовательно получаем, что N = 1, но непосредственно видно, что N >1. Получили противоречие, которое возникло из-за того, что мы сделали неправильное предположение. Следовательно, множество натуральных чисел бесконечно.

Таким образом, какую бы длинную серию последовательных составных чисел мы ни встретили в ряду натуральных чисел, мы можем быть убеждены в том, что за нею найдется ещё бесконечное множество простых чисел.

3. Пифагоровы тройки

Мы знаем, что общие теории никогда не возникают на пустом месте. Сначала появляются отдельные задачи, а уж потом находятся люди, понимающие, что наступило время перехода от таких задач к общим приемам и методам.

Вот, например, еще одна частная задача на неопределенные уравнения – теперь уже второй степени, возникшая примерно за две тысячи лет до Диофанта в Древнем Египте (известно, что Диофант хорошо ее знал и часто использовал):

Если стороны треугольника пропорциональны числам 3, 4 и 5, то этот треугольник – прямоугольный.

Этот факт использовали для построения на местности прямых углов – ведь оптических измерительных приборов тогда еще не было, а для строительства домов, дворцов и тем более гигантских пирамид это надо было уметь. Поступали довольно просто. На веревке на равном расстоянии друг от друга завязывали узлы. В точке С, где надо было построить прямой угол, забивали колышек, веревку натягивали в направлении, нужном строителям, забивали второй колышек в точке В (СВ=4) и натягивали веревку так, чтобы АС=3 и АВ=5.

Треугольник с такими длинами сторон называют египетским.

Безошибочность такого построения следует из теоремы, обратной теореме Пифагора: если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным.

И действительно, числа 3, 4 и 5 – корни уравнения x²+y²=z².

Возникает вопрос: нет ли у этого уравнения других целочисленных решений?

Нетрудно догадаться, что числа 5, 12, 13 тоже можно считать корнями этого уравнения. А есть ли еще такие тройки чисел? Нельзя ли, взяв произвольно одно из чисел, указать остальные два? Такие вопросы интересовали еще мудрецов Древнего Вавилона. Они нашли ответы на них. Знал это и Пифагор.

Один из путей решения уравнения x²+y²=z² в целых числах оказался довольно простым. Запишем подряд квадраты натуральных чисел ( «квадратные числа», как говорили древние), отделив их друг от друга запятой. Под каждой запятой запишем разность между последовательными квадратами:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196… .

3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27… .

В нижней строке также есть квадратные числа. Первое из них 9=3², над ним 16= 4² и 25= 5², знакомая нам тройка 3, 4, 5. Следующее квадратное число в нижней строке 25, ему соответствуют 144 и 169, отсюда находим вторую известную нам тройку 5, 12, 13.Если продолжить строку квадратных чисел и подсчитать соответствующие разности, то во второй строке найдем 49= 7², этому числу отвечают в строке квадратов 576= 24² и 625= 25². Это уже третья тройка. Она была известна еще в Древнем Египте.

Теперь мы имеем право сформулировать такую теорему:

Каждое нечетное число есть разность двух последовательных квадратов.

Составлять такие строки – довольно трудоемкое занятие. По формулам находить такие тройки чисел и проще и быстрее. Эти формулы – правила были известны уже две с половиной тысячи лет назад.

Проверим, что, если х– нечётное число, то y = и z=.

Проверим также, что в этом случае равенство x²+y²=z² выполняется, т. е. числа, найденные по такому правилу, всегда будут составлять решение интересующего нас неопределенного уравнения. Это уравнение будем называть «уравнением Пифагора», а его решения – «пифагоровыми тройками». По этому правилу можно получить уже известные нам тройки:

если x=3 , то y=, z= =5, получилась первая пифагорова тройка;

если x=5 , то y= =12, z=–=13 - вторая тройка;

если x=7, то y= - третья тройка.

Других мы пока не знаем, но следующее за 7 нечётное число 9, тогда y=40 и z=41. Проверим наши вычисления:

9²+40²=41².

Следующим шагом было установление правила вычисления всех, а не только некоторых пифагоровых троек.

Перепишем уравнение Пифагора следующим образом:

x²=z²-y².

Это означает, что число x должно разлагаться на два неравных множителя z+y и z-y ,которые мы обозначим так, что получится такая система:

(при этом надо иметь в виду, что a). Из этого следует, что наименьшим значением числа b может быть только единица, тогда наименьшим значением a будет 2. Вычислим x, y, z . Получается z=5, y=3, x=4, это уже известный нам «египетский треугольник». А теперь составим таблицу

Длины сторон (целочисленные) прямоугольных треугольников

Ясно, что таблицу можно расширить и вправо, и вниз. Подчеркнем главное – уравнение решено, мы знаем способ вычисления всех возможных целочисленных значений длин сторон прямоугольных треугольников.

Всем вам хорошо известно уравнение

x² + y² = z² …………………………………(1)

где х, y, z – натуральные числа. Это уравнение тоже является диофантовым уравнением второй степени. Известно, что числа х, y, z можно рассматривать как длины двух катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника. Такие числа называют в математике пифагоровыми тройками.

Вы можете без труда привести примеры пифагоровых троек, например 3; 4; 5.

Пифагорейцами был предложен способ получения пифагоровых троек с помощью перестройки квадратов. Если взять квадрат 3×3, состоящий из 9 квадратных плиток, и квадрат 4×4, состоящий из 16 плиток, то все эти плитки можно расположить по-новому, так, чтобы они образовывали квадрат 5×5, состоящий из 25 плиток.

Конечно, этот способ не годится, если пифагоровы тройки состоят из больших чисел, например x = 99, y = 4900 и z = 4901.

При возрастании чисел пифагоровы тройки встречаются все реже и находить их становится все труднее и труднее. Пифагорейцы изобрели метод отыскания таких троек и, пользуясь им, доказали, что пифагоровых троек существует бесконечно много.

Рассмотрим один из способов нахождения пифагоровых троек.

Заметим, что если два числа из пифагоровой тройки имеют общий делитель, то на него делится и третье число. Поделив их все на общий делитель, вновь получим пифагорову тройку. Обратно, если х, y, z – пифагорова тройка, то числа nх, ny, nz, где n - целочисленный множитель, тоже образуют пифагорову тройку. По этой причине сначала исследуем пифагоровы тройки взаимно простых чисел. Такие тройки иногда называют примитивными.

Заметим:

– в примитивной пифагоровой тройке два числа не могут быть чётными

– все три числа не могут быть нечётными одновременно

Учитывая это, получаем, что в примитивной пифагоровой тройке два числа нечётные, а одно чётное. Исследуем эту ситуацию.

Предположим, что z является четным, т.е. z=2m, тогда числа х и у – нечётные. Пусть x = 2k+1, y = 2k + 1. В этом случае сумма

х² + у² = 4(k² + k + l² + l) + 2 не делится на 4, а z² = 4m² должно делиться на 4.

Таким образом, число z четным быть не может, следовательно, чётным числом является либо х, либо у.

Пусть, например, х – число чётное, а у и z – нечётные числа. Из уравнения (1) имеем: y² = z² – x² = (z + х)(z – х).

Числа z + х и z – х являются взаимно простыми (доказать). При этом их произведение есть точный квадрат. Следовательно, каждое из этих чисел есть точный квадрат, то есть . Откуда получаем:

и , тогда y² = (z + х)(z – х) = a²b², откуда y = ab.

Таким образом, мы получили, что примитивная тройка пифагоровых чисел имеет вид:

, y = ab, ……………………..(2)

где a и b – некоторые взаимно простые нечетные числа.

Теперь, выбирая произвольно a и b можно по формулам (2) получать различные примитивные пифагоровы тройки:

a = 3; b = 1 x = 4; y = 3; z = 5;

a = 5; b = 3 x = 8; y = 15; z = 17;

a = 9; b = 7 x = 16; y = 63; z = 65 и .т.д.

Осталось добавить, что пифагоровы тройки обладают рядом любопытных особенностей, которые нетрудно доказать:

– один из «катетов» должен быть кратен трем;

– один из «катетов» должен быть кратен четырем;

– одно из чисел должно быть кратно пяти.

Найти целочисленные решения уравнения (1), т.е. пифагоровы тройки, было достаточно несложно, но если показатель степени изменить с 2 на 3 (т.е. заменить квадраты кубами), как решение полученного уравнения в целых числах становится невозможным. Это доказал в 1753 года великий математик Леонард Эйлер.

А еще ранее французский математик Пьер Ферма в 1637 году заявил о том, что он доказал, что уравнение вида xⁿ + yⁿ = zⁿ не имеет решений в целых числах. Но этого доказательства научной общественности не представил. Это утверждение в последствие и стали называть теоремой Ферма, которую на протяжении 358 лет не удавалось доказать никому.

4. Теоремы о числе решений линейного диофантового уравнения

Приведем здесь формулировки теорем, на основании которых может быть составлен алгоритм решения неопределенных уравнений первой степени от двух переменных в целых числах.

Теорема 1. Если в уравнении , , то уравнение имеет, по крайней мере, одно решение.

Теорема 2. Если в уравнении , и с не делится на , то уравнение целых решений не имеет.

Теорема 3. Если в уравнении , и , то оно равносильно уравнению , в котором .

Теорема 4. Если в уравнении , , то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:

где х₀, у₀ – целое решение уравнения , - любое целое число.

5. Алгоритм решения уравнения в целых числах

Сформулированные теоремы позволяют составить следующий алгоритм решения в целых числах уравнения вида .

1. Найти наибольший общий делитель чисел a и b,

если и с не делится на , то уравнение целых решений не имеет;

если и , то

2. Разделить почленно уравнение на , получив при этом уравнение , в котором .

3. Найти целое решение (х₀, у₀) уравнения путем представления 1 как линейной комбинации чисел и ;

4. Составить общую формулу целых решений данного уравнения

где х₀, у₀ – целое решение уравнения , - любое целое число.

6. Способы решения уравнений

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:

1. Способ перебора вариантов.

2. Алгоритм Евклида.

3. Метод рассеивания.

4. Метод разложения на множители.

5. Решение уравнений в целых числах как квадратных относительно какой-либо

переменной.

6. Метод остатков.

7. Метод бесконечного спуска.

Глава 2. Применение способов решения уравнений.

Примеры решения уравнений

1. Алгоритм Евклида

Задача 1. Решить уравнение в целых числах 407х – 2816y = 33.

Воспользуемся составленным алгоритмом.

1. Используя алгоритм Евклида, найдем наибольший общий делитель чисел 407 и 2816:

2816 = 407·6 + 374;

407 = 374·1 + 33;

374 = 33·11 + 11;

33 = 11·3

Следовательно (407,2816) = 11, причем 33 делится на 11

2. Разделим обе части первоначального уравнения на 11, получим уравнение 37х – 256y = 3, причем (37, 256) = 1

3. С помощью алгоритма Евклида найдем линейное представление числа 1 через числа 37 и 256.

256 = 37·6 + 34;

37 = 34·1 + 3;

34 = 3·11 + 1

Выразим 1 из последнего равенства, затем последовательно поднимаясь по равенствам будем выражать 3; 34 и полученные выражения подставим в выражение для 1.

1 = 34 – 3·11 = 34 – (37 – 34·1) ·11 = 34·12 – 37·11 = (256 – 37·6) ·12 – 37·11 =

– 83·37 – 256·(–12)

Таким образом, 37·(– 83) – 256·(–12) = 1, следовательно пара чисел х₀ = – 83 и у₀ = – 12 есть решение уравнения 37х – 256y = 3.

4. Запишем общую формулу решений первоначального уравнения

где t - любое целое число.

2. Способ перебора вариантов

Задача 2. В клетке сидят кролики и фазаны, всего у них 18 ног. Узнать, сколько в клетке тех и других?

Решение: Составляется уравнение с двумя неизвестными переменными, в котором х – число кроликов, у – число фазанов:

4х + 2у = 18, или 2х + у = 9.

Выразим у через х: у = 9 – 2х.

Далее воспользуемся методом перебора:

Таким образом, задача имеет четыре решения.

Ответ: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

3. Метод рассеивания

В Индии, где (как и в Китае) неопределенные уравнения решались в связи с астрологическими запросами и расчетами, ставился вопрос о нахождении именно целочисленных решений неопределенных уравнений. Намеки на общее решение диофантовых уравнений первой степени, т. е. вида, встречаются в трудах индийского астронома Ариабхатты, подробное же решение предложили индийские математики Брахмагупта и Бхаскара. Общий метод для решения в целых числах неопределенных (диофантовых) уравнений первой степени с целыми коэффициентами был назван в Индии методом рассеивания (в смысле размельчения).

Воспользуемся этим методом для решения следующей задачи:

«Найти два целых числа, зная, что разность произведений первого на 19 и второго на 8 равна 13».

В задаче требуется найти все целые решения уравнения

19x-8y=13 (1)

Выражая y - неизвестное с наименьшим по абсолютной величине коэффициентом через x , получим:

y= (2)

Нам нужно теперь узнать, при каких целых значениях x дроби, составляющие значение y являются тоже целыми числами. Перепишем уравнение (2) следующим образом:

y= 2x+ . (3)

Из уравнения (3) следует, что y при x целом принимает целое значение только в том случае, если выражение является целым числом, скажем y₁ . Полагая

=y₁ (4)

вопрос сводим к решению в целых числах уравнения (4) с двумя неизвестными x и y ₁; его можно записать так:

3x-8y₁=13 (5)

Это уравнение имеет по сравнению с первоначальным (1) то преимущество, что 3 – наименьшая из абсолютных величин коэффициентов при неизвестных – меньше, чем в (1), т. е. 8. Это было достигнуто благодаря тому, что коэффициент при x (19) был заменен остатком от деления на 8.

Продолжая тем же способом, мы получим из (5):

x= = 2y₁+ . (6)

Итак, неизвестное x при целом y₁ только тогда принимает целые значения , когда есть целое число, скажем y₂:

= y₂ (7)

или

3y₂-2y₁=13 (8)

Далее,

y₁= =y₂+ (9)

Полагая

=y₃ (10)

получим уравнение

y₂-2y₃=13 (11)

Это самое простое из всех рассмотренных неопределенных уравнений, т.к. один из коэффициентов равен 1.

Из (11) получаем: y₂=2y₃+13 (12)

Отсюда видно, что y₂ принимает целые значения при любых целых значениях y₃. Из равенств (6), (9), (12), (3) путем последовательных подстановок можно найти следующие выражения для неизвестных и уравнения (1):

x=2y₁+y₂=2(y₂+y₃)+y₂=3y₂+2y₃=3(2y₃+13)+2y₃=8y₃+39

y=2x+y₁=2(8y₃+39)+y₂+y₃=19y₃+91.

Таким образом, формулы

x=8y₃+39, y=19y₃+91

при y₃= 0, 1, 2,… дают все целые решения уравнения (1).

В следующей таблице приведены примеры таких решений.

Y₃

-4

-4

-2

-1

0

1

2

3

4

x

7

15

23

31

39

47

55

63

71

y

15

34

53

72

91

110

129

148

167

Этот прием почти полностью совпадает с методом индийцев и был назван ими методом рассеивания (размельчения) именно потому, что неопределенное уравнение сводится к цепи уравнений со все уменьшающимися по абсолютной величине коэффициентами. К решению неопределенного уравнения первой степени сводятся иногда задачи, связанные с практикой и повседневной жизнью человека.

Вот один пример.

«Некто покупает в магазине вещь стоимостью в 19 р. У него имеются лишь 15 трехрублевок, у кассира же – лишь 20 пятирублевок. Можно ли расплатиться и как?»

Задача сводится к решению в целых положительных числах диофантова уравнения:

3x-5y=19,

где x15, y20.

Решение:

x==6+y+ =6+y+y₁

3y₁-2y=1,

Далее,

y==y₁+ =y₁+y₂,

y₁-2y₂=1, y₁=2y₂+1,

откуда

x=5y₂+8, y=3y₂+1.

Ввиду того, что x и y должны быть положительными и, учитывая условие задачи, легко установить, что

0y₂2,

т. е. y₂ может принимать только два значения: 0 и1. Отсюда вытекает только два возможных решения:

x

8

13

y

1

4

А вот еще одна задача.

«Можно ли отвесить 28 г некоторого вещества на чашечных весах, имея только четыре гири весом в 3 г и семь гирь весом в 5 г?»

Решим диофантово уравнение:

3x+5y=28.

Имеем:

x==9-y+ =9-2y+

=y₁, y=3y₁-1.

x=9-2(3y₁-1)+y₁=11-5y.

Итак,

x=11-5y₁, y=3y₁-1.

Из условий задачи вытекает, что₁ нельзя давать отрицательные значения ( это привело бы к отрицательному y). Далее должно быть y₁3, для того, чтобы x не был отрицательным. Значит, 0y₁2.

Однако, y₁=0 и y₁=1 противоречат условию задачи x4. Таким образом, возможно только y₁=2. При этом x=1, y=5 – единственное решение задачи.

4. Метод разложения на множители

Перебор вариантов при нахождении натуральных решений уравнения с двумя переменными оказывается весьма трудоемким. Кроме того, если уравнение имеет целые решения, то перебрать их невозможно, так как таких решений бесконечное множество. Поэтому покажем еще один прием - метод разложения на множители.

Задача 3. Решить уравнение в целых числах y³ - x³ = 91.

Решение. 1) Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители:

(y - x)(y² + xy + x²) = 91……………………….(1)

2) Выпишем все делители числа 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91

3) Проводим исследование. Заметим, что для любых целых x и y число

y² + yx + x² ≥ y² - 2|y||x| + x² = (|y| - |x|)² ≥ 0,

следовательно, оба сомножителя в левой части уравнения должны быть положительными. Тогда уравнение (1) равносильно совокупности систем уравнений:

; ; ;

4) Решив системы, получим: первая система имеет решения (5; 6), (-6; -5); третья (-3; 4), (-4;3); вторая и четвертая решений в целых числах не имеют.

Ответ: уравнение (1) имеет четыре решения (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

Задача 4. Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению

.

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители и запишем уравнение в виде

.

Т.к. делителями числа 69 являются числа 1, 3, 23 и 69, то 69 можно получить двумя способами: 69=1·69 и 69=3·23. Учитывая, что , получим две системы уравнений, решив которые мы сможем найти искомые числа:

или .

Первая система имеет решение , а вторая система имеет решение .

Ответ:

Задача 5. Решить уравнение в целых числах:

.

Решение. Запишем уравнение в виде

.

Разложим левую часть уравнения на множители. Получим

.

Произведение двух целых чисел может равняться 1 только в двух случаях: если оба они равны 1 или -1. Получим две системы:

или .

Первая система имеет решение х=2, у=2, а вторая система имеет решение х=0, у=0.

Ответ: .

Задача 6. Решить в целых числах уравнение

.

Решение. Запишем данное уравнение в виде

.

Разложим левую часть уравнения на множители способом группировки, получим

.

Произведение двух целых чисел может равняться 7 в следующих случаях:

7=1· 7=7·1=-1·(-7)=-7·(-1). Таким образом, получим четыре системы:

или , или , или .

Решением первой системы является пара чисел х = - 5, у = - 6. Решая вторую систему, получим х = 13, у = 6.Для третьей системы решением являются числа х = 5, у = 6. Четвёртая система имеет решение х = - 13, у = - 6.

Ответ: .

Задача 7. Доказать, что уравнение (x - y)³ + (y - z)³ + (z - x)³ = 30 не имеет решений в целых числах.

Решение. 1) Разложим левую часть уравнения на множители и обе части уравнения разделим на 3, в результате получим уравнение:

( x - y)(y - z)(z - x) = 10…………………………(2)

2) Делителями 10 являются числа ±1, ±2, ±5, ±10. Заметим также, что сумма сомножителей левой части уравнения (2) равна 0. Нетрудно проверить, что сумма любых трех чисел из множества делителей числа 10, дающих в произведении 10, не будет равняться 0. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Задача 8. Решить уравнение: х² - у² =3 в целых числах.

Решение:

1. применим формулу сокращенного умножения х² - у²=(х-у)(х+у)=3

2. найдем делители числа 3 = -1;-3;1;3

3. данное уравнение равносильно совокупности 4 систем:

х-у=1 2х=4 х=2, у=1

х+у=3

х-у=3 х=2, у=-1

х+у=1

х-у=-3 х=-2, у=1

х+у=-1

х-у=-1 х=-2, у=-1

х+у=-3

Ответ: (2;1), (2;-1), (-2;1), (-2,-1)

5. Метод остатков

Задача 9. Решить уравнение: х²+ху=10

Решение:

1. Выразим переменную у через х: у= 10-х²

Х

У = - х

2. Дробь будет целой, если х Є ±1;±2; ±5;±10

3. Найдем 8 значений у.

Если х=-1, то у= -9 х=-5, то у=3

Х=1, то у=9 х=5, то у=-3

Х=-2 ,то у=-3 х=-10, то у=9

Х=2, то у=3 х=10, то у=-9

Задача 10. Решить уравнение в целых числах:

2х² -2ху +9х+у=2

Решение:

выразим из уравнения то неизвестное, которое входит в него только в первой степени - в данном случае у:

2х² +9х-2=2ху-у

У ⁼

Выделим у дроби целую часть с помощью правила деления многочлена на многочлен «углом». Получим:

Следовательно, разность 2х-1 может принимать только значения -3,-1,1,3.

Осталось перебрать эти четыре случая.

Ответ: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

6. Задачи экзаменационного уровня

Рассмотрев несколько способов решения уравнений первой степени с двумя переменными в целых числах, мы заметили, что чаще всего применяются метод разложения на множители и метод остатков.

Уравнения, которые даны в вариантах ЕГЭ -2011, в основном решаются методом остатков.

1. Решить в натуральных числах уравнение: , где т>п

Решение:

Выразим переменную п через переменную т:

Найдем делители числа 625: т-25 Є 1; 5; 25; 125; 625

1) если т-25 =1, то т=26, п=25+625=650

2) т-25 =5, то т=30, п=150

3) т-25 =25, то т=50, п=50

4) т-25 =125, то т=150, п=30

5) т-25 =625, то т=650, п=26

Ответ: т=150, п=30

т=650, п=26

2. Решить уравнение в натуральных числах: тп +25 = 4т

Решение: тп +25 = 4т

1) выразим переменную т через п:

4т – тп =25

т(4-п) =25

т =

2) найдем натуральные делители числа 25: ( 4-п) Є 1; 5; 25

если 4-п =1, то п=3, т=25

4-п =5, то п=-1, т=5 (посторонние корни)

4-п =25, то п=-21, т=1 (посторонние корни)

Ответ: (25;3)

3 .Найдите все пары ( х; у) целых чисел, удовлетворяющие системе неравенств:

х² +у ²< 18х – 20у - 166,

32х - у² > х² + 12у + 271

Решение: Выделяя полные квадраты, получим:

(х-9)² + (у+10)² <15

(х-16)² + (у+6)² <21

Из первого и второго неравенства системы:

(х-9)² < 15 6≤ х ≤ 12

(х-16)² < 21, 12≤ х ≤ 20 , х=12.

Подставляя х = 12 в систему, получим:

(у+10)² < 6 -2 ≤ у+10 ≤ 2 -12 ≤ у ≤ -8

(у+6)² < 5 -2 ≤ у+6 ≤ 2 -8 ≤ у ≤ -4 у=-8

Ответ: (12; -8)

Заключение

Решение различного вида уравнений является одной из содержательных линий школьного курса математики, но при этом методы решения уравнений с несколькими неизвестными практически не рассматриваются. Вместе с тем, решение уравнений от нескольких неизвестных в целых числах является одной из древнейших математических задач. Большинство методов решения таких уравнений основаны на теории делимости целых чисел, интерес к которой в настоящее время определяется бурным развитием информационных технологий. В связи с этим, учащимся старших классов будет небезынтересно познакомиться с методами решения некоторых уравнений в целых числах, тем более что на олимпиадах разного уровня очень часто предлагаются задания, предполагающие решение какого-либо уравнения в целых числах, а в этом году такие уравнения включены еще и в материалы ЕГЭ.

В своей работе мы рассматривали только неопределенные уравнения первой и второй степени. Уравнения первой степени, как мы увидели, решаются довольно просто. Мы выделили виды таких уравнений и алгоритмы их решений. Также было найдено общее решение таких уравнений.

С уравнениями второй степени сложнее, поэтому мы рассмотрели лишь частные случаи: теорему Пифагора и случаи, когда одна часть уравнения имеет вид произведения, а вторая раскладывается на множители.

Уравнениями третьей и больше степеней занимаются великие математики, потому что их решения слишком сложны и громоздки.

В дальнейшем мы планируем углубить свое исследование в изучении уравнений с несколькими переменными, которые применяются в решении задач.

Литература

1. Березин В.Н. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по

математике. Москва « Просвещение» 1985г.

2. Галкин Е.Г. Нестандартные задачи по математике. Челябинск «Взгляд» 2004г.

3. Галкин Е.Г. Задачи с целыми числами. Челябинск «Взгляд» 2004г.

4. Глейзер Е.И. История математики в школе. Москва «Просвещение» 1983г.

5. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11 класс. Москва 2003г.

6. Математика. ЕГЭ 2010. Федеральный институт педагогических измерений.

7. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. Москва 1986г.

Краткое описание документа:

Тема «Решение уравнений с двумя переменными в целых числах»недостаточно полно изложена в действующих учебниках математики, а задачи по этой теме предлагаются как на олимпиадах, так и в заданиях на экзаменах. В данной работе выделены основные методы решений уравнений в натуральных и целых числах и приводится система тренировочных упражнений для закрепления каждого из рассмотренных методов.