Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Реферат по математике на тему "Сумма"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Реферат по математике на тему "Сумма"

библиотека
материалов

hello_html_m5545a809.gifhello_html_m5545a809.gifhello_html_m5545a809.gifhello_html_m5545a809.gifhello_html_m5545a809.gif





















«Сумма»

hello_html_4846e07d.png















2016

Сумма

Сумма (лат. summa — итог, общее количество), результат суммирования величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Общими для всех случаев являются свойства коммутативностиассоциативности, а также дистрибутивности по отношению к умножению (если для рассматриваемых величин умножение определено), то есть выполнение соотношений:

a + b = b + a

a + (b + c) = (a + b) + c

(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c

c \cdot (a + b) = c \cdot a + c \cdot b

В теории множеств суммой (или объединением) множеств называется множество, элементами которого являются все элементы слагаемых множеств, взятые без повторений.

Понятие суммы применяется к более сложным алгебраическим структурам. Сумма групп. Сумма линейных пространств. Сумма идеалов. И другие примеры. В теории категорий определяется понятие суммы объектов.

Арифметическая сумма

Пусть в первой группе находится A предметов некоторого рода, во второй, соответственно, B предметов (A и B — натуральные числа). Тогда арифметической суммой A+B будет количество предметов в группе, полученной при объединении двух исходных.

Рациональные числа

Пусть даны рациональные числа A и B такие, что A=\frac{m_a}{n_a}, B=\frac{m_b}{n_b} (дроби несокращаемые). Тогда A+B=\frac{m_a \cdot n_b + m_b \cdot n_a}{n_a \cdot n_b}.

Определенная сумма

Часто для краткости сумму n слагаемых akak+1, …, aN обозначают заглавной греческой буквой Σ (сигма):

a_k + a_{k+1} + ... + a_N = \sum_{i=k}^N a_i

Это обозначение называют определённой[источник не указан 93 дня] (конечной) суммой a_i по i от k до N.

Для удобства вместо \sum_{i=k}^Na_i иногда пишут \sum_{P(i)}^{}a_i, где P(i)\ — некоторое соотношение для i\, таким образом \sum_{P(i)}^{}a_i это конечная сумма всех a_i\, где i\in Z : P(i)\



Свойства определённой суммы

  1. \left(\sum_{i=k_1}^{k_2}a_i\right) \cdot \left(\sum_{j=p_1}^{p_2}b_j\right) = \sum_{i=k_1}^{k_2}\left(\sum_{j=p_1}^{p_2}a_ib_j\right)

  2. \sum_{i=k_1}^{k_2} \left( \sum_{j=p_1}^{p_2}a_{ij} \right)= \sum_{j=p_1}^{p_2} \left( \sum_{i=k_1}^{k_2}a_{ij}\right)

  3. \sum_{i=k_1}^{k_2}(a_i + b_i) = \sum_{i=k_1}^{k_2}a_i + \sum_{i=k_1}^{k_2}b_i

  4. \sum_{i=k_1}^{k_2} {z \cdot a_i} = z \cdot \sum_{i=k_1}^{k_2} a_i

  5. \sum_{ \cdot a_i}=(n+1) \cdot {\sum_{i=1}^{n}{a_i}}-\sum_{i=1}^{n}\left({\sum_{j=1}^{i}{a_j}}\right) — эта формула позволяет рекуррентно выводить арифметические выражения для формул вида \sum_{i=1}^{n}{i^k}

Бесконечная сумма

В математическом анализе определяется понятие ряда — суммы бесконечного числа слагаемых.

1. Сумма арифметической прогрессии:

\sum_{i=0}^n(a_0+b\cdot i) = (n+1)\frac{a_0+a_n}{2}



2. Сумма геометрической прогрессии:

\sum_{i=0}^na_0\cdot b^i = a_0\cdot \frac{1-b^{n+1}}{1-b}



3.\sum \limits_{k=1}^n k^3=\left [\frac{n(n+1)}{2} \right ]^2=\left (\sum \limits_{k=1}^n k \right )^2



4. \sum_{i=0}^n{\left(\frac{1}{p}\right)}^i = \frac{p}{p-1}\left(1-\frac{1}{p^{n+1}}\right), \quad p \neq 1, n \ge 0

Почему это так

\sum_{i=0}^n{\left(\frac{1}{p}\right)}^i = \sum_{i=0}^n{1\cdot {\frac{1}{p^i}}} = 1\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{p}\right)}^{n+1}}{1-\frac{1}{p}} = \frac{\frac{p^{n+1}-1}{p^{n+1}}}{\frac{p-1}{p}} = \frac{p^{n+1}-1}{p^n(p-1)} = \frac{p}{p-1}\left(1-\frac{1}{p^{n+1}}\right)



5. \sum_{i=0}^nip^i = \frac{np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(p-1)^2}, \quad p \ne 1

Почему это так

Доказательство:

\sum_{i=0}^nip^i = \sum_{i=1}^nip^i = p\cdot \sum_{i=1}^nip^{i-1} = p\cdot \sum_{i=0}^{n-1}(i+1)p^i = p\cdot \left(\sum_{i=0}^{n-1}{ip^i} + \sum_{i=0}^{n-1}p^i\right)=p\cdot \sum_{i=0}^nip^i - p\cdot np^n + p\cdot \frac{1-p^n}{1-p} \Rightarrow

\Rightarrow (1-p)\sum_{i=0}^nip^i = \frac{-np^{n+1}(1-p)+p-p^{n+1}}{1-p} \Rightarrow \sum_{i=0}^nip^i = \frac{np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^2}



6. \sum_{i=0}^np^i = (p-1)\sum_{i=0}^{n-1}((n-i)p^i) + n + 1, \quad p \ne 1

Почему это так

Доказательство:

(p-1)\sum_{i=0}^{n-1}((n-i)p^i)+n+1 = (p-1)\sum_{i=0}^n((n-i)p^i)+n+1 = (p-1)\left(n\cdot\sum_{i=0}^np^i -\sum_{i=0}^nip^i\right)+n+1 =

=(p-1)\left(n\cdot\frac{1-p^{n+1}}{1-p}-\frac{np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^2}\right)+n+1 =

=\frac{np^{n+2}-np-np^{n+1}+n-np^{n+2}+np^{n+1}+p^{n+1}-p+pn-n+p-1}{p-1}=

=\frac{p^{n+1}-1}{p-1}=\sum_{i=0}^np^i

Стоит заметить, что при p = 10\ получаем \sum_{i=0}^n10^i = 9\cdot\sum_{i=0}^{n-1}((n-i)10^i) + n +1, а это последовательность равенств следующего вида:
1 = 9\cdot 0 + 1,\quad 11 = 9\cdot 1 + 2,\quad 111 = 9 \cdot 12 + 3,\quad 1111 = 9 \cdot 123 + 4,\quad 11111 = 9 \cdot 1234 + 5

Неопределённая сумма

Неопределённой суммой a_i по i называется такая функция f(i), обозначаемая \sum_{i}^{} a_i, что \forall i: f(i+1) - f(i) = a_{i}.

Формула Ньютона-Лейбница

Если найдена неопределённая сумма \sum_{i}^{} a_i = f(i), то \sum_{i=a}^b a_i = f(b+1)-f(a)







Этимология

Латинское слово summa переводится как «главный пункт», «сущность», «итог». С XV века слово начинает употребляться в современном смысле, появляется глагол «суммировать» (1489 год).

Это слово проникло во многие современные языки: сумма в русском, sum в английском, somme во французском.

Специальный символ для обозначения суммы (S) первым ввёл Эйлер в 1755 году. Как вариант, использовалась греческая буква Сигма Σ. Позднее ввиду связи понятий суммирования и интегрирования, S также использовали для обозначения операции интегрирования.

Кодировка

В Юникоде есть символ суммы U+2211  n-ary summation (HTML  ).

Литература

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — седьмое. — М.: Наука, 1969. — Т. 1. — 608 с. — 100 000 экз.


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 11.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров268
Номер материала ДВ-444720
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх