«Великая
теорема Ферма»
2016
Издание 1670 года «Арифметики» Диофанта включает
комментарий Ферма, в частности его «последнюю теорему» (Observatio Domini
Petri de Fermat)
Великая теорема Ферма (или Последняя
теорема Ферма) — одна из самых популярных теорем математики.
Её условие формулируется просто, на «школьном» арифметическом уровне, однако
доказательство теоремы искали многие математики более трёхсот лет. Доказана
в 1994 году Эндрю Уайлсом.
Теорема утверждает, что:
Встречается более узкий
вариант формулировки, утверждающий, что это уравнение не имеет натуральных решений.
Однако очевидно, что если существует решение для целых чисел, то существует и
решение в натуральных числах. В самом деле, пусть —
целые числа, дающие решение уравнения Ферма. Если чётно,
то тоже будут решением, а
если нечётно, то перенесём все степени отрицательных значений в другую часть
уравнения, изменив знак. Например, если бы существовало решение уравнения и при этом отрицательно, а прочие
положительны, то , и получаем натуральные
решения Поэтому обе формулировки
эквивалентны.
Обобщениями утверждения
теоремы Ферма являются опровергнутая гипотеза Эйлера и
открытая гипотеза
Ландера — Паркина — Селфриджа.
Для случая эту
теорему в X веке пытался доказать ал-Ходжанди, но
его доказательство не сохранилось.
В общем виде теорема была
сформулирована Пьером Ферма в 1637 году на
полях «Арифметики» Диофанта. Дело
в том, что Ферма делал свои пометки на полях читаемых математических трактатов
и там же формулировал пришедшие на ум задачи и теоремы. Теорему, о которой
ведётся речь, он записал с припиской, что найденное им остроумное
доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы его можно было поместить на
полях книги:
«Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два
биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же
показателем. Я нашёл этому поистине чудесное доказательство, но поля книги
слишком узки для него».
Доказательство самого Ферма для случая в
сорок пятом комментарии к «Арифметике» Диофанта
Ферма приводит только
доказательство, как решение задачи, сводимой к четвёртой степени теоремы , в сорок пятом комментарии к «Арифметике» Диофанта и в письме к
Каркави (август 1659 года). Кроме этого, Ферма включил третью степень
теоремы в список задач, решаемых методом бесконечного
спуска.
Эйлер в 1770 году доказал
теорему для случая , Дирихле и Лежандр в 1825 — для , Ламе —
для . Куммер показал,
что теорема верна для всех простых n, меньших 100, за возможным
исключением т. н.иррегулярных простых 37,
59, 67.
Над полным доказательством
Великой теоремы работало немало выдающихся математиков и множество
дилетантов-любителей; считается, что теорема стоит на первом месте по
количеству некорректных «доказательств». Тем не менее, эти усилия привели к
получению многих важных результатов современной теории чисел. Давид Гильберт в
своём докладе «Математические проблемы» на II
Международном конгрессе математиков (1900) так отозвался об этой
проблеме:
Проблема доказательства этой неразрешимости являет
разительный пример того, какое побуждающее влияние на науку может оказать
специальная и на первый взгляд малозначительная проблема. Ибо, побуждённый
задачей Ферма, Куммер пришёл
к введению идеальных чисел и
к открытию теоремы об однозначном разложении чисел в круговых полях на
идеальные простые множители — теоремы, которая теперь, благодаря
обобщениям на любую алгебраическую числовую область, полученным Дедекиндом и Кронекером,
является центральной в современной теории чисел и значение которой выходит
далеко за пределы теории чисел в область алгебры и теории функций.
В 1908 году немецкий
любитель математики Вольфскель завещал 100 000 немецких марок тому,
кто докажет теорему Ферма. Однако после войны премия обесценилась.
В 1980-х годах появился новый
подход к решению проблемы. Из гипотезы Морделла,
доказанной Фальтингсом в 1983 году,
следует, что уравнение при может
иметь лишь конечное число взаимно простых решений.
Последний, но самый важный,
шаг в доказательстве теоремы был сделан Уайлсом в
сентябре 1994 года. Его
130-страничное доказательство было опубликовано в журнале «Annals of Mathematics».
Доказательство основано на предположении немецкого математика Герхарда Фрая о
том, что Великая теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы — Симуры (это
предположение было доказано Кеном
Рибетом при участии Ж.‑П. Серра).
Первый вариант своего
доказательства Уайлс опубликовал в 1993 году (после
7 лет напряжённой работы), но в нём вскоре был обнаружен серьёзный пробел,
который с помощью Ричарда Лоуренса Тейлора удалось
достаточно быстро устранить. В 1995 году был
опубликован завершающий вариант.
Колин Мак-Ларти отметил, что
доказательство Уайлса может быть упрощено, чтобы не предполагать существования
так называемых «больших кардиналов».
Авторское свидетельство, выданное Министерством образования и
науки Украины на доказательство теоремы Ферма Г. А. Середкину и
Л. В. Шаповаловой
Простота формулировки теоремы
Ферма (доступная в понимании даже школьнику), а также сложность единственного
известного доказательства (или неведение о его существовании), вдохновляют
многих на попытки найти другое, более простое, доказательство. Людей,
пытающихся доказать теорему Ферма элементарными методами, называют «ферматистами»
или «ферматиками». Ферматисты зачастую не владеют основами математической
культуры и допускают ошибки в арифметических действиях или
логических, хотя некоторые представляют весьма изощрённые «доказательства», в
которых трудно найти ошибку.
Доказывать теорему Ферма в
среде любителей математики было настолько популярно, что в 1972 году журнал «Квант»,
публикуя статью о теореме Ферма, сопроводил её следующей припиской:
|
Редакция
«Кванта» со своей стороны считает необходимым известить читателей, что письма
с проектами доказательств теоремы Ферма рассматриваться (и возвращаться) не
будут.
|
|
Немецкому математику Эдмунду Ландау очень
докучали «ферматисты». Чтобы не отвлекаться от основной работы, он заказал
несколько сот бланков со следующим текстом:
|
Уважаемый
…! Благодарю Вас за присланную Вами рукопись с доказательством Великой
теоремы Ферма. Первая ошибка находится на странице … в строке …
|
|
Находить ошибку и заполнять
пробелы в бланке он поручал своим аспирантам.
Примечательно, что отдельные
ферматисты добиваются публикации своих (неверных) «доказательств» в ненаучной
прессе, которая раздувает их значение до научной сенсации.
Впрочем, иногда такие публикации появляются и в уважаемых научных изданиях, как
правило, с последующими опровержениями. Среди других примеров:
·
Брошюра В. И. Будкина, изданная в Ярославле под
названием «Методика познания „истины“. Доказательство Великой теоремы Ферма»
(47 с., 5000 экз., Верхне-Волжское книжное издательство, 1975).
·
Книга Л. Ш. Райхеля «Великая теорема», изданная в
Ленинграде в 1990 году.
·
Свидетельство о регистрации авторских прав на произведение
«доказательство теоремы Ферма», выданное Министерством образования и науки
Украины Л. В. Шаповаловой и Г. А. Середкину. Следует
пояснить, что этот документ не удостоверяет каким-либо образом правильность
доказательства, а лишь регистрирует авторские права на поданный в Министерство
образования и науки печатный труд; на это министерство возложена обязанность
ведения реестра таких свидетельств.
Теорема
Ферма в культуре и искусстве
Великая теорема Ферма стала
символом труднейшей научной проблемы и в этом качестве часто упоминается в
беллетристике. Далее перечислены некоторые произведения, в которых теорема не
просто упомянута, но является существенной частью сюжета или идеологии
произведения.
·
В повести Е.
Велтистова «Победитель невозможного» друг
Сыроежкина и Электроника Вова Корольков в качестве свободного задания по
математике доказал Великую теорему Ферма.
·
В телесериале «Звёздный Путь»
капитан космического корабля Жан-Люк Пикар был озадачен разгадкой Великой
теоремы Ферма во второй половине XXIV века.
Таким образом, создатели фильма предполагали, что решения у Великой теоремы
Ферма не будет в ближайшие 400 лет. Серия «Рояль»
с этим эпизодом была снята в 1989 году,
когда Эндрю Уайлс был
в самом начале своих работ. В действительности решение было найдено всего
спустя 5 лет.
·
В рассказе Артура
Порджеса «Саймон Флэгг и дьявол» профессор
Саймон Флегг обращается за доказательством теоремы к дьяволу. По этому рассказу
снят игровой научно-популярный фильм «Математик
и чёрт» (СССР, 1972, производство
Центрнаучфильм, творческое объединение «Радуга», режиссёр Райтбурт).
·
В рассказе Кира Булычева «Мечта
заочника» студент-заочник Гаврилов приходит к профессору Минцу и приносит
купленную курсовую работу, в которой приводится доказательство теоремы, с
просьбой объяснить, что он написал.
· В
посвящённой Хэллоуину 1995 года серии
«Симпсонов»
двумерный Гомер Симпсон случайно попадает в третье измерение. Во время его
путешествия в этом странном мире в воздухе парят геометрические тела и
математические формулы, включая равенство . Калькулятор с точностью не более 9
значащих цифр подтверждает это равенство:
178212 + 184112 =
2541210258614589176288669958142428526657 ≈ 254121026·1031,
192212 =
2541210259314801410819278649643651567616 ≈ 254121026·1031.
Тем не менее, даже без
вычисления точных значений легко видеть, что равенство неверно: левая
часть — нечётное число,
а правая часть — чётное.
·
В первом издании «Искусства
программирования» Дональда Кнута теорема
Ферма приведена в качестве упражнения с математическим уклоном в самом начале
книги и оценена максимальным числом (50) баллов, как «исследовательская
проблема, которая (насколько это было известно автору в момент написания) ещё
не получила удовлетворительного решения. Если читатель найдет решение этой
задачи, его настоятельно просят опубликовать его; кроме того, автор данной
книги будет очень признателен, если ему сообщат решение как можно быстрее (при
условии, что оно правильно)». В третьем издании книги это упражнение
уже требует знаний высшей математики и
оценивается лишь в 45 баллов.
·
В книге Стига Ларссона «Девушка,
которая играла с огнём» главная героиня Лисбет
Саландер, обладающая редкими способностями к аналитике и фотографической
памятью, в качестве хобби занята доказательством Великой теоремы Ферма, на
которую она наткнулась, читая фундаментальный труд «Измерения в математике», в
котором приводится и доказательство Эндрю Уайлса. Лисбет не хочет изучать
готовое доказательство, а главным интересом становится поиск собственного
решения. Поэтому всё своё свободное время она посвящает самостоятельному поиску
«замечательного доказательства» теоремы великого француза, но раз за разом
заходит в тупик. В конце книги Лисбет находит доказательство, которое не только
совершенно отлично от предложенного Уайлсом, но и является настолько простым,
что сам Ферма мог бы его найти. Однако, после ранения в голову она его
забывает, и Ларссон не приводит никаких подробностей этого доказательства.
·
Мюзикл «Последнее танго Ферма», изданный институтом Клэя,
создан в 2000 году Дж. Розенблумом и
Дж. С. Лессер по мотивам реальной истории Эндрю Уайлса. Главный герой по имени
Дэниел Кин завершает доказательство теоремы, а дух самого Ферма старается ему
помешать.
·
За несколько дней до своей смерти Артур Кларк успел
отрецензировать рукопись романа «Последняя Теорема», над
которой он трудился в соавторстве с Фредериком. Книга вышла уже после смерти
Кларка.
·
В рассказе Натальи Дарьяловой «Великая и загадочная» сюжет
строится на теореме Ферма. Рассказывается о том, как молодой человек, будучи
студентом, занялся теоремой Ферма, впоследствии стал математиком, получил
несколько важных научных результатов, но совершенно загубил свою личную жизнь.
·
В романе П. А. Загребельного «Разгон» скромный
преподаватель математики из Одессы сумел доказать теорему, через некоторое
время стал академиком и возглавил очень серьезное киевское НПО,
занимающееся созданием электронно-вычислительных систем.
·
А. П. Казанцев в
романе «Острее шпаги» в 1983 году предложил оригинальную версию отсутствия
доказательства самого Пьера Ферма.
На
русском
·
Абраров Д. Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса.
·
Кирсанов Ф. История Великой Теоремы Ферма.
·
Постников
М. М. Введение в теорию алгебраических
чисел. — М.: Наука, 1982. Основная тема книги — последняя
теорема Ферма.
·
Рибенбойм П. Последняя теорема Ферма
для любителей. — М.: Мир,
2003.
·
Сингх С. Великая теорема Ферма. — М.: МЦНМО,
2000.
·
Эдвардс
Г. Последняя теорема Ферма. — М.: Мир, 1980. В
книге подробно рассматривается теория идеальных делителей Куммера.
На
английском
·
Donald C.
Benson. The Moment of Proof: Mathematical Epophanies. — Oxford
University Press, 1999. — ISBN 0-19-513919-4.
·
Faltings, Gerd (1995). The Proof of Fermat’s last theorem by R.
Taylor and A. Wiles, Notices of the AMS (42)
(7), 743—746.
·
Daney, Charles (2003). The Mathematics of Fermat’s last theorem. Retrieved
Aug. 5, 2004.
·
O’Connor, J. J. & and Robertson, E. F. (1996). Fermat’s last theorem. The history of the
problem. Retrieved Aug. 5, 2004.
·
Shay, David (2003). Fermat’s
last theorem. The story, the history and the mystery.
Retrieved Aug. 5, 2004.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.