Инфоурок Геометрия Научные работыРеферат по математике на тему "Вписанные и вневписанные окружности"

Реферат по математике на тему "Вписанные и вневписанные окружности"

Скачать материал

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ okr.pdf

1

1. Цель работы .. 2 II. Основная

111 Определение вневписанной окружности, ее центр и радиус      З

Задачи, приводящие к понятию вневписанной окружности,

Вневписанные окружности, „ „...а, „     „

114, Свойства вневписанной окружности и ее связь с основными элементами

Применение свойств вневписанной окружности к решению

lV. Список литературы и интернет. ресурсов...

] „ Рассмотреть задачи, приводящие к понятию дневнисднгзой окружности.

2 „ Ввести определение вневписанной окружности, ее центра и радиуса, З, Изучить свойства вневписанной окружности и ее связь с основными элементами треугольника.

4. Показать применение свойств вневписанной окружности к решению задач *

Введение,

В школьном курсе геометрии тема «Вневписанные окружности» затронута недостаточно, Я выбрал эту тему для глолучения новых знаний по теме «вневписанные окружности» и последующего использования этих знаний на ЕГЭ и ГИД,

З

Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной из его сторон и продолжений двух других- для каждого треусо:љника существует три вневписанных окружности, которые расиоложены вне треутолымка, почему они и получили название вневписанных.

Иептрщш вневписанных окружностей являются точки пересечения биссектрис вазещних углов треугольника.

Радиусам вневписанноЙ окружности является отрезок перпендикуляра, проведенного из ттснтра окружности к какой-либо стороне лреут•ольника или ее продолжению.


Построим окружносгь, касающуюся трех данных несовпадающих прямых МВ, ВС и СА получаем четыре окружности с центрами О Оц Он, Ос. кдсдю1писся трех данных несовпадающих прямых, При этом одна из них будет вписанной в треугольник окружностью, а три других вневписанными окружностями.

Теорема L Биссектриса внутреннего угла ВАС треугольника АВС и биссектрисы двух внешних углов при вершинах В и С пересекаются в одной точке.

с к,

Из теоремы следует существование окружности с центром в точке касающейся пря м ых АС, АВ и ВС, Данную окружность и называют вневписанной окружностью, Таким образом, тпесть биссектрис •лреугольника • три внутренние и три внешние - пересекаются по три в четырех точках центрах вписанной и трех вневписанных окружностей,

1 1 .

Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются одной точке центре описанной око.то треугольника окружности.

Биссектрисы трех внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке центре апцсщшой в треугольник окружности.

Если рассмотреть дополнительно биссектрисы трех пар внешних углов треугольника, то получаются сше три замечательных точки - центры «не«писанных окружностей.

(               в'.4                исл пой н я                       с

Теорема 2. Пусть Кг— точка касания вневписанной окружности с продолжением стороны АС •лреугольника АВС Тогда длина отрезка АК: равна полупери м етру треугольника АВС

е ка


Доказательство: Пусть точки Кк и точки касания вневписанной окружности с прямыми АВ и ВС соответственно. Тогда СК; = ВК; ” ВКз  периметр треугольника АВС равен АС + СВ + АВ АС + СКВ + ВКз АВ=АС + СКг АВ + ВК! = АКг + АК!. А так как АК. =АК,. тор АКТ что и требовалось доказать.

Теорема З. Площадь S треугольника АВС равна               а),

Радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей также связаны СООТНОШСНИЯми:

1. т + rb + rc —е +4R 2, rarb Ф rarc +rbrc =р2

З, rarbrc pS

где кь, кс • радиусы вневписанных окружностей, R и r соответственно радиусы описанной и вписанной окружностей, р - полупериметр. Sплощадь треугольника.

Теорема 4, Радиус вписанной окружности треугольника равен одной третьей среднего гармонического радиусов вневписанных окружностей этого зреугольника, т.е.        1         З

Теорема 5.

Площадь S треугольника АВС равна S            — А).

Доказательство. [Ло этому рисунку м ожно заметить, что;

Теорема 6. Пусть К - точка касания вписанной окружности со стороной ВС „ КН диаметр ЗЛИСЕННОЙ окружности. Тогда точки А, R и тз лежат на одной прямой.

Докизшнеоство. Пусть прямая AR пересекает ВС в некоторой точке Х,

Докажем. что Х совпадает с Нроведем через R арямую, параллельную ВС.

Обозначим ее точки пересечения с АС и АВ через М и N соответственно,

Окружность, вписанная в АВСТ является вневписанной для         Но АВС и подобны. Следовательно, окружность, вневписанная в АВС, будет касаться ВС в

АточкеХ. Таким образом. совпадает с Тз.

Интересно, что отрезки, соединяющие центр вписанной в треугольник окружности с центрами вневписанных окружностей, делятся пополам окружностью, ОЛИСАННОЙ вокруг этого треугольника,

Задача L В равнобедренном треугольнике с основанием 12 длясана окружность, к ней проведены три касательные так, что они отсекают от данного ярсутольника три малых лрсугольника„ Сумма периметра малых лреугольников равна 48. Найдите боковую, сторону данного треугольника,

Решение.

2.0кружноеть с центром О - вневписанная. окружность треуголызиков

ВК,Г и РГ)С

Поэтому

ВИ

Ия этого следует, что Р д = Р А  РАвхе'+ РА

- вс 48-12

Значит, =-18.

                                    2                 2

.ЗаДтча2. К двум непересекающимся окружностям проведены две общие внешние касательные и общая внутренняя касательная, Докажите, что отрезок внутренней касательной, заключенный

между Внешними касательными, равен отрезку внешней касательной, заключенному между точками касания,


к

Решение; Пусть даны две окружности, Точки касания окружностей с первой внешней касательной - А и В, со њгорой - Си D Внутренняя касательная пересекает внешние в точках М Продолжим прямые АВ и CD до их пересечения в точке К, Тогда окружность с ценяром 02 является вписанной в треугольник МУК, а окружность с центром — вневписанной, Обозначим сторону A•fN треугольника MNk— а и еш полупериметр — р. Тогда (по теореме 2) = р и = р Значит, АВ — то есть АВ = ,'VfN Аншјогично

Задача З. В равносторонний треугольник вписана окружность, Этой

окружности и сторон треугольника касаются три малые окружности, Найдите сторону треуго.тьника, если

раВиус ма,ТОЙ окружности равен У. Решение Обозначим через а длину стороны треугольника, Тогда радиус окружности. вписанной в данный •лјеугольник АВС, равен Проведем общую

                                                         касательную            к большому и малому

св

                                                          кругам. Очевидно, что           ll АВ, Тогда

треугольники MNC и АВС подобны, А значит, отношение радиусов вписанных в них окружностей равно отношению их перимелров, т, е.

 а а МТ / 6 ¯ За , откуда а = 6 Cr.

Задача 4. В треугольнике АВС проведены биссектрисы 441., и ВЦ, Найдите усат А, если известно. ”fno L*L? - биссектриса угла АЬС„

Решение. Точка L2 по условию лежит на пересечении биссектрисы внутреннепз угла АВС и биссектрисы внешнего угла ,4LC треугольника *4BL',

Значит, точка является центром вневписанной окружности треугольника

А В[.}. Следовательно, биссектриса внешнето „утла А треутльника АШ. у. Несложно заметить, что в этом случае утл А равен 120“,

12

Заключен

Изучив свойства вневписанной окружности, мы в данной работе кратко изложили задачи, приводящие к понятию вневписанной окружности, доказали ее свойства, локаза-ии ее связь с элементами треушльника и применили их к решению трометрических задач, Изученные СВОЙСТВа были применены при решении задач на доказательство, вычисление и построение. Работая над данной темой, я научился лучше рассуждать, анализировать и систематизировать и надеюсь, что опыт выполнения этой работы пригодится мне в будущем.

Изящество и красота ври.менепия окруусности созс)ают ощущение элитарности. К  а школьной программе этоЙ фигуре уДетяется незначитетьное время и внимание, а про вневписанную окружность и не упоминается,

в

1 ••раолзи 1' реы„

          Понарин Я. П. Элементарная т•ометрия  https.'Fru.%'\КЈреч1Ја„огд/рЛКЛневписанная_окружностъ

          „ЧС. - Анатасян, Бутузов — Геометрия7-10 класс,

Грейтцер, ГМ- Коксетер — Новые встречи с геометрией.

          РК. Гордин. Задачи по планиметрии,

          В. В, Прасолов. Задачи по аланиметрии МЦНМО 2006гк

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Реферат по математике на тему "Вписанные и вневписанные окружности""

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

Эксперт по взаимоотношениям

Получите профессию

Технолог-калькулятор общественного питания

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Получите профессию

Экскурсовод (гид)

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 626 054 материала в базе

Материал подходит для УМК

Скачать материал

Другие материалы

Критерии оценки контрольной работы по геометрии: "Площадь многоугольника"
  • Учебник: «Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
  • Тема: § 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции
  • 19.06.2018
  • 1093
  • 15
«Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 19.06.2018 2081
    • ZIP 610.3 кбайт
    • 21 скачивание
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Григорьева Ольга Олеговна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Григорьева Ольга Олеговна
    Григорьева Ольга Олеговна
    • На сайте: 7 лет и 10 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 7262
    • Всего материалов: 8

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Экскурсовод

Экскурсовод (гид)

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Реализация межпредметных связей при обучении математике в системе основного и среднего общего образования

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 22 человека из 15 регионов

Курс повышения квалификации

Развивающие математические задания для детей и взрослых

36 ч. — 180 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 65 человек из 26 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика и информатика: теория и методика преподавания в профессиональном образовании

Преподаватель математики и информатики

500/1000 ч.

от 8900 руб. от 4450 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 43 человека из 22 регионов

Мини-курс

Анализ эффективности проектов

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Детско-родительские отношения: эмоциональный аспект

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 24 человека из 15 регионов

Мини-курс

Творчество и технологии в медиакоммуникациях

8 ч.

1180 руб. 590 руб.
Подать заявку О курсе