1
1.
Цель работы .. 2 II. Основная
111 Определение вневписанной окружности, ее центр и радиус З
Задачи,
приводящие к понятию вневписанной окружности,
Вневписанные окружности, „ „...а, „ „
114,
Свойства вневписанной окружности и ее связь с основными элементами
Применение
свойств вневписанной окружности к решению
lV.
Список литературы и интернет. ресурсов...
] „
Рассмотреть задачи, приводящие к понятию дневнисднгзой окружности.
2 „ Ввести определение вневписанной окружности, ее центра и
радиуса, З, Изучить свойства вневписанной окружности и ее связь с основными
элементами треугольника.
4. Показать применение свойств
вневписанной окружности к решению задач *
Введение,
В школьном курсе геометрии тема
«Вневписанные окружности» затронута недостаточно, Я выбрал эту тему для
глолучения новых знаний по теме «вневписанные окружности» и последующего
использования этих знаний на ЕГЭ и ГИД,
З
Вневписанной окружностью треугольника называется
окружность, касающаяся одной из его сторон и продолжений двух других- для
каждого треусо:љника существует три вневписанных окружности, которые
расиоложены вне треутолымка, почему они и получили название вневписанных.
Иептрщш вневписанных окружностей являются точки пересечения
биссектрис
вазещних углов треугольника.
Радиусам вневписанноЙ окружности является отрезок
перпендикуляра, проведенного из ттснтра окружности к какой-либо стороне
лреут•ольника или ее продолжению.
Построим окружносгь, касающуюся трех данных
несовпадающих прямых МВ, ВС и СА получаем четыре окружности с центрами
О Оц Он, Ос. кдсдю1писся трех данных несовпадающих прямых, При этом одна из них
будет вписанной в треугольник окружностью, а три других вневписанными окружностями.
Теорема L Биссектриса внутреннего
угла ВАС треугольника АВС и биссектрисы двух внешних углов при вершинах В и С
пересекаются в одной точке.
с к,
Из теоремы следует существование окружности с центром в
точке касающейся
пря м ых АС, АВ и ВС, Данную окружность и называют вневписанной
окружностью, Таким образом, тпесть биссектрис •лреугольника • три внутренние и три
внешние - пересекаются по три в четырех точках центрах вписанной и трех
вневписанных окружностей,
1
1 .
Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника
пересекаются одной точке центре описанной око.то треугольника
окружности.
Биссектрисы трех внутренних углов треугольника пересекаются
в одной точке центре апцсщшой в треугольник окружности.
Если рассмотреть дополнительно биссектрисы трех пар внешних
углов треугольника, то получаются сше три замечательных точки - центры
«не«писанных окружностей.
( в'.4
исл пой н
я с
Теорема 2. Пусть Кг— точка касания вневписанной
окружности с продолжением стороны АС •лреугольника АВС Тогда длина отрезка АК:
равна полупери м етру треугольника АВС
е ка
Доказательство: Пусть точки Кк и точки касания вневписанной окружности с
прямыми АВ и ВС соответственно. Тогда СК; = ВК; ” ВКз
периметр треугольника АВС
равен АС + СВ + АВ АС + СКВ + ВКз
АВ=АС + СКг АВ + ВК! = АКг + АК!. А так как АК.
=АК,. тор АКТ что и требовалось доказать.
Теорема
З. Площадь S треугольника АВС равна а),
Радиусы описанной, вписанной и
вневписанных окружностей также связаны СООТНОШСНИЯми:
1. т + rb +
rc —е +4R 2, rarb Ф rarc +rbrc =р2
З, rarbrc pS
где кь, кс • радиусы вневписанных окружностей, R и
r соответственно радиусы описанной и вписанной окружностей, р - полупериметр.
Sплощадь треугольника.
Теорема 4, Радиус вписанной окружности
треугольника равен одной третьей среднего гармонического радиусов вневписанных
окружностей этого зреугольника, т.е. 1 З
Теорема 5.
Площадь
S треугольника АВС равна S — А).
Доказательство. [Ло этому
рисунку м ожно заметить, что;
Теорема 6. Пусть К - точка касания вписанной окружности со
стороной ВС „ КН диаметр ЗЛИСЕННОЙ окружности. Тогда точки А, R и тз лежат на
одной прямой.
Докизшнеоство. Пусть прямая AR пересекает ВС в некоторой
точке Х,
Докажем. что Х совпадает с Нроведем через R
арямую, параллельную ВС.
Обозначим ее точки пересечения с АС и АВ через М и N
соответственно,
Окружность, вписанная в АВСТ является вневписанной для Но
АВС и подобны. Следовательно, окружность, вневписанная в АВС, будет касаться ВС
в
АточкеХ.
Таким образом. совпадает с Тз.
Интересно, что отрезки, соединяющие центр вписанной в
треугольник окружности с центрами вневписанных окружностей, делятся пополам
окружностью, ОЛИСАННОЙ вокруг этого треугольника,
Задача L В равнобедренном треугольнике с основанием 12
длясана окружность, к ней проведены три касательные так, что они отсекают от
данного ярсутольника три малых лрсугольника„ Сумма периметра малых
лреугольников равна 48. Найдите боковую, сторону данного треугольника,
Решение.
2.0кружноеть с центром О - вневписанная. окружность
треуголызиков
ВК,Г и РГ)С
Поэтому
ВИ
Ия этого следует, что Р д = Р А РАвхе'+ РА
- вс 48-12
Значит, =-18.
2 2
.ЗаДтча2. К двум непересекающимся окружностям
проведены две общие внешние касательные и общая внутренняя касательная,
Докажите, что отрезок внутренней касательной, заключенный
между Внешними касательными, равен
отрезку внешней касательной, заключенному между точками касания,
к
Решение; Пусть даны две
окружности, Точки касания окружностей с первой внешней касательной - А и В,
со њгорой - Си D Внутренняя касательная пересекает внешние в точках М Продолжим
прямые АВ и CD до их пересечения в точке К, Тогда окружность с ценяром 02
является вписанной в треугольник МУК, а окружность с центром — вневписанной,
Обозначим сторону A•fN треугольника MNk— а и еш полупериметр — р. Тогда (по теореме 2) =
р и = р Значит, АВ — то есть АВ = ,'VfN Аншјогично
Задача З. В равносторонний треугольник вписана окружность,
Этой
окружности и
сторон треугольника касаются три малые окружности, Найдите сторону
треуго.тьника, если
раВиус ма,ТОЙ окружности
равен У. Решение Обозначим через а длину стороны треугольника, Тогда
радиус окружности. вписанной в данный •лјеугольник АВС, равен Проведем общую
касательную к
большому и малому
св
кругам.
Очевидно, что ll АВ, Тогда
треугольники MNC и АВС подобны, А значит,
отношение радиусов вписанных в них окружностей равно отношению их перимелров,
т, е.
а а МТ / 6 ¯ За ,
откуда а = 6 Cr.
Задача 4. В
треугольнике АВС проведены биссектрисы 441., и ВЦ, Найдите усат А, если
известно. ”fno L*L? - биссектриса угла АЬС„
Решение. Точка L2 по условию лежит на
пересечении биссектрисы внутреннепз угла АВС и биссектрисы внешнего угла ,4LC
треугольника *4BL',
Значит, точка является центром вневписанной окружности
треугольника
А В[.}. Следовательно, биссектриса
внешнето „утла А треутльника АШ. у. Несложно заметить, что в этом случае утл А равен
120“,
12
Заключен
Изучив свойства
вневписанной окружности, мы в данной работе кратко изложили задачи, приводящие
к понятию вневписанной окружности, доказали ее свойства, локаза-ии ее связь с
элементами треушльника и применили их к решению трометрических задач, Изученные
СВОЙСТВа были применены при решении задач на доказательство, вычисление и
построение. Работая над данной темой, я научился лучше рассуждать,
анализировать и систематизировать и надеюсь, что опыт выполнения этой работы
пригодится мне в будущем.
Изящество и красота
ври.менепия окруусности созс)ают ощущение элитарности. К а школьной
программе этоЙ фигуре уДетяется незначитетьное время и внимание, а про
вневписанную окружность и не упоминается,
в
1 ••раолзи 1' реы„
•
Понарин Я. П.
Элементарная т•ометрия https.'Fru.%'\КЈреч1Ја„огд/рЛКЛневписанная_окружностъ
•
„ЧС. - Анатасян, Бутузов — Геометрия7-10 класс,
Грейтцер,
ГМ- Коксетер — Новые встречи с геометрией.
•
РК. Гордин. Задачи по планиметрии,
•
В. В, Прасолов. Задачи по аланиметрии МЦНМО 2006гк
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.