Реферат по теме: "Как измерить высоту предмета подручными средствами"

Содержание

Введение …………………………………………………………………3

Создание прибора………………………………………………………..4

Геометрическая постановка задачи ……………………………………8

Описание экспериментов ………………………………………………9

Заключение ……………………………………………………………..14

Список использованных источников и литературы………………….15

Приложение (фотоотчет)

                                                                   3

Введение

В современном мире мы определяем значения различных величин (длину, массу, температуру и т.п.) с помощью различных инструментов и приборов. Так, в своей профессиональной деятельности строители, архитекторы, лесоводы, военные для определения высоты объекта используют специальные сложные и  дорогостоящие приборы – высотомеры. У меня возник вопрос: а можно ли определить высоту столба или дерева без высотомера? Такое умение нужно многим людям, находящимся в лесу: туристам, охотникам, лесникам. Этому умению обучают скаутов. Яков Исидорович Перельман, автор множества популярных книг по математике, «доктор занимательных наук», в войну в Ленинграде был лектором-инструктором по подготовке военных разведчиков. Он

разработал несколько тем, касавшихся, главным образом, умения

ориентироваться на любой местности и в любую погоду, не пользуясь при этом никакими техническими средствами, инструментами и приборами, а полагаясь только на то, что было «под руками». Одна из тем звучала так: «Как измерить высоту дерева, здания, башни».

Цель работы – определить высоту дерева разными способами без

специальных приборов.

Задачи:

1) рассмотреть различные способы определения высоты выбранного дерева;

2) провести соответствующие измерения и вычисления;

3) оформить результаты в виде инструкций.

4

I. Изготовление простейшего прибора – “высотомера”:

Любая дощечка (можно использовать кору дерева, если у неё есть плоская сторона) и 3 булавки. На этой дощечке намечают три точки – вершины равнобедренного прямоугольного треугольника, и в них втыкают булавки. Если под рукой нет чертёжной линейки для построения прямого угла и нет циркуля для отложения равных сторон, можно воспользоваться листом бумаги: перегните лист бумаги, затем поперёк первого сгиба ещё раз так, чтобы обе части первого сгиба совпали – получился прямой угол. С помощью этого же листа можно отмерить равные расстояния.

Использование высотомера: Отойдя от измеряемого дерева, держите прибор так, чтобы один из катетов треугольника был направлен отвесно, для чего можно воспользоваться нитью с грузом, привязанной к верхней булавке. Приближаясь к дереву или удаляясь от него, найдите такое место, из которого глядя на булавки а и с, увидите, что они покрывают верхушку дерева С: это значит, что продолжение гипотенузы ас проходит через точку С. Тогда, очевидно, расстояние аВ равно СВ, т . к. угол ? = 450. Следовательно, измерив расстояние аВ и прибавив ВD, т. е возвышение аА над землёй, получите искомую высоту дерева.

II. Использовать шест. Необходимо воткнуть этот шест отвесно в землю так, чтобы выступающая часть была равна вашему росту. Затем необходимо лечь на землю так, чтобы, упираясь ногами в шест, вы видели верхушку дерева на одной прямой линии с верхней точкой шеста. Т. к. треугольник Авс – равнобедренный и прямоугольный, то угол А = 450 и, следовательно, АВ = ВС, т. е. искомой высоте дерева.

5

Этот способ описан у Жюля Верна в романе “Таинственный остров”.

“– Сегодня нам надо измерить высоту площади далёкого Вида, – сказал инженер.

– Вам понадобится для этого инструмент? – спросил Герберт.

– Нет, не понадобится. Мы будем действовать несколько иначе, обратившись к не менее простому и точному способу.

Юноша, стараясь научиться, возможно, большему, последовал за инженером, который спустился с гранитной стены до окраины берега. Взяв прямой шест, футов 12 длиною, инженер измерил его возможно точнее, сравнивая со своим ростом, который был ему хорошо известен. Герберт же нёс за ним отвес, врученный ему инженером: просто камень, привязанный к концу верёвки. Не доходя футов 500 до гранитной стены, поднимавшейся отвесно, инженер воткнул шест в песок фута на 2 и, прочно укрепив его, поставил вертикально с помощью отвеса. Затем он отошёл от шеста на такое расстояние, чтобы, лёжа на песке, можно было на одной прямой линии видеть и конец шеста, и край гребня. Эту точку он тщательно пометил колышком.

– Тебе знакомы начатки геометрии? – спросил он Герберта, поднимаясь с земли.

– Да.

– Помнишь свойства подобных треугольников?

– Их сходственные стороны пропорциональны.

– Правильно. Так вот, сейчас я построю два подобных прямоугольных треугольника. У меньшего одним катетом будет отвесный шест, другим – расстояние от колышка до основания шеста; гипотенуза же – мой луч зрения. У другого треугольника катетами будут: отвесная стена, высоту которой мы хотим определить, и расстояние от колышка до основания этой стены; гипотенуза же – мой луч зрения, совпадающий с направлением гипотенузы первого треугольника.

– Понял! – воскликнул юноша. – Расстояние от колышка до шеста так относится к расстоянию от колышка до основания стены, как высота шеста к высоте стены.

– Да. И, следовательно, если мы измерим два первых расстояния, то, зная высоту шеста, сможем вычислить четвёртый, неизвестный нам член пропорции, т. е. высоту стены.

Оба горизонтальных расстояния были измерены: меньшее равнялось 15 футам, большее – 500 футам.

По окончании измерений инженер составил следующую запись:

6

15 : 500 = 10 : х,

500 • 10 = 5 000

5 000 : 15 = 333,8.

Значит, высота гранитной стены равнялась 333 футам”

 

IV. При помощи зеркала. Глядя на рисунок, сообразите, как измерить высоту дерева, выполните измерение.

V. Высотомер лесоводов. (очень удобен, если по какой- либо причине подойти к дереву невозможно)

VI. Измерение высоты дерева при помощи шеста (случай из истории Великой Отечественной войны).

Вот как однажды было на одном из фронтов Великой Отечественной войны. Подразделению лейтенанта Иванюк было приказано построить мост через горную реку. На противоположном берегу засели фашисты. Для разведки места постройки моста лейтенант выделил

7

разведывательную группу во главе со старшим сержантом Поповым… В ближайшем лесном массиве они

измерили диаметр и высоту наиболее типичных деревьев и подсчитали количество деревьев, которые можно было использовать для постройки.

Высоту деревьев измерили при помощи вешки (шеста) так, как показано на рисунке.

 

Этот способ состоит в следующем.

Запасшись шестом выше своего роста, воткните его в землю отвесно на некотором расстоянии от измеряемого дерева. Отойдите от шеста назад, по продолжению Dd до того места А, с которого, глядя на вершину дерева, вы увидите на одной линии с ней верхнюю точку b шеста. Затем, не меняя положения головы, смотрите по направлению горизонтальной прямой аС, замечая точки с и С, в которых луч зрения встречает шест и ствол. Попросите помощника сделать в этих местах пометки, и наблюдение окончено. Остается только на основании подобия треугольников аbс и аВС вычислить ВС из пропорции

ВС : bс = аС : ас,

откуда

ВС = вс(аС/ас).

Расстояния bс. аС и ас легко измерить непосредственно. К полученной величине ВС нужно прибавить расстояние СD (которое тоже измеряется непосредственно), чтобы узнать искомую высоту дерева.

 Я.И. Перельман в своей книге “Занимательная геометрия” рассказывал о том, как однажды он был удивлен, увидев седого лесничего, который стоя возле огромной сосны, измерял ее высоту маленькой квадратной дощечкой. Будучи маленьким мальчиком, он думал, что измерить высоту дерева можно, только срубив его, или взобравшись на его высоту. Лишь начав изучать геометрию, он понял, до чего просто выполняются такие чудеса. Существует множество способов производить такие измерения при помощи самых простых приборов.

Самый легкий и самый древний способ – тот, который придумал греческий мудрец Фалес за шесть веков до нашей эры. Он определил высоту пирамиды в Египте, воспользовавшись ее тенью. Фараон и жрецы озадаченно смотрели на этого чудака, отгадывающего по тени высоту огромного

8

сооружения. По преданию, Фалес избрал день и час, когда длина собственной его тени стала равна его росту. В этот момент высота пирамиды должна быть равна ее тени.

Этим способом удобно пользоваться в солнечный день. Но в наших широтах Солнце низко стоит над горизонтом, и воспользоваться приемом Фалеса можно летом. Но существует много других способов измерить высоту больших объектов. Рассмотрим один из них, решив задачу

Геометрическая постановка задачи

Геометрическая постановка задачи: определить длину отрезка АВ, где А – основание дерева, В – его вершина. Длину отрезка определяют либо измерением, либо применением геометрических методов, например, связанных с подобием треугольников. Измерить отрезок – значит, сравнить его с единичным отрезком или отрезком, имеющим известную длину. Два отрезка называются равными, если они

при наложении совпадают. Материал, связанный с подобием фигур, рассматривается в 8 классе. Я использую эти факты без строгого обоснования. У подобных фигур соответственные размеры при делении дают одно и то же число. Например, два треугольника с соответственно равными углами являются подобными, и отношения их соответственных сторон равны. [2]

Рабочая формула:  =

где H – высота дерева,

h – высота известного объекта,

L и l – величины, связанные с деревом и объектом, их смысл будет пояснен в каждом эксперименте.

Отсюда H =   

9

Описание экспериментов

Для выполнения задачи было предложено несколько способов (приведены их краткие условные названия):

1) статистическая оценка;

2) воздушный шарик;

3) фотография;

4) тень;

5) зеркало;

6) треугольник с углом 45 градусов;

7) карандаш.

Первый и второй способ – это измерение, т.к. используется сравнение с единичным отрезком и наложение отрезков. В остальных способах используется подобие. Источниками наших методов явились литература и сайты Интернет научно - популярного характера [1 – 4], некоторые способы измерения мы придумали сами. Самостоятельным вкладом в работу мы считаем оформление описания методов в виде инструкций.

Статистическая оценка

Суть: предложить как можно большему числу людей оценить высоту дерева на глаз, установив рядом с деревом вертикально метровую линейку. Рассчитать Н как среднее арифметическое полученных данных. В ходе эксперимента 7 человек из 6 класса определили высоту дерева на глаз.

Оборудование: метровая линейка.

Ход работы:

1) установить линейку рядом с деревом вертикально;

2) предложить человеку определить высоту дерева на глаз;

3) записать полученное значение в таблицу;

4) для получения среднего значения сумму измерений разделить на количество

измерений.

Результат:

6,2

6,4

8,1

5,8

6,6

6

6,5

Высота 6,51 м

Воздушный шарик

Суть: сравнить высоту дерева с длиной

подходящей нити.

10

Оборудование: воздушный шарик,

наполненный гелием; длинная легкая

веревочка (нить); рулетка или т.п. измеритель.

                        

Ход работы:

1) привязать к шарику длинную нитку и

вытравливать ее постепенно до тех пор, пока

шарик не поднимется до верхушки.

2) сделать на нитке отметку (например, узелок).                      

3) вернуть шарик, измерить длину выпущенной части нитки.

Результат: 8,3м

Фотография

Суть: высота дерева во столько раз больше высоты

линейки, во сколько раз длина изображения дерева

на фотографии больше длины изображения линейки.

Оборудование: фотоаппарат, метровая линейка, товарищ

или ты сам в качестве линейки.

Ход работы:

1) рядом с деревом поставить вертикально метровую линейку;

2) сфотографировать, убедившись предварительно, что фотоаппарат установлен так, что пленка находится в вертикальной плоскости;

3) определить высоту дерева H по готовой фотографии по формуле:

Н = L/l,

где L и l – размеры соответственно дерева и линейки на фотографии, h = 1.

Результат: 7,6м

То же самое, используя в качестве линейки человека известного роста (себя, например). Тогда формула будет иметь вид:

H = h*L/l,

где h и l – размеры соответственно дерева и «линейки» на фотографии,

L – истинные размеры «линейки» (рост товарища или твой).

Тень

Суть: это самый легкий и самый древний способ, с помощью которого греческий

11

мудрец Фалес за шесть веков до нашей эры определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался ее тенью. Мы поступили точно так же. Измерили свой рост, длину своей тени и длину тени дерева. Высота дерева во столько же раз больше роста человека, во сколько

раз тень дерева больше тени человека. Т.к. дерево и человек расположены перпендикулярно Земле, т.е. под углом90 градусов, а лучи солнца падают на землю под одинаковыми углами, то

образуются подобные треугольники стороны которых пропорциональны.

Рабочая формула: H = h* L / l

Здесь L – длина тени дерева, l – длина тени человека,

h – высота человека.

Оборудование и ход работы – ясны из рисунка.

Замечания: а) вместо себя можно поставить палку и т.п.; б) указанное на рисунке взаимное расположение объектов соблюдать не обязательно. Понятно, что измерения нужно проводить одновременно, т.к. солнце не стоит на месте, и длина тени изменяется.

Результат: H 10,89м

Зеркало

Суть: способ основан на законе отражения света.

12

 

Угол ACB равен углу ECD. Следовательно, треугольник ACB подобен

треугольнику ECD, и их стороны пропорциональны. Следовательно, верна основная формула.

Рабочая формула: H = h* L/l

12

Оборудование: плоское зеркало, рулетка.

Ход работы:

1) положить зеркало на землю;

2) найти такое положение, чтобы видеть в зеркале отражение верхушки дерева;

3) измерить расстояния l, L и h;

4) вычислить H;

5) повторить измерения 5 раз при разных значениях L;

6) рассчитать H как среднее арифметическое полученных значений.

Результат: 9,2м

Вариантом этого способа является определение высоты предмета по луже. Этот способ, описанный на сайте «Питерский охотник» [3], можно удачно применять после дождя, когда на земле появляется много лужиц. Измерение производят таким образом: находят невдалеке от измеряемого предмета лужицу и становятся около нее так, чтобы она помещалась между вами и предметом. После этого находят точку, из которой видна отраженная в воде вершинка предмета. Измеряемый предмет, например дерево, будет во столько раз выше вас, во сколько расстояние от него до лужицы больше, чем расстояние от лужицы до вас.

13

Треугольник с углом 45 градусов

Суть: построение равнобедренного прямоугольного треугольника, одним из катетов которого является дерево.

Рабочая формула: H = h* L / l

Здесь h и l стороны прямоугольного треугольника с углом 45 градусов. Т.к. они равны, то H = L.

Оборудование: любой прямоугольный треугольник (бумажный, пластмассовый, деревянный) с углом 45 градусов, то есть равнобедренный.

Ход работы:

1) держа треугольник вертикально, отойти от дерева на такое расстояние, при котором, глядя вдоль гипотенузы, увидеть верхушку дерева. Высота дерева от уровня глаз до верхушки равна расстоянию от дерева до человека;

2) измерить расстояние от места измерения до дерева;

3) прибавить к полученному числу свой рост (до уровня глаз).

Результат: 8м

Карандаш

Формула и объяснение то же, что и предыдущем способе.

Оборудование: карандаш (или ручка, или любая палочка), помощник, рулетка.

Ход работы:

1) встать от дерева на такое расстояние, чтобы видеть его целиком – от основания

до верхушки. Рядом со стволом установить помощника.

2) вытянуть перед собой руку с карандашом, зажатым в кулаке. Прищурить один глаз и подвести кончик грифеля к вершине дерева. Теперь переместить ноготь большого пальца так, чтобы он оказался под основанием ствола.

3) повернуть кулак на 90 градусов, чтобы карандаш оказался расположен параллельно земле. При этом твой ноготь должен все так же оставаться в точке основания ствола.

4) крикнуть своему помощнику, чтобы он отошел от дерева. Когда он достигнет точки, на которую указывает острие карандаша, подать сигнал, чтобы он остановился.

5) измерить расстояние от ствола до места, где застыл помощник. Оно будет равняться высоте дерева.

Это следует из нашего основного соотношения

Результат: 7м

Такой способ измерения дерева используют скауты.

14

Заключение

Я рассмотрела несколько способов определения высоты дерева с

помощью подручных средств без специальных приборов и инструментов. Все эти способы основаны либо на определении понятия длины отрезка и измерения, либо на свойствах подобных фигур.

Эксперименты проводились в неблагоприятных условиях: неровная,

неудобная местность, много снега, мороз, отсутствие опыта и сноровки.

Результаты различных экспериментов отличались.

Название способа/эксперимента Результат

Статистическая оценка 6,51м

Воздушный шарик 8,3м

Фотография 7,6

Тень

Зеркало 9,2м

Треугольник с углом 45 8м

Карандаш 7м

Если не учитывать результат определения высоты «на глаз», как самый ненадежный, то разница между наибольшим и наименьшим значениями высоты

составляет около 1,5 метра. Поэтому мы можем предположить, что высота дерева около 11 метров. Более точное значение может дать измерение с помощью высотомера лесника. После изучения понятия относительной и абсолютной погрешности мы предполагаем повторить эксперименты с измерением объекта с известной

высотой и оценить точность примененных методов. Желающие попробовать определить высоту недоступного объекта могут

воспользоваться нашими инструкциями. Самым доступным способом мы считаем метод карандаша. Он требует минимум оборудования и всего одно измерение.

15

Список использованных источников и литературы

1. Я.И.Перельман. Занимательная геометрия. – М.: АСТ, 2005.

2. Л. С. Атанасян и др. Геометрия: учебник для 7-9 кл. общеобразовательных

учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

3. http://piterhunt.ru/pages/nk-os/5/15.htm сайт «Питерский охотник»

4. http://www.scouts.ru «Центральный сайт скаутов-разведчиков России»__