Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Реферат по теме "Шестое математическое действие"

Реферат по теме "Шестое математическое действие"



Осталось всего 2 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:



Реферат

по теме:

«Шестое математическое действие»



Выполнила:

ученица 8 класса

Руководитель:

учитель математики
























Содержание




1. Введение.

2. С корнем квадратным - сквозь историю.

3. День квадратного корня.

4. Из истории возникновения формулы корней квадратного уравнения.

5. Квадратный корень из числа

6. Основные тождества для квадратных корней

7. Извлечение квадратного корня из произведения, дроби и степени

8. Преобразование выражений

9. Алгоритм извлечения квадратного корня столбиком

10. Геометрические приложения.

11. Заключение.

12. Список литературы.


























Введение



«Многие вещи нам не понятны не потому,

что наши понятия слабы; но потому, что

сии вещи не входят в круг наших понятий.»


Козьма Прутков

«Мысли и афоризмы», № 66.


В ходе решения некоторых математических задач приходится оперировать с квадратными корнями, поэтому важно знать правила действий с ними, научиться преобразовывать выражения, их содержащие, а также знать историю возникновения квадратных корней.

Цель настоящего реферата – изучение правил действий с квадратными корнями и способов преобразования выражений их содержащих. Для извлечения квадратного корня существуют таблицы квадратов. Для двухзначных чисел, можно разложить число на простые множители и извлечь квадратный корень из произведения. Таблицы квадратов бывает недостаточно, извлечение корня разложением на множители - трудоёмкая задача, которая тоже не всегда приводит к желаемому результату. Я постаралась найти способы, которые бы позволили извлечь квадратный корень в любом случае.


















С корнем квадратным - сквозь историю



Начиная с XIII в. итальянские и другие европейские математики обозначали корень латинским словом «Radix» («корень») или сокращённо R. В XV в. Н. Шюке писал: R212 вместо hello_html_597f77b8.gif.

Ныне применяемый знак корня произошёл от обозначения, которое применяли немецкие математики XV-XVI вв., называвшие алгебру «Косс», а алгебраистов «коссистами». (Математики XII-XV вв. писали свои произведения на латинском языке. Они называли неизвестное res – вещь. Итальянские математики перевели res словом cosa. Последний термин был заимствован немцами, откуда и появились «Косс» и «коссисты».)

Впоследствии образовался знак ˅ , близкий к современному символу корня, но без верхней черты. Этот знак встречается впервые в немецкой алгебре «Быстрый и красивый счёт при помощи искусных правил алгебры, обычно называемых Косс», изданной в 1525 г. в Страсбурге. Автором этой книги был уроженец Чехии, учитель математики в Вене Криштоф Рудольф из Явора (княжество, принадлежавшее в то время богемскому королевству). Книга пользовалась успехом и переиздавалась на протяжении XVI в. и вплоть до 1615 г. Знаком корня пользовались в XVI в. М. Штифель, С. Стевин и др.

В 1626 г. нидерландский математик А. Жирар, сочетая знак Рудольфа с

hello_html_3d76e16a.gifhello_html_3d76e16a.gif 2 3

показателями Шюке, ввёл близкое к современному обозначение , и т.д. Это обозначение стало вытеснять знак R. Однако долгое время писали, например ­ a+b ( вместо современного hello_html_m7a20a88b.gif). Лишь в 1637 г. Рене Декарт соединил знак корня с горизонтальной чертой, применив в своей «Геометрии» современный знак корня hello_html_aa90e65.gif.

hello_html_3d76e16a.gifhello_html_796c601c.gifОднако запись у Декарта несколько отличается от современной. У него, например, записано: hello_html_5a065bc8.gif

где буква с поставлена вместо латинского слова cubicus, что означает кубический. В современной записи это выражение будет выглядеть так: hello_html_m59201488.gif.

Ещё ближе к современному применял обозначение радикала Ньютон в «Универсальной арифметике» (1685 г.). Впервые запись корня, точно совпадающая с ныне принятой, встречается в книге француза Ролля «Руководство алгебры», написанной в 1690 г. Современный знак корня окончательно вошёл во всеобщее употребление лишь в начале XVIII в. hello_html_8d367c0.gif

hello_html_13ec36e8.jpg

Вавилонская табличка (около 1800—1600 г. до н. э.) с вычислением hello_html_m503531da.png



Интерес к квадратному корню из двух возник давно. В собрании Вавилонских исторических ценностей, храня­щемся в Йельском университете (Нью-Хейвен, штат Коннектикут), есть круглая глиняная табличка, от­носящаяся к 1750 г. до нашей эры. На ней изображен рассеченный диа­гоналями квадрат и четкими клино­писными знаками выписаны три цифры. Когда их прочли, стало ясно, что без малого четыре тысячи лет назад в Вавилоне умели определять диагональ квадра­та по его стороне, умножая ее длину на квадратный корень из двух. Циф­ры на табличке как раз и представ­ляют собой эту величину, выведенную с точностью до пятого знака: 1, 24, 51, 10. Ну что ж, это совсем непло­хое приближение к истине, ведь

1 + 24/60+51/602+10/603=1,41421.

Невольно хочется повторить: это подсчитано в XVIII веке до нашей эры!

За пять столетий до нашей эры школа Пифагора сделала одно из величайших математических откры­тий. Пифагорейцы пытались доказать, что любое число может быть выведе­но путем сложения, вычитания, ум­ножения и деления положительных целых чисел. А корень квадратный из двух — число иррациональное и конечным числом таких операций не получается. Это и было обнаружено последователями Пифагора. Однако они любили всяческую секретность и «законспирировали» свое открытие на долгие годы.

Его доказательство впервые по­явилось в «Началах» Евклида около 300 г. до нашей эры. А затем при­мерно в 140 г. нашей эры Теону из Смирны удалось разработать инте­реснейший алгоритм вычисления корня квадратного из двух; этот ал­горитм стал предтечей всей методики использования непрерывных дробей.

Еще ученые Вавилона (более 4000 лет назад) умели находить прибли­женное значение квадратного корня из любого натурального числа. Пра­вило, применявшееся в Вавилоне, таково: Вавилонские математики (II тысячелетие до н. э.) разработали для извлечения квадратного корня особый численный метод. Начальное приближение для hello_html_m68ca0bef.png рассчитывалось исходя из ближайшего к корню (в меньшую сторону) натурального числа hello_html_m3fadc5aa.png. Представив подкоренное выражение в виде: hello_html_m1c0efe6.png, получаем: hello_html_245d17eb.png, затем применялся итеративный процесс уточнения, соответствующий методу Ньютона:

hello_html_20f1abf8.png

Итерации в этом методе очень быстро сходятся. Для hello_html_m59f493ca.png, например, hello_html_d2f2670.png и мы получаем последовательность приближений:

hello_html_394a0a79.png

В заключительном значении верны все цифры, кроме последней.

Аналогичные задачи и методы встречаются в древнекитайской «Математике в девяти книгах». Древние греки сделали важное открытие:  hello_html_547ba3ca.png — иррациональное число. Детальное исследование, выполненное Теэтетом Афинским (IV век до н. э.), показало, что если корень из натурального числа не извлекается нацело, то его значение иррационально.

Чтобы извлечь корень из натурального числа с, его разлагают на сумму а2 + b (число а должно быть наибольшим таким, что а2 < с), тогда квадратный корень из с приближенно вычисляют по формуле:

hello_html_m675d72d1.gif

Например,

hello_html_m6d263298.gif

Грекам был известен вавилонский метод приближенного нахождения квадратного корня. Например, у Герона Александрийского (около 1 в.) написано:

hello_html_m366ced0b.gif












День квадратного корня

hello_html_m38b74522.jpg

03.03.2009


«День квадратного корня» отмечают математики Калифорнии. Третье число третьего месяца девятого года, считают они, в «переводе» на математический язык означает «трижды три девять», или же «три как квадратный корень из девяти».

Учитель математики из города Редвуд Рон Гордон даже организовал специальное соревнование. Победитель получит, естественно, 339 долларов.

Дочь учителя создала специальный сайт в Интернете, где фанаты «Дня квадратного корня», которых, как оказалось, сотни, предлагают свои варианты празднования этой даты.

В частности, самыми популярными «атрибутами» математического праздника являются вареные кубики из корнеплодов и выпечка в форме математического знака квадратного корня.

Каждое столетие имеет в своих календарных «закромах» 9 дней квадратного корня. В ХХI веке предыдущий раз такой день наступал 2 февраля 2004 года (2–2-4). Следующего же придется ждать 7 лет: он наступит 4 апреля 2016 года (4–4-16). А в прошлом, 2009 году, случилась полностью «квадратная» дата hello_html_4f35ba07.gif01.04.09, 16:25. Она встречается намного реже, чем другие дни квадратных корней.



Из истории возникновения формулы корней квадратного уравнения

Задачи на квадратные уравнения встречались уже в 499 г. в Древней Индии. Часто они были в стихотворной форме. Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII века Бхаскары:

«Обезьянок резвых стая
В cласть поевши развлекалась,
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась,
А 12 по лианам …
Стали прыгать, повисая,
Сколько было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?»

Уже в то время он знал о двузначности корней квадратных уравнений:

(x/8)2 + 12 = x

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в “Книге абака”, написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. И лишь в XVII веке, благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.












Квадратный корень из числа



Зная время t, можно найти путь при свободном падении по формуле: hello_html_m36224e.gif Решим обратную задачу.

Задача. Сколько секунд будет падать камень, сброшенный с высоты 122,5 м?

Чтобы найти ответ, нужно решить уравнение hello_html_m24587c47.gif Из него находим, что hello_html_37b0af6f.gif Теперь осталось найти такое положительное число t, что его квадрат равняется 25. Этим числом является 5, так как hello_html_1a4863c3.gif Значит, камень будет падать 5 с.

Искать положительное число по его квадрату приходится и при решении других задач, например при отыскании длины стороны квадрата по его площади. Введем следующее определение:

Определение. Неотрицательное число, квадрат которого равен неотрицательному числу а, называется квадратным корнем из а. Это число обозначают hello_html_12c26a59.gif

Таким образом hello_html_14a33332.gif

Пример. Так как

hello_html_70d7b090.gif

Из отрицательных чисел нельзя извлекать квадратные корни, так как квадрат любого числа или положителен, или равен нулю. Например, выражение hello_html_68884623.gif не имеет числового значения.

В записи hello_html_6e1b84a.gif знак hello_html_m6a2df16b.gif называют знаком радикала (от латинского "радикс" - корень), а число а - подкоренным числом. Например, в записи hello_html_m153b538.gif подкоренное число равно 25. Так как hello_html_2bd0739c.gifhello_html_2f490af.gif Это означает, что квадратный корень из числа, записанного единицей и 2n нулями, равен числу, записываемому единицей и n нулями:

hello_html_65e90410.gif= 10…0

2n нулей n нулей


Аналогично доказывается, что

hello_html_78fdda0a.gif

2n нулей n нулей


Например,

hello_html_2b8b2737.gif






Основные тождества для квадратных корней

Из определения квадратного корня вытекает, что равенствоhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_2b56dc21.gif=х, где аhello_html_m78774d40.gif0, верно в том и только в том случае, когда х2=а, причем хhello_html_m78774d40.gif0. Заменяя в равенстве х2=а переменную х на hello_html_2b56dc21.gif, получаем тождество hello_html_m588a6bed.gif2=а, (1)

верное для всех аhello_html_m78774d40.gif0. Заменяя в равенстве hello_html_2b56dc21.gif=х переменную а на х2, получаем тождества hello_html_m1d5ac267.gif= х, (2)

которое верно для всех хhello_html_m78774d40.gif0.

Например, hello_html_m49e331b2.gif2 = 25;hello_html_m1c628908.gif2 = 8; hello_html_m97478.gif2 = 0,11; hello_html_m7d2fc69b.gif= 6; hello_html_5fafc48e.gif=0,24.

Формулы hello_html_66937426.gif и hello_html_m4ac37d43.gif показывают , что для неотрицательных чисел операции возведения в квадрат и извлечения квадратного корня взаимно обратны Т.е. если выполнить над каким нибудь неотрицательным числом сначала одну из этих операций, а потом другую, то число не изменится.

Если а – отрицательное число, то равенство hello_html_66937426.gif неверно, так как hello_html_2b56dc21.gif не имеет числового значения. При отрицательных значениях х неверно и равенство hello_html_m4ac37d43.gif. Например, hello_html_m40825bb2.gif2 =hello_html_m25fc5483.gif=5, а не –5. Так как х2 =hello_html_33ef1bcf.gif2, а при х < 0 имеем –х> 0,

то при х< 0 верно равенство hello_html_m1d5ac267.gif=hello_html_m679ca026.gif2 = - х (3)

Итак,

hello_html_m7169dc6.gifx, если хhello_html_m78774d40.gif 0,

hello_html_m1d5ac267.gif= -х, если х < 0.


hello_html_m7169dc6.gifНо мы знаем, что х, если х hello_html_m78774d40.gif 0,

hello_html_5974cad0.gif=

-х, если х < 0.

Поэтому для всех чисел х верно равенство

hello_html_m1d5ac267.gif= hello_html_5974cad0.gif. (4)

Например, hello_html_20b58e05.gif=hello_html_34fa91dc.gif=8, hello_html_6aea9ace.gif2 = hello_html_m69e65706.gif= 12

П р и м е р 1. Упростим выражение hello_html_5f8fe70c.gif+hello_html_1caef8ee.gifhello_html_m6dac87f2.gif2 + hello_html_5f8fe70c.gif- hello_html_1caef8ee.gifhello_html_m6dac87f2.gif2.

Р е ш е н и е. Так как hello_html_40b01f2e.gif2 = 3, hello_html_69f0793a.gif2 = 2, то hello_html_5f8fe70c.gif+hello_html_m4c39dcad.gif2 + hello_html_5f8fe70c.gif- hello_html_m4c39dcad.gif2 =hello_html_40b01f2e.gif2 +2hello_html_m980c3de.gifhello_html_41b1474e.gifhello_html_1caef8ee.gif + hello_html_69f0793a.gif2 +hello_html_40b01f2e.gif2 – 2hello_html_m980c3de.gifhello_html_41b1474e.gifhello_html_1caef8ee.gif + hello_html_69f0793a.gif2 =2hello_html_41b1474e.gifhello_html_40b01f2e.gif2 + 2 hello_html_41b1474e.gifhello_html_69f0793a.gif2 = 2 hello_html_41b1474e.gif 3 + 2 hello_html_41b1474e.gif 2 = =10.

П р и м е р 2. Найдем значения выражения hello_html_4d42e3a5.gif при а = 2,1

b = 3,6

Р е ш е н и е. При любом значении х выполняется равенство

hello_html_m1d5ac267.gif= hello_html_5974cad0.gif. Поэтому hello_html_m6eb3603.gif= hello_html_5a33eb2a.gif. Но hello_html_1526c9c.gif=hello_html_m6b3f7d1c.gif= 1,5. Значит, при а = 2,1; b =3,6 имеем hello_html_m6eb3603.gif =1,5.


Извлечение квадратного корня из произведения, дроби и степени

Выражения hello_html_m36b5ad43.gifhello_html_128a18cd.gif и hello_html_m3597e9f1.gif имеют одно и то же значение 6.

В самом деле, hello_html_m36b5ad43.gif= 3, hello_html_1caef8ee.gif= 2, hello_html_26ad1acf.gif = 6, поэтому hello_html_m36b5ad43.gifhello_html_41b1474e.gifhello_html_7a6be40f.gif= 3 hello_html_41b1474e.gif 2 = 6 и hello_html_m3597e9f1.gif= =hello_html_26ad1acf.gif= 6. Равенство hello_html_m36b5ad43.gifhello_html_41b1474e.gifhello_html_7a6be40f.gif=hello_html_m3597e9f1.gif - частный случай общего утверждения :

Т е о р е м а 1. Квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней из этих чисел, т.е. при а hello_html_m78774d40.gif 0, b hello_html_m78774d40.gif 0 имеем hello_html_m72ee68d3.gif= hello_html_m5600141a.gif hello_html_41b1474e.gif hello_html_m73757a7c.gif (1)

hello_html_m53d4ecad.gifД о к а з а т е л ь с т в о. Пусть число а и b неотрицательны.

Тогда по правилу возведения в степень имеем

hello_html_m4d9c15f4.gifhello_html_41b1474e.gifhello_html_m20a746b4.gif2 = hello_html_2cb95282.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_41b1474e.gifhello_html_m6158be5f.gif= а hello_html_41b1474e.gifb

Кроме того, hello_html_2b56dc21.gifhello_html_41b1474e.gifhello_html_m73757a7c.gif - неотрицательное число как произведение двух неотрицательных чисел hello_html_2b56dc21.gif и hello_html_m73757a7c.gif. Поэтому hello_html_m5600141a.gifhello_html_41b1474e.gifhello_html_m73757a7c.gif= hello_html_m72ee68d3.gif

П р и м е р 1. Найдем значения выражения hello_html_m279ca170.gif

Р е ш е н и е. Мы имеем hello_html_4dc21243.gif = 25, hello_html_m11215811.gif= 16, hello_html_m7125a7e9.gif= 0,01,

и потому hello_html_m279ca170.gif = 25hello_html_41b1474e.gif16hello_html_41b1474e.gif0,01= 4.

Аналогично доказывается, что hello_html_m1c70301d.gif = hello_html_5bacacb6.gif (2)



















Преобразование выражений

При преобразовании выражении, содержащих квадратные корни, оказывается полезной следующая формула:

hello_html_m721d71df.gif= hello_html_m3c2d4bfe.gif hello_html_m78531b32.gif hello_html_m47f44e23.gif,

где А2 hello_html_m78774d40.gif В (в обеих частях равенства одновременно берутся знаки “ плюс “ и “ минус “). Чтобы доказать это равенство, заметим, во-первых, что и левая, и правая его части являются при Аhello_html_m78774d40.gif 0, Вhello_html_m78774d40.gif 0, А2 – В hello_html_m78774d40.gif 0 неотрицательными числами. Возведем теперь обе части равенства hello_html_66937426.gif в квадрат. В левой части имеем А hello_html_m78531b32.gifhello_html_mdf5c792.gif, в правой части по формуле квадрата суммы или разности получаем

hello_html_m4d1f2464.gifhello_html_m78531b32.gif2hello_html_m3c2d4bfe.gifhello_html_41b1474e.gifhello_html_m47f44e23.gif + hello_html_m3e218e9f.gif=

= А hello_html_m78531b32.gif 2hello_html_6e17cd81.gif = А hello_html_m78531b32.gif 2hello_html_m52bdcace.gif =

= А hello_html_m78531b32.gif 2hello_html_m1084a163.gif = А hello_html_m78531b32.gif 2hello_html_m6d9e38d7.gif = А hello_html_m78531b32.gifhello_html_mdf5c792.gif.

Таким образом, квадраты обеих частей равенства hello_html_66937426.gif оказались одинаковыми, а поскольку эти части – неотрицательные числа, то равенство hello_html_66937426.gifдоказано.

П р и м е р 1. Упростим выражение hello_html_m34d3f30a.gif .

1-й с п о с о б. В одном случае имеем А = 5, В = 21, А2 – В =

= 52 – 21 = 4, и поэтому по формуле hello_html_66937426.gif

hello_html_m34d3f30a.gif= hello_html_m2fa42d7a.gif - hello_html_m755acebd.gif = hello_html_m6f6aff6b.gif - hello_html_54b4d44a.gif.

2-й с п о с о б. Приведем подкоренное выражение к полному квадрату:

5 - hello_html_51564f74.gif= hello_html_m3d4efe4.gifhello_html_18098555.gif= hello_html_m3d4efe4.gifhello_html_m857f7cd.gif=

=hello_html_m3d4efe4.gifhello_html_47587152.gif= hello_html_m3d4efe4.gifhello_html_1f85a4d6.gif = hello_html_338c1223.gif.

Поэтому hello_html_m34d3f30a.gif= hello_html_m7f27f7d2.gif= hello_html_37929988.gif

. П р и м е р 2. Упростить выражение hello_html_m4b7d5a0f.gif

1-й с п о с о б:

hello_html_m4b7d5a0f.gif= hello_html_m2d97b371.gif + hello_html_m5ab3562f.gif=


= hello_html_2cd31707.gif + hello_html_ma1e773b.gif= hello_html_m6660636c.gif

2-й с п о с о б:

hello_html_2c1a9ff9.gif= hello_html_m3d4efe4.gifhello_html_m20fd557e.gif= hello_html_m3d4efe4.gifhello_html_m169779f.gif=

= hello_html_m3d4efe4.gifhello_html_88ff03d.gif= hello_html_m3d4efe4.gifhello_html_7afd7635.gif

Поэтому hello_html_m4b7d5a0f.gif= hello_html_m6660636c.gif

П р и м е р 3. Упростить выражение hello_html_m5cad16d7.gif

Решение.

hello_html_4e66dfcb.gif= 28 – 10hello_html_m980c3de.gif= 25 – 10hello_html_m980c3de.gif+3 =

= 52 – 10hello_html_2a0958ff.gif= hello_html_7e86efab.gif

Поэтому hello_html_4f7bbcdb.gif = 5 – hello_html_m980c3de.gif

hello_html_36b41b98.gif= 28 + 10hello_html_m980c3de.gif= 25 + 10hello_html_m980c3de.gif + 3 = hello_html_2d4880d6.gif

Поэтому hello_html_m11c5fff3.gif= 5 + hello_html_m980c3de.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_m5cad16d7.gif=

= 5 – hello_html_m6687e78a.gif= 5 + 5 = 10

Пример 4. Упростить hello_html_m216122ec.gif

Решение.

1. hello_html_m4594c669.gif

2. hello_html_m4ad76dff.gif

3. hello_html_m624e41bb.gif

Ответ: hello_html_494e6fb2.gif

Пример 5. Какое из чисел больше: hello_html_m43b68b1c.gif или hello_html_7e1c2d00.gif?

Решение.

Очевидно, что hello_html_m83f574f.gif

Оценим сумму hello_html_m7e49a851.gifhello_html_m56070d13.gif

hello_html_6c7b1ac7.gif

hello_html_f2fc116.gif

Так как hello_html_m37d61cca.gif, а hello_html_75e7c261.gif, то hello_html_88a3919.gif

Ответ: hello_html_88a3919.gif

Пример 6. Вычислить: hello_html_4e202aa0.jpg

Внесение множителя под знак корня

hello_html_m7262b0fa.jpg

При внесении множителя под знак корня учитываются правила:

hello_html_1c84a920.jpg

Пример7.  
Вычислить: hello_html_m3ee81920.jpg

Так как hello_html_m6e5c465f.jpg, то

hello_html_m3e7f6c4.jpg

Ответ: -1.


Пример 8.  Упростить выражение  hello_html_m72dcea30.png.

Решение. Учтем, что данное выражение имеет смысл не при всех возможных значениях переменной, т. к. в данном выражении присутствуют квадратные корни и дроби, что приводит к «сужению» области допустимых значений. ОДЗ:

 hello_html_m1ac18954.png (hello_html_m5b150b26.png).

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю и распишем числитель последней дроби как разность квадратов:

hello_html_6a0b132f.png приhello_html_m295f5b77.png.

Ответ. hello_html_7e6dabd5.png приhello_html_m295f5b77.png.

Пример 9.  Упростить выражение hello_html_m40bfb54f.png.

Решение. Видно, что вторая скобка числителя имеет неудобный вид и нуждается в упрощении, попробуем разложить ее на множители с помощью метода группировки.

hello_html_m5ba8aec3.pngДля возможности выносить общий множитель мы упростили корни путем их разложения на множители. Подставим полученное выражение в исходную дробь:

hello_html_m14ba80e6.png.

После сокращения дроби применяем формулу разности квадратов.

Ответ. 13.

Пример 10.  Освободиться от иррациональности (корней) в знаменателе: а) hello_html_4a3ee010.png; б) hello_html_m6e04136c.png.

Решение. а) Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, применяется стандартный метод домножения и числителя и знаменателя дроби на сопряженный к знаменателю множитель (такое же выражение, но с обратным знаком). Это делается для дополнения знаменателя дроби до разности квадратов, что позволяет избавиться от корней в знаменателе. Выполним этот прием в нашем случае:

 hello_html_5de72f8f.png.

б) выполним аналогичные действия:

hello_html_26295ef3.png.

Ответ.hello_html_m1d12d60f.pnghello_html_m62e9d2c8.png.








Алгоритм извлечения квадратного корня столбиком


Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью.

Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Пусть извлекается корень из целого числа A. В отличие от деления снос производится группами по две цифры, причём группы следует отмечать, начиная с десятичной запятой (в обе стороны), дописывая необходимым количеством нулей.

Найти an, квадрат которого наиболее близко подходит к группе старших разрядов числа A, оставаясь меньше последнего.

Провести вычитание из старших разрядов A квадрата числа an.

Удвоить an.

Сдвинуть остаток от вычитания на 2 разряда влево, а величину 2an – на один разряд влево. Под сдвигом в данном алгоритме понимается умножение / деление на степени 10, что соответственно является сдвигом влево и вправо.

Приписать справа от остатка вычитания два следующих старших разряда числа A.

Сравнить полученное число с нулём.

Если полученное число не равно 0, то найти такое 2an − 1, которое, будучи умноженным на hello_html_1aba4ba9.png, даст в результате число, меньшее полученного на четвёртом шаге, но наиболее близкое к нему по значению. Перейти к п. 3.

Если в п. 6 получено равенство, то перейти к п. 4, предварительно приписав справа от an нуль.

После получения количества цифр, равного hello_html_64b88a5f.png, прекратить вычисления (если требуется целое значение) или продолжать до необходимой точности, записывая получающиеся цифры после запятой.

Описанная последовательность действий в математике получила название алгоритма извлечения квадратного корня.

  1. Чтобы извлечь квадратный корень из данного целого числа, разбивают его справа налево на грани, по две цифры в каждой, кроме первой (крайней левой), в которой может быть и одна цифра.

  2. Чтобы найти первую цифру корня, извлекают квадратный корень из первой грани.

  3. Чтобы найти вторую цифру, из первой грани вычитают квадрат первой цифры корня, к остатку сносят вторую грань и число десятков получившегося числа делят на удвоенную первую цифру корня; полученное целое число снова подвергают испытанию.

  4. Испытание проводится так: за вертикальной чертой (слева от остатка) пишут удвоенное, ранее найденное число корня, и к нему с правой стороны приписывают испытуемую цифру; получившееся после этой приписки число умножают на испытуемую цифру. Если после умножения получится число, больше остатка, то испытуемая цифра не годится и надо испытать следующую меньшую цифру.

  5. Следующие цифры корня находят с помощью того же приёма.

  6. Если после снесения грани число десятков получившегося числа окажется меньше делителя, т.е. меньше удвоенной найденной части корня, то в корне ставят 0, сносят следующую грань и продолжают действие дальше.

Пример. Извлечём корень hello_html_5465d343.gif.

1-й шаг. Число 8649 разбиваем на грани справа налево; каждая из которых должна содержать две цифры. Получаем две грани: hello_html_68d733c1.gif.

2-й шаг. Извлекаем квадратный корень из первой грани 86, получаем hello_html_m32581d41.gif с недостатком. Цифра 9 – это первая цифра корня.

3-й шаг. Число 9 возводим в квадрат (92= 81) и число 81 вычитаем из первой грани, получаем 86 – 81 = 5. Число 5 – первый остаток.

4-й шаг. К остатку 5 приписываем вторую грань 49, получаем число 549.

5-й шаг. Удваиваем первую цифру корня 9 и, записывая слева, получаем:


hello_html_m34c6d091.gif

¯ 81

18… ¯¯¯¯¯549¯¯¯¯¯

К числу 18 нужно приписать такую наибольшую цифру, чтобы произведение числа, которое мы получим, на эту цифру было бы либо равно числу 549, либо меньше, чем 549. Это цифра 3. Она находится путем подбора: количество десятков числа 549, то есть число 54 делится на 18, получаем 3, так как 183 ∙ 3 = 549. Цифра 3 – это вторая цифра корня.

6-й шаг. Находим остаток 549 – 549 = 0. Так как остаток равен нулю, то мы получили точное значение корня – 93. Процесс извлечения корня закончился. Число 93 – двузначное, так как подкоренное число 8649 содержит две грани. Корень из числа содержит столько цифр, сколько граней содержит это число.

Аналогично извлекают квадратный корень из десятичных дробей. Только подкоренное число разбивают на грани так, чтобы запятая была между гранями, т.е. от запятой влево и вправо. Если в крайней правой грани окажется одна цифра, то её дополняют дописыванием к числу нуля.























Извлечение квадратного корня из целого числа «нацело».

Пример: найдём √212521

Шаги алгоритма

Пример

Комментарии

1

Разбить число на группы по 2 цифры в каждой справа налево

21’ 25’ 21

Общее число образовавшихся групп определяет количество цифр в ответе

2

Для первой группы цифр подобрать цифру, квадрат которой будет наибольшим, но не превосходящим числа первой группы

1 группа – 21

42=16

16<21

цифра - 4

Найденная цифра записывается в ответе на первом месте

3

Из первой группы цифр вычесть найденный на шаге 2 квадрат первой цифры ответа

_21’ 25’ 21

16

5


4

К остатку, найденному на шаге 3, приписать справа (снести) вторую группу цифр

_21’ 25’ 21

16__

525


5

К удвоенной первой цифре ответа приписать справа такую цифру, чтобы произведение полученного в результате числа на эту цифру было наибольшим, но не превосходила числа, найденного на шаге 4

4*2=8

цифра – 6

86*6=516

516<525

Найденная цифра записывается в ответе на втором месте

6

Из числа, полученного на шаге 4 вычесть число, полученное на шаге 5. Снести к остатку третью группу

_21’ 25’ 21

16

_525

516

921


7

К удвоенному числу, состоящему из первых двух цифр ответа, приписать справа такую цифру, чтобы произведение полученного в результате числа на эту цифру был наибольшим, но не превосходило числа, полученного на шаге 6

46*2=92

цифра 1

921*1=921

Найденная цифра записывается в ответе на третьем месте

8

Записать ответ

212521=461



Извлечение квадратного корня из целого числа (корень не извлекается «нацело»).

Пример: найдём √123456


Шаги алгоритма

Пример

Комментарии

1

Установить точность извлечения 1/10m

m = 3

Определить количество знаков в ответе после запятой

2

Разбить число на группы по 2 цифры в каждой справа налево

12’ 34’ 56


3

Создать группы в дробной части числа, приписав, справа нули

12’ 34’ 56’, 00’ 00’ 00

Количество приписываемых нулей сокращается с заявленной точностью. В нашем примере – 6 нулей

(3 группы, так как m=3)

4

Использовать алгоритм 1, начиная со 2 шага

12”34”56”00”00”00=351,363

_9_

_334

325

_956

701

_25500

21069

443100

421596

­_2150400

2108169

42231



Извлечение квадратного корня из десятичной дроби.

Пример: найдём √104,2441

Шаги алгоритма

Пример

Комментарии

1

Разбить число на группы по 2 цифры в каждой

1’ 04’, 24’ 41

Цифры, входящие в целую часть числа разбить справа налево, а цифры, входящие в дробную часть – слева направо

2

Установить точность

hello_html_m27b58a6a.gif

m = 4

1’ 04’, 24’ 41’ 00’ 00

Если число группы в дробной части больше m, отбросить лишнее; если меньше m - составить недостающие группы из нулей

3

Использовать алгоритм 1, начиная со 2 шага

104,25520000=10,2105

1

_00425

404

_2152

2041

_1110000

1001025

108975



Извлечение квадратного корня из обыкновенной дроби.

Пример: найдём hello_html_20d99bb2.gif


Шаги алгоритма

Пример

Комментарии

1

Установить точность извлечения

hello_html_m13aaf5d6.gif, m=2


2

Обратить обыкновенную дробь в десятичную

hello_html_m795b4957.gif=2,4285

Число десятичных знаков поле запятой определяется заявленной точностью, удвоив её

3

Извлечь приближенный корень из десятичной дроби, полученной на шаге 2(использовать алгоритм 1)

-√2,4285≈1,55

_1

_142

125

_1785

1525

260








































Геометрические приложения



К извлечению квадратных корней сводятся многие геометрические задачи. Например, в курсе геометрии доказывают теорему Пифагора: квадрат длины гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов длин катетов этого треугольника. Индийцы две тысячи лет тому назад доказывали ее с помощью следующего чертежа.

hello_html_5d760416.gif

Рисунок № 1.

Видим, что площади заштрихованных фигур в обоих квадратах равны, но в одном случае площадь равна hello_html_4f66b6b.gif, а в другом - hello_html_m36df1ffd.gif. Значит, hello_html_6ede5d5c.gif.

Из теоремы Пифагора следует, что расстояние между точками

М(х11) и N(x2;y2) координатной плоскости (рис.2) выражается формулой

MN=hello_html_m700cd834.gif. (1)

hello_html_618aa2e1.gif

y N

hello_html_m43a470c1.gifhello_html_4cbb7abc.gifhello_html_54f3fd0e.gify2

hello_html_m43a470c1.gifhello_html_438e1b6b.gify2-y1

hello_html_m63ee2d51.gifhello_html_m2a7690f7.gifу1 M х21


О х1 х2 x

Рис.2


Пример 1: Найдем расстояние от вершины дерева до конца его тени, если высота дерева равна 12 м, а длина тени -- 16 м.

Решение: По теореме Пифагора имеем

hello_html_4409cf61.gif

hello_html_44f54fd1.gif12 (х11)

hello_html_6b9995b.gif22)

16


Так как hello_html_a8e930b.gif, т. е. расстояние равно 20 м.

По формуле (1) мы получим тот же самый результат.


Пример 2: Найдем расстояние между точками М (3; 1)и N(8; -11) координатной плоскости.

Решение: По формуле (1) имеем

MN = hello_html_m5022e585.gif= hello_html_7866b26c.gif=13






















Заключение

Сложение и умножение имеют по одному обрат­ному действию, которые называются вычитанием и де­лением. Пятое математическое действие - возведение в степень - имеет два обратных: разыскание осно­вания и разыскание показателя. Разыскание основа­ния есть шестое математическое действие и назы­ваемое извлечением корня. Нахождение показателя - седьмое действие - называется логарифмирова­нием. Причину того, что возведение в степень имеет два обратных действия, в то время как сложение и умножение - только по одному, понять нетрудно: оба слагаемых (первое и второе) равноправны, их можно поменять местами; то же верно относительно умно­жения; однако числа, участвующие в возведении в степень, т. е. основание и показатель степени, нерав­ноправны между собой; переставить их, вообще го­воря, нельзя (например, 35не равно53). Поэтому разыскание каждого из чисел, участвующих в сложении и умно­жении, производится одинаковыми приемами, а разы­скание основания степени и показателя степени вы­полняется различным образом.

В результате работы над рефератом, я расширила свои знания об арифметическом квадратном корне, узнала историю его возникновения и написания, рассмотрела задачи вычисление, на упрощение выражений, на избавление от иррациональности в знаменателе, научилась извлекать столбиком квадратный корень из многозначных чисел, десятичных дробей, обыкновенных дробей.

Данная тема является очень важной хотя и не очень понятной на первый взгляд. Каждый школьник должен научиться извлекать квадратный (или энный) корень, ведь при решении различных алгебраических или геометрических задач не обойтись без них. Даже в физике будут встречаться формулы, содержащие корни квадратные.

Я считаю, что полученные мною знания пригодятся для дальнейшего изучения алгебры и других предметов, а также для успешной сдачи экзаменов.






Список литературы



1. Алгебра: Учеб. Для 8 кл. сред.шк.\ Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др. – 2 изд.М.:-Просвещение, 2013г

2. Маковецкий П. В. «Смотри в корень», Сборник любопытных задач и вопросов, Москва издательство «Наука» 2008 г., 448 стр.

3.Петраков И.С. «Математические кружки в 8–10 классах»: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1987 г.

4. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/ Глав. ред. М. Аксенова. М.: Аванта+плюс. 2004 г.

5. Перельман Я. И. «Занимательная алгебра», Москва издательство «Наука» 2000 г., 200 стр.

6. «Большая Советская Энциклопедия»

7. Интернет-сайт «Научные термины», www. izviliny.ru/science terms.

8. Интернет-сайт «Школа перспектива», www. sys-tema.ru.














57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 16.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров669
Номер материала ДВ-161538
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх