Реферат. Теорема. Виды теорем. Методика работы над теоремой

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ

РЕФЕРАТ

на тему:

Теорема. Виды теорем. Методика работы над теоремой

Работу выполнил

слушатель _3.30.1__ курса

Крупко Елена Александровна

Научный руководитель

_______________________

к. психол. наук, доц. Шелепанова Н.В.

Новосибирск -2016

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение                                                                                            3

ВИДЫ ТЕОРЕМ                                                                                    5

ПРЯМЫЕ ПРИЁМЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА                                       8

КОСВЕННЫЕ ПРИЁМЫ ПОИСКА                                                   8

МЕТОДЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА, ВЫДЕЛЕННЫЕ ПО ИСПОЛЬЗУЕМОМУ МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АППАРАТУ          8

ЭТАПЫ ИЗУЧЕНИЯ ТЕОРЕМЫ                                                       8

МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ПРИЁМЫ МОТИВИРОВКИ НЕОБХОДИМОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ТЕОРЕМ                                     9

ЗАДАНИЯ, СПОСОБСТВУЮЩИЕ УСВОЕНИЮ ТЕОРЕМ          9

Заключение                                                                                     10

Литература                                                                                       10

ВВЕДЕНИЕ

Теорема – математическое предложение, истинность которого устанавливается посредством доказательства.

Виды формулирования теоремы: импликативная и категорическая.

Условие теоремы – при каких условиях рассматривается в ней тот или иной объект.

Заключение теоремы – что об этом объекте утверждается.

Основные типы теорем:

1. Прямая.

2. Обратная.

3. Противоположная.

4. Контрапозитивная (обратная противоположной).

Доказательство – рассуждение с целью обоснования истинности какого-либо утверждения.

Элементы доказательства:

- тезис;

- аргументы доказательства;

- демонстрация.

Тезис – математическое предложение, в котором выражается главная цель доказательства. Форма выражения тезиса – суждение.

Аргументы доказательства – положения, на которые опирается доказательство и из которых при условии их истинности необходимо следует истинность доказываемого тезиса. Форма выражения аргументов – суждения.

Демонстрация – логический процесс взаимосвязи суждений, в результате которого осуществляется переход от аргументов к тезису.

Метод доказательства – способ связи аргументов при переходе от условия к заключению суждения.

Методы доказательства, выделенные по тому, как строится обоснование тезиса: прямые и косвенные.

ВИДЫ ТЕОРЕМ

Рассмотрим, например, теорему «если четырехугольник является прямоугольником, то в нем диагонали равны». Построим предложение, обратное данному: «если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником». Это ложное высказывание, в чем легко убедиться (в равнобедренной трапеции диагонали равны, но трапеция не является прямоугольником).

Рассмотрим теорему «в равнобедренном треугольнике углы при основании равны». Обратное ей предложение таково: «если в треугольнике углы при основании равны, то этот треугольник – равнобедренный». Это истинное предложение и потому является теоремой. Ее называют теоремой, обратной данной.

Для любой теоремы вида  АÞВ (если А, то В) можно сформулировать предложение  АÞВ  (если не А, то не В), которое называют противоположным данному. Но это предложение также не всегда является теоремой. Например, предложение, противоположное теореме «если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником» будет ложным: «если четырехугольник не является прямоугольником, то в нем диагонали не равны».

В том случае, если предложение, противоположное данному, будет истинно, его называют теоремой, противоположной данной.

Для всякой теоремы вида АÞВ  (если А, то В)  можно сформулировать предложение ВÞА   (если не В, то не А), которое называют обратным противоположному. Например, для теоремы «если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником» предложение, обратное противоположному, будет таким: «если в четырехугольнике диагонали не равны, то он не является прямоугольником». Это, как известно, предложение истинное, и, следовательно, является теоремой, обратно противоположной данной.

Вообще, для какой бы теоремы мы ни формулировали предложение, обратное противоположному, оно всегда будет теоремой, потому что имеется следующая равносильность:  ( АÞВ)    (ВÞА).     

Эту равносильность называют законом контрапозиции.

Теоремы  АÞВ и ВÞА – взаимообратные, а АÞВ и  – взаимопротивоположные.

Примеры.

1. В следующих теоремах выделим условие и заключение: а) «Для того чтобы разность двух чисел делилась на 2, достаточно, чтобы на 2 делилось уменьшаемое и вычитаемое»;

б) «Для того чтобы четырехугольник был квадратом, необходимо, чтобы хоты бы один из его углов был прямым».

Решение: а) Слово достаточно относится к предложению «уменьшаемое и вычитаемое делится на 2», следовательно, это предложение и является условием теоремы. Тогда заключение теоремы – «разность двух чисел делится на 2».

б) В данной теореме есть слово «необходимо», которое относится к предложению «чтобы четырехугольник был квадратом». Значит, это и будет условием данной теоремы. А ее заключением  в таком случае будет предложение «один из углов четырехугольника прямой».

2. Сформулируем следующие теоремы в виде «если …, то …»: 
а) «Перпендикуляр к одной из двух параллельных прямых также перпендикуляр к другой»; б) «Всякий параллелограмм имеет центр симметрии».

Решение: а) Выделим условие и заключение теоремы: «Перпендикуляр к одной из двух параллельных прямых» – условие, «перпендикуляр к другой» – заключение. Тогда теорема примет вид: «Если есть перпендикуляр к одной из двух параллельных прямых, то он является также перпендикуляром к другой прямой».

б) Условие теоремы – «всякий параллелограмм», заключение – «имеет центр симметрии». Нашу теорему тогда можно переформулировать следующим образом: «Если фигура параллелограмм, то она имеет центр симметрии».

3. Дана теорема: «Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то четырехугольник параллелограмм». Сформулируем предложения, являющиеся обратным, противоположным и обратно противоположным.

Решение: Выделим условие и заключение данной теоремы. Условие: «в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны». Заключение: «четырехугольник – параллелограмм».

Поменяв местами условие и заключение, получим теорему, обратную данной: «Если четырехугольник – параллелограмм, то две противоположные стороны равны и параллельны», так как данное предложение истинно.

Заменяя условие и заключение исходной теоремы их отрицаниями, получим теорему, противоположную данной: «Если в четырехугольнике две противоположные стороны не равны или не параллельны, то четырехугольник – не параллелограмм». Это предложение также истинно.

Меняя местами отрицание условия и отрицание заключения, получим истинное предложение, которое является обратно противоположной теоремой: «Если четырехугольник – не параллелограмм, то две противоположные стороны не равны или не параллельны».

загрузка...

ПРЯМЫЕ ПРИЁМЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

- синтетический – преобразование условия суждения;

- восходящий анализ – отыскание достаточных оснований справедливости заключения;

- нисходящий анализ – отыскание необходимых признаков справедливости суждения с последующей проверкой обратимости рассуждений;

- последовательное преобразование то условия, то заключения суждения.

КОСВЕННЫЕ ПРИЁМЫ ПОИСКА

- метод от противного – метод, при котором истинность доказываемого тезиса устанавливается посредством опровержения противоречащего ему суждения;

- разделительный метод (метод разделения условий или метод исключения) – метод, при котором тезис рассматривается как один из возможных вариантов предположений, когда все предположения опровергаются, кроме одного.

МЕТОДЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА, ВЫДЕЛЕННЫЕ ПО ИСПОЛЬЗУЕМОМУ МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АППАРАТУ

- Метод геометрических преобразований – метод, используемый как средство обоснования некоторых отношений между элементами евклидовой геометрии.

- Алгебраические методы – методы доказательства теорем с помощью уравнений, неравенств, тождественных преобразований.

- Векторный метод – метод, использующий аппарат векторной алгебры.

- Координатный метод – метод, позволяющий устанавливать переход от геометрических отношений к аналитическим.

ЭТАПЫ ИЗУЧЕНИЯ ТЕОРЕМЫ

- мотивация изучения теоремы и раскрытие ее содержания;

- работа над структурой теоремы;

- мотивация необходимости доказательства теоремы;

- построение чертежа и краткая запись содержания теоремы;

- поиск доказательства, доказательство и его запись;

- закрепление теоремы;

- применение теоремы.

МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ПРИЁМЫ МОТИВИРОВКИ НЕОБХОДИМОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ТЕОРЕМ

1. Обобщение наблюдаемых в жизни фактов и явлений и перевод их на математический язык.

2. Показ необходимости знания той или иной теоремы для решения практических задач.

3. Показ необходимости знания той или иной теоремы для решения задач и доказательства других теорем.

4. Показ, как решалась данная проблема в истории науки.

ЗАДАНИЯ, СПОСОБСТВУЮЩИЕ УСВОЕНИЮ ТЕОРЕМ

1) Сформулируйте теорему.

2) Выделите условие и заключение теоремы. К каким фигурам применима теорема?

3) Сформулируйте теорему со словами «Если…то…».

4) Сформулируйте предложение, обратное теореме.

5) Воспроизведите доказательство теоремы по новому чертежу, изменив его положение и обозначение элементов.

6) Составьте план доказательства.

7) Назовите аргументы, которые использовались при доказательстве.

8) Докажите теорему другим способом.

9) Решите задачи на применение теоремы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В отличие от других наук, в математике недопустимы эмпирические доказательства: все утверждения доказываются исключительно логическими способами. В математике важную роль играют математическая интуиция и аналогии между разными объектами и теоремами; тем не менее, все эти средства используются учёными только при поиске доказательств, сами доказательства не могут основываться на таких средствах.

Доказательства, написанные на естественных языках, могут быть не очень подробными в расчёте на то, что подготовленный читатель сам сможет восстановить детали. Строгость доказательства гарантируется тем, что его можно представить в виде записи на формальном языке (это и происходит при компьютерной проверке доказательств).

ЛИТЕРАТУРА

1.     Лернер И.Я. Дидактические основы методов обучения. – М.: Педагогика, 1981.  -185 с.

2.     Саранцев Г.И. Теоретические основы методики упражнений по математике в средней школе: Автореф. дисс. … доктора пед. наук.- Л.: Изд-во Ленинградского педуниверситета, 1987. – 36 с.

3.     Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике, т.4. – М.: Просвещение, 1995. – 240 с.

4.     https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическое_доказательство