«Несколько интересных фактов о биссектрисе».

 

Введение

 

«Крупное научное открытие даёт решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия.»                     Д. Пойя                                                            

Биссектриса это интересная и удивительная фигура. Кроме того, в школьном курсе геометрии мы имеем также дело с таким понятием как треугольник. И к  числу основных  геометрических фактов следует отнести теорему о том, что биссектриса делит противоположную сторону треугольника  в отношении прилежащих сторон.  Этот факт остался в тени у более известных теорем и в первую очередь потому, что в большинстве учебников он находится в ряду задач. Но повсеместно встречаются задачи, которые гораздо легче решить, если знать этот и некоторые другие факты о биссектрисе. Так, например, ещё Архимед пользовался теоремой о биссектрисе, которая  делит основание на части, пропорциональные боковым сторонам для того, чтобы определить длины полустороны 12-угольника , 24-угольника  и т. д. Я заинтересовалась этим объектом и решила более подробно его изучить. Некоторый материал был найден в дополнительной литературе, но ответа на все свои вопросы, касающиеся этой темы, найдено не было. В связи с этим я провела самостоятельное исследование. Данная теорема интересна тем, что ее доказательств существует много. Я решила в своей работе показать некоторые варианты доказательства этой теоремы. И отметить некоторые другие интересные свойства биссектрисы.

Гипотеза: Что можно  найти интересного о биссектрисе за страницами школьного учебника?

Цели: Получение новой информации о биссектрисе.

Задачи:

1)      Изучить дополнительную литературу по данной теме.

2)      Найти как можно больше доказательств теоремы о биссектрисе угла треугольника.

3)      Показать значение теоремы  в развитие математики.

4)      Разнообразить материал различными   дополнительными сведениями.

5)      Сделать выводы и дать рекомендации по использованию данного материала.

 

Предмет исследования: биссектриса.

Объектом исследования является:

·         свойства биссектрисы треугольника;

·         длина биссектрисы.

 

Методы работы: работа с литературой, анализ, сравнение, обобщение полученной информации.

 

Краткая характеристика источников: Для проведения данного исследования использована энциклопедическая и учебная литература разных годов издания и разных авторов, Internet ресурсы.

 

Применение:  Использовать наши знания и умения на уроках, на занятиях кружка, в методике преподавания геометрии в школе, при решении задач ЕГЭ.

 

Этапы работы:       1. Сбор информации и изучение литературы.

2.Рассмотрение различных доказательств теоремы о биссектрисе         треугольника и некоторых свойств биссектрисы треугольника.

3. Поиск занимательной информации о биссектрисе.

4. Обработка результатов.

 

Содержание:

1. Биссектриса треугольника и некоторые её свойства:

а) Определение биссектрисы, биссектрисы треугольника.

б) Основное свойство биссектрисы треугольника – и его 17 доказательств;

в) Точка пересечения биссектрис треугольника;

г) Ещё одно свойство равнобедренного треугольника или теорема Штейнера - Лемуса;

2. Вычисления длины биссектрисы;
3. Занимательная информация о биссектрисе.
4. Заключение и вывод.

 

 

 

 

1. Биссектриса треугольника и некоторые её свойства:

 

а) Определение биссектрисы, биссектриса треугольника

 

Определение биссектрисы угла:

   Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла.

 

 

Определение биссектрисы треугольника:

Биссектрисой угла треугольника называется наибольший отрезок биссектрисы угла, лежащий внутри треугольника.

 

 

      

 

 

 

б) Основное свойство биссектрисы треугольника – и его 17 доказательств

 

Теорема о биссектрисе треугольника:

 

 

      Основание биссектрисы внутреннего угла треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам, т.е. согласно имеющемуся рисунку  .

      Удобно теорему формулировать так:

      а) существует t такое, что  и ;

     б) существует k такое, что  и .

17  доказательств  теоремы о биссектрисе треугольника.

 

Теорема. Биссектриса BD внутреннего угла треугольника ABC делит  противоположную сторону на отрезки, пропорциональные сторонам  BC и ВА треугольника.

Первое доказательство теоремы о биссектрисе к рис №1.

Проведем через точку С прямую m, параллельную BD.

Тогда m AB=D₁  и   ∆ABD∆AD₁C;   так как   <ABD = <CBD = <BCD₁ = < CD₁B, получаем    BC = BD₁ и  AD₁ : AB = AC : AD  отсюда последовательно получаем                                                                                                                                                 

(AB + BC) : AB =(AD + DC): AD,  =>   1 + BC : AB = 1 + DC : AD.

Откуда следует, что BC : AB = DC : AD,   что и требовалось доказать.

 

Второе доказательство к рис №1.                                                            

Имеем:

S_CBD : S_ABD = (0,5 · CB· DB · sinB/2) :  (0,5 · AB· DB·sinB/2) = (0,5 · CD ·h) :  (0,5 · AD · h),

где    h – длина высоты треугольника ABC, проведенной из вершины B.Отсюда

BC : AB = DC : AD,   что и требовалось доказать. 

 

Третье доказательство к рис №1.

По теореме синусов:

sin B/2 : CD = sin C : BD,  sin B/2 : AD = sin A : BD, или sin B/2 : (CD · sin C ) = 1: BD и

sin B/2 : (AD ·  sin A) = 1: BD. Откуда sin B/2 : (CD · sin C ) = sin B/2 : (AD ·  sin A), или CD : AD = CB : AB, что и требовалось доказать .

 

Четвертое  доказательство к рис №2.

По теореме синусов:

 

            Рис №2

Пусть .  По теореме синусов в треугольнике ABL  а в треугольнике ACL .   Так как     то, поделив обе части одного равенства на соответствующие части другого, поучим   , что и требовалось доказать.

 

Пятое  доказательство к рис №2.

 

Применим метод площадей. Вычислим площади треугольников  ABL и ACL двумя способами:

Первый способ:

Второй способ:

Отсюда  ,  что и требовалось доказать.

 

Шестое  доказательство к рис №3.

               Рис№3. №3

Площади треугольников, имеющих равные высоты, относятся как соответствующие им основания. Поэтому S_BDA: S_BDC = AD : DC. С другой стороны, по свойству биссектрисы, высоты в треугольниках BDA и BDC, опущенные из вершины D, равны. Следовательно,

S_BDA : S_BDC = AB : CB. Итак, AD : CD = AB : CB = S_BDA : S_BDC. Итак AD : CD = AB : CB, что и требовалось доказать.

 

  Седьмое доказательство.

                 Рис №4

Выполнив осевую симметрию S треугольника ABC относительно BD (рис. 4), получим S_BD(A) = A₁, S_BD(C) = C₁ и S_BD = B.

Тогда ∆CDC₁  ∆ADA₁ и ∆CC₁B  ∆AA₁B. Отсюда (учитывая, что AB = A₁B),

CD : AD = CC₁ :  AA₁, CC₁ :  AA₁ = CB : AB. Следовательно CD : AD = CB : AB, что и требовалось доказать.

 

Восьмое доказательство.

                        Е                                         Е

                   Рис №5

Построим на луче BD точку Е, такую, что АЕ =AD.( Рис №5 а).  Тогда <АЕВ = <ADE = <BDC. Следовательно, треугольники АBЕ и CBD подобны (по двум углам). Это значит, что

AE : СD = AВ : BC. Приняв во внимание, АЕ = AD, получим AD : CD = AB : CB, что и требовалось доказать.

 

Девятое доказательство.

Построим на луче BD точку  Е, такую, что AE = AB. (Рис № 5 б). Тогда < AED = < ABD, то есть треугольники AED и CBD подобны. Из подобия имеем AD : CD = AE : CB. Поскольку АЕ = AB, то  AD : CD = AB : CB и теорема доказана.

 

Десятое доказательство.

            Рис №6

Из вершин А и С опустим перпендикуляры АЕ и CF на прямую BD. (рис №6) Из подобия прямоугольных треугольников ADE и CDF получим AD : CD = AE : CF. В то же время из подобия прямоугольных треугольников ABE и CBF будем иметь AB : CB = AE : CF. В полученных пропорциях правые отношения равны, поэтому равны и левые, то есть AD : CD = AB : CB, что и требовалось доказать.

 

 

Одиннадцатое  доказательство.

            Рис №7

Проведем через точку D прямую, параллельную стороне АВ. (рис №7) Тогда по обобщенной теореме Фалеса AD : CD = BF : FC. Из подобия треугольников ACB и DCF имеем

AB : BC = FD : FC, и так как ∆BFD – равнобедренный (<BDF = <ABD, как накрест лежащие при параллельных прямых DF и AB и секущей BD, а <ABD = <DBF, отсюда  <BDF = <DBF) и BF = FD , то AB : CB = BF : FC. Следовательно, AD : CD = AB : CB (оба отношения равны

 BF : FC) что и требовалось доказать.

 

Двенадцатое доказательство.

          Рис №8

Опишем вокруг треугольника ABC окружность и продолжим BD до пересечения с окружностью в точке Е. (рис № 8)  Из подобия треугольников ABE и DBC получаем AB : AE = BD : DC, то есть AB ∙ DC = AE ∙ BD. Из подобия треугольников CBE и DBA имеем CB : CE = BD : AD, то есть CB ∙ AD = CE ∙ BD. Заметив, что АЕ = СЕ, получим AB ∙ DC = CB ∙ AD, откуда AD : CD = AB : CB, что и требовалось доказать.

 

Тринадцатое доказательство.

            Рис №9

Проведем через точку D две прямые, одна из которых параллельна стороне АВ и пересекает сторону ВС в точке М, а другая – параллельна стороне ВС и пересекает сторону АВ в точке К(рис. 9) . Легко доказать, что четырехугольник КВМD – ромб. Из подобия треугольников АКD и DМС имеем AD : СD = DK : СM. Так как DK = DM, то AD : CD = DM : CM. Заменив в полученной пропорции отношение DM : CM равным ему отношением АВ : СВ (на основании подобия треугольников ABC и DMC), получим AD : CD = AB : CB, что и требовалось доказать.

 

Четырнадцатое  доказательство.

         Рис №10

Дано AL – биссектриса треугольника ABC. Требуется доказать, что   

Пусть F – точка пересечения прямой  AL и прямой, проходящей через точку B параллельно стороне AC. Тогда <BFA = <FAC = <BAF. Следовательно, треугольник BAF равнобедренный и BA =  BF. Из подобия треугольников ALC и FLB имеем  соотношение  откуда  Что и требовалось доказать.

 

Пятнадцатое  доказательство.

      Рис №11

Пусть F – точка пересечения прямой  AL и прямой, проходящей через точку C параллельно стороне AB (рис №11)  Тогда можно повторить рассуждения. Теорема доказана.

 

 

Шестнадцатое   доказательство.

             Рис №12

Пусть К и М – основания перпендикуляров, опущенных на прямую AL из точек B и C соответственно (рис №12). Треугольники ABК и ACМ подобны по двум углам. Поэтому .    Из подобия треугольников BКL и CМL имеем   . Отсюда . Теорема доказана.

 

Семнадцатое   доказательство.

 

              А

 

 

 

                 H       B             D            C                     

             Рис №13

Пусть АD – биссектриса треугольника ABC. Докажем, что BD : AB = CD : AC (рис №13). Треугольники ABD и ACD имеют общую высоту AH, поэтому S_ABD : S_ACD = BD : CD. С другой стороны, эти же треугольники имеют по равному углу (<1 = <2), поэтому S_ABD : S_ACD = (AB · AD) : (AC · AD) = AB : AC. Из двух равенств для отношения площадей получаем

BD : CD = AB : AC, или BD : AB = CD : AC, что и требовалось доказать.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) Точка пересечения биссектрис треугольника

 

Теорема: Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство:

             Рис №14

Пусть О – точка пересечения биссектрис АА₁ и ВВ₁; D, E и F – основания перпендикуляров, опущенныхиз точки P на АВ, ВC и АC соответственно. (см рис №14) Треугольник AOE и AOF равны по гипотенузе и острому углу, отсюда OE = OF.

Аналогично, из равенства треугольников BOF и BOD, получим OF = OD. Следовательно, OE = OD, а значит, равны по гипотенузе и катету и треугольники OCD и OCE.Откуда следует, что <OCD = <OCE, т.е. CO – биссектриса угла <DCE, а это означает, что третья биссектриса проходит через точку пересечения двух первых.

Замечание. Из приведенного доказательства следует, что точка пересечения биссектрис одинаково удалена от всех трех сторон треугольника, т. Е. является центром вписанной окружности.  Окружность касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон называется вневписанной. Точно такими же рассуждениями можно доказать, что точка пересечения биссектрисы внутреннего угла треугольника и биссектрис двух внешних углов – центр вписанной окружности.

 

Теорема: Каждая биссектриса делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.

Доказательство:                                               

                             

                    Рис №15

 

Пусть О – точка пересечения биссектрис. (см рис. №15)  AB = c, BC = a, AC = b. Тогда   . Откуда  Так как АО – биссектриса внутреннего угла треугольника BAC_, то АО : ОА₁  =  АВ₁ : В₁С    +  АС₁ :   С₁В по теореме Ван – Обеля. Отсюда получаем

  АО : ОА₁ = (с + в) : а, что и требовалось доказать.

 

Теорема: Если О – точка пересечения биссектрис треугольника АВС и < АВС = β, тогда

< АОС = 90° +  β/2.

             Рис №16

Доказательство: Пусть <А = α, <В = β, <С = γ. (см рис. №16)    По теореме о сумме углов треугольника  имеем  α + β +  γ = 180°. < АОС = 180°  -  0,5α - 0,5γ  = 180° - 0,5 (180°  - β) = 90° +  0,5β = 90° +  β/2, что и требовалось доказать.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г) Ещё одно свойство равнобедренного треугольника или теорема Штейнера - Лемуса

 

Теорема: Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник -  равнобедренный.

             Рис №17

Доказательство 1: Пусть α > β, АL₁ = BL_2. Тогда 2α > α + β. Отложим от луча BL₂   в ту же полуплоскость, в которой лежит луч BС, угол α;  N – точка пересечения биссектрисы АL₁ с этим  лучом. Тогда АN > АL_1. Вокруг четырехугольника  АL₂L₁B  можно описать окружность. В ней    α + β < 2α, поэтому  АN < BL₂ = АL_1.  Противоречие. Аналогично, получим противоречие, предположив, что α  < β. Осталось сделать вывод, что α  = β => 2α  = 2β =>< ВАС = < АВС, что и требовалось доказать.

 

Теорема: Если две биссектрисы треугольника равны, то этот треугольник – равнобедренный.

Доказательство 2:

 

 

 

 

 

 

 

     Рис №18

Пусть в треугольнике АВС (см. рис. 18) , но а ¹ с. Рассмотрим  и     . Без ограничения общности можно считать, что а > c, тогда a > g    Û

0,5a > 0,5g Þ cos0,5a < cos0,5g, так как эти углы – острые. Сравним:  Þ . Таким образом, , что противоречит условию. Следовательно, а = c, что и требовалось доказать.

2. Вычисления длины биссектрисы.

·         Теорема:  Длина биссектрисы угла треугольника равна отношению удвоенного произведения сторон, образующих этот угол, помноженного на косинус половины угла, из которого она выходит, к их сумме.

 

                     Дано: Δ АВС

                              AK - биссектриса.

                    Доказать:    k =   

    Рис №19

Доказательство:

 Пусть AB = c, BC = a, AC = b, AK = k.  (рис №19)     SΔ АВС= SΔ АВK+ SΔ AKС ,

 · sin A =    ·  sin  +   · sin  , так как  sin A = 2 · sin · cos _. Отсюда следует

cb · sin  · cos =   · sin +  · sin

2bc · cos = k(c+b)       отсюда получаем  k =   . Теорема доказана

 

·         Теорема: Квадрат длины биссектрисы угла треугольника равна разности произведений сторон, образующих этот угол, и отрезков, которые она образует при делении третьей сторону.

                              Дано: Δ АВС

                                                               AK - биссектриса.

                             Доказать: k² = bc – xy .

Доказательство:

Пусть AB = c, BK = x, KC = y, AC = b, AK = k. По теореме косинусов

cos AKB = _,      cos AKC = .

cos AMB = -cos AMC (т. к. смежные) =>        =

k²y + x²y - c²y = -k²x - y²x + b²x   => k²y + k²x = b²x + c²y - x²y - y²x

_,      (*)

 (по теореме о пропорциональных отрезках)

   Выполним подстановку в (*). И тогда получаем k² = bc – xy . Что и требовалось доказать.

• Теорема: Пусть  a, b, c – стороны треугольника, l_{a –} биссектриса к стороне a. Тогда

     

     Рис №20

 

   Доказательство:

Пусть m = BL, n = LC, k = LM. Тогда  m ·  n = l · k  

Из подобия треугольников ABL и AMC имеем   , т. е. l²_a = b · c - l_a · k. Отсюда 

l²_a = b · c - m ·  n, Теорема доказана.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Занимательная информация о биссектрисе.

 

Мнемоническое (Мнемо́ника  - греч. τα μνημονιχα — искусство запоминания),  правило: 

 Биссектриса - это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам

 

  

 

Стихотворение: Биссектриса

В углу у кипариса, фактически, в тени,
влачила Биссектриса безрадостные дни.
- Ах, я иного круга! Я не халам-балам!
На что мне этот угол,  деленный пополам?

Сумела исхитриться  на дерзкие дела,
сбежала Биссектриса, осталась без угла.
Но долетели сплетни, что, якобы, она
в окружности соседней Диаметру жена.

 

Живет с улыбкой гордой в нездешней стороне.
Теперь зовется Хордой и счастлива вполне.
А я сижу, не евши, вдали от Биссектрис,
в углу осиротевшем несчастный кипарис.

Пью чай из барбариса, а сердце – просто хлам! -
разбито Биссектрисой, как  угол, пополам.
Все будто бы  в тумане и тенькает висок...
Схожу-ка к Медиане – развеюсь на часок!

 

1. Сказка о двух Углах и Биссектрисе, или Образование Смежного угла.

 

Было это или не было – не знаю. Однако расскажу вам историю, которую знает каждый малыш Геометрии и которую каждый служащий церквометрии переписывает, придя на службу.

    А было всё так. Однажды на одной плоскости повстречались два Угла. Старший, которому было 130°  (здесь год заменяется на 1°), и младший, которому от роду было лишь 50°. Встретились и тут же поспорили, кто из них важнее, лучше смелее. Младший утверждал, что сильнее, потому что он моложе, а сил, по его утверждению у него больше. Старший считал себя самым - самым, потому что он старший и много повидал за свои  130°. Спор уже не мог продолжаться, и они решили провести турнир.

    О турнире знала Биссектриса, она и задумала победить двух своих врагов, и тем самым встать во главе Геометрии.

    Начался турнир в назначенное время. На нём присутствовало два Угла. В самый разгар сражения вдруг появилась Биссектриса, застав бойцов в растерянности. В бой с Биссектрисой вступил старший Угол, затем младший, но к успеху это не привело. Победа, казалось, была на стороне Биссектрисы. Она торжествовала и уже представляла себя в роли правителя. Вдруг к Углам пришла идея. Они решили объединить силы и прогнать злодейку из страны.

    Торжествующая Биссектриса не заметила, что вместо двух Углов, двух ярых противников, появился Смежный Угол, который в момент победил её. Биссектриса взмолилась опрощении. С тех самых пор Биссектриса находится на службе у короля, а два Угла, два ярых противника, стали одним целым Смежным Углом и находятся на службе у короля, защищая Геометрию от врагов.

 

2. Биссектриса.

Заспорили Стороны угла, никак между собой не поладят.

— Я, со своей стороны, считаю… — говорит одна Сторона.

— А я считаю, со своей стороны… — возражает ей другая.

Ничего не поделаешь: хоть у них и общий угол зрения, но смотрят-то они на мир с разных сторон!

Проходила как-то между ними Биссектриса. Обрадовались Стороны: вот кто будет их посредником! Спрашивают Биссектрису:

— А вы как думаете?

— А ваше мнение каково?

Стоит посредник посрединке, колеблется.

— Ну, скажите же, скажите! — тормошат Биссектрису со всех сторон.

— Я думаю, вы совершенно правы, — наконец произносит Биссектриса, кивая в правую сторону.

— Ах, какая вы умница! — восхищается правая Сторона. — Как вы сразу все поняли!

А Биссектриса между тем поворачивается к левой Стороне:

— Ваша правда, я тоже всегда так думала.

Левая Сторона в восторге:

— Вот что значит Биссектриса! Сразу сообразила, что к чему!

Стоит Биссектриса и знай,  раскланивается: в одну сторону кивнет — мол, правильно, в другую сторону кивнет — мол, совершенно верно. Мнение Биссектрисы ценится очень высоко, поскольку оно устраивает обе стороны.

 

 

3. Геометрическая сказка.

Жила-была Биссектриса. Занималась своим прямым делом – делила углы пополам. Как только создадут две прямолинейности угол, она сразу туда – пополам делить и границы устанавливать. Иногда углы были достаточно острые, и Биссектриса натыкалась на них и больно кололась. А бывали углы настолько тупые, что даже делиться не хотели, ни пополам, ни в какой иной пропорции… Биссектрису такая работа очень утомляла, поскольку мало ей было места для творчества. Ничего другого, кроме углов и их разделения, жизнь такая от нее не ожидала. Она и книжки по геометрии читала, пытаясь найти себе другие применения. Она и с другими фигурами советовалась, как свойства свои и качества многогранные в рамках геометрических правил проявлять. Но правила были однозначны и не оставляли места для фантазии. А фигуры только надменно посмеивались над Биссектрисой и цитировали «параграф 2 пункт 4 Конституции Геометрического государства»: «Биссектриса – это такая крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам. » А иные надменно выпячивали свои формы и многозначительно заявляли: «Каждая точка и линия имеет свое место и назначение. Функции заранее определены и назначены, и никто не может стать кем-то иным, если это не предусмотрено Генеральными чертежами». Некоторые даже открыто дразнили бедную Биссектрису: «Ты даже не фигура отдельная, а сплошная функция! Тебя же без угла не бывает, потому что тебе в другом месте назначения не придумали!»
Обидно стало Биссектрисе от надменности такой и неблагодарности. И захотела Биссектриса выйти за границы геометрии и стать Волшебной палочкой, которая сама себе и фея-крестная, и рисовалка - превращалка чудотворная. И стала она подпольным образом другие книжки читать: по физике квантовой, психологии трансперсональной да по мастерству волшебному. И стали эти книги к ней сами приходить, и идеи новые стали сами подсовываться. Идеи-то эти давно бродили грустно по Геометрическому государству и искали почвы креативной для роста и реализации. Но государство это было шибко «правильное» да «параграфное». Граждане его были по большей своей части инертны и стереотипны, и всякое такое считали «ересью негеометрической». Было, правда, несколько фигур на руководящих постах, которые в геометрию игрались, да не заигрывались, поскольку просветленные они были и практически сакральные. Они даже учение свое засекреченное имели – «Сакральная геометрия». Да только тайное это было общество, и простым фигурам, а тем более биссектрисам (которые даже и не фигуры, а так – палки-отмерялки) не было туда входу.
Но Биссектриса наша не отчаивалась. Да и в общества тайные посвящаться не стремилась. А стремилась она свойства свои расширить и качества проявить, про которые в учебниках по геометрии и написано-то не было. И однажды пришло ей письмо под грифом «секретно» от Сакрального Круга. Открыла она письмо это таинственное, а там – Указ высокий «об отмене ограничений функций и свойств данной Биссектрисы и наделении ее правом расти и развиваться в любом направлении, а также приобретения любых форм и размеров». И подпись – Круг (имя посвящения – Мандала). И стала она тренироваться и расти творчески. И вскоре прямолинейность ее превратилась в гибкость, она научилась сворачиваться в круг, закручиваться в спираль и складывать суставы в треугольник. А потом она попробовала вдохнуть и обрела объем, превозмогая свою двухмерность. От этого книга, в которой она жила, распахнулась, и бывшая биссектриса выкатилась на стол. Оглянулась она на государство свое и увидела, что это всего лишь книга, которая лежит среди других книг-государств. А кроме книг, есть еще множество других предметов, и все их необходимо изучить. И это ужасно интересно. И она, уже больше не биссектриса, вырастила себе крылья (а почему бы и нет?) и полетела в форточку – изучать огромный мир и себя в нем. Огромный мир был удивлен и обрадован появлению биссектрисы в таком качестве и принял ее в свое волшебное пространство с любовью и заботой. Когда ей хотелось быть Волшебной кистью – мир разворачивался в огромный холст и с удовольствием давал себя разноцветить. Когда она меняла форму и делала поверхность зеркальной – мир с удовольствием заглядывал в нее множеством лиц, мордочек и рожиц. Когда ей хотелось петь, и она превращалась в Голос – мир радостно подхватывал ее песню многократным эхо. А иногда ей даже хотелось на пять минут стать снова биссектрисой и поделить пару-тройку углов. И тогда мир раскрывался перед ней знакомой с рождения книгой, и она весело ползала по страничкам, играя в геометрию. Но теперь она помнила, Кто Она На Самом Деле…

 

4. Сказка о биссектрисе.

В некотором царстве, Треугольников государстве жил-был царь стороны той государь. Звали его Перпендикуляр, правил страною железной рукою, правильным считал только угол прямой, всех остальных по нему равнял, и никаких отклонений не признавал. Короче был деспот и тиран. Но за три тысячелетия существования планеты Геометрия, демократия и до страны Треугольников дошла, Перпендикуляр тут же перестроился. Вместо обращения “Ваше Перпендикулярное Высочество” позволил своим подданным величать себя, по-простецки, “Высота”.В какой бы треугольник Высота не приезжал, сразу из всех вершин восстанавливал, на прямую содержащую противоположную сторону, перпендикуляр и в точке их пересечения походный трон размещал. Больше всех обижал он треугольники тупоугольные. Вы правы. Кому же понравится, если Ваш почетный гость за тридевять земель от вашего замка в чистом поле расположился. Да и перед соседями стыдно. Прямые углы и тут в фаворе были, еще бы, его высочество в вершине прямого угла всегда останавливался, не зависимо от величины других углов и сторон прямоугольного треугольника. Остроугольные треугольники внимание на место расположения трона не обращали ввиду врожденного чувства юмора. И была у Перпендикуляра жена – Царица Медиана. В отличие от супруга доброй была, всех помирить стремилась, везде с мерною линейкою ходила, все стороны пополам делила. И была у них дочь – прекрасная Принцесса Биссектриса. Принцесса очень юной была, многого о жизни треугольников не знала, но была у нее заветная мечта все углы в их Царстве- государстве помирить, все конфликты разрешить, научиться углы поровну делить. Правда, задачу она себе посложнее матушкиной выбрала. Не всегда у нее градусы нацело делились, а с минутами в силу своего юного возраста Принцесса еще не разобралась. Но упрямства ей у папы занимать не приходилось, везде Биссектриса с транспортиром ходила, и все углы мерила, мерила, мерила…Вся жизнь в Царстве Треугольников была пронизана идеей равенства и братства. Был издан Свод законов, в котором основные определения и теоремы записаны были, и которым все жители страны неукоснительно следовали. Раз в неделю, по четвергам, царская семья собиралась на совет, на котором решала спорные вопросы, возникавшие в их стране. Пока царь с царицей судили да рядили своих подданных, коварная Баба Яга похитила Принцессу Биссектрису и заточила ее в башне в самом дальнем и неприступном углу царства Треугольников. Пыталась бежать из плена юная принцесса, но не смогла. Вокруг топи и болота непроходимые. Подсказал юной Биссектрисе выход ее верный друг Транспортир, что есть в том болоте тропинка неприметная, проходит она на равном расстоянии от сторон угла, только как разыскать ее, никому не ведомо. Биссектриса хоть и юною была, но не глупою, поняла Принцесса, что для своего спасения ей надо разделить угол ровно пополам. Измерила Принцесса угол и ахнула: 137⁰23’. Делила она и так и эдак, ничего не получается. Обиделась Принцесса на своего друга Транспортира и прогнала его. Узнал царь о случившейся беде и велел глашатым собирать народ на площади. Собралось народу видимо-невидимо. И велел им царь в путь дорогу собираться, царевну из плена выручать. А тому, кто Принцессу спасет, обещал пятерку золотом и ползачета в придачу. ( См. Презентация «Сказка о биссектрисе»)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Свою работу мы начали с рассмотрения множества пособий по математике, использовали сеть Интернет. Из них мы выбрали нужную  информацию, изучили теорию. При изучении материала по этой теме,  узнали очень много нового. В  своей  работе  мы  рассмотрели различные способы доказательства  одной теоремы, узнали формулы, по которым можно находить длину биссектрисы и некоторые другие интересные свойства и сведения о биссектрисе. Т.е. нашу гипотезу: «Что можно  найти интересного о биссектрисе за страницами школьного учебника?» мы подтвердили. Я считаю, что те знания, которые я приобрела, готовя эту  работу, пригодятся мне в дальнейшей учебе, жаль, что не весь материал, который я узнала, можно поместить в рамках одной работы. Мне понравилось заниматься исследовательской работой.    

Вывод: Я считаю, что поставленную перед собой цель я достигла.  Данная тема актуальна, так как математику лучше знать несколько различных способов доказательства одной теоремы, чем доказательства нескольких теорем одним способом. Созданная мною работа может использоваться другими учениками на уроках математики, на занятиях кружка, в методике преподавания геометрии в школе, при решении задач ЕГЭ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Информационные ресурсы:

1.                  Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия, 7-9: Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2002;

2.                  Г.К.Пак.П13 Биссектриса. Серия: Готовимся к математической олимпиаде. Учебное пособие. // Владивосток. Издательство Дальневосточного университета, 2003,28 с.

3.                  Л.Н.Смоляков. Еще 13 доказательств теоремы о биссектрисе.//Квант, №2,1985.

4.                  С.Р.Сефибеков. Четыре доказательства теоремы о биссектрисе.//Квант, № 8, 1983

5.                  . Ресурсы сети Интернет.