Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Реферат на тему "Теоремы о пропорциональных отрезках"

Реферат на тему "Теоремы о пропорциональных отрезках"



57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m443557ec.gifhello_html_m29e5450c.gifТитульный лист




















































Содержание




















Введение


Великий учёный Фалес Милетский основал одну из прекраснейших наук – геометрию. Известно, что Фалес Милетский имел титул одного из семи мудрецов Греции, что он был поистине первым философом, первым математиком, астрономом и вообще первым по всем наукам в Греции. Является автором многих геометрических понятий и теорем, в том числе теоремы о пропорциональных отрезках.

Теорема Фалеса до сих пор используется в морской навигации в качестве правила о том, что столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется курс судов друг на друга.

Особое место в планиметрии отведено двум замечательным теоремам: теореме Чевы и теореме Менелая. Эти теоремы не включены в базовую программу курса геометрии средней школы, но их изучение (и применение) рекомендуется всем, кто интересуется математикой чуть больше, чем это возможно в рамках школьной программы. Чем же интересны эти теоремы? Сначала отметим, что при решении геометрических задач продуктивно сочетаются два подхода:

- один основан на определении базовой конструкции (например: треугольник – окружность; треугольник – секущая прямая; треугольник – три прямых, проходящих через его вершины и пересекающиеся в одной точке; четырехугольник с двумя параллельными сторонами и т.п.),

- а второй – метод опорных задач (простых геометрических задач, к которым сводится процесс решения сложной задачи).

Так вот, теоремы Менелая и Чевы относятся к наиболее часто встречающимся конструкциям: первая рассматривает треугольник, стороны или продолжения сторон которого пересечены некоторой прямой (секущей), во второй речь идет о треугольнике и трех прямых, проходящих через его вершины, пересекающиеся в одной точке.

Цель работы – изучить теоремы Фалеса, Чевы и Менелая и рассмотреть применение этих теорем к решению планиметрических задач.

Глава 1. Теоремы о пропорциональных отрезках

1.1. Теорема Фалеса

1.1.1. Исторические сведения о Фалесе Милетском

Фалес Милетский (ок. 624 - ок. 546 до н.э.) - греческий философ и математик из Милета. Представитель ионической натурфилософии и основатель милетской школы. Считался одним из семи мудрецов Греции. В Египте занимался изучением причин наводнений, нашел способ измерения высоты пирамид. Считал материю одушевленной. Пытаясь определить основу материального мира, пришел к выводу о том, что ею является вода1.

Хотя принято считать, что западная философия начинается с греков однако первые философские системы возникли не в самой Греции а на западном побережье Малой Азии - в ионийских городах, которые были основаны греками и в которых раньше, чем в самой Греции получили развитие промышленность, торговля и духовная культура Этот район еще называют Ионией, поэтому философские системы разработанные философами - выходцами из этого района, носят название ионийской философии. Впервые философские воззрения возникли в Милете в VI-V веках до Р.Х. Милет в то время был крупнейшим из всех малоазиатских греческих городов. Фалес происходил из знатного рода. В своей жизни и творчестве соединял вопросы практики с теоретическими проблемами, касающимися вопросов мироздания. Он много путешествовал по разным странам используя эти путешествия для расширения и приобретения знания Был всесторонним ученым и мыслителем, изобрел несколько астрономических приборов. Стал известен в Греции тем, что удачно предсказал солнечное затмение в 585 г. до Р.Х. Все свои натурфилософские познания Фалес использовал для создания стройного философского учения. Так, он считал, что все существующее порождено водой, понимая под ней влажное первовещество. Вода - это источник, из которого все постоянно происходит. При этом вода и все, что из нее произошло, не являются мертвыми, они одушевлены. В качестве примера своей мысли Фалес приводил такие вещества как магнит и янтарь: так как магнит и янтарь порождают движение значит они обладают душой. Фалес представлял весь мир одушевленным, пронизанным жизнью. Он заложил теоретические основы учения, имеющее название гилозоизм. Хотя гилозоизм имеет свои корни в мифологии, у Фалеса он получает философское обоснование. По Фалесу, природа, как живая, так и неживая, обладает движущим началом, которое называется такими именами, как душа и Бог. В области науки Фалесу принадлежит заслуга в определении времени солнцестояний и равноденствий, в установлении продолжительности года в 365 дней, открытие факта движения Солнца по отношению к звездам. Он также имеет заслуги в области создания научной математики. Так, считают, что он первым сумел вписать треугольник в круг. Все это принесло Фалесу славу первого мудреца из знаменитых "семи мудрецов" древности.


1.1.2. Формулировка и доказательство теоремы Фалеса

Теорема Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.2

Доказательство

Пусть на прямой l1 отложены равные отрезки А1А2, А2А3, А3А4, …и через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую l2 в точках В1, В2, В3, В4, … (рис.1). Требуется доказать, что отрезки В1В2, В2В3, В3В4, … равны друг другу. Докажем, например, что В1В2 = В2В3.

Рассмотрим сначала случай, когда прямые l1 и l2 параллельны (рис. 1-а). Тогда А1А2 = В1В2 и А2А3 = В2В3 как противоположные стороны параллелограммов А1В1В2А2 и А2В2В3А3, так как А1А2 = А2А3, то и В1В2 = В2В3.

Если прямые l1 и l2 не параллельны, то через точку В1 проведем прямую l, параллельную прямой l1 (рис.1, б). Она пересечет прямые А2В2 и А3В3 в некоторых точках С и D. Так как А1А2 = А2А3, то по доказанному В1С = СD. Отсюда получаем В1В2 = В2В3. Аналогично можно доказать, что В2В3 = В3В4 и т.д.

рис 1


1.2. Теорема Менелая

1.2.1. Исторические сведения о Менелае Александрийском

Менелай Александрийский, математик и астроном. Время его жизни и деятельности определяется приведенными в "Алмагесте" Птолемея двумя астрономическими наблюдениями, которые Менелай произвел в Риме в первом году царствования Траяна, т. е. в 98 г. после Р. Х.

Менелаем были написаны два сочинения: "О вычислении хорд", в 6 книгах, и "Сферика", в 3 книгах. Из них первое совсем не дошло до нас. Утрачен также и греческий оригинал второго, содержание которого известно современной науке по его латинским переводам, составленным по взаимно подтверждающим друг друга арабским и еврейским переводам того же сочинения. Главным предметом "Сферики" М. служит сферическая тригонометрия. Из числа многих предложений, для нас впервые встречающихся в этом сочинении, самым замечательным считается обыкновенно теорема Менелая, которая прежде называлась правилом шести количеств. Менелай, известен еще и как геометр, работавший в области изучения кривых высших порядков3.

1.2.2. Формулировка и доказательство теоремы Менелая

Теорема Менелая

Эта теорема (вместе с обратной) показывает закономерность, наблюдающуюся для отношений отрезков, соединяющих вершины некоторого треугольника и точки пересечения секущей со сторонами (продолжениями сторон) треугольника.

На чертежах приведены два возможных случая расположения треугольника и секущей. В первом случае секущая пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей, во втором – продолжения всех трех сторон треугольника.



hello_html_m77426b27.png

hello_html_m1fc6f8f2.png


Теорема 1. (Менелая) Пусть hello_html_m24499904.gif пересечен прямой, не параллельной стороне АВ и пересекающей две его стороны АС и ВС соответственно в точках В1 и А1, а прямую АВ в точке С1 тогда

hello_html_5d614fbd.gif

Теорема 2. (обратная теореме Менелая) Пусть в треугольнике АВС точки А1, В1, С1 принадлежит прямым ВС, АС, АВ соответственно, тогда, если

hello_html_2fd4465e.gif,

то точки А1, В1, С1 лежат на одной прямой.

Доказательство первой теоремы можно провести так: на секущую прямую опускают перпендикуляры из всех вершин треугольника. В результате получают три пары подобных прямоугольных треугольников. Фигурирующие в формулировке теоремы отношения отрезков заменяют на отношения перпендикуляров, соответствующих им по подобию. Оказывается, что каждый отрезок – перпендикуляр в дробях будет присутствовать дважды: один раз в одной дроби в числителе, второй раз, в другой дроби, в знаменателе. Таким образом, произведение всех этих отношений окажется равным единице.

Обратная теорема доказывается методом «от противного». Предполагается, что при выполнении условий теоремы 2 точки А1, В1, С1 не лежат на одной прямой. Тогда прямая А1В1 пересечет сторону АВ в точке С2, отличной от точки С1. При этом, в силу теоремы 1, для точек А1, В1, С2 будет выполняться то же отношение, что и для точек А1, В1, С1. Из этого следует, что точки С1 и С2 поделят отрезок AB в одинаковых отношениях. Тогда эти точки совпадут – получили противоречие4.


1.3. Теорема Чевы

1.3.1. Исторические сведения о Джованни Чеве

Чева Джованни, (7 декабря 1647 — 15 июня 1734) — итальянский математик и инженер. Главными предметами его занятий были геометрия и механика. Он написал сочинения: "De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio" (Милан, 1678); "Opuscula mathematica de potentiis obliquis, de pendulis et vasis et de fluminibus" (там же, 1682); "Tria problemata geometrica proposita" (Мантуя, 1710); "Hydrostatica etc." (там же, 1728) и несколько других. Самым замечательным из них было первое. В первой его части автор доказывает теорему Менелая и ряд сходных с нею теорем при помощи статического метода, основанного на свойствах центра тяжести системы точек. Прилагаемый к вопросам, в которых рассматриваются отношения между отрезками, образованными пересекающимися линиями друг на друге, он состоит в помещении в точках пересечения тяжестей, обратно пропорциональных соответствующим отрезкам, и в последующем за тем выводе отношения между тяжестями на основании принципа рычага в статике. Достаточно назвать известное в геометрии под именем теоремы Чевы предложение о произведениях отрезков, образованных на сторонах треугольника трансверсалями, проходящими через общую точку (произведение трех отрезков, не сходящихся попарно в одной общей точке, равно произведению трех других отрезков), и на подобное же предложение об отрезках, образованных на сторонах четырехугольника плоскостью, их пересекающею, если не все вершины четырехугольника лежат в одной плоскости. Во второй части идеи и теоремы, изложенные в 1-й, прилагаются к коническим сечениям. Наконец, прибавление занимается теоремами о площадях некоторых плоских фигур и об объемах и центрах тяжести тел вращения второго порядка5.


1.3.2. Формулировка и доказательство теоремы Чевы

Теорема Чевы

Большинство замечательных точек треугольника могут быть получены при помощи следующей процедуры. Пусть имеется некоторое правило, согласно которому мы сможем выбрать определенную точку A1, на стороне BC (или её продолжении) треугольника ABC (например, выберем середину этой стороны). Затем построим аналогичные точки B1, C1 на двух других сторонах треугольника (в нашем примере еще две середины сторон). Если правило выбора удачное, то прямые AA1, BB1, CC1 пересекутся в некоторой точке Z (выбор середин сторон в этом смысле, конечно, удачный, так как медианы треугольника пересекаются в одной точке).

Хотелось бы иметь какой-нибудь общий метод, позволяющий по положению точек на сторонах треугольника определять, пересекается ли соответствующая тройка прямых в одной точке или нет.

Универсальное условие, «закрывшее» эту проблему, нашёл в 1678 г. итальянский инженер Джованни Чева.

Определение. Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противолежащих сторонах (или их продолжениях), называют чевианами, если они пересекаются в одной точке.

Возможны два варианта расположения чевиан. В одном варианте точка hello_html_1da80db8.pnghello_html_758074b9.png









пересечения – внутренняя, а концы чевиан лежат на сторонах треугольника. Во втором варианте точка пересечения внешняя, конец одного чевиана лежит на стороне, а у двух других чевиан концы лежат на продолжениях сторон (смотри чертежи).

Теорема 3. (Прямая теорема Чевы) В произвольном треугольнике АВС на сторонах ВС, СА, АВ или их продолжениях взяты соответственно точки А1, В1, С1, такие, что прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в некоторой общей точке, тогда

hello_html_b420aeb.gif.

Доказательство: известно несколько оригинальных доказательств теоремы Чевы, мы рассмотрим доказательство, основанное на двукратном применении теоремы Менелая. Запишем соотношение теоремы Менелая первый раз для треугольника ABB1 и секущей CC1 (точку пересечения чевиан обозначим Z):

hello_html_17cd74f.gif,

а второй раз для треугольника B1BC и секущей AA1:

hello_html_m7323deea.gif.

Перемножив два этих отношения, проведя необходимые сокращения получим соотношение, содержащееся в утверждении теоремы.

Теорема 4. (Обратная теорема Чевы). Если для выбранных на сторонах треугольника ABC или их продолжениях точек A1, В1 и C1 выполняется условие Чевы:

  • hello_html_b420aeb.gif,

то прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

Доказательство этой теоремы проводится методом от противного, также, как доказательство теоремы Менелая6.




Глава 2. Практическое применение теорем о пропорциональных отрезках

2.1. Применение теоремы Фалеса

Задача 1.

Через середину М стороны АВ треугольника АВС проведена прямая, параллельная стороне ВС. Эта прямая пересекает сторону АС в точке N. Докажите, что AN = NC.

Решение:

Через точку С проведем прямую, параллельную прямой АВ и обозначим буквой D точку пересечения этой прямой с прямой MN (рис. 2). Так как AM = МВ по условию, а MB = CD как противоположные стороны параллелограмма BCDM, то АМ = DC. Треугольники АМN и CDN равны по второму признаку равенства треугольников (АМ=CD,<1=<2 и <3=<4 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущими АС и МD), поэтому AN = NC.

рис 2

Задача 2.

Разделите данный отрезок АВ на n равных частей.

Решение:

Проведен луч АХ, не лежащий на прямой АВ, и на нем от точки А отложим последовательно n равных отрезков АА1, А1А2, …, Аn-1Аn (рис.3), т.е. столько равных отрезков, на сколько равных частей нужно разделить данный отрезок АВ (на рис. 3 n=5). Проведем прямую АnВ (точка Аn – конец последнего отрезка) и построим прямые, проходящие через точки А1 , А2 , …, Аn-1 и параллельные прямой АnВ. Эти прямые пересекают отрезок АВ в точках В1 , В2 , …, Вn-1, которые по теореме Фалеса делят отрезок АВ на n равных частей.

рис 3

Задача 3.

Разделите данный отрезок АВ на 8 равных частей.

Решение:

Проведен луч АХ, не лежащий на прямой АВ, и на нем от точки А отложим последовательно 8 равных отрезков АА1, А1А2, …, А7А8 (рис.3), т.е. столько равных отрезков, на сколько равных частей нужно разделить данный отрезок АВ (рис. 4). Проведем прямую А8В (точка А8 – конец последнего отрезка) и построим прямые, проходящие через точки А1, А2, …, А7 и параллельные прямой А8В. Эти прямые пересекают отрезок АВ в точках В1, В2, …, В7, которые по теореме Фалеса делят отрезок АВ на 8 равных частей.

рис 4

Задача 4.

Дан треугольник АВС. На стороне ВС взята точка Р так, что ВР=РС, а на стороне АС взята точка Q такая, что АQ : QС = 5 : 3. Найдите отношение АО : ОР, если точка О – точка пересечения прямых АР и ВQ.









Решение:

Проведем прямые параллельные ВQ через точки А, Р и С. Точка D – это точка пересечения прямых АР и с.

По теореме Фалеса параллельные прямые ВQ, b и c, которые отсекают равные отрезки ВР и РС, отсекают равные отрезки ОР и РD на прямой АD.

По теореме Фалеса параллельные прямые a, BQ и с, которые отсекают на прямой АС отрезки в соотношении 5 : 3, отсекают и на прямой АD отрезки в соотношении 5 : 3.

То есть AQ : QC= 5:3 и AO : OD = 5:3, а отрезок OD=2OP. Следовательно, AO : OP = 10:3.

Ответ: 10 : 3.


Задача 5.

Разделите данный отрезок АВ на два отрезка АХ и ХВ, пропорциональные данным отрезкам P1Q1 и P2Q2.






Решение:

Проведем какой-нибудь луч АМ, не лежащий на прямой АВ, и на этом луче отложим последовательно отрезки АС и CD, равные отрезкам P1Q1 и P2Q2. Затем проведем прямую BD и прямую, проходящую через точку С параллельно прямой BD. Она по теореме Фалеса пересечет отрезок АВ в искомой точке Х.


2.2. Применение теоремы Чевы и Менелая

I. Задачи на замечательные точки треугольника

Задача 1.

Доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Дано: hello_html_m1d6362d0.gif, hello_html_m152627bf.gif – биссектрисы hello_html_m1d6362d0.gif.

Доказать, что биссектрисы hello_html_7321f6fb.gif и hello_html_m7531ddfe.gifhello_html_m1d6362d0.gif пересекаются в одной точке точке hello_html_m7d0509f6.gif.

Решение с использованием теоремы Чевы.G:\Новая папка\Рисунок5.jpg










  1. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону этого треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Так как по условию hello_html_6dcd6c85.gif – биссектриса hello_html_m1d6362d0.gif, то:

hello_html_75bb04a5.gif

Так как по условию hello_html_88fbe49.gif – биссектриса hello_html_m1d6362d0.gif, то:

hello_html_m2ba38e7d.gif

Так как по условию hello_html_m7531ddfe.gif – биссектриса hello_html_m1d6362d0.gif, то:

hello_html_8f581de.gif

  1. Перемножая получившиеся равенства (3), (1) и (2), получаем, что:

hello_html_464fd0d6.gif

Отсюда по теореме Чевы, биссектрисы hello_html_m152627bf.gif hello_html_m1d6362d0.gif пересекаются в одной точке точке hello_html_m7d0509f6.gif. Доказано.

Задача 2.

Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Дано: hello_html_m1d6362d0.gif, hello_html_m152627bf.gif – медианы hello_html_m1d6362d0.gif.

Доказать, что:

    1. медианы hello_html_7321f6fb.gif и hello_html_m7531ddfe.gifhello_html_m1d6362d0.gif пересекаются в одной точке – точке hello_html_m7d0509f6.gif;

    2. hello_html_m65534d97.gifhello_html_m317cebd8.gifhello_html_m7c48e444.gifhello_html_613ce997.gif.

Решение с использованием теорем Чевы и Менелая).

G:\Новая папка\Рисунок7.jpg

  1. Так как по условию hello_html_m152627bf.gif – медианы hello_html_m1d6362d0.gif, то hello_html_m5bcee013.gif, hello_html_163b5eb0.gif, hello_html_3807ac11.gif, поэтому:

hello_html_m1d2b515d.gif

Итак,

hello_html_m73db75b8.gif

Отсюда по теореме Чевы, медианы hello_html_m152627bf.gif hello_html_m1d6362d0.gif пересекаются в одной точке точке hello_html_m7d0509f6.gif.

  1. Рассмотрим hello_html_65a051f.gif.

Прямая hello_html_88fbe49.gif пересекает две стороны hello_html_65a051f.gif (hello_html_15e9c9df.gif, hello_html_m537d4471.gif hello_html_4868fb45.gif) и продолжение третьей (hello_html_76394bb6.gif – луч, hello_html_60b356cf.gif), значит, по теореме Менелая:

hello_html_m73d240b.gif

И, значит,

hello_html_4e427688.gif

  1. Рассматривая теорему Менелая для hello_html_m7fa3816b.gif и секущей hello_html_m7531ddfe.gif, а также для hello_html_m3d6cfcee.gif и секущей hello_html_m7531ddfe.gif, мы получим, что:

hello_html_m739a2439.gif

Итак, все три медианы hello_html_m1d6362d0.gif пересекаются в точке hello_html_m7d0509f6.gif и делятся ею в отношении hello_html_m11c35912.gif, считая от вершины. Доказано.

II. Задачи на пропорциональные отрезки.

Задача 3.

В hello_html_m1d6362d0.gif на стороне hello_html_m7abfa2e9.gif взята точка hello_html_m89f7f8d.gif так, что hello_html_m1a0d95e9.gif. На продолжении стороны hello_html_11d1730d.gif за точку hello_html_m38caab32.gif взята точка hello_html_m1fd67f5d.gif так, что hello_html_260dab8.gif. Прямая hello_html_m7fc69da.gif пересекает сторону hello_html_m771df7b9.gif в точке hello_html_m5b9b30f8.gif. Найти отношение hello_html_m33a623af.gif.

Дано: hello_html_m1d6362d0.gif, hello_html_m347091c0.gif, hello_html_m1a0d95e9.gif, hello_html_45dfa299.gif– луч, hello_html_6e48149a.gif, hello_html_260dab8.gif, hello_html_3a8da3ae.gifhello_html_m459236cf.gif.

Найти отношение hello_html_m33a623af.gif.

Решение c использованием теоремы Менелая

G:\Новая папка\Рисунок9.jpg






Пусть hello_html_79bd5421.gif, тогда по условию (hello_html_m1a0d95e9.gif): hello_html_44157847.gif; пусть hello_html_3a65ca6c.gif hello_html_6e9a1e49.gif, тогда по условию (hello_html_260dab8.gif): hello_html_40515557.gif.

Прямая hello_html_m7fc69da.gif пересекает две стороны hello_html_m1d6362d0.gif (hello_html_m23325032.gif, hello_html_55cfab2c.gif hello_html_6e6bec93.gif) и продолжение третьей (hello_html_45dfa299.gif – луч, hello_html_1bb453cd.gif), значит, по теореме Менелая:

hello_html_1a5e9dd.gif

И, значит,

hello_html_m5a3e5f32.gif

Ответ: hello_html_m33a623af.gif hello_html_m7c48e444.gif hello_html_6a1c94eb.gif.


Задача 4.

На стороне hello_html_3344985d.gif hello_html_4cadcdcc.gif взята точка hello_html_m89f7f8d.gif, а на стороне hello_html_33362076.gif взята точка hello_html_m594e7757.gif, причём hello_html_m4facb5a3.gif. Точка пересечения отрезков hello_html_2e53089e.gif и hello_html_m245ab3fd.gif делит hello_html_2e53089e.gif в отношении hello_html_4b823660.gif, считая от точки hello_html_m734340a9.gif. Найти отношение hello_html_m455cdecc.gif.

Дано: hello_html_4cadcdcc.gif, hello_html_2b75c051.gif, hello_html_m14a34ccb.gif, hello_html_137bc71d.gif, hello_html_50a0e596.gif, hello_html_69572abb.gifhello_html_m7c48e444.gifhello_html_4b823660.gif.

Найти отношение hello_html_m455cdecc.gif.

Решение c использованием теоремы Менелая.

G:\Новая папка\Рисунок11.jpg







Пусть hello_html_6ad3d585.gif, тогда по условию (hello_html_137bc71d.gif): hello_html_m749264e5.gif; пусть hello_html_60540d40.gif, тогда по условию (hello_html_69572abb.gif hello_html_m7c48e444.gif hello_html_4b823660.gif): hello_html_m57b4a741.gif.

Прямая hello_html_m245ab3fd.gif пересекает две стороны hello_html_m350ceea6.gif (hello_html_1b34a763.gif, hello_html_25919f86.gif hello_html_m7df34e0c.gif) и продолжение третьей (hello_html_m2115ada1.gif – луч, hello_html_m201b0692.gif), значит, по теореме Менелая:

hello_html_m7b87c323.gif

И, значит,

hello_html_7a5f86bd.gif

Ответ: hello_html_m455cdecc.gif hello_html_m7c48e444.gif hello_html_m4006e7db.gif.


III. Задачи на отношение площадей.

Задача 5.

Пусть hello_html_5df15e7f.gif медиана hello_html_m1d6362d0.gif. На медиане hello_html_2f7cd09d.gif взята точка hello_html_4a3ee677.gif так, что hello_html_60f23bb7.gif hello_html_m7c48e444.gif hello_html_m1b160fff.gif. Прямая hello_html_7c8f1d6a.gif разбивает hello_html_m1d6362d0.gif на два треугольника: hello_html_7697b3a4.gif и hello_html_m617b75cf.gif, причём hello_html_m753f78d.gif. Найти отношение hello_html_m7abb643c.gif.

Дано: hello_html_m1d6362d0.gif, hello_html_2f7cd09d.gif – медиана hello_html_m1d6362d0.gif, hello_html_m2d094553.gif, hello_html_4b120ca6.gifhello_html_75102521.gif, hello_html_7c8f1d6a.gif – прямая, hello_html_m753f78d.gif.

Найти отношение hello_html_m7abb643c.gif.

Решение c использованием теоремы Менелая.

G:\Новая папка\Рисунок13.jpg

Пусть hello_html_259c6854.gif, тогда по условию (hello_html_11180e8c.gif медиана hello_html_m1d6362d0.gif): hello_html_397b556.gif; пусть hello_html_m2f43af48.gif, тогда по условию (hello_html_4b120ca6.gif hello_html_75102521.gif): hello_html_m4ed67f08.gif.

  1. Рассмотрим hello_html_7697b3a4.gif и hello_html_m617b75cf.gif. Основания hello_html_749dfda.gif и hello_html_189e4789.gifлежат на одной прямой (прямой hello_html_11d1730d.gif), а вершина hello_html_m702bf415.gif общая. Поэтому у этих треугольников будет и общая высота hello_html_m3fa1f587.gif, значит,

hello_html_m6c57bff.gif

  1. Прямая hello_html_m9366544.gif пересекает две стороны hello_html_42efa767.gif (hello_html_m178ea551.gif, hello_html_m1d316e36.gifhello_html_m70e0d501.gif) и продолжение третьей (hello_html_ma1d9278.gif – луч, hello_html_7d849940.gif), значит, по теореме Менелая:

hello_html_7f0747cc.gif

И, значит,

hello_html_m13bdbee9.gif

  1. Итак,

hello_html_m517e3d93.gif

Ответ: hello_html_m7abb643c.gif hello_html_m7c48e444.gif hello_html_m4aae006e.gif.

Задача 6.

Биссектрисы hello_html_7e8b32ff.gif и hello_html_2f7cd09d.gif hello_html_m1d6362d0.gif пересекаются в точке hello_html_m734340a9.gif. Найти hello_html_7c4c65f.gif, если hello_html_e2ff36a.gif, hello_html_m4f6dd037.gif, hello_html_m442eb210.gif.

Дано: hello_html_m1d6362d0.gif; hello_html_7e8b32ff.gif, hello_html_2f7cd09d.gif – биссектрисы hello_html_m1d6362d0.gif, hello_html_4f368054.gif, hello_html_e2ff36a.gif, hello_html_m4f6dd037.gif, hello_html_m442eb210.gif.

Найти hello_html_7c4c65f.gif.

Решение с использованием теоремы Менелая.

G:\Новая папка\Рисунок15.jpg

  1. Пусть hello_html_m21ca6f62.gif, тогда по условию (hello_html_m4f6dd037.gif, hello_html_m442eb210.gif):

hello_html_5eb6593b.gif

  1. Так как hello_html_4942958f.gif – биссектриса hello_html_m1d6362d0.gif по условию, то (биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника):

hello_html_m4b44fbfd.gif

То есть, если hello_html_5665bd0c.gif, то hello_html_m1aef3137.gif

  1. Так как hello_html_7e8b32ff.gif – биссектриса hello_html_m1d6362d0.gif по условию, то (биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника):

hello_html_7e07903d.gif

То есть, если hello_html_m421d15bf.gif, то hello_html_56320704.gif

  1. Прямая hello_html_2f7cd09d.gif пересекает две стороны hello_html_53ac6520.gif (hello_html_3d8b873e.gif, hello_html_m5ddd26a6.gifhello_html_m45eb50bd.gif) и продолжение третьей (hello_html_m2b7f7e79.gif – луч, hello_html_1722fae1.gif), значит, по теореме Менелая:

hello_html_m4b94982d.gif

И, значит,

hello_html_m47bef0e4.gif

То есть, если hello_html_m76b0a113.gif, то hello_html_5f862613.gif.

  1. Рассмотрим hello_html_107ddb82.gifи hello_html_53ac6520.gif.

hello_html_107ddb82.gifи hello_html_53ac6520.gif имеют общий угол – hello_html_m48d3350a.gif, поэтому площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих hello_html_m48d3350a.gif.

Итак,

hello_html_m61d3df83.gif

hello_html_22365799.gif

Следовательно,

hello_html_346d7bf5.gif

По условию задачи hello_html_e2ff36a.gif, поэтому,

hello_html_m418da60.gif

  1. Рассмотрим hello_html_53ac6520.gifи hello_html_m1d6362d0.gif.

Основания hello_html_m639d1625.gif и hello_html_11d1730d.gifлежат на одной прямой (прямой hello_html_11d1730d.gif), а вершина hello_html_m702bf415.gif общая. Поэтому у этих треугольников будет и общая высота hello_html_m3fa1f587.gif, значит,

hello_html_m274d20d3.gif

hello_html_2c1a703a.gif

Ответ: hello_html_7c4c65f.gif hello_html_m7c48e444.gif hello_html_m3be9a3fe.gif.

Заключение

Как показывает история исследования некоторых математических алгоритмов решения задач, которыми пользовались древние вавилоняне и египтяне, современные учёные не могут взять в толк, каким образом они могли быть найдены. Нашим современникам кажется, что для решения задач по нахождению площадей геометрических фигур, объёмов тел и прочих параметров требуются знания высших разделов математики – алгебры интегрально-дифферециального исчисления.

Решение геометрических задач различными способами является исследовательской частью данной работы и дает возможность сравнить разные способы решения и проанализировать их появление.

Решение задач с помощью теорем Фалеса, Чевы и Менелая более рационально, чем их решение другими способами, требующими дополнительных действий и построений, которые не всегда оказываются очевидными.

Теоремы Чевы и Менелая также помогают быстро и оригинально решить задачи повышенной сложности.


Список используемой литературы.


  1. Аксёнова М. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика/ В. Володин. – М.: Аванта+, 2004.

  2. Геометрия, 7-9. / Л. С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.В.Кадомцев и др., – М.: Просвещение, 2011.

  3. Атанасян Л.С. Геометрия. Дополнительные главы к школьным учебникам 8, 9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики/ В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, С.А. Шестаков, И.И. Юдина. –12–е издание.– М.: Просвещение, 2002.

  4. Мадер В.В. Полифония доказательств. – М.: Мнемозина, 2009.

  5. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Часть I. – M.: МЦНМО, 2001.

  6. Звавич Л.И. Геометрия в таблицах. 7-11 классы. – М.: Дрофа, 2003.

  7. Глейзер Г.И. История в математики в школе. – М.: Просвещение, 1983.

  8. Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://dic.academic.ru/contents.nsf/brokgauz_efron/



1Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://dic.academic.ru/contents.nsf/brokgauz_efron/

2 Геометрия, 7-9. / Л. С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.В.Кадомцев и др., – М.: Просвещение, 2011.

3Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://dic.academic.ru/contents.nsf/brokgauz_efron/

4 Атанасян Л.С. Геометрия. Дополнительные главы к школьным учебникам 8, 9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики/ В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, С.А. Шестаков, И.И. Юдина. –12–е издание.– М.: Просвещение, 2002

5Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://dic.academic.ru/contents.nsf/brokgauz_efron/

6 Атанасян Л.С. Геометрия. Дополнительные главы к школьным учебникам 8, 9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики/ В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, С.А. Шестаков, И.И. Юдина. –12–е издание.– М.: Просвещение, 2002



57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Краткое описание документа:

Великий учёный Фалес Милетскийосновал одну из прекраснейших наук – геометрию. Известно, что Фалес Милетский имел титул одного из семи мудрецов Греции, что он был поистине первым философом, первым математиком, астрономом и вообще первым по всем наукам в Греции. Теорема Фалеса до сих пор используется в морской навигации в качестве правила о том, что столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется курс судов друг на друга.

Особое место в планиметрии отведено двум замечательным теоремам: теореме Чевы и теореме Менелая. Эти теоремы не включены в базовую программу курса геометрии средней школы, но их изучение (и применение) рекомендуется всем, кто интересуется математикой чуть больше, чем это возможно в рамках школьной программы. Чем же интересны эти теоремы? 

 

 

Автор
Дата добавления 06.04.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров702
Номер материала 475494
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх