Реферат по математике на тему "Аттрактор Лоренца"

Скачать материал

Реферат

По дисциплине: Математика

„ Аттрактор Лоренца “

Аттрактор Лоренца

решение системы при r=0,3

решение системы при r=1,8

решение системы при r=3,7

решение системы при r=10

решение системы при r=16

решение системы при r=24,06

решение системы при r=28 ― собственно, это и есть аттрактор Лоренца

решение системы при r=100 ― виден режим автоколебаний в системе

Аттрактор Лоренца (от англ. to attract — притягивать) ― компактное инвариантное множество в трехмерном фазовом пространстве гладкого потока, которое имеет определённую сложную топологическую структуру и является асимптотически устойчивым, оно устойчиво по Ляпунову и все траектории из некоторой окрестности стремятся к при $~t\to\infty$ (отсюда название).

Аттрактор Лоренца был найден в численных экспериментах Лоренца, исследовавшего поведение траекторий нелинейной системы:

$\begin{cases} \dot x = \sigma (y - x) \\ \dot y = x (r - z) - y \\ \dot z = x y - b z \end{cases}$

при следующих значениях параметров: σ=10, r=28, b=8/3. Эта система вначале была введена как первое нетривиальное галёркинское приближение для задачи о конвекции морской воды в плоском слое, чем и мотивировался выбор значений σ, r и b, но она возникает также и в других физических вопросах и моделях:

· конвекция в замкнутой петле;

· вращение водяного колеса;

· модель одномодового лазера;

· диссипативный гармонический осциллятор с инерционной нелинейностью.

Исходная гидродинамическая система уравнений:

$\begin{cases} \frac { \partial \vec v }{\partial t} + \left( \vec v \nabla \right) \vec v = -\frac {\nabla p}{\rho} + \nu \nabla ^2 \vec v + \vec g \\ \frac { \partial \rho }{\partial t} + \nabla \cdot \left( \rho \vec v \right) = 0 \\ \frac { \partial T }{\partial t} + \nabla \cdot \left( T \vec v \right) = \chi \nabla ^2 T \\ \rho = \rho_0 \left( 1 - \gamma \left( T - T_0 \right) \right) \end{cases},$

где $\vec v$ — скорость течения, — температура жидкости, — температура верхней границы (на нижней поддерживается $T_0 + \Delta T$ ), $\rho$ — плотность, — давление, $\vec g$ — сила тяжести, $\gamma,\ \chi,\ \nu$ — соответственно коэффициент теплового расширения, коэффициент температуропроводности и кинематической вязкости.

В задаче о конвекции модель возникает при разложении скорости течения и температуры в двумерные ряды Фурье и последующей их «обрезки» с точностью до первых-вторых гармоник. Кроме того, приведённая полная система уравнений гидродинамики записывается в приближении Буссинеска. Обрезка рядов в определённой мере оправдана, так как Сольцмен в своих работах продемонстрировал отсутствие каких-либо интересных особенностей в поведении большинства гармоник.

Применимость и соответствие реальности

Обозначим физический смысл переменных и параметров в системе уравнений применительно к упомянутым задачам.

· Конвекция в плоском слое. Здесь x отвечает за скорость вращения водяных валов, y и z — за распределение температуры по горизонтали и вертикали, r — нормированное число Рэлея, σ — число Прандтля (отношение коэффициента кинематической вязкости к коэффициенту температуропроводности), b содержит информацию о геометрии конвективной ячейки.

· Конвекция в замкнутой петле. Здесь x — скорость течения, y — отклонение температуры от средней в точке, отстоящей от нижней точки петли на 90°, z — то же, но в нижней точке. Подведение тепла производится в нижней точке.

· Вращение водяного колеса. Рассматривается задача о колесе, на ободе которого укреплены корзины с отверстиями в дне. Сверху на колесо симметрично относительно оси вращения льётся сплошной поток воды. Задача равнозначна предыдущей, перевернутой «вверх ногами», с заменой температуры на плотность распределения массы воды в корзинах по ободу.

· Одномодовый лазер. Здесь x — амплитуда волн в резонаторе лазера, y — поляризация, z — инверсия населённостей энергетических уровней, b и σ — отношения коэффициентов релаксации инверсии и поля к коэффициенту релаксации поляризации, r — интенсивность накачки.

Стоит указать, что применительно к задаче о конвекции модель Лоренца является очень грубым приближением, весьма далёким от реальности. Более-менее адекватное соответствие существует в области регулярных режимов, где устойчивые решения качественно отображают экспериментально наблюдаемую картину равномерно вращающихся конвективных валов (Ячейки Бенара). Хаотический режим, присущий модели, не описывает турбулентной конвекции в силу существенной обрезки исходных тригонометрических рядов.

Интересным является существенно большая точность модели при некоторой её модификации, применяемая в частности для описания конвекции в слое, подвергаемом вибрации в вертикальном направлении либо переменному тепловому воздействию. Такие изменения внешних условий приводят к модулированию коэффициентов в уравнениях. При этом высокочастотные Фурье-компоненты температуры и скорости существенно подавляются, улучшая соответствие модели Лоренца и реальной системы.

Примечательно везение Лоренца при выборе значения параметра , так как система приходит к странному аттрактору только при значениях, больших 24,74, при меньших поведение оказывается совершенно иным.

Поведение решения системы

Рассмотрим изменения в поведении решения системы Лоренца при различных значениях параметра r. На иллюстрациях к статье приведены результаты численного моделирования для точек с начальными координатами (10,10,10) и (-10,-10,10). Моделирование производилось с помощью приведённой ниже программы, написанной на языке Фортран, построение графиков по полученным таблицам — из-за слабых графических возможностей Фортрана с помощью Compaq Array Viewer.

· r<1 — аттрактором является начало координат, других устойчивых точек нет.

· 1<r<13,927 — траектории спирально приближаются (это соответствует наличию затухающих колебаний) к двум точкам, положение которых определяется формулами:

$\begin{cases} x = \pm \sqrt{b(r-1)} \\ y = \pm \sqrt{b(r-1)} \\z = r-1 \end{cases}$

Эти точки определяют состояния стационарного режима конвекции, когда в слое формируется структура из вращающихся валов жидкости.

· r≈13,927 — если траектория выходит из начала координат, то, совершив полный оборот вокруг одной из устойчивых точек, она вернется обратно в начальную точку — возникают две гомоклинические петли. Понятие гомоклинической траектории означает, что она выходит и приходит в одно и то же положение равновесия.

· r>13,927 — в зависимости от направления траектория приходит в одну из двух устойчивых точек. Гомоклинические петли перерождаются в неустойчивые предельные циклы, также возникает семейство сложно устроенных траекторий, не являющееся аттрактором, а скорее наоборот, отталкивающее от себя траектории. Иногда по аналогии эта структура называется «странным репеллером» (англ. to repel — отталкивать).

· r≈24,06 — траектории теперь ведут не к устойчивым точкам, а асимптотически приближаются к неустойчивым предельным циклам — возникает собственно аттрактор Лоренца. Однако обе устойчивые точки сохраняются вплоть до значений r≈24,74.

При больших значениях параметра траектория претерпевает серьезные изменения. Шильников и Каплан показали, что при очень больших r система переходит в режим автоколебаний, при этом, если уменьшать параметр, будет наблюдаться переход к хаосу через последовательность удвоений периода колебаний.

Значимость модели

Модель Лоренца является реальным физическим примером динамических систем с хаотическим поведением, в отличие от различных искусственно сконструированных отображений («зуб пилы», «тент», преобразование пекаря, отображение Фейгенбаума и др.).

Программы, моделирующие поведение системы Лоренца

Borland C

#include <graphics.h>

#include <conio.h>

void main()

{

double x = 3.051522, y = 1.582542, z = 15.62388, x1, y1, z1;

double dt = 0.0001;

int a = 5, b = 15, c = 1;

int gd=DETECT, gm;

initgraph(&gd, &gm, "C:\\BORLANDC\\BGI");

do {

x1 = x + a*(-x+y)*dt;

y1 = y + (b*x-y-z*x)*dt;

z1 = z + (-c*z+x*y)*dt;

x = x1; y = y1; z = z1;

putpixel((int)(19.3*(y - x*0.292893) + 320),

(int)(-11*(z + x*0.292893) + 392), 9);

} while (!kbhit());

closegraph();

}

Mathematica

data = Table[

With[{N = 1000, dt = 0.01, a = 5, b = 1 + j, c = 1},

NestList[Module[{x, y, z, x1, y1, z1},

{x, y, z} = #;

x1 = x + a (-x + y) dt;

y1 = y + (b x - y - z x) dt;

z1 = z + (-c z + x y) dt;

{x1, y1, z1}] &,

{3.051522, 1.582542, 15.62388}, N

]

{j, 0, 5}];

Graphics3D@MapIndexed[{Hue[0.1 First[#2]], Point[#1]} &, data]

Borland Pascal

Program Lorenz;

Uses CRT, Graph;

Const

dt = 0.0001;

a = 5;

b = 15;

c = 1;

Var

gd, gm: Integer;

x1, y1, z1, x, y, z: Real;

Begin

gd:=Detect;

InitGraph(gd, gm, 'c:\bp\bgi');

x := 3.051522;

y := 1.582542;

z := 15.62388;

While not KeyPressed Do Begin

x1 := x + a*(-x+y)*dt;

y1 := y + (b*x-y-z*x)*dt;

z1 := z + (-c*z+x*y)*dt;

x := x1;

y := y1;

z := z1;

PutPixel(Round(19.3*(y - x*0.292893) + 320),

Round(-11*(z + x*0.292893) + 392), 9);

End;

CloseGraph;

ReadKey;

End.

FORTRAN

program LorenzSystem

real,parameter::sigma=10

real,parameter::r=28

real,parameter::b=2.666666

real,parameter::dt=.01

integer,parameter::n=1000

real x,y,z

open(1,file='result.txt',form='formatted',status='replace',action='write')

x=10.;y=10.;z=10.

do i=1,n,1

x1=x+sigma*(y-x)*dt

y1=y+(r*x-x*z-y)*dt

z1=z+(x*y-b*z)*dt

x=x1

y=y1

z=z1

write(1,*)x,y,z

enddo

print *,'Done'

close(1)

end program LorenzSystem

QBASIC/FreeBASIC(«fbc -lang qb»)

DIM x, y, z, dt, x1, y1, z1 AS SINGLE

DIM a, b, c AS INTEGER

x = 3.051522: y = 1.582542: z = 15.62388: dt = 0.0001

a = 5: b = 15: c = 1

SCREEN 12

PRINT "Press Esc to quit"

WHILE INKEY$ <> CHR$(27)

x1 = x + a * (-x + y) * dt

y1 = y + (b * x - y - z * x) * dt

z1 = z + (-c * z + x * y) * dt

x = x1

y = y1

z = z1

PSET ((19.3 * (y - x * .292893) + 300), (-11 * (z + x * .292893) + 360)), 9

WEND

END

JavaScript и HTML5

<html>

<body>

var cnv = document.getElementById("cnv");

var cx = cnv.getContext('2d');

var x = 3.051522, y = 1.582542, z = 15.62388, x1, y1, z1;

var dt = 0.0001;

var a = 5, b = 15, c = 1;

var h = parseInt(cnv.getAttribute("height"));

var w = parseInt(cnv.getAttribute("width"));

var id = cx.createImageData(w, h);

var rd = Math.round;

var idx = 0;

i=1000000; while (i--) {

x1 = x + a*(-x+y)*dt;

y1 = y + (b*x-y-z*x)*dt;

z1 = z + (-c*z+x*y)*dt;

x = x1; y = y1; z = z1;

idx=4*(rd(19.3*(y - x*0.292893) + 320) + rd(-11*(z + x*0.292893) + 392)*w);

id.data[idx+3] = 255;

}

cx.putImageData(id, 0, 0);

</script>

</body>

</html>

IDL

PRO Lorenz

n=1000000 & r=dblarr(n,3) & r[0,*]=[3.051522,1.582542,15.62388] & a=5. & b=15. & c=1.

FOR i=0.,n-2. DO r[i+1,*]=r[i,*] + [ a*(r[i,1]-r[i,0]), b*r[i,0]-r[i,1]-r[i,2]*r[i,0], r[i,0]*r[i,1]-c*r[i,2] ]*0.0001

plot,19.3*(r[*,1]-r[*,0]*0.292893)+320.,-11*(r[*,2]+r[*,0]*0.292893)+392.

END

Литература

· Кузнецов С. П., Лекция 3. Система Лоренца; Лекция 4. Динамика системы Лоренца. // Динамический хаос (курс лекций). — М.: Физматлит, 2001.

· Saltzman B. Finite amplitude free convection as an initial value problem. // Journal of the atmospheric science, № 7, 1962 — p. 329—341.

· Лоренц Э. Детерминированное непериодическое движение // Странные аттракторы. — М., 1981. — С. 88-116.

Скачать материал

Скачать материал "Реферат по математике на тему "Аттрактор Лоренца""

Как учитель может зарабатывать на Инфоуроке?

Краткое описание документа:

Аттрактор (англ. attract — привлекать, притягивать) — компактное подмножество фазового пространства динамической системы, все траектории из некоторой окрестности которого стремятся к нему при времени, стремящемся к бесконечности. Аттрактором может являться притягивающая неподвижная точка (к примеру, в задаче о маятнике с трением о воздух), периодическая траектория (пример — самовозбуждающиеся колебания в контуре с положительной обратной связью), или некоторая ограниченная область с неустойчивыми траекториями внутри (как у странного аттрактора).

Аттрактор Лоренца (от англ. to attract — притягивать) ― компактное инвариантное множество в трехмерном фазовом пространстве гладкого потока, которое имеет определённую сложную топологическую структуру и является асимптотически устойчивым.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 654 989 материалов в базе

Найти материалы

Скачать материал

Другие материалы

docx

Анализ итоговой аттестации (ЕГЭ) в 11 классе

23.06.2015
4849
6

docx

Тетрадь для геометрических доказательств

23.06.2015
1221
7

zip

Презентация по теме : "Задания ЕГЭ с применением производной"

23.06.2015
3109
91

pptx

Презентация по теме: "Тела вращения. Конус."

23.06.2015
1535
2

pptx

Описание системы работы учителя математики МКОУ СОШ №9 с. Родниковского по проблеме: «Эффективные пути обучения математики».

23.06.2015
593
0

docx

РАЗВИТИЕ ПОЗНАВАТЕЛЬНОГО ИНТЕРЕСА УЧАЩИХСЯ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ ПОСРЕДСТВОМ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ИГРОВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

23.06.2015
1995
1

pptx

Презентация по теме : "Приложение производной к решению прикладных задач"

23.06.2015
3171
73

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Скачать материал
- 23.06.2015 2074
- DOCX 411.7 кбайт
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Уильямс Майк (Отсутствует). Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Автор материала

Уильямс Майк (Отсутствует)
- На сайте: 8 лет и 10 месяцев
- Подписчики: 102
- Всего просмотров: 401014
- Всего материалов: 157