Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Реферат по математике на тему "Математика в Древнем Китае"

Реферат по математике на тему "Математика в Древнем Китае"

Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

К ОПЛАТЕ ЗА ОДНОГО УЧЕНИКА: ВСЕГО 28 РУБ.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

МАОУ гимназия восточных языков №4











Математика в Древнем Китае

(техника счета и вычисления)

Секция математики

Исследовательская работа





Выполнил:

Нуйкин Михаил Иванович


МАОУ гимназия № 4


ученик 8 «в» класса

Проверили:

Прокопенко Т.И.,


учитель математики;


Ионкина О.С.,


учитель китайского языка





г. Хабаровск

2015

Оглавление


Введение – цель, задачи, методы.

Основная часть


1.

Техника счета


1.1.

Система счисления


1.1.1.

Запись цифр


1.1.2.

Знак нуля


1.1.3.

Большие числа


1.1.4.

О месте китайского счета в общей истории современной системы счисления


2.

Вычислительные устройства


2.1.

Узелки и зарубки


2.2

Счетные палочки


2.3

Градуированные счетные палочки


2.4

Абак (суаньпань)





3.

Вычисления


3.1

Арифметические операции


3.2

Дроби


3.2.1.

Использование простых дробей


3.2.2.

Десятичные дроби


3.3.

«Тройное» правило



Заключение

Список литературы

Приложение







Введение

Эта работа посвящена не самим математическим методам, а вопросам, лежащим в основе математики любой древней цивилизации и передающим ее специфику, ее «колорит». Речь идет о технике вычислений.

От того, насколько хорошо освоены и разработаны действия с числами, зависит развитие математических методов, особенно в древние эпохи. В истории математики достаточно хорошо известны техника вычислений древнего Египта и древней Месопотамии ‒ два ярких, сравнимых между собой по времени примера того, как на различных вычислительных основах строилась математика той или другой древневосточной цивилизации. И мало известна техника вычислений древнего Китая, которую иногда совсем не упоминают, хотя она существенным образом дополняет общую картину развития математики в древности.

В истории математики древнего Китая имеются сведения о десятичной системе счета (использовавшейся еще в XIV веке до н.э.‒ за 2300 лет до начала ее применения европейскими математиками) и специальной иероглифической символике для чисел, об оперировании большими числами, о наличии вспомогательных счетных устройств (узелки; счетная доска, с осуществленной на ней позиционной системой счисления), об оперировании циркулем, линейкой и угольником.

Развившись сравнительно рано до уровня почти современной европейской, древнекитайская арифметика в силу обстоятельств осталась как бы в стороне от общего хода истории. В начале прогрессивные вычислительные средства древнего Китая оказались в дальнейшем консервативными по сравнению с ушедшими вперед в своем развитии европейскими. Математическая наука Китая ‒ удивительное историческое явление того, как при наличии, казалось бы, всех предпосылок для создания современной системы счисления в древнем Китае (в эпоху, более раннюю, чем это произошло в Индии), при раннем открытии позиционного принципа, все же не было сделано последнего, решающего шага ‒ изобретения нуля. По чему-то развитие вдруг остановилось и китайцы так и остались у порога величайшего открытия. Аналогично обстояло дело с десятичными дробями. Поняв их принцип, введя их фактически в математику, китайцы не смогли преодолеть традиции именованной нумерации, так и оставив десятичные разряды с индивидуальными наименованиями.

1. Техника счета

1.1. Система счисления

Китайская нумерация просуществовала тысячелетия и сохранилась до наших дней. Хотя в настоящее время в математической литературе употребляется общепринятая система счисления, в обиходе, на страницах газет мы встречаемся с традиционной нумерацией.

1.1.1.  Запись цифр.

Согласно данным, собранным при изучении надписей на иньских гадательных костях, уже в XIV–XIII вв. до н.э. китайцы обладали достаточно развитой десятичной системой счисления с зачатками применения позиционного принципа. В такой же системе записаны числа на чжоуских монетах и бронзовых сосудах. Однако при этом частично использовались другие по форме цифровые знаки (рис. 1).

Рис. 1

Рис. 1

Все иньские и чжоуские цифры можно разделить на две группы. В первую входят цифры, обозначающие числа от 1 до 9 («и», «эр», «сань», «сы», «у», «лю», «ци», «ба», «цзю»). Число 1 символизируется одной горизонтальной чертой, а числа от 2 до 4 (иногда и 5) – количественно соответствующими сочетаниями горизонтальных черт. Для чисел от 5 до 9 выбраны знаки, происхождение которых неясно. Во вторую группу входят цифры 10, 100, 1000 и 10 000 («ши», «бай», «цянь», «вань»). Цифра 10, представляющая собой вертикальную черту, возникла, возможно, как поворот на 90 градусов цифры 1, поскольку такой же принцип, но только в противоположной записи, встречается в выражении чисел 1 и 10 с помощью счетных палочек. Происхождение цифр 100, 1000 и 10 000 неясно.

Запись всех чисел, применявшихся китайцами в эпохи Шан-Инь и Чжоу, осуществлялась с помощью указанных цифр путем их сочетаний, варьирующихся по положению и допускающих вариации форм исходного набора знаков. Например, числа 11, 12 и 13 записывались с помощью вертикальной черты и помещенных справа или слева от нее соответственно одной, двух и трех горизонтальных. Числа 20, 30 и 40 записывались как сочетания двух, трех и четырех вертикальных черт, подобных цифре 10, но изогнутых и соединяющихся книзу так, что они образуют знаки в форме вил соответственно с двумя, тремя и четырьмя зубьями. В чжоускую эпоху те же числа записывались еще как цифра 10, перечеркнутая соответственно двумя, тремя и четырьмя горизонтальными чертами. Цифры 100 и 1000 являются, по сути, сочетаниями единицы (горизонтальная черта) и неких знаков, обозначающих соответственно сотый и тысячный разряды и не встречающихся в «свободном состоянии». Так, числа 200 и 300 обозначаются символом 100, у которого сверху добавляются соответственно одна и две горизонтальные черты, а числа 2000 и 3000 – символом 1000, который дополнительно перечеркивается одной или двумя горизонтальными чертами. В общем случае исходные знаки для 100 и 1000 без горизонтальных черт дополняются той или иной цифрой из набора 1–9 при необходимости выразить соответствующее число сотен и тысяч. За исключением упомянутой выше разновидности записи чисел 20, 30 и 40, числа десятичного разряда выражаются схожим способом, отличающимся лишь тем, что знак этого разряда и цифра 10 не различаются (насколько известно по найденным образцам иньской и чжоуской цифровой записи), хотя внутренняя логика системы этого требовала. Таким образом, сочетая в горизонтальной или вертикальной записи, составленные указанным способом цифры, древние китайцы могли записать любое число от 1 до 99 999.

После реформ письменности, осуществлявшихся во время царствования династий Цинь и Ранняя Хань, в Китае установилась иероглифическая форма цифр, которой китайцы пользуются до сих пор при записи чисел и которая базируется на старом написании, но является полностью именованной.

Она десятичная, непозиционная, с мультипликативным принципом записи чисел. Это значит, что в ней существуют девять цифр и обозначения десятичных разрядов (рис. 2,1-я колонка таблицы).

Цифры иероглифы (рис

Рис.2

Всякое число любого разряда за исключением единичного может быть записано и произнесено с помощью этих знаков (двух иероглифов): сначала ‒ цифра, обозначающая число единиц разряда, за ней ‒ название самого разряда. Например, число 1234 записывается как «и» «цянь» «эр» «бай» «сань» «ши» «сы», что в буквальном переводе означает «одна тысяча две сотни три десятка четыре» (в русском языке «одна тысяча двести тридцать четыре»). А число 38071 ‒ как «сань» «вань» «ба» «тянь» «чи» «ши» «и» и представляется так (см. рисунок слева).

Такого рода нумерацию, один из крупнейших специалистов по истории математики и астрономии Древнего мира Б. Л. ван дер Варден называет именованной позиционной. Стоит в ней только опустить названия разрядов и ввести нуль, как она превратится в позиционную.Запись числа

1.1.2. Знак нуля.

До сих пор неизвестна точная дата и место появления знака нуля как элемента десятичной системы. Согласно распространенному мнению, он возник в Индии. Одно время полагали, что самое древнее сохранившееся упоминание о нем в математических текстах связано с рукописью, которую обнаружили в 1881 г. в деревне Бакшали (современный Пешавар) и первоначально относили ко II в. н. э. Однако позже ее стали датировать IV, VII в. или даже IX–XII вв. Нуль в этой рукописи обозначался как точкой, так и кружком. Самое раннее индийское изображение нуля (точка) среди надписей на камнях обнаружено в Шапуре и датируется 672 г.

Нуль мог возникнуть в Юго-восточной Азии, являющейся зоной встречи индийской и китайской культур, где он обнаружен приблизительно в то же время, что и в Индии. Первые надписи, содержащие нуль, появляются почти одновременно в Камбодже и на Суматре (683 г.) и на острове Банка рядом с Суматрой (686 г.). В первых двух случаях символом нуля является точка, в третьем – кружок.

Впервые в Китае нуль в виде точки встречается в компендиуме «Кай-юань чжаньцзин» («Астрологический канон [периода] Кай-юань»), который в 718–729 гг. написал индийский астроном Цюйтань Сида (Гаутама Сидхартха), работавший в Астрономическом бюро и представивший в 718 г. индийский календарь Наваграха (Цзючжи). Однако видимо, этот прецедент не произвел на китайскую математику должного действия. Позже китайцы могли заново открыть знак нуля, отталкиваясь от пустых пробелов, оставленных для нуля на счетных досках и в «палочной» записи цифр, которая строится на позиционной системе и используется, по крайней мере, с эпохи Сражающихся царств. Первоначально он мог обозначаться на письме в виде клеточки счетной доски, которая затем трансформировалась в кружок. «Клеточное» обозначение нуля имеется в календарных разделах «Тан шу» («Книга о [династии] Тан») и «Сун шу» («Книга о [династии] Сун»), а в календаре Да-мин, разработанном Чжао Чжи-вэем в 1182 г., в местах пробелов уже помещен кружок. 

Может быть, понятие «пустота» («кун», «сюй») даосского или индийского мистицизма внесло свой вклад в изобретение символа для нуля. Не исключено, что форма знака нуля могла быть заимствована из китайских философских диаграмм XI–XII вв., в которых кружок часто обозначал «беспредельное» («у цзи»), изначальный хаос («хунь дунь»), сближающиеся с понятием «ничто». 

В любом случае китайские математики XIII века имели в своем распоряжении полностью развитое обозначение нуля, как в примере из изданной в 1247 г. работы Цинь Цзю-шао «Шу шуцзючжан» («Трактат о вычислениях в девяти разделах»), где вычитание 1 470 000 – 64 464 = 1405536 записывается следующим образом (рис.3).

hello_html_b4fa6b7.gif

Рис.3

Китайская письменная форма для нуля – иероглиф «лин». Его первичное значение – «капли дождя», «капли воды, оставшиеся после дождя» – по ассоциации привело к тому, что он стал означать что-то «мелкое», «разрозненное», «остаточное», «добавочное». В области счета этот иероглиф первоначально применяли во фразах типа «одна сотня и пять в добавок», что означало число 105.

Однако, хотя был возможен переход к использованию «лин» для выражения нуля в этом числе, в таком значении иероглиф «лин» не использовался в математических текстах до эпохи Мин. С другой стороны, у сунских алгебраистов, которые использовали символ «0», легко найти примеры чисел с нулем, записанных так, что в них термин «лин» мог бы применяться. Можно предположить, что символ нуля был назван «лин» со времени его первого широкого использования в эпоху Сун. Не исключено, что такое использование старого знака возникло не только потому, что он долго означал «остаток», но и потому, что символ «0» по форме напоминает сферическую дождевую каплю.

1.1.3. Большие числа.

Для счета древнему китайцу сначала было достаточно четырех разрядов, которые и образовали первый класс: единицы «и», десятки «ши», сотни «бай», тысячи «чень». Свидетельством этого служит фраза из «Истории Ранней Хань»1, приписываемая исторической традицией Бань Гу: «Счет ведут единицами, десятками, сотнями, тысячами и ванями».

Действительно, «вань», то есть 10 000 первоначально считался предельным числом. В «Цзо чжуань»2 говорится: «Вань есть полное число».

В иньских числовых записях всегда указывалось: один десяток или первый из десяти, одна сотня, одна тысяча, но «вань» писали без слова «один». Современные иероглифы для десятков, сотен, тысяч ‒ комбинации единицы с древним иероглифом для этих разрядов (см. рис. 4) и в более поздние времена, «ванъ» употреблялся для выражения неопределенно больших количеств (к сравнению ‒ даже современное «ваньсуй», означающее десять тысяч лет в смысле «да здравствует»), часто с эпитетами: «большой», «громадный», «огромный». Например, в «Исторических записках» Сыма Цяня (II в. до н. э.) говорится: «В казначействе скоро будут сотни громадных ваней золотых монет».

hello_html_m53e822fa.gif

Рис.4

В «Истории Ранней Хань», сообщается: «Расходы исчислялись десятками, сотнями огромных ваней», ‒ фраза, которая цитировалась и в нашем столетии, когда говорили о безумных тратах. «На работы потратили больших ваней более сотни».

Иногда же просто говорили: «Умершие исчислялись ванями, так что реки не могли течь» ( фраза из «Истории Поздней Хань»).

Или там же: «Клеветники исчислялись ванями».

Но границы человеческой деятельности постепенно раздвигались, и наступило время, когда потребовались еще большие числа. Начиная со II‒III вв. до н.э., а в отдельных случаях гораздо раньше в Китае стали применять числа, бóльшие ваня.

Сначала, по-видимому, название давали каждому новому разряду ваня: 105, 106, 107, . . . , 1012 (см. столбец I табл. 1).

Таблица больших чисел со степенями

Иногда это делали, начиная с третьего разряда, однако это было неэкономно. Поэтому стали использовать для высоких классов порядок построения первого класса, употребляя названия его разрядов, и тогда каждое новое название надо было давать только единицам очередного нового класса 104, 108, 1012... . . . , 1036 (см. столбец III табл. 1). Пример такого числа содержится в тексте «Цзю чжансуань шу»i: 1 644 866 437 500 (объем сферы в «чи»). Иероглифами это число записывается следующим образом: 1 «вань» 6 тысяч 4 сотни 4 десятка 8 «и» 6 тысяч 6 сотен 4 десятка 3 «ваня» 7 тысяч 5 сотен.

В четвертом классе этого числа новая единица не названа, в третьем ‒ это «и», хотя в более ранних текстах она обозначается иероглифом «чжао». «И» и «чжао» обнаружены в исторических книгах «Лицзи» и «Цзочжуань» (около IV в. до н. э.).

В эпоху Тан (VII‒IX вв. н. э.) эти две системы именовали «большим» и «малым» счетом ‒ так называл их Кун Ин-да, комментатор «Лицзи».

Еще более экономный способ построения системы больших чисел состоит в том, чтобы до 108 поступать, как следует по правилам второго столбца таблицы, а далее в следующих классах использовать всякий раз все названия вплоть до 108. Приведенный выше пример из «Математики в девяти книгах», вероятно, выражен в такой системе. В этом случае новые названия потребуются лишь через восемь разрядов: 108, 1016, 1024, . . . , 1080 (см. столбец IV табл. 1). Самый быстрый рост степеней ‒ это когда всякий раз удваивается их счет: 104, 108, 10м, 1032, 1064, . . . , 10122 (eta. столбец V табл. 1). В математических трактатах указывалось несколько систем, так что пользующийся мог применять любую из них. Например, в «Математическом трактате Сунь-цзы» указаны «обычная система» и «большой счет» (дату, см. столбцы II и IV табл. 1). А в книге «Шу ту цзи и» (VI в. н. э.) указаны три класса (см. столбец II табл. 1) счета: «нижний», «средний», «верхний», что можно перевести также как «малый», «средний», «большой» (см. столбцы I, III, V табл.1). Это часто поясняет Чжэнь Луань в своих комментариях к древним текстам в трактатах «Десятикнижья».

Подобный разнобой в наименованиях разрядов больших чисел наблюдался у других народов.

Из всего разнообразия систем в Китае утвердилась система, в которой показатели степеней основания составляют арифметическую прогрессию с разностью, равной четырем (см. столбец III табл. 1).

1.1.4. О месте китайского счета в общей истории современной системы счисления.

Широкая волна распространения индийской системы счисления по всему миру не могла не достигнуть Китая, у которого с Индией, «белой страной», как иногда называли ее китайцы в древности, к этому времени были достаточно тесные контакты. Полагают, что китайцы начинают знакомиться с буддизмом еще в I в. н. э., хотя поначалу эта философская доктрина, близкая учению даосистов, была встречена весьма неодобрительно со стороны конфуцианцев. Однако начиная с IV‒V вв. и особенно в эпоху Тан (618—912 гг.) буддизм, приспособленный конфуцианцами для своих целей и поддержанный правительственными кругами, становится в Китае одной из официальных религий. К VIII в. буддийские монастыри в Китае, владевшие землей и рабами, занимавшиеся ростовщичеством, настолько усиливаются, что правительство было вынуждено предпринять против них ряд репрессий.

Индийские цифры не привились в Китае, как не привились алфавиты, предлагаемые учеными того времени. После первой волны чужеземного влияния пятью столетиями позже пришла от арабов вторая и оставила свои несколько более заметные следы. Под влиянием арабских методов в Китае был введен счет на абаке — пудидин.

В XIII‒XIV вв. в Китае появилась арабская литература. Сравнительно недавно в Сиани была обнаружена железная плита тех времен, на которой выгравирован магический квадрат с восточно-арабскими цифрами, где нуль обозначен не точкой, а кружком. Тем не менее, индийская система счета с арабскими цифрами снова не привилась в Китае. Еще долгое время даже в заимствованных у арабов методах вычислений они заменялись китайскими. Современные цифры и символика (буквенные формулы) начали употребляться в переводной литературе только в XIX столетии, когда китайцы стали знакомиться с западной высшей математикой.

Таким образом, система счисления в Китае оставалась без изменений, так как еще в древности именованная позиционная система счисления была приспособлена к счетному прибору, которым пользовались при выполнении вычислений. Техника вычислений на счетной доске принципиально мало отличалась от современных действий с числами. Китайцам не было особой нужды заимствовать индийскую арифметику, у них была своя, вполне их удовлетворявшая. Там, где непосредственно производились вычисления, китайцы пользовались десятичной позиционной нумерацией, а при письме для фиксирования результатов или записи начальных данных применяли десятичную именованную позиционную систему. Поэтому современная система счисления не была изобретена в Китае, где для нее были те же предпосылки, что и в Индии. Счет десятками велся с незапамятных времен, и никакого другого, по существу, в математике древнего Китая не было. От группового счета вместе с образованием письменности возник мультипликативный принцип записи, индивидуальные знаки для чисел от 1 до 9. Во время вычислений производилось опускание разрядов и для отсутствующих разрядов оставлялось пустое место.

Позиционность была выработана в тех системах, которые употреблялись в астрономических, математических текстах. Впервые позиционный принцип зафиксирован в тексте примерно V в. н. э. «Сурья-Сиддханта», где таблицы синусов написаны по традиции стихами. Цифр в этой системе нет, вместо них называются словаt обозначающие предметы, всегда встречающиеся по одному, по два и т. д. Например, для цифры 1 употребляются слова «Луна», «Земля», «Брахма»; для цифры 2 ‒ глаза, руки, близнецы и т.д. Отсутствующие разряды обозначались при этом словом «дыра». Очевидно, эту нумерацию нельзя признать в качестве совершенной позиционной системы, поскольку в ней нет цифр и производить действия в ней было бы весьма затруднительным. И еще одно общее обстоятельство для истории нумераций: нуль был введен довольно поздно.

1.2. Вычислительные устройства

1.2.1. Узелки и зарубки

Предыстория китайской системы счисления начинается в глуби веков, во время формирования первоначальных математических представлений человека на самых первых этапах его развития. Еще до возникновения письменности существовал, по-видимому, устный счет и элементарные способы фиксирования чисел при помощи узлов на веревках и зарубок на дереве. Это было первым примитивным моделированием: замена при счете пальцев рук и ног моделью.

В древнекитайских классических текстах имеются упоминания о подобных способах фиксирования чисел. В комментарии «Си цы чжуань» к знаменитой «Книге перемен» записано: «В глубокой древности пользовались узелками на веревках и управляли (государством], а впоследствии мудрецы заменили их зарубками на дереве». Философы Лао-цзы и Чжуан-цзы, жившие в VI‒V вв. до н. э., подтверждают эти способы представления чисел. У нас нет оснований сомневаться в таких сообщениях. Многие народы недавнего прошлого, не имевшие письменности, прибегали к помощи веревки или дерева. Хорошо известны в литературе перуанские квипу ‒ узелки на цветных веревках, фиксировавшие долговые обязательства инков. Существуют свидетельства о древних персах и об индийских племенах прошлого века, обозначавших числа с помощью узелков на веревках; от таких узелков, кстати, произошли четки. В северном Китае, в Тибете, на островах Рюкю, а также у народности мяо еще в нашем столетии можно было обнаружить квипу у земледельцев .

В равной степени достоверны сведения о зарубках на дереве. Каждому русскому хорошо известна поговорка: «Заруби на носу». Ее происхождение указывает на существование деревянной дощечки, с нанесенными на ней памятными зарубками, которую носили привязанной к поясу. Весьма возможно, что от зарубок на дереве происходят современные китайские цифры 1, 2, 3, а также древнейшие иньские начертания чисел 20, 30, 40. В Китае до изобретения бумаги (в I в. н. э.) на протяжении первого тысячелетия до н. э. писали на бамбуковых и деревянных дощечках.

1.2.2. Счетные палочки

Есть основания полагать, что китайская десятичная позиционная система была связана по своему происхождению со способом вычислений посредством счетных палочек (чоу, чоуцэ, чоусуань и проч.). Сам иероглиф суань«вычисление» – восходит к древней пиктограмме, изображающей подсчет палочек. Некоторые цифры на иньских гадательных костях и чжоуских монетах и бронзовых сосудах напоминают «палочную» запись. На монетах эпохи Сражающихся царств (Чжань-го) числа прямо записаны в «палочной» нумерации. Ханьские математические тексты содержат математические выражения, подразумевающие использование счетных палочек.

Наиболее известный древний текст, в котором упоминаются счетные палочки, – это «Дао дэ цзин» («Канон дао и дэ»). Всего 27 чжане имеется фраза: «Умеющий считать не использует счетных палочек (чоуцэ)». С начала эпохи Хань упоминания о палочках стали достаточно частыми. Например, В «Ши цзи» («Исторические записки», цз. 8) Сым Цянь описал беседу, произошедшую в 202 г. до н.э. между первым ханьским императором Гао-цзу и министром Ван Лином, в которой император говорит, что один из его талантов – «планирование военных действий со счетными палочками в палатке штаба». В «Хань шу» («Книга о [династии] Хань») Бань Гу  сообщил, что счетные палочки изготавливались из бамбуковых стеблей приблизительно 2,5 мм в диаметре и имели длину 14 см. Набор из 271 палочки связывался в шестигранную связку, которую было удобно держать в руке. 

При археологических раскопках, проводившихся в 1971 г. в уезде Цянь-ян (провинция Шэньси), было найдено три десятка счетных палочек, датируемых годами правления ханьского императора Сюань-ди (73–49 гг. до н.э.). Их размеры совпадают с описанием из «Хань шу», но сделаны они не из бамбука, а из кости. Палочки в связке, раскопанной в 1975 г. в уезде Цзянлин (провинция Хубэй) и датируемой годами правления императора Вэнь-ди (179–157 гг. до н.э.), сделаны из бамбука, но являются более длинными, чем палочки из Цяньяна.

Имеются сведения, что в сокровищнице императора Ань-ди (время правления от 397 до 418 г.) из династии Цзинь хранились счетные палочки одного из министров Цинь Ши-хуана, Чжао То, который впоследствии управлял Югом как независимый князь. Эти палочки имели длину около 30 см, и некоторые из них были сделаны из кости, а другие – из рога, имея, соответственно, белый и черный цвета.

Помимо бамбука, рога и кости палочки в эпоху Хань и позже изготавливались из нефрита и дерева. В IX в. китайцы стали отливать палочки из железа. Танские администраторы и инженеры имели обыкновение носить у пояса мешочек со счетными палочками. Шэнь Ко (1031–1095), описывая одного из своих современников, астронома Вэй Поу, говорил, что «он мог передвигать счетные палочки настолько быстро, что казалось, что они летали, и глаз не мог поспеть за их движениями до тех пор, пока не был готов результат». Это описание позволяет представить скорость, с которой мог совершаться профессиональный счет. После эпохи Мин о счетных палочках стало меньше сообщений, поскольку они были вытеснены абаком.
Счетные палочки можно было раскладывать просто на ровной поверхности или на специальной счетной доске суаньпань, на которой каким-либо образом обозначена клеточная структура. Лю Хуй в комментариях к задаче № 18 из «Цзю чжансуань шу» указывает, что для оперирования счетными палочками можно использовать разграфленный кусок ткани.

«Палочный» счет имел преимущество по сравнению с письмом, поскольку позволял «разобрать» числа, которые больше не требовались. Кроме того, посредством перемещения палочек можно было легко производить действия сложения, вычитания, умножения и деления. «Палочный» счет оставил свой след в китайской письменности, выражающийся в том, что большинство терминов для вычисления имеет в качестве корневого элемента (ключа) иероглиф «бамбук» и существует много выражений типа «подвинуть палочки» (туй суань), «взять палочки» (чичоу) и т.д., которые применяются при том или ином вычислении. 

Счетные палочки и доска выполняли функции простейшей счетной машины, оперирование которой требовало четких алгоритмических предписаний. Целью китайских математиков было найти наиболее общие алгоритмы. Этот процесс был параллелен развитию греческой аксиоматизации.

По мере распространения бумаги китайские математики стали все чаще проводить свои вычисления письменно, но по тем же принципам, которые использовались при манипулировании со счетными палочками. При этом цифры могли записываться не иероглифами, а комбинациями штрихов, повторяющих расположение счетных палочек. Такие «палочные» цифры и схемы расчетов присутствуют, например, во многих математических трактатах XIII–XIV вв. Имеется предположение, что самой древней книгой с «палочными» цифрами является «У цаосуаньцзин» («Счетный канон пяти ведомств»), написанная в IV–V вв. н.э. Однако ни одно из ее изданий их не содержит. Все вычисления записываются в ней стандартным иероглифическим способом. Правда, издания данной книги осуществлялись с XI в., и редакторы могли исключить из нее «палочную нумерацию».

В «Цзю чжансуань шу» и других ханьских математических трактатах нет описания счетной доски и правил действий с числами с ее помощью, поскольку, вероятно, она была широко известна, а правила действий объяснялись устно. С другой стороны, в этих трактатах, несомненно, используются выражения, которые подразумевают использование счетных палочек.

При «палочном» счете цифры образуются как разные комбинации счетных палочек (рис. 5).

hello_html_m53e822fa.gif

Рис.5

Числа от 1 до 5 обозначаются соответствующим количеством палочек. Для обозначения чисел от 6 до 9 одна палочка размещается перпендикулярно остальным, которых будет от 1 до 4 соответственно. Число 10 обозначается одной палочкой, размещенной в соседней позиции перпендикулярно палочке, обозначающей единицу. Очевидно, что в эпоху Хань было окончательно установлено правило для обозначения цифр разных разрядов одинаковыми комбинациями палочек, расположенными в двух различных ракурсах. Один использовался для единиц, сотен, десятков тысяч, и т.д., а второй – для десятков, тысяч, сотен тысяч и т.д. В III–V вв. н.э. они были названы соответственно цифрами «цзун» (продольные) и «хэн» (поперечные). В относящейся к этому времени книге «Сунь-цзысуаньцзин» («Счетный канон Сунь-цзы») говорится: «В методах счета прежде всего следует знать позиции («вэй»). Единицы продольны, а десятки поперечны, сотни стоят, а тысячи лежат. Поэтому тысячи и десятки выглядят одинаково, также как десятки тысяч и сотни». Иероглиф «вэй» в цитате из «Сунь-цзысуаньцзин» относится к позициям палочек в столбцах на счетной доске, иными словами, к поместному значению. Другим термином был «дэн» (ранг).

По правилам размещения палочек осуществлялась и запись чисел. Так, например, число 14 285 записывалось следующим образом (рис. 6).

hello_html_1f1ce90d.gif

Рис.6

До появления нуля при написании цифр в «палочной» нумерации на его месте оставлялся пробел, как это делалось и на счетных досках. Все вычисления поэтому использовали только девять знаков. Десятичная позиционная система китайцев была в буквальном смысле «системой места». Например, в танских рукописях из пещерных храмов Дуньхуана один свиток содержит расширенные таблицы умножения (mn2 и m2n2, где комбинируются m и n, равные 1, 2, ... 9), в которых цифры выражаются в «палочной» манере и, например, число 405 (= 5 х 9 х 9) записывается так (рис.7).

hello_html_f7a5d61.gif Рис.7

1.2.3. Градуированные счетные палочки

Использовавшиеся в Китае счетные палочки с числами, отмеченными на них, были китайским вариантом костей Джона Непера (шотландского математика, 1550–1617), которые появились на Западе в 1617 г. и активно использовались в XVII в. В это же время они попали в Китай и Японию, где вызвали значительный интерес.

Набор «неперовских» счетных палочек, применявшийся в Китае и имевший то же самое название, как и у древних простых счетных палочек, включал также нулевую палочку и палочки для квадратных и кубических корней. С помощью этого набора, по сути дела, целого устройства, можно было производить ряд арифметических операций, двигая одну палочку по отношению к другой. Лучшая известная китайская книга на эту тему – «Цэсуань» («Вычисление счетными палочками»), написанная в 1744 г. известным ученым и математиком Дай Чжэнем. Эти счетные палочки, возможно, получили бы и дальнейшее развитие в Китае, если бы их вскоре не заменили два других европейских изобретения – логарифмическая линейка и счетная машинка. 

1.2.4. Абак (суаньпань)

Кроме счетной доски китайские математики имели в своем распоряжении еще два типа механических устройств для облегчения вычислений: абак и счетные палочки, помеченные числами аналогично костям Непера. 

Китайские счеты суань пань

Китайские счеты суань пань Китайский абак называется чжусуаньпань, чжусуань (букв. «пластина с шариковыми счетами», «шариковые счеты») или так же, как и счетная доска, – суаньпань («счетная пластина», «счетное блюдо»). Эти счеты историки называют «абаком», имея в виду некоторое сходство с европейским счетным устройством, возникшим в древней Греции и использовавшимся в Европе вплоть до XVIII в. В своем первоначальном виде европейский абак – это доска с ложбинами, в пределах которых можно передвигать счетные костяшки. Суаньпань – счетное устройство, широко используемое в Китае с древних времен и до наших дней.

Китайский абак представляет собой деревянную раму с рядами стержней (проволок или веревок), на которые нанизывались костяшки в виде приплюснутых шаров. Обычно устанавливалось 12 стержней, но их могло быть и больше (до 30). На каждом стержне размещалось 6–7 костяшек, разделенных планкой на две группы: ниже планки 5 костяшек, а выше – 1–2. Каждая верхняя костяшка эквивалентна пяти нижним. Каждая нижняя костяшка эквивалентна 10 нижним костяшкам на соседнем стержне справа (или, по договоренности, слева). Однако, в принципе, каждые колонки костяшек могут принимать любое значение по желанию вычислителя. С помощью абака достаточно удобно выполнять действия сложения, вычитания и умножения, используя только одну из верхних костяшек, но для деления иногда удобнее иметь возможность указать на любом из столбцов число от 10 до 15, используя для этого обе верхних костяшки и соответствующее число нижних.

Китайский абак. На основании того, что в китайской литературе не было найдено никакого полного описания абака в его современной форме до сочинения Чэн Да-вэя «Суань фа тун цзун» («Все главное о методах счета»), опубликованного в 1593 г., многие историки науки полагали, что этот инструмент не был известен в Китае до конца XVI в.
Однако имеются и более ранние прямые или косвенные упоминания о нем. Так, о «доске с перемещающимися шарами», которой следует пользоваться по твердо установленным правилам, сказано в сочинении «Лу тан ши хуа» («Эссе из чертога в предгорье»), которое было издано в 1513 г. Самое раннее изображение этого инструмента было найдено в напечатанном в 1436 г. иллюстрированном детском учебнике «Синь бянь Дуй сянсыянь» («Новая исправленная Хрестоматия изображений четверок иероглифов»). Между 1078 и 1162 гг. было написано четыре книги, которые, судя по их названиям, имели дело с абаком, но ни одна из них не дошла до нас. Еще имеется доказательство из потерянной книги Се Ча-вэя об использовании абака в XI в.
Китайский абак

Вероятно, самой древней работой, в которой говорится о счете с помощью абака, является трактат «Шу шуцзи и» («Заметки для потомков о правилах вычислений»/«Арифмологический мемуар»), который приписан Сюй Юэ (ок. 160–227), жившему в конце Поздней Хань, и снабжен комментариями, написанными приблизительно в 570 г. Чжэнь Луанем, возможно, и являющимся истинным автором трактата. Эта книга в эпоху Сун вошла в «Суаньцзинши шу» и заметно отличается от остальных работ этого сборника, приближаясь по характеру к сочинениям по арифмологии (шу шу). Об абаке в комментариях к «Шу шуцзи и» говорится в связи с фразой «при счете шариками удерживаются лентами («дай») четыре сезона и [связывается] вдоль и поперёк (цзинвэй) триада драгоценностей (саньцай – Небо, Земля, Человек)».

Таким образом, их комбинации могут давать от 1 до 9 единиц выбранного разряда, а один «нижний» шарик из следующей позиции будет соответствовать единице более высокого разряда. В данных комментариях упоминаются еще три вычислительных устройства, в которых используются шарики. Все они строятся на системе координат с разным количеством делений по горизонтали, по которой проходят «пути» («дао»), и по вертикали, на которой находятся «позиции» («вэй»). Расположение шарика на той или иной позиции определяет соответствующее число, выбранное для каждого устройства.

Для вычисления по методу «великое единое» («тай и») используется один шарик, «двоица форм» – два (верхний – синий, а нижний – желтый), «триада» – три (верхний и нижний имеют те же цвета, а средний – белый). Для вычисления по первому методу используется устройство, разграфленное по принципу 9 х 9, по второму – 5 х 5, по третьему – 3 х 3. В комментариях Чжэнь Луаня имеются еще некоторые подробности о числовых, символических и конструктивных особенностях данных вычислительных устройств, однако принцип их работы остается не ясен.


2.  Вычисления

2.1. Арифметические операции

Вероятно, уже со времени Сражающихся царств все фундаментальные арифметические действия (сложение, вычитание, умножение и деление) выполнялись с помощью счетных палочек на счетной доске и с использованием системы поместного значения, в которой пробелы были оставлены там, где мы помещаем нули. Хотя иероглифы в китайском письме традиционно писались сверху вниз, цифры на счетной доске всегда размещались по горизонтали слева направо. Сложение целых чисел и дробей обозначалось разными иероглифами – «бин» и «хэ». Вычитание обозначалось иероглифом «цзянь». Умножение считалось упрощенным сложением множества слагаемых. Данную операцию обозначал иероглиф «чэн». Его исходное значение – «упряжка», «колесница», «ехать на колеснице». Отсюда множители могли мыслиться как упряжка лошадей, управляемая возничим. Деление («чу», исходное значение «удалять») рассматривалось китайцами как упрощенное вычитание или как перевернутое умножение. Делитель назывался «фа» (букв. «норма») а делимое – «ши» (букв. «полнота»). Таблицы деления (использующие слова) были обычны начиная с эпохи Сун.

Действия по китайскому методу вычислений на счетной доске начинаются с высших разрядов, а затем поэтапно переходят на более низшие. Такой порядок предполагал корректирование промежуточных результатов, что было легко, поскольку достигалось перекладыванием счетных палочек. После каждого этапа предыдущий промежуточный результат заменялся на новый вплоть до получения окончательного результата. Это делало невозможным непосредственную проверку всей последовательности действий.

Ввиду простоты сложения и вычитания в математических текстах не приводятся правила их выполнения. Первое описание правил умножения и деления дано в книге Сунь-цзы «Сунь-цзысуаньцзин». Осуществление этих действий проводилось в трех позициях («вэй») на счетной доске – в верхней («шан»), средней («чжун») и нижней («ся»). При умножении множимое помещалось в верхней позиции, множитель – в нижней и их произведение – в средней. При делении делимое располагалось посередине, делитель – внизу, а их частное – вверху.

Позиция

Умножение

Деление

Верхняя

Множимое

Частное

Средняя

Произведение

Делимое

Нижняя

Множитель

Делитель






Вот один из примеров Сунь-цзы на умножение (рис.8).

hello_html_m5ab8bdb2.gif





Рис. 8


Рис.8

Изложение правила умножения Сунь-цзы начинает с указания на необходимость установить множимое и множитель таким образом, чтобы между их разрядами было прямое соответствие, чтобы они «друг на друга взирали» (сянгуань). Правда, вслед за этим, судя по приводимому Сунь-цзы примеру умножения 81 на 81, множитель передвигается вправо так, чтобы его низший разряд находился под высшим разрядом множимого (рис. 8). Затем надо осуществить ряд операций, которые лучше рассмотреть на примере Сунь-цзы. Первая их серия следующая: число в высшем разряде множителя (8) умножается на число из аналогичного разряда множимого (8); произведение (64 сотни) записывается в средней позиции; число в низшем разряде множителя (1) умножается на число из высшего разряда множимого (8); получившееся произведение (8 десятков) складывается с предыдущим произведением (648 десятков). Вторая серия операций начинается с перемещения («туй», буквально «отступать») множителя на одну клеточку вправо и удаления у множимого использованного высшего разряда. Затем число из высшего разряда множителя (8) умножается на число, оставшееся от множимого (1); получается 8 десятков, которые складываются с предыдущим результатом (80 + 6480 = 6560). Наконец на остаток множимого (1) умножается число из низшего разряда множителя (1); получается единица, которая складывается с предыдущим результатом, что дает число 6561.

Поскольку деление обратно умножению, Сунь-цзы не видит надобности в описании правила выполнения этого действия, а ограничивается примерами. Для начала приводится пример правильного соотнесения разрядов конкретных делителя и делимого – 6 и 100. Перед началом операций надо «выдвинуть» («цзинь») делитель под самый высокий разряд и посмотреть, возможно ли деление. В разряде сотен стоит число, меньшее делителя. Значит, деление не возможно, и нужно отступить на одну клеточку вправо. Деление 10 на 6 возможно.

Еще дается пример деления 6561 на 9 (рис. 9). Первая позиция делителя будет соответствовать сотням делимого. Делится 65 сотен на 9. Помимо остатка получатся 7 сотен, которые помещаются в верхнюю позицию. Из делимого вычитается 63 сотни (= 9 х 7 сотен). В средней позиции получается 261. Делитель перемещается в ячейку справа. Если разделить 26 десятков на 9, то помимо остатка получится 2 десятка, которые записываются в позиции частного, суммируясь тем самым с 7 сотнями. Из числа 261 вычитается 18 сотен (= 9 х 2 десятка). Получается число 81, которое записывается в средней позиции. После этого делитель передвигается еще на одну ячейку вправо. Совершается деление остатка делимого на делитель. Получается число 9, которое суммируется с числом в верхней позиции, что дает результат 729. 

hello_html_39277564.gif

Рис.9

При рассмотрении операции деления Сунь-цзы вводит важное дополнительное правило, касающееся деления с остатком. В этом случае последняя комбинация палочек на счетной доске должна рассматриваться как «запись» частного, состоящего из целого числа и дроби: делитель берется в качестве знаменателя, а остаток делимого – в качестве числителя. Например, при делении 100 на 6 получится 164/6 (рис. 10).

hello_html_37a8c829.gif

Рис.10

2.2. Дроби

2.2.1. Использование простых дробей

Первоначально китайцы использовали простейшие дроби, которые получили наименования с использованием иероглифа бань – «половина»: бань – 1/2; шао бань («малая половина») – 1/3; тай бань («большая половина») – 2/3. Следующим этапом было развитие общего представления о дробях и формирование правил оперирования с ними. Если в древнем Египте применялись только аликвотные дроби типа 1/n, то в Китае они, считаясь долями-фэнь, мыслились как одна из разновидностей дробей, а не единственно возможные. Китайская математика с древних времен имела дело со смешанными числами. Самый ранний из математических текстов, «Чжоу би суаньцзин» («Канон расчета чжоуского гномона»/«(Математический) трактат о гномоне»), содержит вычисления, при которых возводятся в степень такие числа, как, например, 247933/1460.

В «Цзю чжансуань шу» («Правила счета в девяти разделах») дробь рассматривается как часть целого, которая выражается в n-ном числе его долей-фэнь – m (n < m). Дробь – это «застывший» процесс деления одного числа на другое – делимого на делитель. Дробь всегда меньше единицы. Если в результате деления одного числа на другое получается остаток, то он принимается как числитель дроби, знаменателем которой является делитель. Напри-мер, при делении 22 на 5 получается 4 и остаток 2, который дает дробь 2/5.

В первом разделе «Цзю чжансуань шу», посвященном в целом измерению полей, отдельно приводятся правила сокращения, сложения, вычитания, деления и умножения дробей, а также их сравнения и «уравнивания» («пин»), т.е. такого сравнения трех дробей, при котором необходимо найти их среднее арифметическое (более простое правило вычисления среднего арифметического двух чисел в книге не приводится).

Например, для получения суммы дробей в указанном сочинении предлагается следующая инструкция: «Поочередно перемножьте («хучэн») числители на знаменатели. Сложите – это делимое («ши»). Перемножьте знаменатели – это делитель («фа»). Делимое соедините с делителем в одно («и»). Если имеется остаток, то свяжите его с делителем». Эта инструкция означает, что если складывается несколько дробей, то числитель каждой дроби надо умножить на знаменатели всех остальных дробей. При «соединении» делимого (как суммы результатов такого умножения) с делителем (произведение всех знаменателей) получается дробь, которую следует при необходимости сократить и из которой путем деления следует выделить целую часть, тогда «остаток» – это числитель, а сокращенный делитель – это знаменатель. Сумма набора дробей есть результат такого деления, состоящий из целого числа плюс дробь. Директива «перемножьте знаменатели» означает, по сути, приведение дробей к наибольшему общему знаменателю. В разделе IV процедура сложения дробей несколько иная. Там взамен указанному находится наименьшее общее кратное знаменателей.

Китайский алгоритм нахождения общего наибольшего делителя, называемого дэн шу (букв. «одинаковое число»), строится как последовательное вычитание не отрезков, а меньшего числа из большего. На это число дэн шу и надо сократить дробь. Например, предлагается сократить дробь 49/91. Проводим последовательное вычитание: 91 – 49 = 42; 49 – 42 = 7; 42 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 = 0. Дэн шу = 7. Сокращаем дробь на это число. Получаем: 7/13.

Деление дробей в «Цзю чжансуань шу» отличается от принятого сегодня. В правиле «цзинфэнь» («порядок деления»), указывается, что перед делением дробей их следует привести к общему знаменателю. Таким образом, процедура деления дробей имеет излишний этап: a/b : c/d = ad/bd : cb/bd = ad/cb. Только в V в. Чжан Цю-цзянь в своем сочинении «ЧжанЦю-цзяньсуаньцзин» («Счетный канон Чжан Цю-цзяня») от него избавился, производя деление дробей по обычному правилу: a/b : c/d = ad/cb. Возможно, долгая приверженность китайских математиков к усложненному алгоритму деления дробей была обусловлена стремлением сохранить его универсальность и использованием счетной доски. По сути дела, он заключается в сведении деления дробей к делению целых чисел. Этот алгоритм остается справедлив, если делится целое число на смешанное. В делении, например, 2922 на 1825/8, оба числа сначала умножались на 8, что позволяло далее делить целые числа – 23376 : 1461 = 16.

2.2.2. Десятичные дроби

Появление в Китае десятичных дробей обусловлено, прежде всего существованием там десятеричной системы счисления, а также использованием счетной доски, в структуре которой также заложена десятичность, и системы мер и весов, которая с ранних времен строилась по десятичному принципу. В измерительной практике древних народов те или иные меры возникали независимо друг от друга. Так было и в Китае. Некоторые китайские меры были основаны на частях человеческого тела – фаланга пальца («цунь»), кисть руки («чи») и т.д. При измерении земли употреблялся «бу» – «двойной шаг». Были меры растительного происхождения. Так, за один «фэнь» принималась толщина просяного зернышка. В эпоху Чжоу меры длины варьировались и не всегда имели десятичные соотношения. Например, 1 «чжан» (199,1 см) = 1 1/4 «жэнь» = 2 «мо» = 10 «чи» = 100 «цунь». Когда Цинь Ши-хуан объединил империю (221 г. до н.э.), он выбрал число 6 как свою эмблему и основу стандартизации весов и мер. И хотя «двойной шаг» был установлен в 6 «чи» («циньский чи» = 27,65 см), советники императора построили по десятичному принципу шкалу мер длин, находящихся ниже «чи». Таким образом, получилось:

«чи»

=

10 «цунь»

«цунь»

=

10 «фэнь»

«фэнь»

=

10 «ли»

«ли»

=

10 «хао»

Еще имелся «чжан» в 10 «чи» и «инь» в 10 «чжан». Эта система также находилась в обращении в течение всей эпохи Хань и с некоторыми модификациями была использована для построения систем мер длины в более поздние времена.

Из десятичной системы мер и весов естественным образом вытекал десятичный способ записи дробей. На ранних этапах развития традиционной математики китайцы не имели дело с отвлеченным числом, а решали практические задачи, в которых обсуждались длины, площади, объемы и веса. Поэтому десятичная запись была, по сути, записью в той или иной десятичной системе измерений. Дроби в такой десятичной записи историки китайской науки называют «метрологическими дробями».

Во времена Лю Хуя десятичные метрологические дроби еще не получили широкого распространения, поскольку, вероятно, китайцы были так искусны в использовании обычных дробей, что многие из них просто не чувствовали потребность в применении десятичных. Однако позднее они все чаще начинают появляться в литературе.Метрологические дроби являются прообразом настоящих десятичных дробей.

Сунь-цзы прекрасно понимал, что десятичные дроби облегчают процедуры умножения и деления на степени 10. В последнем разделе его книги часто встречается выражение – «шан ши чжи» (поднять в десять раз), что означает умножение на степень 10. Для обозначения деления на степень он использовал термин «туй» (отступать).

Применение метрологических дробей давало возможность передвижения по шкале единиц с целью выбора более удобного обозначения для целых и дробных разрядов. Можно, сказать, что при этом использовался принцип «плавающей запятой».

Что касается понятия десятичной дроби в абстрактной форме, то оно стало развиваться в Китае только под влиянием новоевропейской математики.









1 2. История династии Хань с 206 до н.э. – 9 н.э.

2 3. «Цзо чжусуань» - памятник исторической прлозы Древнего Китая, представляющий подробнейшие комментарии к краткой хронике «Чуньцю» о событиях периода «Весны и Осени»

iЗаключение

Первые дошедшие до нас китайские письменные памятники относятся к эпохе Шан (XVIII—XII вв. до н. э.). И уже на гадальных костях XIV в. до н. э., найденных в Хэнани, сохранились обозначения цифр. Но подлинный расцвет науки начался после того, как в XII в. до н. э. Китай был завоёван кочевниками Чжоу. В эти годы возникают и достигают удивительных высот китайская математика и астрономия. Появились первые точные календари и учебники математики. К сожалению, «истребление книг» императором Цинь Ши Хуаном (Ши Хуанди) не позволило ранним книгам дойти до нас, однако они, скорее всего, легли в основу последующих трудов.



Список литературы

  1. Березкина Э. И. Математика древнего Китая. М., 1980.

  2. История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. М.: Наука, 1970. ‒ Т. II.

  3. Кобзев А. И. Учение о символах и числах в китайской классической философии. М., 1994.

  4. Рыбников К. А. История математики. М., 1994.



1



Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy



Краткое описание документа:

Эта работа посвящена не самим математическим методам, а вопросам, лежащим в основе математики любой древней цивилизации и передающим ее специфику, ее «колорит». Речь идет о технике вычислений.

От того, насколько хорошо освоены и разработаны действия с числами, зависит развитие математических методов, особенно в древние эпохи. В истории математики достаточно хорошо известны техника вычислений древнего Египта и древней Месопотамии ‒ два ярких, сравнимых между собой по времени примера того, как на различных вычислительных основах строилась математика той или другой древневосточной цивилизации. И мало известна техника вычислений древнего Китая, которую иногда совсем не упоминают, хотя она существенным образом дополняет общую картину развития математики в древности.

Автор
Дата добавления 05.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1341
Номер материала 511960
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх