Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Реферативная работа "Извлечение квадратных корней"

Реферативная работа "Извлечение квадратных корней"

  • Математика

Название документа Защитное слово.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

Защитное слово

При изучении темы квадратных корней по алгебре, которая в одно и то же время «переплеталась» с изучением теоремы Пифагора по геометрии, на уроках и дома мне приходилось часто пользоваться калькулятором. Не всегда под рукой был калькулятор и таблица квадратов. Уже тогда возникал вопрос, как же быть в тех случаях, когда на экзаменах в формате ГИА и ЕГЭ пользование калькулятором запрещено. Таблица квадратов целых чисел не даёт ответ на такие вопросы, как, например, корень 5, 32, 85, 10816, 180625 и другие даже приблизительно.

Все знают, что извлечь квадратный корень без калькулятора - это непосильная задача. В лучшем случае, в ситуации, когда решение задач требует извлечения корня, а калькулятор вне зоны досягаемости, прибегают к методу подбора и стараются вспомнить данные из таблицы квадратов целых чисел, но это не всегда спасает. Сколько раз все попадали в подобные ситуации? Почти все, к кому я обращался с этим вопросом, не знали ни одного способа решения этой проблемы. (Приложение 1) Но однажды я узнал, что извлекать корни люди научились задолго до изобретения «умной» техники. Мои вопросы и легли в основу данной работы, результаты которой для меня стали маленьким открытием. Работая над данной проблемой, я нашёл не один, а несколько способов её решения.

Актуальность выбранной темы теоретического исследования обусловлена малой изученностью проблемы извлечения квадратных корней без использования калькулятора.

Практическая значимость работы заключается в формировании банка приёмов и способов извлечения квадратных корней без использования калькулятора, который можно использовать во время итоговой аттестации по математике в выпускных классах.

Цель работы: создать банк рациональных приёмов и способов извлечения квадратных корней без калькулятора.

Задачи:

  1. Выяснить, какими знаниями и навыками по теме реферата обладают участники образовательных отношений (учащиеся, учителя математики, родители).

  2. Провести контент-анализ источников и литературы по данному вопросу.

  3. Изучить известные способы извлечения квадратных корней без использования калькулятора.

  4. Рассмотреть особенности каждого найденного способа и описать его алгоритм.

  5. Показать практическое применение полученных знаний и оценить степень сложности использования различных способов и алгоритмов.


В процессе работы над темой реферата нам удалось выяснить, что круг литературы по данной проблеме недостаточно широк. Тем не менее, хорошим подспорьем в работе стал учебник А. Г. Мордковича «Алгебра, 8 класс» (издательство «Мнемозина», 2005 г.). Эта книга является для нас дополнительной литературой, так как в школе математику мы изучаем по учебнику Дорофеева Г.В. В своей работе автор описывает такие способ извлечения квадратных корней, как способ разложения на множители и метод подбора угадыванием, который изначально предлагают английские студенты математического колледжа Лондона. А. Г. Мордкович предлагает аналогичное решение при введении символа квадратного корня и называет его методом уточнения [1, стр. 87], но сам предлагает угадывать, называя это угадывание поиском «хвостика» при попадании в «яблочко». [1,стр. 90].

Л. Ф. Пичугин предлагает обратить внимание на такой способ извлечения квадратных корней, как деление на пары через составление ребуса. Этот способ почти универсальный, достаточно точный, но очень трудоёмкий.

Книга М.В. Ткачевой для учащихся 8 класса «Домашняя математика» предполагает семейное чтение и призвана помочь школьнику и его родителям при совместных занятиях математикой. Содержит занимательные задачи и непрограммные разделы. В этой книге также подробно описан метод подбора угадыванием.

Поиск необходимой информации в интернете помог привел нас на сайт фестиваля «Открытый урок» педагогического клуба «1 сентября». Здесь размещены материалы учителя математики Клиновой З.М., в которых приводятся отдельные способы извлечения квадратных корней без использования калькулятора.



В ходе работы мы выяснили, что существует множество различных способов извлечения квадратных корней, о которых большинство школьников даже не догадываются. Проведя контент-анализ источников и литературы по данному вопросу и изучив эти способы, мы пришли к следующим выводам:

  • история отдельных способов уходит корнями в глубокую древность (формула Древнего Вавилона);

  • каждый способ имеет свои особенности и алгоритм применения;

  • не все способы имеют универсальный характер применения (так способ отбрасывания квадрата применим только для точных четырёхзначных чисел);

  • способы различаются по уровню сложности (самым сложным в применении, на наш взгляд, является метод Ньютона, т.к. требует знание формулы и предполагает громоздкие вычисления).

Результатом работы по данной проблеме стало составление сопоставительной таблицы способов извлечения квадратных корней без калькулятора.

Сравнительный анализ способов был проведен по следующим критериям:

      1. Каких дополнительных знаний требует?

      2. Преимущества способа.

      3. Недостатки

      4. Уровень сложности.

В ходе проведенного анализа нам удалось выяснить, что каждый способ имеет присущие ему характеристики. Эффективность изученных способов была проверена нами на практике, что позволило нам дать условную отметку каждому способу по пятибалльной системе.

Итогом данной работы стало составление сопоставительной таблицы.

(Она представлена на слайде)

Способ

Каких доп-х знаний требует?



Преимущества



Недостатки

Вывод

(по уровню сложности)

Условная отметка

Способ разложения на простые множители

Значение квад-ратов, простые множители.


Корень не всегда можно до конца извлечь.

Трудоёмкая задача, не всегда приводит к желаемому результату.



3

Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел

Наличие таблицы квадратов чисел до 99.

Дает мгновен-ное извлечение квадратного корня из любых целых чисел от 1 до 100с точностью до десятых.

Корни, большие 100 уже этим способом извлечь невозможно.

Способ очень прост в приме-нении.





5

Формула Древнего Вавилона

Знания полных квадратов больших чисел и древней формулы

Дает хорошее приближение к точному значению корня.

Нужно знать формулу.

Крайне затруд-нительно без знания полных квадратов больших чисел.



4

Способ через решение уравнения

Знание формул сокращенного умножения, умение решать уравнения.

Необычайно точен и удобен

Требует терпения и упорства.

Интересен и математически красив.



4

Деление на пары через составление ребуса

Хорошие вы-числительные навыки.

Применим к любым числам

Составление ребуса (угадывание цифры на конце числа) требует логики и хороших вычислительных навыков столбиком.

Трудоёмкий, но очень точный.



5

Способ отбрасывания полного квадрата

Значение квадратов чисел от 11 до 29

Короткое решение, доступен для тех, кто знает квадраты чисел от 11 до 29.

Алгоритм нахождения зависит от величины подкоренного числа.


Сложен в запоминании, применим только для четырёхзначных чисел точных корней





3

Метод Ньютона


Знание формулы

Позволяет из-влекать квад-ратный корень из большого числа с любой точностью.

Громоздкость вычислений.

Очень трудоёмкий.





3

Метод подбора угадыва-нием

Значения квадратов.

Алгоритм прост.

Требует много-кратного вы-числения произведения столбиком не всегда правильно угаданных чисел.

Не слишком наилучший способ, требует постоянных вычислений путем подбора.





3

Метод вычетов нечётного числа

Последовательно вычитать нечётные числа, а затем подсчитать число вычитаний

Доступен де-тям, решающим простейшие ма-тематические задачи, требую-щие извлечения квадратного корня

Если извле-каемый корень не является целым числом, то можно уз-нать только его целую часть, но не точнее.

Называют «ме-тодом черепа-хи» из-за его медлительности





2



Данная таблица является своеобразным банком таких приемов и способов. Мы надеемся, что это поможет школьникам определиться в выборе наиболее рациональных способов в учебной деятельности, а также при подготовке к итоговой аттестации.



Работа над данным теоретическим исследованием показала, что изучение квадратных корней – не прихоть математиков, а объективная необходимость: в реальной жизни случаются ситуации, математические модели которых содержат операцию извлечения квадратного корня. Но не всегда под рукой мы имеем калькулятор.

В ходе проведенного теоретического исследования мы выяснили, что математических знаний ученика 8 класса недостаточно для овладения всеми способами извлечения квадратных корней. Это определило дальнейшие перспективы работы по данной проблеме: в следующем учебном году мы продолжим изучение и апробацию существующих способов.





Название документа Отзыв.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

Отзыв

на реферативную работу

«Извлечение квадратных корней без калькулятора»,

выполненную обучающимся 8М класса

МОУ «Школа №5» г. Черемхово

Шамаевым Егором



Тема реферативной работы «Извлечение квадратных корней без калькулятора» является актуальной, так как этому вопросу недостаточно внимания уделяется в основном курсе алгебры.

Цель работы соответствует основным приоритетам изучения математики в современной школе. Решаемые автором задачи позволяют достаточно высоко оценить уровень его заинтересованности в изучении математики.

В процессе работы Егор продемонстрировал свои умения работать с разными источниками информации. Анализируя теоретические источники, Егор развивал пытливость ума, трудолюбие, упорство в достижении поставленной цели. Автор работы познакомился с дополнительной учебной и справочной литературой и научился извлекать квадратные корни разными способами.

Структура и содержание работы соответствует заявленной теме и требованиям, предъявляемым к написанию работы. План работы носит последовательный, логичный характер.

Данная работа ценна тем, что банк предложенных приёмов и способов дает возможность выбрать рациональный способ извлечения квадратных корней без использования калькулятора и использовать во время итоговой аттестации по математике в выпускных классах.


Руководитель: Гришина И.Ю.




Отзыв

на проектную работу

«Сам себе репетитор».

Решения некоторых видов уравнений и неравенств,

выполненную учащимися 9М класса

МОУ «Школа №5» г. Черемхово

Банщиковой Елизаветой и

Карнапольцевой Анастасией.


Создание сборника уравнений и неравенств хорошая идея, направленная на ликвидацию «пробелов» в знаниях по темам «Уравнения», «Неравенства». Решаемые авторами задачи позволяют достаточно высоко оценить уровень их заинтересованности в изучении математики.

В процессе работы Лиза и Настя продемонстрировали свои умения работать с разными источниками информации. Анализируя теоретические источники, девочки развивали пытливость ума, трудолюбие, упорство в достижении поставленной цели. Они познакомились с дополнительной учебной и справочной литературой и актуализировали для себя известные способы решения уравнений и неравенств, изученные в курсе алгебры 7 - 9 классов, выявили «пробелы» в знаниях по данным темам.

Структура и содержание работы соответствует заявленной теме и требованиям, предъявляемым к написанию работы. План работы носит последовательный, логичный характер.

Работа ценна тем, что данный сборник дает возможность организовать самостоятельную работу по повторению учебного материала по заданным темам и подготовке к прохождению итоговой аттестации по предмету «Математика».


Руководитель: Гришина И.Ю.


Название документа извлечение квадратных корней.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_3ab80827.gifМуниципальное общеобразовательное учреждение «Школа №5 г.Черемхово»













Выполнил: Шамаев Егор

ученик 8М класса

Руководитель: Гришина И.Ю.

учитель математики









г. Черемхово

2014

Оглавление

Введение ….…………………………………………….………………………..3

Обзор литературы…………………………………………………………………5

  1. Способы извлечения квадратных корней без использования калькулятора………………………………………………………………..6



    1. Способ разложения на простые множители …………………………..6

    2. Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел ……...6

    3. Формула Древнего Вавилона …………………………………………….7

    4. Способ через решение уравнения………………………………………..8

    5. Деление на пары через составление ребуса…………………………...8

    6. Способ отбрасывания полного квадрата………………………………...9

    7. Метод Ньютона ………………………………………………………….10

    8. Метод подбора угадыванием……………………………………………11

    9. Метод вычетов нечётного числа………………………………………...11



  1. Сравнительная характеристика известных способов извлечения квадратных корней без калькулятора……………………………………13

Заключение ……………………………………………………………………..15

Литература...………………………….………………………………………….16

Приложения























...Умственную самодеятельность, сообразительность и “смекалку” нельзя ни “вдолбить”, ни “вложить” ни в чью голову. Результаты надёжны лишь тогда, когда введение в область математических знаний совершается в лёгкой и приятной форме, на предметах и примерах обыденной и повседневной обстановки, подобранных с надлежащим остроумием и занимательностью”

Е.И. Игнатьев (Предисловие к первому изданию “В царстве смекалки”, 1908 год)



Введение



При изучении темы квадратных корней по алгебре, которая в одно и то же время «переплеталась» с изучением теоремы Пифагора по геометрии, на уроках и дома мне приходилось часто пользоваться калькулятором. Не всегда под рукой был калькулятор и таблица квадратов. Уже тогда возникал вопрос, как же быть в тех случаях, когда на экзаменах в формате ГИА и ЕГЭ пользование калькулятором запрещено. Таблица квадратов целых чисел не даёт ответ на такие вопросы, как, например, корень 5, 32, 85, 10816, 180625 и другие даже приблизительно.

Все знают, что извлечь квадратный корень без калькулятора - это непосильная задача. В лучшем случае, в ситуации, когда решение задач требует извлечения корня, а калькулятор вне зоны досягаемости, прибегают к методу подбора и стараются вспомнить данные из таблицы квадратов целых чисел, но это не всегда спасает. Сколько раз все попадали в подобные ситуации? Почти все, к кому я обращался с этим вопросом, не знали ни одного способа решения этой проблемы. (Приложение 1) Но однажды я узнал, что извлекать корни люди научились задолго до изобретения «умной» техники. Мои вопросы и легли в основу данной работы, результаты которой для меня стали маленьким открытием. Работая над данной проблемой, я нашёл не один, а несколько способов её решения.

Актуальность выбранной темы теоретического исследования обусловлена малой изученностью проблемы извлечения квадратных корней без использования калькулятора.

Практическая значимость работы заключается в формировании банка приёмов и способов извлечения квадратных корней без использования калькулятора, который можно использовать во время итоговой аттестации по математике в выпускных классах.

Цель работы: создать банк рациональных приёмов и способов извлечения квадратных корней без калькулятора.



Задачи:

  1. Выяснить, какими знаниями и навыками по теме реферата обладают участники образовательных отношений (учащиеся, учителя математики, родители).

  2. Провести контент-анализ источников и литературы по данному вопросу.

  3. Изучить известные способы извлечения квадратных корней без использования калькулятора.

  4. Рассмотреть особенности каждого найденного способа и описать его алгоритм.

  5. Показать практическое применение полученных знаний и оценить степень сложности использования различных способов и алгоритмов.

























































Обзор литературы

В процессе работы над темой реферата нам удалось выяснить, что круг литературы по данной проблеме недостаточно широк. Тем не менее, хорошим подспорьем в работе стал учебник А. Г. Мордковича «Алгебра, 8 класс» (издательство «Мнемозина», 2005 г.). Эта книга является для нас дополнительной литературой, так как в школе математику мы изучаем по учебнику Дорофеева. Учебник Мордковича дает возможность учащимся полноценно усваивать первичные модели (функции) – уравнения - преобразования. Обучение ориентировано на решение алгебраических задач и упражнений, требующих деятельностного участия учащихся; на исследование, на конструирование речевых высказываний, на извлечение информации из разных источников. В своей работе автор описывает такие способ извлечения квадратных корней, как способ разложения на множители и метод подбора угадыванием, который изначально предлагают английские студенты математического колледжа Лондона. А. Г. Мордкович предлагает аналогичное решение при введении символа квадратного корня и называет его методом уточнения [1, стр. 87], но сам предлагает угадывать, называя это угадывание поиском «хвостика» при попадании в «яблочко». [1,стр. 90].

Книга Л.Ф. Пичугина "За страницами учебника Алгебры" адресована учащимся 7-9 классов для самостоятельного чтения и по содержанию тесно примыкает к школьной программе. Автором широко привлекаются исторические сведения, занимательные факты, раскрывается практическое значение изучаемого материала, решаются нестандартные задачи. Пичугин предлагает обратить внимание на такой способ извлечения квадратных корней, как деление на пары через составление ребуса. Этот способ почти универсальный, достаточно точный, но очень трудоёмкий.

Книга М.В. Ткачевой для учащихся 8 класса «Домашняя математика» предполагает семейное чтение и призвана помочь школьнику и его родителям при совместных занятиях математикой. Содержит занимательные задачи и непрограммные разделы. В этой книге также подробно описан метод подбора угадыванием.

Поиск необходимой информации в интернете помог нам выйти на сайт фестиваля «Открытый урок» педагогического клуба «1 сентября». Здесь размещены материалы учителя математики Клиновой З.М., в которых приводятся отдельные способы извлечения квадратных корней без использования калькулятора.







    1. Способы извлечения квадратных корней без использования калькулятора



    1. Способ разложения на простые множители



Для извлечения квадратного корня можно разложить число на простые множители и извлечь квадратный корень из произведения.

Этим способом принято пользоваться при решении заданий с корнями в школе.

3136│2 7056│2

1568│2 3528│2

784│2 1764│2

392│2 882│2

196│2 441│3

98│2 147│3

49│7 49│7

7│7 7│7

3136 = √2²∙2²∙2²∙7² = 2∙2∙2∙7 = 56 √3136 = √2²∙2²∙3²∙7² = 2∙2∙3∙7 = 84 [1, стр105]

Многие применяют его успешно и считают единственным. Извлечение корня разложением на множители - трудоёмкая задача, которая тоже не всегда приводит к желаемому результату. Попробуйте извлечь квадратный корень из числа 209764? Разложение на простые множители дает произведение 2∙2∙52441. А как быть дальше? С этой задачей сталкиваются все, и спокойно в ответе записывают остаток от разложения под знак корня. Методом проб и ошибок, подбором разложение, конечно, можно сделать, если быть уверенным в том, что получится красивый ответ, но практика показывает, что очень редко предлагаются задания с полным разложением. Чаще мы видим, что корень до конца не извлечь.[5] Поэтому, этот способ лишь частично решает проблему извлечения без калькулятора.



    1. Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел



С этим способом меня познакомила мой преподаватель математики. Способ очень прост в применении и даёт мгновенное извлечение квадратного корня из любых целых чисел от 1 до 100 с точностью до десятых без калькулятора. Одно условие для этого метода – наличие таблицы квадратов чисел до 99.

(Она есть во всех учебниках алгебры 8 класса, и на экзамене ГИА предлагается в качестве справочного материала.) [1,4 форзац]



Откройте таблицу и проверьте скорость нахождения ответа. Но сначала несколько рекомендаций: самый левый столбик – это будут в ответе целые, самая верхняя строчка – это десятые в ответе. А дальше всё просто: закройте две последние цифры числа в таблице и найдите нужное вам, не превосходящее подкоренное число, и далее действуйте по правилам этой таблицы.

Рассмотрим на примере. Найдём значение √87.

Закрываем две последние цифры у всех чисел в таблице и находим близкие для 87 – таких только два 8649 и 8837. Но 88 – это уже много.

Значит, остаётся только одно – 8649.

Левый столбик даёт ответ 9 (это целых), а верхняя строчка 3 (это десятых). Значит √87≈ 9,3. Проверим на МК √87 ≈ 9,327379.

Быстро, просто, доступно на экзамене. Но сразу понятно, что корни, большие 100 уже этим способом извлечь невозможно. Способ удобен для заданий с маленькими корнями и при наличии таблицы.



1.3 Формула Древнего Вавилона

Древние вавилоняне пользовались следующим способом нахождения приближенного значения квадратного корня из числа х.

Число х они представляли в виде суммы а2 + b, где а2 ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а и пользовались формулой:

62156

















http://festival.1september.ru/articles/517087/Image3501.gif







Извлечём с помощью этой древней формулы корень квадратный из числа 28:

Результат извлечения корня из 28 с помощью МК равен 5,2915026. [5]

Как видим, способ вавилонян дает хорошее приближение к точному значению корня. (Приложение 2) Но без знания полных квадратов больших чисел и умения их быстро находить, результат извлечения будет найти крайне затруднительно.

http://festival.1september.ru/articles/517087/Image3502.gif













    1. Способ через решение уравнения



На самом деле существует удобный способ нахождения квадратного корня «вручную» через решение уравнения, ведь математика - наука с многовековой историей, а калькуляторы были не всегда. Способ этот дает возможность вычислить значение корня с точностью до одного - двух знаков после запятой, а, при желании, достичь и большей точности. Звучит невероятно, но попробуйте испытать этот способ при вычислении квадратного корня. В чем его суть рассмотрим на примере и попробуем вычислить значение корня 17. Сначала определим границы искомого корня в целых числах. Легко догадаться, что это числа 16 = 4² и 25 = 5², поэтому √16 < √17 < √25 и 4 < √17 < 5.

Пусть х – это та разница, на которую отличны друг от друга √16 и √17,

следовательно, √17 = 4 + х. Возведем в квадрат обе части полученного уравнения (√17) ² = (4 + х)² и раскроем скобки при помощи формулы суммы квадрата:

17 = (4 + х= 16 + 8х + х².

Так как мы рассчитываем получить результат с точностью до десятых или до сотых, а х² явно достаточно малая дробь, то ей вполне можно пренебречь.

В результате приходим к простому линейному уравнению 17 = 16 + 8х.

Решив его, получаем значение: х = 0,125. Значит √ 17 4 + 0,125 4,125 .

На самом деле, при расчете на калькуляторе, значение этого корня равно 4,1231056, то есть погрешность при нашем расчете составила 0,0018944 – это менее двух тысячных. Не правда ли, вполне приличная точность!

Но если все же решение задач по математике требует еще большей точности, то можно достичь ее тем же способом, просто продолжив вычисления с уже полученным значением корня. (Приложение 3). Так что подобный способ вычисления квадратного корня необычайно точен и удобен, а погрешность вычисления зависит исключительно от вашего терпения и упорства. [8]

Но и этот способ требует терпения и умения решать уравнения с использованием формул сокращённого умножения.



    1. Деление на пары через составление ребуса



Работаем сразу с √596334 по плану: Пусть √596334 = х

1. Разбиваем число (5963364) на пары справа налево (5`96`33`64)

2. Извлекаем квадратный корень из первой слева группы (http://festival.1september.ru/articles/517087/img1.gif - число 2).

Так мы получаем первую цифру числа х.

3. Находим квадрат первой цифры (22 = 4).

4. Находим разность первой группы и квадрата первой цифры (5 - 4 = 1).

5. Сносим следующие две цифры (получили число 196).

6. Удваиваем первую, найденную нами цифру, записываем слева за чертой (2∙2 = 4).

7. Теперь необходимо найти вторую цифру числа х: удвоенная первая цифра, найденная нами, становится цифрой десятков числа, при умножении которого на число единиц, необходимо получить число меньшее 196 (это цифра 4, и 44∙ 4 = 176).

4 - вторая цифра числа х.

8. Находим разность (196 – 176 = 20).

9. Сносим следующую группу (получаем число 2033).

10. Удваиваем число 24, получаем 48.

11.48 десятков в числе, при умножении которого на число единиц, мы должны получить число меньшее 2033 (484∙4=1936). Найденная нами цифра единиц (4) и есть третья цифра числа х. Далее процесс повторяется. [4]

Способ почти универсальный, так как применим к любым числам, но составление ребуса (угадывание цифры на конце числа) требует логики и хороших вычислительных навыков столбиком.[2] Он трудоёмкий, но очень точный. (Приложение 4)

http://festival.1september.ru/articles/517087/Image3497.gif



1.6 Способ отбрасывания полного квадрата

( только для четырехзначных чисел)



Сразу стоит уточнить, что этот способ применим только для извлечения квадратного корня из точного квадрата, а алгоритм нахождения зависит от величины подкоренного числа.



  1. Извлечение корней до числа 752 = 5625

Например: √¯3844 = √¯ 3700 + 144 = 37 + 25 = 62.

Число 3844 представим в виде суммы, выделив из этого числа квадрат 144, затем выделенный квадрат отбрасываем, к числу сотен первого слагаемого (37) прибавляем всегда 25. Получим ответ 62.

Так можно извлекать только квадратные корни до числа 752 =5625!



2) Извлечение корней после числа 752 = 5625

Как же устно извлечь квадратные корни из чисел больше 752 =5625?

Например: √7225 = √7000 + 225 = 70 + √225 = 70 + 15 = 85.

Поясним,7225 представим в виде суммы 7000 и выделенного квадрата 225. Затем к числу сотен прибавить квадратный корень из 225, равный 15.

Получим ответ 85.

Этот способ нахождения очень интересен и в какой-то мере оригинален, но в ходе моего исследования встретился только один раз в работе пермского преподавателя [4]. Возможно, он мало изучен или имеет какие-то исключения.

Он достаточно сложен в запоминании из-за двойственности алгоритма и применим только для четырёхзначных чисел точных корней, но я проработал множество примеров и убедился в его правильности. Кроме всего этот способ доступен тем, кто уже запомнил наизусть квадраты чисел от 11 до 29, ведь без их знания он будет бесполезен.



1.7 Метод Ньютона



Этот приближенный метод извлечения квадратного корня без использования калькулятора разработал Исаак Ньютон, но открыл его ещё раньше (около 100 г. н.э.) один из математиков древнего мира Герон Александрийский.[5]newton

Метод этот (известный как метод Ньютона) заключается в следующем:

Пусть а1 — первое приближение числа √ х (в качестве а1 можно брать значения квадратного корня из натурального числа — точного квадрата,

не превосходящего х).

Следующее, более точное приближение а2 числа √ х найдется по формуле.

http://festival.1september.ru/articles/517087/Image3505.gif

Третье, еще более точное приближение

http://festival.1september.ru/articles/517087/Image3506.gifи так далее до любой точности

(n+1) - е приближение √ х найдется по формуле

http://festival.1september.ru/articles/517087/Image3507.gif.

Нахождение приближенного значения числа 2 методом Ньютона дает следующие результаты: а1 = 1,4; а2 = 1,41; а3 = 1,415.

1.8 Метод подбора угадыванием



Этот метод предлагают английские студенты математического колледжа Лондона, но каждый в своей жизни хоть раз непроизвольно пользовался этим методом.[3] Он основан на подборе разных значений квадратов близких чисел путём сужения области поиска. Овладеть этим способом может каждый, но вот пользоваться вряд ли, потому что он требует многократного вычисления произведения столбиком не всегда правильно угаданных чисел. Этот способ проигрывает и в красоте решения, и по времени. Алгоритм прост:

Предположим, вы хотите извлечь квадратный корень из 75.

Так как 82 = 64 и 92 = 81, вы знаете, ответ находится где-то между ними.

Попробуйте возвести 8,52 и вы получите 72,25 (слишком мало)

Теперь попробуйте 8,62 и вы получите 73,96 (слишком небольшой, но все ближе)

Теперь попробуйте 8,72 и вы получите 75,69 (слишком большая) http://www.murderousmaths.co.uk/books/pix/thagpad.gif

Теперь вы знаете, ответ находится между 8,6 и 8,7

Попробуйте возвести 8,652 и вы получите 74,8225 (слишком мало)

Теперь попробуйте 8,662 ... и так далее. [9]

Продолжайте, пока не получите ответ достаточно точный для вас.

Аналогичное решение предлагает А. Г.Мордкович при введении символа квадратного корня и называет его методом уточнения [1,стр 87], но сам предлагает угадывать, называя это угадывание поиском «хвостика» при попадании в «яблочко». [1,стр 90].



1.9 Метод вычетов нечётного числа



Этот способ предлагает преподаватель математики одной из школ Вашингтона миссис Бруксбанк своим ученикам. Он заключается в том, чтобы последовательно вычитать нечётные числа 1, 3, 5, 7 и т.д. пока не дойдете до нуля, а затем подсчитать число вычитаний. Это и будет ответ.
Например, чтобы получить квадратный корень из 36 и 121 это:

36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9 = 11 - 11 = 0 [7]

Общее количество вычитаний = 6, поэтому квадратный корень из 36 = 6.

121 - 1 = 120 - 3 = 117- 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 -11 = 85 – 13 = 72 - 15 = 57 – 17 = 40 -19 = 21 - 21 = 0

Общее количество вычитаний = 11, поэтому √121 = 11.

Российские учёные называют этот метод арифметическим извлечением квадратного корня, а за глаза «методом черепахи» из-за его медлительности.
Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень не является целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не точнее. В то же время такой способ вполне доступен детям, решающим простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного корня. Попробуйте извлечь квадратный корень из числа, например, 5963364 этим способом и вы поймёте, что он «работает», безусловно, без погрешностей для точных корней, но очень - очень длинный в решении.





























































2. Сравнительная характеристика известных способов извлечения квадратных корней без калькулятора



Сравнительный анализ способов был проведен по следующим критериям:

      1. Каких дополнительных знаний требует?

      2. Преимущества способа.

      3. Недостатки

      4. Уровень сложности.

В ходе проведенного анализа нам удалось выяснить, что каждый способ имеет присущие ему характеристики. Эффективность изученных способов была проверена нами на практике, что позволило нам дать условную отметку каждому способу по пятибалльной системе.

Итогом данной работы стало составление сопоставительной таблицы.

Способ

Каких доп-х знаний требует?



Преимущества



Недостатки

Вывод

(по уровню сложности)

Условная отметка

Способ разложения на простые множители

Значение квад-ратов, простые множители.


Корень не всегда можно до конца извлечь.

Трудоёмкая задача, не всегда приводит к желаемому результату.



3

Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел

Наличие таблицы квадратов чисел до 99.

Дает мгновен-ное извлечение квадратного корня из любых целых чисел от 1 до 100с точностью до десятых.

Корни, большие 100 уже этим способом извлечь невозможно.

Способ очень прост в приме-нении.





5

Формула Древнего Вавилона

Знания полных квадратов больших чисел и древней формулы

Дает хорошее приближение к точному значению корня.

Нужно знать формулу.

Крайне затруд-нительно без знания полных квадратов больших чисел.



4

Способ через решение уравнения

Знание формул сокращенного умножения, умение решать уравнения.

Необычайно точен и удобен

Требует терпения и упорства.

Интересен и математически красив.



4

Деление на пары через составление ребуса

Хорошие вы-числительные навыки.

Применим к любым числам

Составление ребуса (угадывание цифры на конце числа) требует логики и хороших вычислительных навыков столбиком.

Трудоёмкий, но очень точный.



5

Способ отбрасывания полного квадрата

Значение квадратов чисел от 11 до 29

Короткое решение, доступен для тех, кто знает квадраты чисел от 11 до 29.

Алгоритм нахождения зависит от величины подкоренного числа.


Сложен в запоминании, применим только для четырёхзначных чисел точных корней





3

Метод Ньютона


Знание формулы

Позволяет из-влекать квад-ратный корень из большого числа с любой точностью.

Громоздкость вычислений.

Очень трудоёмкий.





3

Метод подбора угадыва-нием

Значения квадратов.

Алгоритм прост.

Требует много-кратного вы-числения произведения столбиком не всегда правильно угаданных чисел.

Не слишком наилучший способ, требует постоянных вычислений путем подбора.





3

Метод вычетов нечётного числа

Последовательно вычитать нечётные числа, а затем под-считать число вычитаний

Доступен де-тям, решающим простейшие ма-тематические задачи, требующие извлечения квадратного корня

Если извле-каемый корень не является целым числом, то можно уз-нать только его целую часть, но не точнее.

Называют «ме-тодом черепа-хи» из-за его медлительности





2















Заключение



Работа над данным теоретическим исследованием показала, что изучение квадратных корней – не прихоть математиков, а объективная необходимость: в реальной жизни случаются ситуации, математические модели которых содержат операцию извлечения квадратного корня. Но не всегда под рукой мы имеем калькулятор.

В ходе работы мы выяснили, что существует множество различных способов извлечения квадратных корней, о которых большинство школьников даже не догадываются. Проведя контент-анализ источников и литературы по данному вопросу и изучив эти способы, мы пришли к следующим выводам:

  • история отдельных способов уходит корнями в глубокую древность (формула Древнего Вавилона);

  • каждый способ имеет свои особенности и алгоритм применения;

  • не все способы имеют универсальный характер применения (так способ отбрасывания квадрата применим только для точных четырёхзначных чисел);

  • способы различаются по уровню сложности (самым сложным в применении, на наш взгляд, является метод Ньютона, т.к. требует знание формулы и предполагает громоздкие вычисления).

Результатом работы по данной проблеме стало составление сопоставительной таблицы способов извлечения квадратных корней без калькулятора. Данная таблица является своеобразным банком таких приемов и способов. Мы надеемся, что это поможет школьникам определиться в выборе наиболее рациональных способов в учебной деятельности, а также при подготовке к итоговой аттестации.

В ходе проведенного теоретического исследования мы выяснили, что математических знаний ученика 8 класса недостаточно для овладения всеми способами извлечения квадратных корней. Это определило дальнейшие перспективы работы по данной проблеме: в следующем учебном году мы продолжим изучение и апробацию существующих способов.





















Литература



1. Мордкович А.Г. Алгебра, 8 класс, учебник – Москва, Мнемозина, 2005г.

    1. Пичугин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7- 9 классов средней школы. – Москва, Просвещение, 1990 г.

    2. Ткачева М.В. Домашняя математика. Книга для учащихся 8 класса учебных заведений. – Москва, Просвещение, 1994г.

    3. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика / Глав. ред. М.Аксенова. М.: Аванта+, 2004.

    4. http://festival.1september.ru

    5. http://translate.google.ru/translate

    6. http://www.murderousmaths.co.uk/books/sqroot.htm

    7. http://www.megabotan.ru/pages/

    8. http://ru.wikipedia.ord /wiki /teorema/

    9. http://festival.1september.ru/articles/517087/































Приложение 1

Результаты экспресс - опроса учащихся, учителей и родителей

Всем участникам опроса было предложено два вопроса:


  1. Знаете ли вы способ извлечения квадратного корня без калькулятора?


hello_html_m3705c0d3.png


  1. Если знаете, то какой?

В опросе приняли участие учителя (7 человек), учащиеся (26 человек) и родители (5 человек) нашей школы.

Из 56 участников экспресс – опроса только трое смогли привести примеры рациональных способов извлечения квадратных корней без калькулятора (учителя математики)


Вывод: результаты экспресс - опроса показали, что в большинстве своем респонденты не вооружены знанием рациональных способов извлечения квадратных корней без калькулятора.










Приложение 2

Источником наших знаний о вавилонской цивилизации служат хорошо сохранившиеся глиняные таблички, покрытые клинописными текстами, которые датируются от 2000 до н.э. и до 300 н.э. Математика на клинописных табличках в основном была связана с ведением хозяйства. Арифметика и нехитрая алгебра использовались при решении многочисленных арифметических и геометрических задач, которые возникали в связи со строительством каналов, зернохранилищ и другими общественными работами. Очень важной задачей математики был расчет квадратных корней, который был применим к площадям.









































Приложение 3



Но если все же решение задач по математике требует еще большей точности, то можно достичь ее тем же способом, просто продолжив вычисления с уже полученным значением корня. Итак, продолжаем:

http://www.megabotan.ru/images/4bca968325ff9f10ceefa8caefacfdc7.bmp 
  Опять пренебрегаем малой дробью и решаем линейное уравнение:

http://www.megabotan.ru/images/62b3b9dd20814725cb69f152caaf378b.bmp 

Значит http://www.megabotan.ru/images/03d7d264cbdcb7665997fc2eb41c9ccf.bmp, а погрешность составила всего 0,0000008. Так что подобный способ вычисления квадратного корня необычайно точен и удобен. [8]













Приложение 4



Этот способ нахождения хорошо известен как российским учёным, так и зарубежной общественности. Убедиться в этом легко, зайдя на любой научный или образовательный форум. Ссылки на этот способ почти во всех комментариях студентов и школьников. О нём пишут учёные и исследователи СНГ, Канады, Великобритании и Америки. Я собрал несколько десятков страниц печатного текста по этому способу, поэтому недостатка материала в изучении не испытывал. Предлагаю несколько ярких примеров: [6],[8],[7]

http://festival.1september.ru/articles/517087/img5.gif







Корневая-оф-2685-изображения
http://festival.1september.ru/articles/517087/img2.gif









Деление на пары через составление ребуса

Хорошие вы-числительные навыки.

Применим к любым числам

Составление ребуса (угадывание цифры на конце числа) требует логики и хороших вычислительных навыков столбиком.

Трудоёмкий, но очень точный.



5

Способ отбрасывания полного квадрата

Значение квадратов чисел от 11 до 29

Короткое решение, доступен для тех, кто знает квадраты чисел от 11 до 29.

Алгоритм нахождения зависит от величины подкоренного числа.


Сложен в запоминании, применим только для четырёхзначных чисел точных корней





3

Метод Ньютона


Знание формулы

Позволяет из-влекать квад-ратный корень из большого числа с любой точностью.

Громоздкость вычислений.

Очень трудоёмкий.





3

Метод подбора угадыва-нием

Значения квадратов.

Алгоритм прост.

Требует много-кратного вы-числения произведения столбиком не всегда правильно угаданных чисел.

Не слишком наилучший способ, требует постоянных вычислений путем подбора.





3

Метод вычетов нечётного числа

Последовательно вычитать нечётные числа, а затем подсчитать число вычитаний

Доступен де-тям, решающим простейшие математичес-кие задачи, требующие извлечения квадратного корня

Если извле-каемый корень не является целым числом, то можно уз-нать только его целую часть, но не точнее.

Называют «ме-тодом черепа-хи» из-за его медлительности





2



Название документа презентация.ppt

Поделитесь материалом с коллегами:

  Муниципальное общеобразовательное учреждение «Школа №5» Извлечение квадратн...
обусловлена малой изученностью проблемы извлечения квадратных корней без исп...
Формирование банка приёмов и способов извлечения квадратных корней без исполь...
Цель работы: создать банк рациональных приёмов и способов извлечения квадрат...
Задачи: 1. Выяснить, какими знаниями и навыками по теме реферата обладают уч...
4.	Рассмотреть особенности каждого найденного способа и описать его алгоритм...
история отдельных способов уходит корнями в глубокую древность (формула Древн...
не все способы имеют универсальный характер применения (так способ отбрасыван...
1. Способ разложения на простые множители Для извлечения квадратного корня м...
2. Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел 87 ≈ 9,3 Закрыть...
3. Формула Древнего Вавилона Результат извлечения корня из 28 с помощью МК р...
4. Через решение уравнения 16 < 17 < 25 4 < 17 < 5 4 + Х = 17 ( 17 )² = (4 +...
5. Деление на пары 2² = 4 2 – первая цифра 225 225 0 2+2 = 4 ? ∙ ? = 225, а...
6. Способ отбрасывания полного квадрата Извлечение корней до числа 752 = 562...
7. Метод Ньютона  Пусть а1 — первое приближение числа Х (в качестве а1 можно...
8. Метод подбора угадыванием Предположим, вы хотите извлечь квадратный корен...
9. Метод вычетов нечётного числа 36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9=...
1 из 23

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1   Муниципальное общеобразовательное учреждение «Школа №5» Извлечение квадратн
Описание слайда:

  Муниципальное общеобразовательное учреждение «Школа №5» Извлечение квадратных корней без калькулятора Выполнил: Шамаев Егор, ученик 8М класса Руководитель: Гришина И.Ю., учитель математики г. Черемхово 2014 г.

№ слайда 2
Описание слайда:

№ слайда 3 обусловлена малой изученностью проблемы извлечения квадратных корней без исп
Описание слайда:

обусловлена малой изученностью проблемы извлечения квадратных корней без использования калькулятора

№ слайда 4 Формирование банка приёмов и способов извлечения квадратных корней без исполь
Описание слайда:

Формирование банка приёмов и способов извлечения квадратных корней без использования калькулятора, который можно использовать во время итоговой аттестации по математике в выпускных классах

№ слайда 5 Цель работы: создать банк рациональных приёмов и способов извлечения квадрат
Описание слайда:

Цель работы: создать банк рациональных приёмов и способов извлечения квадратных корней без калькулятора

№ слайда 6 Задачи: 1. Выяснить, какими знаниями и навыками по теме реферата обладают уч
Описание слайда:

Задачи: 1. Выяснить, какими знаниями и навыками по теме реферата обладают участники образовательных отношений (учащиеся, учителя математики, родители). 2. Провести контент-анализ источников и литературы по данному вопросу. 3. Изучить известные способы извлечения квадратных корней без использования калькулятора. .

№ слайда 7 4.	Рассмотреть особенности каждого найденного способа и описать его алгоритм
Описание слайда:

4. Рассмотреть особенности каждого найденного способа и описать его алгоритм. 5. Показать практическое применение полученных знаний и оценить степень сложности использования различных способов и алгоритмов.

№ слайда 8
Описание слайда:

№ слайда 9
Описание слайда:

№ слайда 10 история отдельных способов уходит корнями в глубокую древность (формула Древн
Описание слайда:

история отдельных способов уходит корнями в глубокую древность (формула Древнего Вавилона); каждый способ имеет свои особенности и алгоритм применения;

№ слайда 11 не все способы имеют универсальный характер применения (так способ отбрасыван
Описание слайда:

не все способы имеют универсальный характер применения (так способ отбрасывания квадрата применим только для точных четырёхзначных чисел); способы различаются по уровню сложности (самым сложным в применении, на наш взгляд, является метод Ньютона, т.к. требует знание формулы и предполагает громоздкие вычисления).

№ слайда 12
Описание слайда:

№ слайда 13
Описание слайда:

№ слайда 14
Описание слайда:

№ слайда 15 1. Способ разложения на простые множители Для извлечения квадратного корня м
Описание слайда:

1. Способ разложения на простые множители Для извлечения квадратного корня можно разложить число на простые множители и извлечь квадратный корень из произведения. 3136│2 7056│2 209764│2 1568│2 3528│2 104882│2 784│2 1764│2 52441│229 392│2 882│2 229│229 196│2 441│3 98│2 147│3 209764 = 2∙2∙52441 = 49│7 49│7 = 2²∙229² = 458 7│7 7│7 3136 = 2²∙2²∙2²∙7² = 2∙2∙2∙7 = 56 7056 = 2²∙2²∙3²∙7² = 2∙2∙3∙7 = 84 Не всегда легко можно разложить, чаще до конца не извлекается, занимает много времени.

№ слайда 16 2. Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел 87 ≈ 9,3 Закрыть
Описание слайда:

2. Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел 87 ≈ 9,3 Закрыть две последние цифры, 3 найти число, которое меньше подкоренного. 9 8649 Используется только для корней до 100, имеет точность только до десятых. Поможет на экзамене любому школьнику.

№ слайда 17 3. Формула Древнего Вавилона Результат извлечения корня из 28 с помощью МК р
Описание слайда:

3. Формула Древнего Вавилона Результат извлечения корня из 28 с помощью МК равен 5,2915026. Сложность состоит в том, что нужно знать полные квадраты больших чисел, уметь их быстро находить, а также много и правильно считать.

№ слайда 18 4. Через решение уравнения 16 &lt; 17 &lt; 25 4 &lt; 17 &lt; 5 4 + Х = 17 ( 17 )² = (4 +
Описание слайда:

4. Через решение уравнения 16 < 17 < 25 4 < 17 < 5 4 + Х = 17 ( 17 )² = (4 + Х) ² 17 = 16 + 8Х + Х ² Х = 0,125 Значит 17 ≈ 4 + 0,125 ≈ 4,125 . Такой способ интересный, но трудоёмкий. Больше применим к небольшим корням, где легко можно определить границы корня. 17 ≈ ?

№ слайда 19 5. Деление на пары 2² = 4 2 – первая цифра 225 225 0 2+2 = 4 ? ∙ ? = 225, а
Описание слайда:

5. Деление на пары 2² = 4 2 – первая цифра 225 225 0 2+2 = 4 ? ∙ ? = 225, а это только 5, так как 45 ∙ 5 = 225 5 – вторая цифра Способ почти универсальный, так как применим к любым числам, но составление ребуса (угадывание цифры на конце числа) требует логики и хороших вычислительных навыков столбиком. 6`25 = 25

№ слайда 20 6. Способ отбрасывания полного квадрата Извлечение корней до числа 752 = 562
Описание слайда:

6. Способ отбрасывания полного квадрата Извлечение корней до числа 752 = 5625 3844 = 3700 + 144 = 37 + 25! = 62. Извлечение корней после числа 752 = 5625 7225 = 7000 + 225 = 70 + 225 = 70 + 15 = 85. Этот способ плох, так как применим только для извлечения квадратного корня из точного квадрата, и имеет 2 алгоритма

№ слайда 21 7. Метод Ньютона  Пусть а1 — первое приближение числа Х (в качестве а1 можно
Описание слайда:

7. Метод Ньютона  Пусть а1 — первое приближение числа Х (в качестве а1 можно брать значения квадратного корня из натурального числа — точного квадрата, не превосходящего Х ), тогда , а и т.д. Этот приближенный метод извлечения квадратного корня без использования калькулятора разработал Исаак Ньютон, но открыл его ещё раньше (около 100 г. н.э.) один из математиков Древнего мира Герон Александрийский. Этот способ позволяет извлекать квадратный корень из большого числа с любой точностью, но с существенным недостатком: громоздкость вычислений.

№ слайда 22 8. Метод подбора угадыванием Предположим, вы хотите извлечь квадратный корен
Описание слайда:

8. Метод подбора угадыванием Предположим, вы хотите извлечь квадратный корень из 75. Так как 82 = 64 и 92 = 81, вы знаете, ответ находится где-то между ними. Попробуйте возвести 8,52 и вы получите 72,25 (слишком мало) Теперь попробуйте 8,62 и вы получите 73,96 (слишком небольшой, но все ближе) Теперь попробуйте 8,72 и вы получите 75,69 (слишком большая) Теперь вы знаете, ответ находится между 8,6 и 8,7 Попробуйте возвести 8,652 и вы получите 74,8225 (слишком мало) Теперь попробуйте 8,662 ... и так далее уточнением. Каждый в своей жизни хоть раз непроизвольно пользовался этим методом. Он прост и сложен одновременно. Прост в понимании, но очень сложен в вычислениях.

№ слайда 23 9. Метод вычетов нечётного числа 36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9=
Описание слайда:

9. Метод вычетов нечётного числа 36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9= 11 - 11 = 0 Общее количество вычитаний = 6, поэтому квадратный корень из 36 = 6. 121 – 1 = 120 - 3 = 117- 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 -11 = 85 – 13 = 72 - 15 = 57 – 17 = 40 -19 = 21 - 21 = 0 Общее количество вычитаний = 11, поэтому квадратный корень из 121 = 11. 5963364 = ??? Российские учёные «за глаза» называют его «методом черепахи» из-за его медлительности. Он неудобен для больших чисел.

Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 21.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров558
Номер материала ДВ-364549
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх