Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Реферативная работа по теме "Уравнения с модулем"

Реферативная работа по теме "Уравнения с модулем"


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_2406f9e6.gifhello_html_m6e00be2d.gifhello_html_m5764ecaf.gifhello_html_m5764ecaf.gifhello_html_m5764ecaf.gifhello_html_m368fc573.gifhello_html_5aebad15.gifhello_html_m5545a809.gifhello_html_m2bb32712.gifhello_html_6cf61fbf.gifhello_html_28ad605e.gifhello_html_47ddcef5.gifhello_html_113bc1ee.gifhello_html_113bc1ee.gifhello_html_54ed364.gifhello_html_47ddcef5.gifhello_html_m57f6f929.gifhello_html_2f00c2e8.gifhello_html_2bdfcf47.gifhello_html_m5983f779.gifhello_html_m5983f779.gifhello_html_29d08be5.gifhello_html_29d08be5.gifhello_html_29d08be5.gifhello_html_29d08be5.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m1fa9e545.gifhello_html_51b0a25c.gifhello_html_m5787cb51.gifhello_html_m271e8c06.gifhello_html_3effe108.gifhello_html_3effe108.gifhello_html_3effe108.gifhello_html_3effe108.gifМуниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 59»











Уравнения с модулем


Реферативная работа













Выполнила ученица 9А класса

МБОУ «СОШ № 59» г. Барнаула

Точилкина Юлия



Руководитель

Захарова Людмила Владимировна,

учитель математики

МБОУ «СОШ № 59» г. Барнаула








Барнаул 2015



Введение

Я учусь в девятом классе. В этом учебном году мне предстоит сдавать итоговую аттестацию за курс основной школы. Для подготовки к экзамену мы приобрели сборник Д.А. Мальцева Математика. 9 класс. Просматривая сборник, я обнаружила уравнения, содержащие не только один, но и несколько модулей. Учитель объяснила мне и моим одноклассникам, что такие уравнения называют уравнениями с «вложенными модулями». Такое название показалось для нас необычным, а решение на первый взгляд, довольно сложным. Так появилась тема для моей работы «Уравнения с модулем». Я решила глубже изучить эту тему, тем более, что она мне пригодится при сдаче экзаменов в конце учебного года и думаю, что понадобится в 10 и 11 классах. Все сказанное выше определяет актуальность выбранной мною темы.

Цель работы:

    1. Рассмотреть различные методы решения уравнений с модулем.

    2. Научиться решать уравнения, содержащие знак абсолютной величины, различными методами

Для работы над темой были сформулированы следующие задачи:

Задачи:

  1. Изучить теоретический материал по теме «Модуль действительного числа».

  2. Рассмотреть методы решения уравнений и закрепить полученные знания решением задач.

  3. Полученные знания применять при решении различных уравнений, содержащих знак модуля в старших классах

Объект исследования:методы решения уравнений с модулем

Предмет исследования:уравнения с модулем

Методы исследования:

Теоретические: изучение  литературы по теме исследования;

 Internet –информации.

Анализ информации,  полученной при изучении литературы;результатов полученных  при решении уравнений с модулем  различными способами.

Сравнение способов решения уравнений предмет рациональности их использования  при решении различных уравнений с модулем.

                           

«Мы начинаем думать, когда обо что-то стукнемся». Поль Валери.

1. Понятия и определения.

Понятие «модуль» широко применяется во многих разделах школьного курса математики, например, в изучении абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа; в геометрии и физике изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). Понятия модуля применяется в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в высших учебных заведениях.

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это слово имеет множество значений и применяется не только в математике, физике и технике, но и в архитектуре, программировании и других точных науках.

Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Знак модуля был введен в XIX веке Вейерштрассом.

В архитектуре модуль– исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения.

В технике – это термин, применяемый в различных областях техники, служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например, модуль упругости, модуль зацепления…

В математике модуль имеет несколько значений, но я буду рассматривать его как абсолютную величину числа.

Определение1: Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а называется само это число, если а ≥0, или противоположное число – а, если а<0; модуль нуля равен нулю.



При решении уравнений с модулем, удобно использовать свойства модуля.

http://fizmat.by/pic/MATH/page150/im3.jpg

Рассмотрим доказательства 5,6, 7 свойств.

Утверждение5. Равенство │а+в│=│а│+│в│ является верным, если ав ≥ 0.

Доказательство. Действительно, после возведения обеих частей данного равенства в квадрат, получим, │а+в │²=│а│²+2│ав│+│в│²,

а²+2ав+в²=а²+2│ав│+в², откуда │ав│= ав

А последнее равенство будет верным при ав≥0.

Утверждение6. Равенство │а-в│=│а│+│в│ является верным при ав≤0.

Доказательство. Для доказательства достаточно в равенстве

а+в│=│а│+│в│ заменитьв на -в, тогда а·(-в) ≥0, откуда ав≤0.

Утверждение7.Равенство │а│+│в│= а+в выполняется при а ≥0 и в ≥0.

Доказательство. Рассмотрев четыре случая а ≥0 и в ≥0; а ≥0 и в<0; а<0 и в ≥0; а<0 и в<0, непосредственно убедимся в том , что равенство выполняется только при а ≥0 и в ≥0.

(а-в) в ≥0.





Геометрическая интерпретация

|а| - это расстояние на координатной прямой от точки с координатой а, до начала координат.

|-а| |а|



-а 0 а х

Геометрическое толкование смысла |а| наглядно подтверждает, что |-а|=|а|

Если аhello_html_781ea5ac.gif0, то на координатной прямой существует две точки а и –а, равноудаленные от нуля, модули которых равны.

Если а=0, то на координатной прямой |а| изображается точкой 0.

Определение 2: Уравнение с модулем – это уравнение, содержащее переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля). Например: |х +3|=1

Определение 3: Решить уравнение-это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет.



















2. Методы решения

Из определения и свойств модуля вытекают основные методы решения уравнений с модулем:

  1. «Раскрытие» модуля (т.е. использование определения);

  2. Использование геометрического смыла модуля (свойство 2);

  3. Графический метод решения;

  4. Использование равносильных преобразований (свойства 4,6);

  5. Замена переменной (при этом используется свойство 5).

  6. Метод интервалов.

Я решила достаточно большое количество примеров, но в работе представляю вашему вниманию только несколько, на мой взгляд, типичных примеров, решенных различными способами, потому что остальные дублируют друг друга и чтобы понять, как решать уравнения с модулем нет необходимости рассматривать все решенные примеры.



























РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ | f(x)| =a

Рассмотрим уравнение | f(x)| =a, а R

Уравнение данного вида может быть решено по определению модуля:

Если а<0, то уравнение корней не имеет.

Если а=0, то уравнение равносильно f(x)=0.

Если а>0, то уравнение равносильно совокупностиhello_html_m4ba8677a.png

Пример. Решить уравнение |3х+2|=4.

Решение.

|3х+2|=4, тогда 3х+2=4,

3х+2= -4;


х=-2,

х=2/3


Ответ: -2;2/3.





















РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ сИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО СВОЙСТВА МОДУЛЯ.

Пример 1. Решить уравнение /х-1/+/х-3/=6.

Решение.

Решить данное уравнение значит найти все такие точки на числовой оси Ох, для каждой из которых сумма расстояний от нее до точек с координатами 1 и 3 равна 6.

Ни одна точка из отрезкаhello_html_m13155da7.gif не удовлетворяет этому условию, т.к. сумма указанных расстояний равна 2.Вне этого отрезка есть две точки это 5 и -1.

6



-1 1 3 5

Ответ: -1;5

Пример 2.Решить уравнение |х2+х-5|+|х2+х-9|=10.

Решение.

Обозначим х2+х-5=а,тогда /а/+/а-4/=10. Найдем точки на оси Ох такие, что для каждой из них сумма расстояний до точек с координатами 0 и 4 равна 10. Этому условию удовлетворяют -4 и 7.



-3 0 4 7

Значит х2+х-5=4 х2+х-5=7

х2+х-2=0 х2+х-12=0

х1=1, х2=-2 х1=-4, х2=3 Ответ:-4;-2; 1; 3.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ |f(x)| = |g(x)|.


  1. Так как | а|=|в |, если а= в, то уравнение вида |f(x)| = |g(x)| равносильно совокупности

hello_html_7e18f06a.png

  1. |f(x)| = |g(x)| равносильно hello_html_36a9c62b.png


Пример1.

Решить уравнение |x –2| = |3 – х|.

Р е ш е н и е.

Данное уравнение равносильно двум уравнениям:

х – 2 = 3 – х (1) и х – 2 = –3 + х (2)

2х = 5 –2 = –3 – неверно

х = 2,5 уравнение не имеет решений.

О т в е т: 2,5.


Пример 2.

Решить уравнение |х2+3х-20|= |х2-3х+2|.

Р е ш е н и е.

Так как обе части уравнения неотрицательны, то возведение в квадрат является равносильным преобразованием:

2+3х-20)2= (х2-3х+2)2

2+3х-20)2 - (х2-3х+2)2 =0,

2+3х-20-х2+3х-2) (х2+3х-20+х2-3х+2)=0,

(6х-22)(2х2-18)=0,

6х-22=0 или 2х2-18=0;

х=22/6, х=3, х=-3.

х=11/3

. Ответ: -3; 3; 11/3.



РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВИДА |f(x)| = g(x).


Отличие данных уравнений от | f(x)| =a в том, что в правой части тоже переменная. А она может быть как положительной, так и отрицательной. Поэтому в ее неотрицательности нужно специально убедиться, ведь модуль не может равняться отрицательному числу (свойство №1)

1 способ

Решение уравнения |f(x)| = g(x) сводится к совокупности решения уравнений hello_html_m717255bd.png и проверке справедливости неравенства g(x)>0 для найденных значений неизвестной.


2 способ( по определению модуля)

Так как |f(x)| = g(x), если f(x) = 0; |f(x)| = -f(x), если f(x)<0, то уравнение равносильно совокупности

hello_html_m75af2934.png|.

Пример.

Решить уравнение |3х –10| = х – 2.

Р е ш е н и е.

Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

hello_html_m4fdf3e6b.gifhello_html_m7c90509e.gifhello_html_m5e41dd20.gif

О т в е т: 3; 4.













РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВИДА|f1(x)|+|f2(x)|+…+|fn(x)|=g(х)

Решение уравнений данного вида основано на определении модуля. Для каждой функции f1(x), f2(x), …, fn(x) необходимо найти область определения, ее нули и точки разрыва, разбивающие общую область определения на промежутки, в каждом из которых функции f1(x), f2(x), …, fn(x) сохраняют свой знак. Далее используя определение модуля, для каждой из найденных областей получим уравнение, которое необходимо решить на данном промежутке. Данный метод получил название «метод интервалов»

Пример.

Решить уравнение |х-2|-3|х+4|=1.

Решение.

Найдем точки, в которых подмодульные выражения равны нулю

х-2=0, х+4=0,

х=2; х=-4.

Разобьем числовую прямую на промежутки х<-4, -4≤x< 2, x≥2.

Решение уравнения сводится к решению трех систем:

  1. hello_html_3d87808f.gifhello_html_m767e02b3.gif-15 корень исходного уравнения.

  2. hello_html_m56028ccc.gif; hello_html_m491a91cb.gif-1,8 корень исходного уравнения.

  3. hello_html_5249e591.gif; hello_html_m65a93e53.gifСистема не имеет решений.

Ответ: -15, -1,8.









ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХЗНАК МОДУЛЯ.

Графический способ решения уравнений является приближенным, так ка точность зависит от выбранного единичнрого отрезка, толщины карандаша, углов под которыми пересекаются линии ит.д. Но этот метод позволяет оценивать сколько решений имеет то или иное уравнение.

Пример.Решить графически уравнение |x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| = 9

Решение.Построим в одной системе координат графики функций

у=|x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| и у=9.

Для построения графика необходимо рассмотреть данную функцию на каждом промежутке (-∞; 2); [2;3); [3;4); [4; +∞).

При (-∞; 2) получим функцию y=-4x+13.

При хhello_html_mde42dde.gif [2;3) получим функцию y=-2x+9.

При х hello_html_mde42dde.gif [3;4) получим функцию y=3.

При х hello_html_mde42dde.gif [4; +∞) получим функцию y=4x-13.

Каждая из этих функций - линейная, которую можно построить по двум точкам на указанном промежутке.

hello_html_981fffe.gif `Графиком функции у=9 является прямая параллельная оси Ох и проходящая через точку (0;9) на оси Оу.



Получили две точки пресечения, их абсциссы равны х1=1, х2=5,5.

Ответ: 1; 5,5.





МЕТОД ВВЕДЕНИЯ НОВОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Свойство 5 (/а/2=а) целесообразно использовать при решении уравнений вида аf2(x)+b/f(x)/+c=0.

Пример 1. Решить уравнение х2-5|х|+6=0.

Решение.

х2-5|х|+6=0. Так как /а/2=а ( свойство 5), то

|х|2-5|х|+6=0

Обозначим у=|х|, тогда

у2-5у+6=0,

Д= в2-4ас

Д= (-5)2-4*1*6=25-24=1.

Д>1, значит уравнение имеет 2 решения:

hello_html_m1fc7da91.gif

hello_html_m3639c6e6.gif

hello_html_m7fb7ef43.gifили hello_html_m244caa63.gif

hello_html_2322758f.gif=3 hello_html_5fbf9419.gif=2

Выполним обратную замену |х|=у,

|х|=3, |х| =2

х=3; х=-3 х=2; х=-2

Ответ: 3; -3; 2; -2.

Пример 2.Решить уравнение х2+|х-2|=2(2х-1).

Решение.

х2+/х-2/=2(2х-1),

х2-2(2х-1)+/х-2/=0,

х2-4х+2 +/х-2/=0,

(х-2)2+/х-2/ -2=0,

Так как /а/2=а (свойство 5) перепишем уравнение в виде

/х-2/2+/х-2/=0,

Обозначим t=/х-2/, тогда уравнение примет вид

t2+t-2=0.

t=1, t=-2

но так как t ≥ 0, то t=1, откуда

/х-2/=1,

х-2=1, -(х-2)=1,

х=3; х=1.

Ответ: 1; 3.














МЕТОД РАВНОСИЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Пример 1. Решить уравнение /2х-3/+/3х-4/=/5х-7/.

Решение. Из свойства уравнение можно заменить неравенством

(2х-3)(3х-4) 0.

(2х-3)(3х-4) = 0.

Введем функцию у=(2х-3)(3х-4). Квадратичная функция, график парабола, ветви направлены вверх.

Найдем нули функции

2-17х+12=0,

Д=1, Д>0, уравнение имеет 2 корня.

Х1=3/2,

Х2 = 4/3

у0 при х hello_html_mde42dde.gif ( -  ; 4/3] [ 3/2 ;  )

Ответ: ( - ; 4/3] [ 3/2 ; )

Метод равносильных преобразований мы использовали и при решении уравнений |f(x)| = |g(x)|.














УРАВНЕНИЯ СО «СЛОЖНЫМ МОДУЛЕМ»


 Еще один вид уравнений – уравнения со «сложным» модулем. К таким уравнениям относятся уравнения, в которых есть «модули в модуле». Уравнения данного вида можно решать, применяя различные методы.

Пример 1.

Решить уравнение ||||x| – |–2| –1| –2| = 2.

Решение.

По определению модуля, имеем:

hello_html_29e10987.gif

Решим первое уравнение.

  1. ||| x |–2| –1| = 4

hello_html_1e6162a8.gif

hello_html_7c5ca802.gif

|x| – 2 = 5;

|x| = 7;

х = 7.

Решим второе уравнение.

  1. |||x| –2| –1| = 0,

||x| –2| = 1,

|x| –2 = 1 ,

|x| = 3 и |x| = 1,

х = 3; х = 1.

О т в е т: 1; 3; 7.

Пример 2.

Решить уравнение |2 – |x + 1|| = 3.

Р е ш е н и е.

Решим уравнение с помощью введения новой переменной.

Пусть |x + 1| = y, тогда |2 – y| = 3, отсюда

hello_html_3ababdf1.gif

hello_html_213967e9.gif

Выполним обратную замену:

(1) |x + 1| = –1 – нет решений.

(2) |x + 1| = 5

hello_html_7c3d91db.gif

hello_html_m103ec5ab.gif

О т в е т: –6; 4.



Пример3.

Сколько корней имеет уравнение | 2 | х | -6 | = 5 - х?

Решение. Решим уравнение, используя схемы равносильности.

Уравнение | 2 | х | -6 | = 5 -х равносильно системе:

hello_html_m17c8309f.gifhello_html_m3bc702b6.gif

hello_html_m20efa027.gifhello_html_m1129aeff.gifhello_html_5d173e00.gif

Ответ: 4 корня

Это уравнение можно было решить графически.

Для этого построим графики функций у=| 2 | х | -6 | и у= 5-х









Графики пересекаются в 4 точках, значит уравнение имеет 4 корня.

Ответ: 4 корня.

Пример 4.

Сколько корней имеет уравнение │2х² -5 | х | +3│= а в зависимости от параметра а?

Решение:

2х² -5 | х | +3│= а

Построим графики функций у =│2х² -5| х | +3│ и у=а

График функции у = │2х² -5 | х | +3│может быть получен из графика

у =2х² -5 х +3 с помощью

1) отображения правой части графика относительно оси ординат;

2)отображением нижней части последнего графика относительно оси абсцисс.

Графиком функции у = а является семейство прямых, параллельных оси абсцисс.

Из рисунка видно что:

если а = 0, то четыре корня

если 0 < а <⅛ - восемь корней

если а = ⅛ - шесть корней

если ⅛< а < 3 - четыре корня

если а = 3 – три корня

если а > 3 – два корня





hello_html_m62fbf353.png

Ответ: если а = 0, то четыре корня

если 0 < а <⅛ - восемь корней

если а = ⅛ - шесть корней

если ⅛< а < 3 - четыре корня

если а = 3 – три корня

если а > 3 – два корня

Пример 5.

При каких значениях параметра a число корней уравнения hello_html_m30ef047b.gif в четыре раза больше a?

Решение: Для решения уравнения построим в одной системе координат графики функций hello_html_m7a93ae4a.gifи у=а.

График функции hello_html_m7a93ae4a.gif может быть получен из графика функции у=hello_html_m16c9c5ea.gif

  1. отображением нижней части относительно оси 0х;

  2. перемещением полученного графика в п. 1 вниз на 7 единиц по оси ординат;

  3. отображением нижней части последнего графика относительно оси абсцисс.



C:\Documents and Settings\WinXP SP3\Desktop\School\13.bmp

Проводя прямые hello_html_5873fbc2.gif, параллельные оси абсцисс, при различных a, мы получим информацию о числе пересечений этой прямой с графиком hello_html_m7a93ae4a.gif:



Значение a

hello_html_m55ceecd5.gif

0

(0;6)

6

(6;7)

7

hello_html_m79252b1a.gif

Число корней (=4a)

0

2

4

5

6

4

2

Проанализируем полученные результаты.

Если a < 0, то и 4a < 0, т. е. ситуация из первого столбца невозможна. Если a=0, то и 4a = 0, т. е. ситуация из второго столбца также невозможна. Аналогично перебирая все возможности, находим, что возможна только ситуация из третьего столбца, когда 4a = 4 т.е. при hello_html_m59e4a484.gif.

Ответ: hello_html_m59e4a484.gif.



Пример 6.
hello_html_m50552d37.gif

Обозначим hello_html_m4733f5fc.gif,ahello_html_m6b021823.gif равносильно совокупности.

hello_html_m6a622baf.gif



hello_html_m173b466.gif



hello_html_2b9e8f18.gif



hello_html_m261cafa.gif

hello_html_m6a622baf.gif



hello_html_7ffb52de.gif



hello_html_m11838716.gif

Выполнимобратнуюзамену

hello_html_7125eb83.gif



hello_html_m30131ddb.gif



hello_html_5c9b67b2.gif

hello_html_m46c7f86f.gif



hello_html_m35cf97f4.gif



hello_html_323ef2fa.gif



Ответ: hello_html_62797db8.gif.

Пример 7

Решить уравнениеhello_html_296b38c6.gif

hello_html_m3db6a1a0.gif

hello_html_228c0e85.gif

  1. hello_html_m8df02bd.gifравносильно

hello_html_73f2148.gif

hello_html_355c731a.gif


2. hello_html_m513f0e4e.gifравносильно

hello_html_17da12f.gif

hello_html_m245d433d.gif


  1. hello_html_m3117c7eb.gif

равносильноhello_html_5c1428cd.gif

hello_html_20817916.gif

4. hello_html_72feb0e.gifравносильноhello_html_m6c4f36b9.gif

hello_html_35f5b4fc.gif

5. hello_html_77a92aed.gifравносильно



hello_html_2bddf5a0.gif

hello_html_m5fca7ecb.gif



Ответ: -6, -2, 0, 2, 4, 8.



Пример 8.

Сколько корней имеет уравнение hello_html_m4f363a34.gif в зависимости от параметра.

Решение:

Построим в одной системе координат графики функций

hello_html_m63a88cb7.gif











На рисунке видно, что :

  1. При a<0 уравнение корней не имеет;

  2. При a=0 уравнение имеет 3 корня;

  3. При 0< а<1 уравнение имеет 6 корней;

  4. При a=1 уравнение имеет 4 корня;

  5. При а>1 уравнение имеет 2 корня.





























ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе работы над темой я познакомилась с различными видами уравнений с модулем: /f(x)/=а, /f(x)/=g(x), /f(x)/= /g(x)/, |f1(x)|+|f2(x)|+…+|fn(x)|=g(х), изучила различные методы решения уравнений с модулем, которые ипредставила в своей работе. Практическая значимость моей работы заключается в том, что исследованные мной способы решения уравнений с модулем могут быть использованы учащимися 8-х и 9-х классов при изучении темы «Решение уравнений с модулем», а также при подготовке к экзаменам за курс девятого класса.За время работы над темой я научилась решать уравнения, содержащие знак модуля, поэтому смогу выступить консультантом для одноклассников по этой теме

Работа может быть использована и учителями при проведении занятий элективных курсов.

























Литература

    1. Вавилов, В.В. Задачи по математике. Уравнения и неравенства/ В.В. Вавилов, И.И. Мельников.- М.: Наука, 1987.-240 с.

    2. Крамор, В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа/ В.С. Крамор. – М.: Просвещение, 1990.-414 с.

    3. Мордкович, А.Г. Алгебра. 8 класс/ А.Г.Мордкович. - М.: Мнемозина, 2006.-223с.

    4. Симонов, А.Я. Система тренировочных задач и упражнений по математике/ А.Я. Симонов, Д.С. Бакаев, А.Г. Эпельман . – М.: Просвещение, 1991.-206 с.

    5. Севрюков, П.Ф. Уравнения и неравенства с модулями и методика их решения/ П.Ф. Севрюков, А.Н.Смоляков.- М. : Илекса, Народное образование ; Ставрополь : Сервисшкола, 2005.-112с.








57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Автор
Дата добавления 21.08.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров232
Номер материала ДA-010340
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх