Реферативно-экспериментальная работа "Параллелограмм Вариньона решает задачи"

Министерство образования и науки Российской Федерации

Муниципальное образовательное учреждение

«Краснопресненская средняя общеобразовательная школа
им. В.П.Дмитриева»

реферативно-экспериментальная работа

ТЕМА: Параллелограмм Вариньона решает задачи

Выполнил:

учащийся 8 класса

Миллер Сергей

Руководитель:

Глазунова В.Г., учитель математики высшей квалификационной категории

2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Глава 1. Параллелограмм Вариньона

1.1. Пьер Вариньон – кто же он? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Теорема Вариньона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Следствия из теоремы. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Глава 2. Экспериментальная часть. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

ВВЕДЕНИЕ

В 21 век, в век информационных технологий, главным ресурсом является время. Тысячи людей желают посещать тренинги, семинары и лекции по тайм-менеджменту, где бы их научили, как рационально, с минимальными потерями и максимальной пользой использовать свое время. Большую часть времени у ученика занимает обучение в школе и приготовление домашнего задания. Одним из самых сложных предметов в школе является геометрия. В частности, задачи на доказательство требуют значительной траты времени, поэтому у многих отсутствует интерес к решению подобных заданий. В теме «Четырехугольники» эту проблему может решить использование теоремы Вариньона.

Пьер Вариньон – французский математик и механик 18 века, который первым доказал, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Эта теорема вызвала интерес у отечественных ученых лишь в 20 веке. Подробно ее применение показал украинский геометр – Г.Б.Филипповский и кандидат физико-математических наук, доцент МГУ В.В. Вавилов. В школе теорема Вариньона не входит в курс программы.

Цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.
Задачи:

1. Изучить теоретический материал: понятия «параллелограмм Вариньона», бимедианы четырехугольника, разобрать доказательство теоремы Вариньона и следствия из нее.

2. Сравнить количество времени, необходимое для решения задач традиционным способом и, используя теорему Вариньона.

3. Показать решение олимпиадных заданий с помощью параллелограмма Вариньона.

4. Подвести итоги работы.

Глава 1. ПАРАЛЛЕЛОГРАММ ВАРИНЬОНА

1.1. Вариньон – кто же он?

ВАРИНЬОН ПЬЕР¹ (1654 – 1722)
французский механик и математик,
член Парижской Академии Наук (1688),
профессор математики коллежа Мазарини (с 1688),
профессор коллежа де Франс (с 1704).

Пьер Вариньон родился во Франции в 1654 году. Обучался в иезуитском коллеже и университете в Кане, где стал магистром в 1682 году. Вариньон готовился к религиозной деятельности, но, изучая сочинения Эвклида и Декарта, увлекся математикой и механикой. Труды Вариньона посвящены теоретической механике, анализу бесконечно малых, геометрии, гидромеханике и физике. Вариньон был одним из первых ученых, ознакомивших Францию с анализом бесконечно малых. В конце 17 и начале 18 в. Вариньон руководил «Журналом ученых», в котором помещали свои работы по исчислению бесконечно малых братья Бернулли. В геометрии Вариньон изучал различные специальные кривые, в частности ввел термин «логарифмическая спираль». Главные заслуги Вариньона относятся к теоретической механике, а именно к геометрической статике. В 1687 Вариньон представил в Парижскую АН сочинение «Проект новой механики...», в котором сформулировал закон параллелограмма сил. В 1725 в Париже был издан трактат Вариньона «Новая механика или статика», представляющий собой систематическое изложение учения о сложении и разложении сил, о моментах сил и правилах оперирования ими, почти без изменений сохранившееся в учебниках статики до нашего времени. Написал учебник по элементарной геометрии (издан в 1731).

1. 2. 1.2. Теорема Вариньона²

Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.

Дано:

ABCD- выпуклый четырехугольник

AK=KB; BL=LC; CM=MD; AN=ND

Доказать:

1) KLMN – параллелограмм;
2) S_KLMN= S_ABCD / 2

Доказательство:

1. Рассмотрим одну из сторон четырехугольника KLMN, например KL. KL - средняя линия треугольника ABC (по определению),следовательно, KL║AC. Аналогично, так как MN – средняя линия треугольника ADC,то MN║AC. Так как KL║AC и MN║AC следовательно, KL║NM и KL=MN=AC/2. Таким образом, KLMN - параллелограмм. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника.

2. Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника,
т.е. S_KBL = S_ABC/4, S_MDN=S_ADS/4. Следовательно, S₁+S₃=S_ABCD /4. Аналогично, S₂+S₄=S_ABCD/4. Следовательно, S₁+S₃ + S₂+S₄ = S_ABCD /4 + S_ABCD/4 = S_ABCD/2.

Т.е., S_KLMN = S_ABCD/2. Что и требовалось доказать.

Определение. Бимедианы четырехугольника³ – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон (диагонали параллелограмма Вариньона)

1. 11. 1.3. Следствия из теоремы Вариньона

Следствие 1

Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны;
2) бимедианы перпендикулярны.

Дано:
ABCD- четырехугольник;
KLMN – параллелограмм Вариньона;

AC=BD

Доказать: KLMN –ромб

Доказательство:

Так как AC=BD (диагонали исходного четырехугольника равны по условию), то стороны параллелограмма Вариньона будут равны KL=LM=MN=NK (используя свойство средних линий треугольников, образованных при пересечении диагоналей исходного четырехугольника). Параллелограмм c равными сторонами является ромбом.

1. Дано:
   ABCD- четырехугольник;
   KLMN – параллелограмм Вариньона;

KM и LN перпендикулярны

Доказать:

KLMN –ромб

Доказательство:

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом (по признаку ромба).

Что и требовалось доказать.

Следствие 2

Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: 1) диагонали перпендикулярны;

2) бимедианы равны 1) Дано:
четырехугольник ABCD;

KLMN –параллелограмм Вариньона;
диагонали AC и BD - перпендикулярны
Доказать:
KLMN – прямоугольник

Доказательство:

Так как диагонали AC и BD - перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является прямоугольником.

2) Дано:
четырехугольник ABCD;

KLMN –параллелограмм Вариньона;
бимедианы KM и LN-равны
Доказать:
KLMN – прямоугольник

Доказательство:

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника).

Что и требовалось доказать.

Следствие 3

Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны и перпендикулярны;

2) бимедианы равны и перпендикулярны
1) Дано:
четырехугольник ABCD;

KLMN –параллелограмм Вариньона;
диагонали AC и BD – перпендикулярны;
AC = BD
Доказать:
KLMN –квадрат

Доказательство:

Так как диагонали исходного четырехугольника AC и BD равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является квадратом.

2. Дано:
   четырехугольник ABCD;

KLMN –параллелограмм Вариньона;
бимедианы KM и LN – перпендикулярны; KM=LN
Доказать:
KLMN –квадрат

Доказательство:

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом (по признаку квадрата).

Что и требовалось доказать.

ГЛАВА 2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ

Завершающим этапом исследования стало проведение эксперимента, задачей которого было установление общего количества времени, сэкономленного учащимися восьмого класса при использовании данной теоремы.

Было подсчитано, что на решение задачи традиционным способом затрачивается 15-20 минут, а зная теорему Вариньона и следствия из нее, доказательство сводится к одному-двум предложениям и занимает 1-2 минуты. При этом экономия времени на доказательство в среднем составляет 15 минут. Таким образом, уже даже решение трех задач добавит дополнительные сорок пять минут (т.е. целый урок) на доказательство других, более сложных.

Задача 1 ⁴

Докажите, что а) середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, б) середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Доказательство:

а) Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1);

Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикулярны, тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1).

б) диагонали ромба перпендикулярны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 2);

Стороны ромба равны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 2).

Задача 2

У четырехугольника диагонали равны a и b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Решение:

Периметр параллелограмма Вариньона равен a+b.

Задача 3

Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение:

См. теорему Вариньона.

Задача 4

Докажите, что средние линии четырехугольника делятся точкой пересечения пополам.

Доказательство:

Т.к. средние линии четырехугольника являются диагоналями параллелограмма Вариньона, то точка пересечения делит их пополам.

Олимпиадные задачи

1. Докажите, что если диагонали четырехугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий.
   
   Дано: ABCD – четырехугольник;

AC = BD
Доказать: S_ABCD= KM*LN
Доказательство:

Так как диагонали AC = BD, параллелограмм Вариньона является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Что и требовалось доказать.

2. Докажите, что суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан LN и KM выпуклого четырехугольника ABCD равны.

Доказательство:

Воспользуемся теоремой о средней линии треугольника. Получаем:

S_BKL + S_DMN = (S_ABC + S_ADC)/4 = S_ABCD/4 = (S_ABD+ S_CBD)/4 = S_AKN+S_CLM

Что и требовалось доказать.

3. Докажите, что площадь параллелограмма, образованного прямыми, проходящими через вершины выпуклого четырехугольника и параллельными его диагоналям, в два раза больше площади исходного четырехугольника

Решение:

;

Так как AMOL, MONB, CKON, DKOL - параллелограммы, то .

Отсюда получаем, что , что и требовалось доказать

3. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника ABCD,перпендикулярны. Известно, что

.

Найдите площадь четырехугольника ABCD.

Решение:

Так как бимедианы перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона является ромбом (см.следствие1).

Так как KN является средней линией треугольника ADC , то по теореме о средней линии треугольника KN=0,5AC=2;

;

;

;

Ответ:

Заключение

«Нет ничего нового под солнцем, но есть кое-что старое, чего мы не знаем», - сказал американский литератор Лоренс Питер.

Пьер Вариньон жил в 18 веке, но теорема Вариньона как нельзя актуальна именно в наши дни, когда чтобы всё успеть, необходимо гораздо больше, чем 24 часа в сутки.

Поэтому была поставлена цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.

Для этого был разобран весь теоретический материал, решены задачи базового уровня, а также повышенной сложности (олимпиадные). Был проведен сравнительный анализ количества времени, необходимого на решение заданий традиционным путем и с использованием полученных знаний, который показал, что действительно, пользуясь теоремой, задачи решаются проще и быстрее. От этого повышается не только интерес к изучению данного предмета, но и сам процесс работы приносит удовлетворение.
Цель работы считаю достигнутой.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Интернет-ресурсы http://ru.wikipedia.org/wiki/Вариньон,_Пьер

2. Филипповский Г. Б. Параллелограмм Вариньона решает задачи //

Математика в школе № 4 – 2006, стр. 45 – 50

3. . В. Вавилов, П. Красников. Бимедианы четырехугольника//Математика.
   2006 - №22.

4. Геометрия: Учебник для 7 – 9 кл. общеобразовательных учреждений /Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др, - М.: Просвещение, 2008

5. Геометрия: Доп. главы к шк. учеб. 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся

шк. и классов с углубленным изучением математики / Л.С. Атанасян, В.Ф.

Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 1996

6. Еременко С. В., Сохет А. М., Ушаков В. Г. Элементы геометрии в

задачах. – М.: МЦНМО, 2003. – 168 с.

7 . Интернет – ресурсы http://easymath.com.ua/greatmathone.php?ppl=322

ПРИЛОЖЕНИЕ

Решаем задачу обычным способом

Доказываем, применяя теорему Вариньона

Решаем задачу обычным способом

Доказываем, применяя теорему Вариньона