Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Реферативно-экспериментальная работа "Параллелограмм Вариньона решает задачи"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Реферативно-экспериментальная работа "Параллелограмм Вариньона решает задачи"

Выбранный для просмотра документ Миллер С. ПАРАЛЛЕЛОГРАММ ВАРИНЬОНА РЕШАЕТ ЗАДАЧИ.docx

библиотека
материалов

hello_html_m2d82aec9.gifhello_html_70243d09.gifhello_html_3cb79d23.gifhello_html_m2d82aec9.gifhello_html_m2d82aec9.gifhello_html_m2d82aec9.gifhello_html_3cb79d23.gifhello_html_m2d82aec9.gifhello_html_m2d82aec9.gifhello_html_6487d15c.gifhello_html_m3eb1aa14.gifhello_html_m3eb1aa14.gifhello_html_m3eb1aa14.gifhello_html_m506212ff.gifhello_html_m506212ff.gifhello_html_m3eb1aa14.gifhello_html_m3eb1aa14.gifhello_html_m3eb1aa14.gifhello_html_m19927940.gifhello_html_m6999e90d.gifhello_html_4fdd123e.gifhello_html_m3eb1aa14.gifhello_html_m3eb1aa14.gifhello_html_m3eb1aa14.gifhello_html_m19927940.gifhello_html_m3eb1aa14.gifhello_html_m3eb1aa14.gifhello_html_m3eb1aa14.gifhello_html_m19927940.gifhello_html_m3eb1aa14.gifhello_html_m3eb1aa14.gifhello_html_m3eb1aa14.gifhello_html_m19927940.gifhello_html_51e6c6de.gifhello_html_m5d271a4e.gifhello_html_m35ac0abb.gifhello_html_m5d271a4e.gifhello_html_ee3d5c1.gifhello_html_m13df4d52.gifhello_html_m51beb78e.gifhello_html_m13df4d52.gifМинистерство образования и науки Российской Федерации

Муниципальное образовательное учреждение

«Краснопресненская средняя общеобразовательная школа
им. В.П.Дмитриева»





реферативно-экспериментальная работа







ТЕМА: Параллелограмм Вариньона решает задачи










Выполнил:

учащийся 8 класса

Миллер Сергей


Руководитель:

Глазунова В.Г., учитель математики высшей квалификационной категории













2012

ОГЛАВЛЕНИЕ




Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Глава 1. Параллелограмм Вариньона

1.1. Пьер Вариньон – кто же он? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Теорема Вариньона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Следствия из теоремы. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Глава 2. Экспериментальная часть. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16































ВВЕДЕНИЕ



В 21 век, в век информационных технологий, главным ресурсом является время. Тысячи людей желают посещать тренинги, семинары и лекции по тайм-менеджменту, где бы их научили, как рационально, с минимальными потерями и максимальной пользой использовать свое время. Большую часть времени у ученика занимает обучение в школе и приготовление домашнего задания. Одним из самых сложных предметов в школе является геометрия. В частности, задачи на доказательство требуют значительной траты времени, поэтому у многих отсутствует интерес к решению подобных заданий. В теме «Четырехугольники» эту проблему может решить использование теоремы Вариньона.

Пьер Вариньон – французский математик и механик 18 века, который первым доказал, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Эта теорема вызвала интерес у отечественных ученых лишь в 20 веке. Подробно ее применение показал украинский геометр – Г.Б.Филипповский и кандидат физико-математических наук, доцент МГУ В.В. Вавилов. В школе теорема Вариньона не входит в курс программы.

Цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.
Задачи:

  1. Изучить теоретический материал: понятия «параллелограмм Вариньона», бимедианы четырехугольника, разобрать доказательство теоремы Вариньона и следствия из нее.

  2. Сравнить количество времени, необходимое для решения задач традиционным способом и, используя теорему Вариньона.

  3. Показать решение олимпиадных заданий с помощью параллелограмма Вариньона.

  4. Подвести итоги работы.


Глава 1. ПАРАЛЛЕЛОГРАММ ВАРИНЬОНА



1.1. Вариньон – кто же он?

http://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=332273880-62-72

ВАРИНЬОН ПЬЕР1 (1654 – 1722)
французский механик и математик,
член Парижской Академии Наук (1688),
профессор математики коллежа Мазарини (с 1688),
профессор коллежа де Франс (с 1704).


Пьер Вариньон родился во Франции в 1654 году. Обучался в иезуитском коллеже и университете в Кане, где стал магистром в 1682 году. Вариньон готовился к религиозной деятельности, но, изучая сочинения
Эвклида и Декарта, увлекся математикой и механикой. Труды Вариньона посвящены теоретической механике, анализу бесконечно малых, геометрии, гидромеханике и физике. Вариньон был одним из первых ученых, ознакомивших Францию с анализом бесконечно малых. В конце 17 и начале 18 в. Вариньон руководил «Журналом ученых», в котором помещали свои работы по исчислению бесконечно малых братья Бернулли. В геометрии Вариньон изучал различные специальные кривые, в частности ввел термин «логарифмическая спираль». Главные заслуги Вариньона относятся к теоретической механике, а именно к геометрической статике. В 1687 Вариньон представил в Парижскую АН сочинение «Проект новой механики...», в котором сформулировал закон параллелограмма сил. В 1725 в Париже был издан трактат Вариньона «Новая механика или статика», представляющий собой систематическое изложение учения о сложении и разложении сил, о моментах сил и правилах оперирования ими, почти без изменений сохранившееся в учебниках статики до нашего времени. Написал учебник по элементарной геометрии (издан в 1731).

    1. 1.2. Теорема Вариньона2

Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.

hello_html_c428021.gifДано:

ABCD- выпуклый четырехугольник

AK=KB; BL=LC; CM=MD; AN=ND

Доказать:

1) KLMN – параллелограмм;
2)
SKLMN= SABCD / 2

Доказательство:

1. Рассмотрим одну из сторон четырехугольника KLMN, например KL. KL - средняя линия треугольника ABC (по определению),следовательно, KLAC. Аналогично, так как MNсредняя линия треугольника ADC,то MNAC. Так как KLAC и MNAC следовательно, KLNM и KL=MN=AC/2. Таким образом, KLMN - параллелограмм. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника.

2. Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника,
т.е.
SKBL = SABC/4, SMDN=SADS/4. Следовательно, S1+S3=SABCD /4. Аналогично, S2+S4=SABCD/4. Следовательно, S1+S3 + S2+S4 = SABCD /4 + SABCD/4 = SABCD/2.

Т.е., SKLMN = SABCD/2. Что и требовалось доказать.



Определение. Бимедианы четырехугольника3 – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон (диагонали параллелограмма Вариньона)

hello_html_m4cb1c88b.png

    1. 1.3. Следствия из теоремы Вариньона

Следствие 1


Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны;
2) бимедианы перпендикулярны.

hello_html_5671dc7.gifДано:
ABCD- четырехугольник;
KLMN – параллелограмм Вариньона;

AC=BD

Доказать: KLMN –ромб


Доказательство:

Так как AC=BD (диагонали исходного четырехугольника равны по условию), то стороны параллелограмма Вариньона будут равны KL=LM=MN=NK (используя свойство средних линий треугольников, образованных при пересечении диагоналей исходного четырехугольника). Параллелограмм c равными сторонами является ромбом.

  1. Дано:
    ABCD- четырехугольник;
    KLMN – параллелограмм Вариньона;hello_html_m51617dc6.png

KM и LN перпендикулярны

Доказать:

KLMN –ромб


Доказательство:

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом (по признаку ромба).

Что и требовалось доказать.


Следствие 2


hello_html_25c50db4.gifПараллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: 1) диагонали перпендикулярны;

2) бимедианы равны 1) Дано:
четырехугольник
ABCD;

KLMN –параллелограмм Вариньона;
диагонали
AC и BD - перпендикулярны
Доказать:
KLMN – прямоугольник

Доказательство:

Так как диагонали AC и BD - перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является прямоугольником.



2) Дано:
четырехугольник ABCD;hello_html_m54647692.png

KLMN –параллелограмм Вариньона;
бимедианы KM и LN-равны
Доказать:
KLMN – прямоугольник

Доказательство:

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника).

Что и требовалось доказать.



Следствие 3


Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны и перпендикулярны;hello_html_18f4552b.png

2) бимедианы равны и перпендикулярны
1)
Дано:
четырехугольник
ABCD;

KLMN –параллелограмм Вариньона;
диагонали
AC и BD – перпендикулярны;
AC = BD
Доказать:
KLMN –квадрат

Доказательство:

Так как диагонали исходного четырехугольника AC и BD равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является квадратом.



  1. Дано:
    четырехугольник
    ABCD;

KLMN –параллелограмм Вариньона;
бимедианы
KM и LN – перпендикулярны; KM=LN
Доказать:
KLMN –квадратhello_html_m54647692.png


Доказательство:

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом (по признаку квадрата).

Что и требовалось доказать.























ГЛАВА 2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ




Завершающим этапом исследования стало проведение эксперимента, задачей которого было установление общего количества времени, сэкономленного учащимися восьмого класса при использовании данной теоремы.

Было подсчитано, что на решение задачи традиционным способом затрачивается 15-20 минут, а зная теорему Вариньона и следствия из нее, доказательство сводится к одному-двум предложениям и занимает 1-2 минуты. При этом экономия времени на доказательство в среднем составляет 15 минут. Таким образом, уже даже решение трех задач добавит дополнительные сорок пять минут (т.е. целый урок) на доказательство других, более сложных.


Задача 1 4

Докажите, что а) середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, б) середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Доказательство:

а) Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1);

Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикулярны, тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1).

б) диагонали ромба перпендикулярны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 2);

Стороны ромба равны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 2).



Задача 2

У четырехугольника диагонали равны a и b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Решение:

Периметр параллелограмма Вариньона равен a+b.

Задача 3

Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение:

См. теорему Вариньона.

Задача 4

Докажите, что средние линии четырехугольника делятся точкой пересечения пополам.

Доказательство:

Т.к. средние линии четырехугольника являются диагоналями параллелограмма Вариньона, то точка пересечения делит их пополам.

Олимпиадные задачи


  1. Докажите, что если диагонали четырехугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий.

    Дано:
    ABCD – четырехугольник; hello_html_m3d5e5d93.png

AC = BD
Доказать:
SABCD= KM*LN
Доказательство:

Так как диагонали AC = BD, параллелограмм Вариньона является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Что и требовалось доказать.


2. Докажите, что суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан
LN и KM выпуклого четырехугольника ABCD равны.

hello_html_5273eeb.gif



Доказательство:

Воспользуемся теоремой о средней линии треугольника. Получаем:

SBKL + SDMN = (SABC + SADC)/4 = SABCD/4 = (SABD+ SCBD)/4 = SAKN+SCLM

Что и требовалось доказать.


  1. Докажите, что площадь параллелограмма, образованного прямыми, проходящими через вершины выпуклого четырехугольника и параллельными его диагоналям, в два раза больше площади исходного четырехугольника

Решение:

hello_html_59dc0a9.gif

hello_html_m5e98cbfe.gif;

Так как AMOL, MONB, CKON, DKOL - параллелограммы, то hello_html_1c2435e6.gif.

Отсюда получаем, что hello_html_2a6f85db.gif, что и требовалось доказать


  1. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника ABCD,перпендикулярны. Известно, что

hello_html_7520e934.gif.

Найдите площадь четырехугольника ABCD.

Решение:

hello_html_5b39c3d.gif

Так как бимедианы перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона является ромбом (см.следствие1).

Так как KN является средней линией треугольника ADC , то по теореме о средней линии треугольника KN=0,5AC=2;

hello_html_m5ec39083.gif;

hello_html_m329a5c11.gif;

hello_html_mc4d2fd3.gif;

Ответ: hello_html_5a421e39.gif













Заключение




«Нет ничего нового под солнцем, но есть кое-что старое, чего мы не знаем», - сказал американский литератор Лоренс Питер.

Пьер Вариньон жил в 18 веке, но теорема Вариньона как нельзя актуальна именно в наши дни, когда чтобы всё успеть, необходимо гораздо больше, чем 24 часа в сутки.

Поэтому была поставлена цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.

Для этого был разобран весь теоретический материал, решены задачи базового уровня, а также повышенной сложности (олимпиадные). Был проведен сравнительный анализ количества времени, необходимого на решение заданий традиционным путем и с использованием полученных знаний, который показал, что действительно, пользуясь теоремой, задачи решаются проще и быстрее. От этого повышается не только интерес к изучению данного предмета, но и сам процесс работы приносит удовлетворение.
Цель работы считаю достигнутой.













СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


  1. Интернет-ресурсы http://ru.wikipedia.org/wiki/Вариньон,_Пьер

  2. Филипповский Г. Б. Параллелограмм Вариньона решает задачи //

Математика в школе № 4 – 2006, стр. 45 – 50

  1. . В. Вавилов, П. Красников. Бимедианы четырехугольника//Математика.
    2006 - №22.

  2. Геометрия: Учебник для 7 – 9 кл. общеобразовательных учреждений /Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др, - М.: Просвещение, 2008

  3. Геометрия: Доп. главы к шк. учеб. 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся

шк. и классов с углубленным изучением математики / Л.С. Атанасян, В.Ф.

Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 1996

6. Еременко С. В., Сохет А. М., Ушаков В. Г. Элементы геометрии в

задачах. – М.: МЦНМО, 2003. – 168 с.

7 . Интернет – ресурсы http://easymath.com.ua/greatmathone.php?ppl=322















ПРИЛОЖЕНИЕ


hello_html_m6929b24.png

















Решаем задачу обычным способом





hello_html_1524ed9b.png

















Доказываем, применяя теорему Вариньона



hello_html_m55cfb459.png

Решаем задачу обычным способом






Доказываем, применяя теорему Вариньона

hello_html_5174ffb9.png

2. Филипповский Г. Б. Параллелограмм Вариньона решает задачи //

Математика в школе № 4 – 2006




3В. Вавилов, П. Красников. Бимедианы четырехугольника//Математика.
2006 - №22.


4
. Геометрия: Учебник для 7 – 9 кл. общеобразовательных учреждений /Л. С.

Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др, - М.: Просвещение, 2008

Выбранный для просмотра документ Параллелограмм Вариньона решает задачи.pptx

библиотека
материалов
Выполнил: учащийся 8 класса Миллер Сергей. Руководитель: В.Г. Глазунова. Пара...
Цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наимен...
Французский механик и математик. Написал учебник по элементарной геометрии (...
Теорема Вариньона Четырехугольник, образованный путем последовательного соеди...
Следствия из теоремы Вариньона 	№1 	Параллелограмм Вариньона является ромбом...
№2 	Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, к...
№3 	Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в...
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ  Докажите, что середины сторон четырехугольника являю...
Докажите, что четырехугольник – ромб, если его вершинами являются середины ст...
Докажите, что если диагонали четырехугольника равны, то его площадь равна п...
Доказательство: SABCD=SLMNK+SLKD+SALM+SBMN+SKCN Так как AMOL, MONB, CKON, DK...
ЗАКЛЮЧЕНИЕ   10 сэкономленных часов
6 счастливых одноклассников
13 1

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Выполнил: учащийся 8 класса Миллер Сергей. Руководитель: В.Г. Глазунова. Пара
Описание слайда:

Выполнил: учащийся 8 класса Миллер Сергей. Руководитель: В.Г. Глазунова. Параллелограмм Вариньона решает задачи МОУ «Краснопресненская СОШ им. В. П. Дмитриева»

№ слайда 2 Цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наимен
Описание слайда:

Цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами. Задачи: I . Изучить теоретический материал: понятия «параллелограмм Вариньона», бимедианы четырехугольника, разобрать доказательство теоремы Вариньона и следствия из нее. II. Сравнить количество времени, необходимое для решения задач традиционным способом и, используя теорему Вариньона. III. Показать решение олимпиадных заданий с помощью параллелограмма Вариньона.

№ слайда 3 Французский механик и математик. Написал учебник по элементарной геометрии (
Описание слайда:

Французский механик и математик. Написал учебник по элементарной геометрии (издан в 1731 году). Первым доказал, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Пьер Вариньон (1654 – 1722)

№ слайда 4 Теорема Вариньона Четырехугольник, образованный путем последовательного соеди
Описание слайда:

Теорема Вариньона Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.

№ слайда 5 Следствия из теоремы Вариньона 	№1 	Параллелограмм Вариньона является ромбом
Описание слайда:

Следствия из теоремы Вариньона №1 Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: 1) диагонали равны; 2) бимедианы перпендикулярны.

№ слайда 6 №2 	Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, к
Описание слайда:

№2 Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: 1) диагонали перпендикулярны; 2) бимедианы равны

№ слайда 7 №3 	Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в
Описание слайда:

№3 Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: 1) диагонали равны и перпендикулярны; 2) бимедианы равны и перпендикулярны

№ слайда 8 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ  Докажите, что середины сторон четырехугольника являю
Описание слайда:

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ <Задачи из учебника> Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Решаем задачу обычным способом 15 минут Доказываем, применяя теорему Вариньона 1 минута

№ слайда 9 Докажите, что четырехугольник – ромб, если его вершинами являются середины ст
Описание слайда:

Докажите, что четырехугольник – ромб, если его вершинами являются середины сторон: а) прямоугольника; б) равнобедренной трапеции. Решаем задачу обычным способом 15 минут Доказываем, применяя теорему Вариньона 1 минута

№ слайда 10 Докажите, что если диагонали четырехугольника равны, то его площадь равна п
Описание слайда:

<Олимпиадные задачи> Докажите, что если диагонали четырехугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий. Дано: ABCD- четырехугольник АС=ВD Доказать: SABCD = KM * LN K А В C D K N M L Доказательство: KLMN – параллелограмм Вариньона. Так как AC= BD, параллелограмм Вариньона является ромбом. SKLMN =KM*LN /2 (площадь ромба равна половине произведения его диагоналей ). SABCD = 2 SKLMN = KM * LN

№ слайда 11 Доказательство: SABCD=SLMNK+SLKD+SALM+SBMN+SKCN Так как AMOL, MONB, CKON, DK
Описание слайда:

Доказательство: SABCD=SLMNK+SLKD+SALM+SBMN+SKCN Так как AMOL, MONB, CKON, DKOL - параллелограммы, То SALM=SMOL , SMBN=SMON, SNCK=SKON . Отсюда получаем, что , SLKD = SLOK. Докажите, что площадь параллелограмма, образованного прямыми, проходящими через вершины выпуклого четырехугольника и параллельными его диагоналям, в два раза больше площади исходного четырехугольника

№ слайда 12 ЗАКЛЮЧЕНИЕ   10 сэкономленных часов
Описание слайда:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ   10 сэкономленных часов

№ слайда 13 6 счастливых одноклассников
Описание слайда:

6 счастливых одноклассников

Краткое описание документа:

Одним из самых сложных предметов в школе  является геометрия. В частности, задачи на доказательство требуют  значительной траты времени, поэтому у многих отсутствует интерес к решению подобных заданий. В теме «Четырехугольники» эту проблему может решить использование теоремы Вариньона.

    Пьер Вариньон – французский математик и механик 18 века, который первым доказал, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Эта теорема вызвала интерес у отечественных ученых лишь в 20 веке. Подробно ее применение показал украинский геометр – Г.Б.Филипповский и кандидат физико-математических наук, доцент МГУ В.В. Вавилов. В школе теорема Вариньона не входит в курс программы.

    Цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.
Работу выполнил ученик 8 класса

Автор
Дата добавления 05.11.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров935
Номер материала 108360
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх