Рекомендации к теме «Решения показательных уравнений»

Рекомендации к теме «Решения показательных уравнений» на разобранных примерах.

Для успешного решения показательных уравнений Вы должны знать основные свойства степеней, свойства показательной функции, основное логарифмическое тождество.

При решении показательных уравнений используют два основных метода:

1.                      переход от уравнения a^f(x) = a^g(x) к уравнению f(x) = g(x);

2.                      введение новых прямых.

Примеры.

1. Уравнения, сводящиеся к простейшим. Решаются приведением обеих частей уравнения к степени с одинаковым основанием.

3^x = 9^{x – 2}.

Решение:

3^x = (3²)^{x – 2};
3^x = 3^{2x – 4};
x = 2x –4;
x = 4.

Ответ: 4.

2. Уравнения, решаемые с помощью вынесения за скобки общего множителя.

3^x – = 24.

Решение:

3^x – 3^{x – 2} = 24
3^{x – 2}(3²– 1) = 24
3^{x – 2} × 8 = 24
3^{x – 2}= 3
x – 2 = 1
x = 3.

Ответ: 3.

3. Уравнения, решаемые с помощью замены переменной.

4^x + 2^x= 12.

Решение:

2^2x + 2^x– 12 = 0
Обозначаем 2^x = у.
y² + y – 12 = 0
y₁ = - 4; y₂ = 3.
a) 2^x = - 4.Уравнение не имеет решений, т.к. 2^х> 0.
б) 2^x = 3; 2^x= 2^log₂³; x = log₂3.

Ответ: log₂3.

4. Уравнения, содержащие степени с двумя различными (не сводящимися друг к другу) основаниями.

3 × 2^{х + 1} - 2 × 5^{х – 2} = 5^х + 2^{х – 2}.

Решение:

3× 2^{х + 1} – 2^{х – 2} = 5^х – 2 × 5^{х – 2}
2^{х – 2} ×23 = 5^{х – 2}
×23
2^{х – 2} = 5^{х – 2}
(5/2)^{х– 2} = 1
х – 2 = 0
х = 2.

Ответ: 2.