Рекомендации по решению текстовых задач.

Как научить решать текстовые задачи с помощью уравнений.

       Большинство текстовых задач решаются с помощью уравнений. Многие ученики сталкиваются с проблемой решения текстовых задач и дело не в том, что они не умеют решать уравнения, а самом процессе составления уравнения к задаче.  В процессе работы на уроках над текстовыми задачами и в ходе подготовки к экзаменам ЕГЭ и ГИА пришла к  алгоритму помогающему учащимся составлять уравнения и соответственно справляться с задачами.

Итак, с чего начать?

1. Советую учащимся внимательно прочитать текст задачи от начала до самого конца, не отвлекаясь на записи и пометки (если необходимо, то нужно прочитать задачу несколько раз).

2. После прочтения ответить себе на вопрос  на что задача: на движение, работу или смеси, а может нестандартная задача.

3. Начертить таблицу соответствующую задаче на движение, на работу или на смеси или записать скелет задачи, выполнить схему.

4. Прочитать вопрос задачи, то что надо найти обозначим за Х (хотя есть исключения!), если требуется найти несколько величин за Х лучше обозначить меньшую.

5.Теперь следует прочитать условие задачи частями (предложениями) и внести известные величины в таблицу.

6. Заполнить  таблицу, выражая неизвестные величины через Х и известные величины.

7. Составить вспомогательное неравенство (уравнение) к задаче и схему уравнения.

8. Составить  уравнение и решить его.

9.Обратиться к вопросу задачи ещё раз и уже на него дать ответ.

В процессе работы над задачами удобно пользоваться следующими треугольниками-подсказками

S                      V                  t

A    N                  t

mч.в                                  mcп              %

Приведу примеры решения задач.

Задача 1. Ве­ло­си­пе­дист вы­ехал с по­сто­ян­ной ско­ро­стью из го­ро­да A в город B, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми равно 70 км. На сле­ду­ю­щий день он от­пра­вил­ся об­рат­но в A со ско­ро­стью на 3 км/ч боль­ше преж­ней. По до­ро­ге он сде­лал оста­нов­ку на 3 часа. В ре­зуль­та­те ве­ло­си­пе­дист за­тра­тил на об­рат­ный путь столь­ко же вре­ме­ни, сколь­ко на путь из A в B. Най­ди­те ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста на пути из B в A. Ответ дайте в км/ч.

Решение: Прочитав задачу, делаю вывод, что эта задача на движение.

Готовлю таблицу:

	V(скорость)	t (время)	S(расстояние)

Читаю вопрос: Най­ди­те ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста на пути из B в A. Тогда

	V(скорость)	t (время)	S(расстояние)
	х км/ч

Читаю первое предложение: Ве­ло­си­пе­дист вы­ехал с по­сто­ян­ной ско­ро­стью из го­ро­да A в город B, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми равно 70 км, значит

	V(скорость)	t (время)	S(расстояние)
			70 км
	х км/ч

Читаю второе предложение: На сле­ду­ю­щий день он от­пра­вил­ся об­рат­но в A со ско­ро­стью на 3 км/ч боль­ше преж­ней, т.е. из  скорость больше на 3км/ч, значит из  она меньше, тогда

	V(скорость)	t (время)	S(расстояние)
	(х-3) км/ч		70 км
	х км/ч		70 км

Выражаю время  на каждом участке

	V(скорость)	t (время)	S(расстояние)
	(х-3) км/ч		70 км
	х км/ч		70 км

Прочитав последние предложения задачи: По до­ро­ге он сде­лал оста­нов­ку на 3 часа. В ре­зуль­та­те ве­ло­си­пе­дист за­тра­тил на об­рат­ный путь столь­ко же вре­ме­ни, сколь­ко на путь из A в B. Из этого делаю вывод, что t_A-B=t_B-A+3, из этого вспомогательного уравнения составляю уравнение задачи:  решая его получаю, что х=10

Ответ:10км/ч

Задача2. Мо­тор­ная лодка про­шла про­тив те­че­ния реки 112 км и вер­ну­лась в пункт от­прав­ле­ния, за­тра­тив на об­рат­ный путь на 6 часов мень­ше. Най­ди­те ско­рость те­че­ния, если ско­рость лодки в не­по­движ­ной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение: Прочитав задачу, делаю вывод, что эта задача на движение.

Готовлю таблицу:

	V(скорость)	t (время)	S(расстояние)
Против теч.
По теч.

Читаю вопрос задачи: Най­ди­те ско­рость те­че­ния, если ско­рость лодки в не­по­движ­ной воде равна 11 км/ч., тогда х-скорость течения реки,  V_пр=11-х, а

V_{по т}=11+х, значит

	V(скорость)	t (время)	S(расстояние)
Против теч.	(11-х)км/ч
По теч.	(11+х)км/ч

Читаю часть первого предложения: Мо­тор­ная лодка про­шла про­тив те­че­ния реки 112 км и вер­ну­лась в пункт от­прав­ле­ния, тогда

	V(скорость)	t (время)	S(расстояние)
Против теч.	(11-х)км/ч		112 км
По теч.	(11+х)км/ч		112 км

Выразим время, которое шла лодка против течения и по течению реки

	V(скорость)	t (время)	S(расстояние)
Против теч.	(11-х)км/ч		112 км
По теч.	(11+х)км/ч		112 км

В первом предложении задачи сказано: за­тра­тив на об­рат­ный путь на 6 часов мень­ше, то вспомогательное неравенство имеет вид t_{по т}t_пр=6 ч, тогда

t_прt_{по т}=6 , значит уравнение задачи, решая его найду х= 3

Ответ: 3км/ч

Задача 3. Пер­вая труба на­пол­ня­ет ре­зер­ву­ар на 6 минут доль­ше, чем вто­рая. Обе трубы на­пол­ня­ют этот же ре­зер­ву­ар за 4 ми­ну­ты. За сколь­ко минут на­пол­ня­ет этот ре­зер­ву­ар одна вто­рая труба?

Решение: Прочитав задачу, делаю вывод, что эта задача на работу.

Готовлю таблицу

	N(производительность)	t(время)	A(объем работы)
1тр
2тр
1+2 тр

Читаю вопрос задачи: За сколь­ко минут на­пол­ня­ет этот ре­зер­ву­ар одна вто­рая труба? Тогда

	N(производительность)	t(время)	A(объем работы)
1тр
2тр		х мин
1+2 тр

Читаю первое предложение: Пер­вая труба на­пол­ня­ет ре­зер­ву­ар на 6 минут доль­ше, чем вто­рая. Значит

	N(производительность)	t(время)	A(объем работы)
1тр		(х+6) мин
2тр		х мин
1+2 тр

Читаю второе предложение: Обе трубы на­пол­ня­ют этот же ре­зер­ву­ар за 4 ми­ну­ты. Тогда

	N(производительность)	t(время)	A(объем работы)
1тр		(х+6) мин
2тр		х мин
1+2 тр		4 мин

Так как размер резервуара не указан, примем А=1, тогда

	N(производительность)	t(время)	A(объем работы)
1тр		(х+6) мин	1
2тр		х мин	1
1+2 тр		4 мин	1

Выразим производительность

	N(производительность)	t(время)	A(объем работы)
1тр		(х+6) мин	1
2тр		х мин	1
1+2 тр		4 мин	1

Вспомогательное уравнение: N₁+N₂=N₁₊₂, тогда уравнение примет вид:  , решая это уравнение найду х=6

Ответ: 6 мин.

Задача 4 Име­ет­ся два спла­ва. Пер­вый сплав со­дер­жит 10% ни­ке­ля, вто­рой – 30% ни­ке­ля. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав мас­сой 200 кг, со­дер­жа­щий 25% ни­ке­ля. На сколь­ко ки­ло­грам­мов масса пер­во­го спла­ва мень­ше массы вто­ро­го?

Решение: Прочитав задачу, делаю вывод, что задача на сплавы.

Готовлю таблицу

	mсп (масса сплава)	% (процент выраж. дес.др)	mч.в (масса чистого вещества)
1сп
2сп
3сп

Читаю вопрос: На сколь­ко ки­ло­грам­мов масса пер­во­го спла­ва мень­ше массы вто­ро­го? Делаю вывод, что первый сплав имеет меньшую массу, чем второй, тогда

	mсп (масса сплава)	% (процент выраж. дес.др)	mч.в (масса чистого вещества)
1сп	х кг
2сп
3сп

Читаю первые предложения: Име­ет­ся два спла­ва. Пер­вый сплав со­дер­жит 10% ни­ке­ля, вто­рой – 30% ни­ке­ля. Тогда

	mсп (масса сплава)	% (процент выраж. дес.др)	mч.в (масса чистого вещества)
1сп	х кг	0,1
2сп		0,3
3сп

Читаю далее: Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав мас­сой 200 кг, со­дер­жа­щий 25% ни­ке­ля. Из этого предложения делаю вывод, что тогда второй сплав имеет массу (200-х)кг

	mсп (масса сплава)	% (процент выраж. дес.др)	mч.в (масса чистого вещества)
1сп	х кг	0,1
2сп	(200-х)кг	0,3
3сп	200 кг	0,25

Выражаю массу чистого вещества для каждого сплава

	mсп (масса сплава)	% (процент выраж. дес.др)	mч.в (масса чистого вещества)
1сп	х кг	0,1	0,1х кг
2сп	(200-х)кг	0,3	0,3(200-х) кг
3сп	200 кг	0,25	0,25 =50 кг

Составлю вспомогательное уравнение: m_ч.в1+ m_ч.в2= m_ч.в3, тогда уравнение примет вид:  0,1х+0,3(200-х)=50, решая это уравнение получаем х=50,          т.е. 1сп имеет массу 50кг, а 2сп. 150кг, тогда 1сп меньше 2сп на 100кг.

Ответ: 100 кг

Задача 5 Семья со­сто­ит из мужа, жены и их до­че­ри сту­дент­ки. Если бы зар­пла­та мужа уве­ли­чи­лась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы сти­пен­дия до­че­ри умень­ши­лась втрое, общий доход семьи со­кра­тил­ся бы на 4%. Сколь­ко про­цен­тов от об­ще­го до­хо­да семьи со­став­ля­ет зар­пла­та жены?

Решение: Задача на проценты

Готовлю таблицу

папа	мама	дочь

Изображу доход отца: Если бы зар­пла­та мужа уве­ли­чи­лась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%.

папа	мама	дочь
было   стало             67% 67%, т.е. первоначальный доход отца 67%

Изображу доход дочери: Если бы сти­пен­дия до­че­ри умень­ши­лась втрое, общий доход семьи со­кра­тил­ся бы на 4%.

папа	мама	дочь
было   стало             67% 67%, т.е. первоначальный доход отца 67%		4%                    2%        2%        2%   было   стало т.е. первоначальный доход дочери 6%

 Вычисляем доход мамы:

папа	мама	дочь
было   стало             67% 67%, т.е. первоначальный доход отца 67%	100% - (67%+6%)= =27%	4%                    2%        2%        2%   было   стало т.е. первоначальный доход дочери 6%

Ответ: 27%