Решебник по теме "Тела вращения" 11 класс

 Задачи с решениями по теме « Тела вращения»

Задача 1.

Прямоугольный треугольник с острым углом А = 30° и противолежащим катетом 4 см вращается вокруг оси, проходящей через вершину прямого угла параллельно гипотенузе.
Найти объем полученного тела вращения.

Решение: Vт =Vц – Vк₁ – Vк₂

Конус1 имеет основание с диаметром АА₁; Конус2 имеет основание с диаметром ВВ₁.

Vц = Sосн*H; Vк = 1/3 Sосн*h

СВ=СВ₁=4 см, тогда АВ=А₁В₁=8 см=H, АС=А₁С=√82+42=√48см;

∆АА₁С -равносторонний; АА₁=√48см=4√3,

R₁=R₂=2√3см, О₁С=√48 – 12=√36=6см=h₁

h₂=8-6=2см

Vц=П( 2√3)2•8=96П Vк₁=1/3П(2√3)2•6=24П Vк₂=1/3П(2√3)2•2=8П

Vт=96П - 24П - 8П = 64П

Ответ: 64Псм³

 Задача 2

Прямоугольный треугольник с гипотенузой 25 см и проведенной к ней высотой равной 12 см вращается вокруг гипотенузы. Найдите площадь поверхности тела, полученного при вращении.

Решение: АВ=25 см, СН=12 см

S_тела=S_{бок.кон(1)} + S_{бок.кон(2)}

h²=a_c*b_c (высота в прямоугольном треугольнике)

CH²=AH*HB. Пусть AH=x, тогда НВ=25-x.
x(25-x)=12²;
x²-25x+144=0;
АН=16 см, НВ=9 см Из ΔАНС по теореме Пифагора АС²=АН²+СН²

АС=20см-(образующая 1)

S_{бок.кон(1)}=πrl=π*12*20=240π (cм² )

Из ΔВНС СВ²=СН²+НВ²

CB=15 (см).- (образующая 2).

S_{бок.кон(2)}=π*12*15=180π (см²).

S_тела=240π +180π=420π (см²)

Ответ: 420π см²

 Задача 3

Прямоугольная трапеция с основаниями 5 см и 10 см и большей боковой стороной равной 13 см вращается вокруг большего основания. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Решение:

АС=5 см, НК=10см, СК=13 см.

ОК=НК-АС=5 см; l=13 см

Из ΔСОК по теореме Пифагора СО²=СК²-ОК²;

СО=r =12 см;

S_{бок.кон}=πrl=π*12*13=156π (см²);

S_цил.=2πrh+πr²=2π*12*5+144π=264π (см²);

S_тела= S_{бок.кон.}+S_цил.= 156π +264π=

=420π (см²);

 Ответ: 420π см²

Задача 4

Прямоугольная трапеция с основаниями 5 см и

10см и большей боковой стороной равной 13 см вращается

Вокруг меньшего основания. Найдите площадь поверхности

тела вращения. Прямоугольная трапеция с основаниями

5 см и 10 см и большей боковой стороной равной 13 см

вращается вокруг меньшего основания. Найдите площадь

Поверхности тела вращения.

Решение:

ВС=5 см, АD=10 см,АВ=13 см

S_тела= S_{бок.кон.}+S_{цил(1основание)}

S_тела= πrl+2πrh+πr²; АК=АD-ВС=5 (см);

Из ΔАКВ - прямоугольного по теореме Пифагора

КВ²=АВ²-АК²;

КВ=12см – r

AB=l – образующая

h=AD=10 см

S_тела=π*12*13 + 2π*12*10+144π=540π (см²).

Ответ: 540π см²

Задача 5.

Равнобокая трапеция с основаниями 4 см и 10 см и

высотой 4 см вращали вокруг большего основания. Найдите

площадь поверхности тела вращения.

Решение:

 АВ=4см, DC=10 см, ВН=4 см

 S_тела=2 S_{бок.кон.}+S_{бок.цил.}

 S_{бок.кон}=πrl

  HC=10-2/2=3.

 Из ΔВНС по теореме Пифагора СВ²=СН²+НВ^2;

CВ=5 см.-l (образующая).

 BH=r=4 cм;

S_{бок.кон}=π*4*5=20π (см²)

h=HH₁=10 – (3+3)=4 см. S_{бок.цил.}=2πrh=2*4*4*π=32π (см²)

S_тела=40π+32π=72π (см²).

Ответ: 72π см².

Задача 6

Параллелограмм со стороной 3 см и 6 см , острым углом А= 60° вращается вокруг оси, проходящей через вершину острого угла, параллельно высоте параллелограмма. Найти объем полученного тела вращения.

 Решение:

Vт=Vук – Vк; Vук=1/3П h(R²+R₁²+RR₁); Vк=1/3ПR²h; угол D=A, угол СDC₁=60°, ∆CC₁D – равносторонний, СС₁=6см, Rк=3см, h=√6²-3²=√27=3√3см

R=BD+B₁D=3+3=6cм; R₁=AC+CC₁+A₁C₁=3+6+3=12см

Vк=1/3П •6²•3√3=36√3П

Vук=1/3П 3√3(36+144+72)=252√3П

Vт= 252√3П - 36√3П =216√3П

Ответ: 216√3П см³