Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / "Решение банковских задач по математике"

"Решение банковских задач по математике"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


Решение «банковских» задач в новой версии ЕГЭ-2015 по математике.

Задача №1.Нахождение количества лет выплаты кредита. Максим хочет взять в банке кредит 1,5 миллиона рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными платежами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Процентная ставка- 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Максим взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 350 тысяч рублей?

Решение.

1)В конце первого года долг составит: 1500000 ∙ 1,1 – 350000 =1300000 (руб) 2) В конце второго года долг составит: 1300000 ∙ 1,1 – 350000 = 1080000 (руб) 3)В конце третьего года долг составит: 1080000 ∙ 1,1 – 350000 = 838000 (руб) 4)В конце четвертого года долг составит: 838000 ∙ 1,1 – 350000 = 571800 (руб) 5)В конце пятого года долг составит: 571800 ∙ 1,1 – 350000 = 278980 (руб) 6) В конце шестого года долг составит: 278900 ∙ 1,1 =306878 (руб) Эта сумма менее 350000 руб. Значит, кредит будет погашен за 6 лет. Ответ: 6 лет .

Задача №2.Вычисление процентной ставки по кредиту. 31 декабря 2014 года Валерий взял в банке 1000000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая. 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Валерий переводит в банк очередной транш. Валерий выплатил кредит за два транша, то есть за два года. В первый раз Валерий перевел в банк 660000 рублей, во второй раз – 484000 рублей. Под какой процент банк выдал кредит Валерию?

Решение. Пусть а - процентная ставка по кредиту.

1)В конце первого года долг составит: 1000000 ∙ (1 + 0,01∙ а) – 660000 = 340000 + 10000∙а

2) В конце второго года долг составит: (340000 + 10000∙а) ∙ (1 + 0,01∙а) – 484000. По условию задачи кредит будет погашен за два года. Составляем уравнение: (340000 + 10000∙а) ∙ (1 + 0,01∙а) – 484000 = 0;

а2+ 134∙а – 1440 = 0

Решая уравнение, получаем, что а = 10. Ответ: 10% .

Задача №3Нахождение суммы кредита. 31 декабря 2014 года Максим взял в банке некоторую сумму денег в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Михаил переводит в банк 2928200 рублей. Какую сумму взял Михаил в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами, то есть за 4 года?

Решение. Пусть S – сумма кредита.

1)В конце первого года долг составит: (1,1х – 2928200) рублей

2) В конце второго года долг (в рублях) составит: (1,1х – 2928200)∙1,1 – 2928200 = 1,21х – 3221020 – 2928200 = 1,21х – 6149220

3) В конце третьего года долг (в рублях) составит: (1,21х – 6149220)∙1,1 – 2928200 = 1,331х – 6764142 – 2928200 = =1,331х – 9692342

4) В конце четвертого года долг (в рублях) составит 2928200 рублей:

(1,331х – 9692342)∙1,1 = 2928200;

1,4641х – 10661576 = 2928200;

1,4641х = 13589776;

х = 9281999,8. Значит, сумма кредита равна 9282000 рублей. Ответ: 9282000 руб.

Задача №4.Нахождение ежегодного транша. 31 декабря 2014 года Роман взял в банке 8599000 рублей в кредит под 14% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга(то есть увеличивает долг на 14%), затем Роман переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Роман выплатил долг тремя равными платежами (то есть за 3 года)?

Решение.

1)В конце первого года долг составит: 8599000∙1,14 – Х = 9802860 – Х

2) В конце второго года долг составит: (9802860 - Х)∙1,14 – Х=11175260 – 2,14∙Х

3) В конце третьего года долг (в рублях) составит:

(11175260 – 2,14∙Х) ∙1,14 – Х=12739796 – 3,4396∙Х.

Составим уравнение: 12739796 – 3,4396∙Х= 0 Х=3703860 рублей

Ответ: ежегодный транш составит 3703860 рублей.



Задача 19 ЕГЭ - 2015



1. В июле планируется взять кредит на сумму 8052000 рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга

Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года)?



Ответ: 3 110 400



2. В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,16 млн рублей.

Сколько млн. рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года)?



Ответ: 4,55



3. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 100000 рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на а% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

Найдите число а, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причем в первый год было переведено 55000 руб., а во второй 69000 рублей.



Ответ: 15



4. В июле планируется взять кредит на сумму 4026000 рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом прошлого года.

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

На сколько рублей больше придется отдать в случае, если кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года) по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)?



Ответ: 950 400



5. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на некоторый срок.

Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил 1,8 млн рублей?

Так как мы ищем минимальный срок кредита, то первый платеж должен быть максимальным, т.е. составлять 1,8 млн. рублей.

1 год:

В январе сумма долга станет равной 1,2 * 6 = 7,2 млн. руб.

После 1 платежа сумма долга будет равна 7,2 - 1,8 = 5,4 млн. руб.

6 - 5,4 = 0,6 - разница между долгом в июле одного года и в июле следующего года.

Так как в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года, то каждый год долг в июле должен быть на 0,6 млн руб. меньше, чем в июле предыдущего года.

В таком случае пусть осталось выплатить n платежей. Тогда

5,4 - 0,6n = 0,

n = 9.

Учитывая, что 1 платеж уже был сделан, то минимальный срок крелита составит 10 лет.

Заметим, что все ежегодные платежи не будут превышать 1,8 млн. руб.

Действительно, на 2 год в январе месяце долг составит 5,4*1,2 = 6,48. После выплаты он должен отличаться от предыдущей суммы долга в июле на 0,6 млн. руб., значит, сумма долга в июле составит 5,4 - 0,6 = 4,8 млн. руб, а выплата за 2 год равна 6,48 - 4,8 = 1,68 млн. руб, что меньше, чем 1,8 млн. руб.

На (n+1)-ый год в июле месяце долг составит 6-0,6n.

Долг на январь месяц будет составлять (6-0,6(n-1))*1,2

Сумма выплаты за n год равна (6-0,6(n-1))*1,2 - (6-0,6n) = 1,92 - 0,12n.

1,92 - 0,12n<1,8

0,12n>0,12

n>1.

Получаем, что при n>1 ежегодные платежи не будут превышать 1,8 млн. руб.

Окончательно получаем, что кредит будет выплачен за 10 лет.

 

Ответ: 10.

 

6. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на 5 лет. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Сколько млн рублей составила общая сумма выплат после погашения кредита?

1 год:

В январе сумма долга составит 10*1,1 = 11 млн. руб.

Пусть 1 платеж составил X млн. руб. Тогда после 1 платежа долг составит (11-X) млн. руб.

Так как в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года, то разница между долгом каждый год будет равна

10 - (11-X) = (X - 1) млн. руб.

Осталось выплатить долг еще за 4 года. Через 4 года долг в июле месяце будет равен

10 - 5*(X-1).

Так как кредит был погашен за 5 лет, то последний долг равен 0, т.е. получаем уравнение:

10 - 5*(X-1) = 0,

X-1 = 2,

X = 3.

То есть 1-ый платеж составил 3 млн. руб.

После этого долг в июле составил 11-3 = 8 млн. руб.

Во 2 год в январе долг составит уже 1,1*8 = 8,8 млн. руб. И так как разница между долгом каждый год в июле равна 3 - 1 = 2 млн. руб., то на июль 2-го года долг составит 8 - 2 = 6 млн. руб. Значит, 2 платеж был равен 8,8 - 6 = 2,8 млн. руб.

В 3 год в январе долг равен 1,1*6 = 6,6 млн. руб. На июль 3-го года долг будет равен 6 - 2 = 4 млн. руб., значит, 3 платеж равен 6,6 - 4 = 2,6 млн. руб.

В 4 год в январе долг равен 4*1,1 = 4,4 млн. руб. На июль 4 года долг составит 4 - 2 = 2 млн. руб. И 4-ый платеж был равен 4,4 - 2 = 2,4 млн. руб.

На январь 5-го года долг составит 2*1,1 = 2,2 млн. руб. И так как кредит был полностью погашен за 5 лет, то это будет последний платеж и он будет равен сумме долга, т.е. 2,2 млн. руб.

Итого общая сумма платежей за 5 лет составила: 3+2,8+2,6+2,4+2,2 = 13 млн. руб.

 

Ответ: 13.



7. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 20 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 47 млн рублей?

1 год:

В январе долг стал равен 20*1,3 = 26 млн. руб.

Пусть X (млн. руб.) - составил 1 платеж.

Тогда в июле после 1 платежа долг стал равен (26-X) млн. руб.

Так как в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года, то эта величина равна 20 - (26-X) = (X-6) млн. руб.

Пусть кредит был взят на n лет.

Тогда в n-ый год в январе долг будет равен

(20−(n−1)(X−6))1,3 млн. руб.

В июле n-го года долг равен 20-n(X-6).

А выплату в n году можно посчитать по формуле:

(20−(n−1)(X−6))1,3−(20−n(X−6)).

В 1 год платеж был равен X млн. руб.

Во 2 год -

(20−X+6)1,3−20+2X−12=33,8−1,3X−32+2X=1,8+0,7X.

В 3 год -

(20−2X+12)1,3−20+3(X−6)=41,6−2,6X−20+3X−18=3,6+0,4X.

Имеем арифметическую прогрессию, разность которой равна 1,8-0,3X, а первый член прогрессии равен X.

Так как общая сумма выплат после его погашения равнялась 47 млн рублей, то получаем по формуле для суммы n первых членов арифметической прогрессии:

Sn=2X+(1,8−0,3X)(n−1)2n=47,

(2X+(1,8−0,3X)(n−1))n=94.

Так как n-ый платеж является последним, то получаем уравение:

20−n(X−6)=0,

Откуда получаем, что

n=20X−6.

Подставляем в предыдущее уравнение (формула суммы n первых членов арифметической прогрессии):

(2X+(1,8−0,3X)(20X−6−1))20X−6=94.

20(2X(X−6)+(1,8−0,3X)20−(1,8−0,3X)(X−6))=94(X−6)2,

10(2x2−12X+36−6X−1,8X+10,8+0,3X2−1,8X)=47(X2−12X+36),

10(2,3X2−21,6X+46,8)=47(X2−12X+36),

23X2−216X+468=47X2−564X+1692,

24X2−348X+1224=0,

2X2−29X+102=0,

X1=8,5, X2=6.

Пусть X = 8,5. Тогда n = 20/2,5 = 8.

Если X = 6, то n посчитать невозможно, так как в знаменателе 0.

Получаем, что кредит был взят на 8 лет.

 

Ответ: 8.

 

8. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на срок 15 лет.

Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на х% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Найти х, если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более 1,9 млн рублей, а наименьший - не менее 0,5 млн рублей.

В январе сумма долга составит (1+x/100)6.

Пусть первый платеж равен Y, тогда в июле останется сумма долга, равная

(1+x/100)6−Y.

При этом в июле каждого года долг будет уменьшаться на одну и ту же величину, равную

6−((1+x/100)6−Y)=Y−6x/100.

Так как кредит будет полностью выплачен за 15 лет, то получаем уравнение:

6−15(Y−6x/100)=0,

5Y−0,3X=2,

Y=0,06X+0,4.

Тогда в июле каждого года долг будет уменьшаться на величину, равную

Y−6x/100=0,06X+0,4−0,06X=0,4.

И в июле сумма долга будет равна 6 - 0,4 = 5,6 млн. руб.

2 год:

В январе сумма долга составит

(1+x100)((1+x100)6−Y)=5,6(1+x100).

В июле долг уменьшится на 0,4 млн. руб. по сравнению с июлем предыдущего года и станет равным 5,6 - 0,4 = 5,2.

Тогда платеж за 2 год составит

5,6(1+x100)−5,2=0,056x+0,4.

Каждый год платеж уменьшается на одну и ту же сумму, а именно на

0,06X+0,4−(0,056x+0,4)=0,004x.

Поэтому последний 15 платеж будет равен

0,06X+0,4−140,004x=0,004x+0,4.

Нам известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более 1,9 млн рублей, а наименьший - не менее 0,5 млн рублей, поэтому получаем условия:

0,06X+0,4≤1,9,  0,004x+0,4≥0,5,

x≤25,  x≥25.

Откуда получаем, что искомая величина x = 25.

 

Ответ: 25.

 

9. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок

(целое число лет). Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 40 млн рублей?

1 год:

В январе долг стал равен 16*1,25 = 20 млн. руб.

Пусть X (млн. руб.) - составил 1 платеж.

Тогда в июле после 1 платежа долг стал равен (20-X) млн. руб.

Так как в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года, то эта величина равна 16 - (20-X) = (X-4) млн. руб.

Пусть кредит был взят на n лет.

Тогда в n-ый год в январе долг будет равен

(16−(n−1)(X−4))1,25 млн. руб.

В июле n-го года долг равен 16-n(X-4).

А выплату в n году можно посчитать по формуле:

(16−(n−1)(X−4))1,25−(16−n(X−4)).

В 1 год платеж был равен X млн. руб.

Во 2 год -

(16−X+4)1,25−16+2X−8=1+0,75X.

В 3 год -

(16−2X+8)1,25−16+3(X−4)=2+0,5X.

Имеем арифметическую прогрессию, разность которой равна

1+0,75X-X = 1-0,25X,

а первый член прогрессии равен X.

Так как общая сумма выплат после его погашения равнялась 40 млн рублей, то получаем по формуле для суммы n первых членов арифметической прогрессии:

Sn=2X+(1−0,25X)(n−1)2n=40,

(2X+(1−0,25X)(n−1))n=80.

Так как n-ый платеж является последним, то получаем уравение:

16−n(X−4)=0,

Откуда получаем, что

n=16X−4.

Подставляем в предыдущее уравнение (формула суммы n первых членов арифметической прогрессии):

(2X+(1−0,25X)(16X−4−1))16X−4=80.

16(2X(X−4)+(1−0,25X)16−(1−0,25X)(X−4))=80(X−4)2,

2x2−8X+16−4XX+4+0,25X2X=5(X2−8X+16),

2,25X2−14X+20=5(X2−8X+16),

9X2−56X+80=20X2−160X+320,

11X2−104X+240=0,

X1=4, X2=60/11.

Пусть X = 60/11. Тогда n = 16:16*11 = 11.

Если X = 4, то n посчитать невозможно, так как в знаменателе 0.

Получаем, что кредит был взят на 11 лет.



Ответ: 11



10. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 1300000 рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

На какое минимально количество лет можно взять кредит при условии, что ежегодные выплаты были не более 350000 рублей?



Ответ: 5



11. Зависимость объема Q (в шт) купленного у фирмы товара от цены Р (в руб. за шт.) выражается формулой Q=15000-P, 1000≤P≤15000. Доход от продажи товара составляет PQ рублей. Затраты на производство Q единиц товара составляют 3000Q+5000000 рублей.

Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство.

Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену продукции на 20%, однако ее прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?



Ответ: 12,5%





12. 15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число месяца необходимо выплатить часть долга

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Пусть X (руб.) - взято в кредит в банке. Y (руб.) - первый платеж.

1 месяц (февраль):

1-го февраля долг стал равен (1+r/100)X.

15 февраля сумма долга (после 1 платежа) будет составлять

(1+r/100)XY.

Так как 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца, то эта сумма равна

X−((1+r/100)XY)=YrX/100.

Кредит был взят на 39 месяцев, а значит после 39 платежей долг будет полностью выплачен.

X−39(YrX/100)=0,

Y=X+39rX/10039=X/39+rX/100.

Теперь найдем общую сумму погашения кредита.

Так как долг 15-го числа каждого месяца уменьшаеся на на одну и ту же сумму по сравнению с 15 числом предыдущего месяца, то и платеж каждый месяц уменьшается на одну и ту же величину.

1 марта сумма долга станет равна

(1+r/100)((1+r/100)XY)=(1+r/100)((X+rX/100−X/39−rX/100)=

=(1+r/100)38X/39.

15 марта сумма долга будет составлять :

(1+r/100)XY−(YrX/100)=X−2Y+2rX/100=

=X−2X/39−2rX/100+2rX/100=37X/39.

Значит, второй платеж равен

(1+r/100)38X/39−37X/39=X/39+38rX/3900.

Разница между платежами составляет:

Y−(X/39+38rX/3900)=X/39+rX/100−X/39−38rX/3900=

=rX/100(1−38/39)=rX/3900.

Суммы платежей представляют собой убывающую арифметическую прогрессию, где первый член равен Y или X/39+rX/100, а разность прогрессии равна rX/3900.

Известно, что общая сумма после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит, то есть общая сумма платежей равна 1,2X.

Найдем сумму всех 39 платежей по формуле суммы n первых членов арифметической прогрессии:

S39=2(X/39+rX/100)−rX/390038239=1,2X,

39(2X/39+2rX/100−38rX/3900)=2,4X.

Сократим все уравнение на X:

39(2/39+2r/100−38r/3900)=2,4,

2+78r/100−38r/100=2,4,

40r/100=0,4,

r=1.

То есть искомое значение r = 1%.

 

Ответ: 1.



13. Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5х2+2x+6 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px-(0,5x2+2x+6). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р строительство завода окупится не более, чем за 3 года?

За 3 года прибыль составит:

3(px−(0,5x2+2x+6)).

Нужно найти наименьшее значение p, при котором выполнится неравенство:

3(px−(0,5x2+2x+6))≥78,

px−(0,5x2+2x+6)≥26,

px≥0,5x2+2x+32,

p≥0,5x+2+32x.

Так как нужно найти наименьшее значение p, то нужно исследовать функцию 0,5x+2+32/x на минимум. Для этого найдем ее производную:

(0,5x+2+32/x)=0,5−32/x2,

0,5−32x2=0,

x2=64, x1=8, x2=−8.

x = 8 - точка минимума, поэтому минимальное значение p равно:

p=0,58+2+32/8=4+2+4=10.

Искомое наименьшее значение p = 10.

 

Ответ: 10.



Ответ: 10

14. Антон является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Антон платит рабочему 250 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе - 200 рублей. Антон готов выделять 900 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Пусть рабочие на первом заводе трудятся x2 часов, а значит производят x единиц товара.

За эту работу рабочие на первом заводе получат всего 250x2 рублей.

На втором заводе рабочие трудятся y2 часов и соответственно производят y единиц товара. Всего рабочие второго завода получат 200y2 рублей.

Так как Антон готов выделять 900 000 рублей в неделю на оплату труда, то

250x2+200y2=900000.

При этом за неделю будет произведено x+y единиц товара.

Значит, нужно найти максимальное значение функции f = x+y.

Из первого уравнения выразим y:

200y2=900000−250x2,

y=4500−1,25x2−−−−−−−−−−−.

Тогда

f=x+4500−1,25x2−−−−−−−−−−−.

Найдем максимальное значение этой функии. Для этого вычислим прозводную функции f:

f=1+−1,252x24500−1,25x2−−−−−−−−−−−=1−1,25x4500−1,25x2−−−−−−−−−−−.

4500−1,25x2−−−−−−−−−−−−1,25x=0,

4500−1,25x2=1,5625x2,

2,8125x2=4500,

x2=1600,

x=40, y=4500−1,251600−−−−−−−−−−−−−−=50.

fmax=40+50=90.

 

Ответ: 90.



15. Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 2t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 5t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит рабочему 500 рублей. Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара. Какую наименьшую сумму придется тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

Пусть рабочие на первом заводе трудятся x2 часов, а значит производят 2x единиц товара. А на втором заводе рабочие трудятся y2 часов и соответственно производят 5y единиц товара.

Так как Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара, то

2x+5y=580.

При этом сумма, которую придется еженедельно тратить на оплату труда будет равна

f=500(x2+y2).

Чтобы найти наименьшую сумму, которую придется еженедельно тратить на оплату труда, нужно исследовать функцию f на минимум.

Из первого уравнения выразим y:

y=(580−2x)/5.

Подставим это выражение в функцию f:

f=500(x2+(580−2x)/5)=500x2+20(580−2x)2.

f=580x2−46400x+6728000.

Исследуем эту функцию на минимум. Для этого найдем ее производную:

f=1160x−46400,

1160x−46400=0,

x=40 - точка минимума.

Находим соответствующий y:

y=(580−80)/5=100.

Значит наименьшая сумма, которую придется еженедельно тратить на зарплату рабочим равна

500(402+1002)=5800000.

 

Ответ: 5800000.



Ответ: 5800000.

16. Зависимость объема Q (в шт) купленного у фирмы товара от цены Р (в руб. за шт.) выражается формулой Q=15000-P, 1000≤P≤15000. Доход от продажи товара составляет PQ рублей. Затраты на производство Q единиц товара составляют 3000Q+5000000 рублей.

Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство. Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену продукции на 20%, однако ее прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?

Ответ: 12,5%.

Доход можно вычислить по формуле:

PQ=P(15000−P).

Затраты на производство Q единиц товара составляют 3000Q+5000000 рублей.

Обозначим прибыль через R. Тогда R вычисляется по формуле:

R=PQ−(3000Q+5000000)=P(15000−P)−(3000(15000−P)+5000000),

R=15000PP2−45000000+3000P−5000000,

R=−P2+18000P−50000000.

После снижения цены на 20% цена стала равна 0,8P. Соответственно прибыль будет вычисляться по формуле:

R=−(0,8P)2+180000,8P−50000000.

R=−0,64P2+14400P−50000000.

Так как прибыль не изменилась, то получаем уравнение:

P2+18000P−50000000=−0,64P2+14400P−50000000,

0,36P2−3600P=0,

P1=0,  P2=10000.

Нам подходит значение P = 10 000 рублей. Соответственно новая цена равна 8000 рублей.

Теперь исследуем функцию R=−P2+18000P−50000000 на максимум и найдем P, при котором будет достигаться наибольшая прибыль.

Для этого найдем производную функции R=−P2+18000P−50000000:

R=−2P+18000,

R=0,  P1=0,  P2=9000.

P = 9000 - точка максимума данной функции, а значит при цене P = 9000 будет достигаться наибольшая прибыль.

Найдем, на сколько процентов нужно увеличить цену P = 8000, чтобы получить новую цену 9000 рублей. Имеем пропорцию:

8000 - 100%,

9000 - x%.

8000x = 900000,

x = 112,5%.

112,5 - 100 = 12,5%.

То есть для достижения максимальной прибыли нужно увеличить новую цену на 12,5%.

 

Ответ: 12,5%.

 


17. Садовод привез на рынок 91 кг яблок, которые после транспортировки разделил на три сорта. Яблоки первого сорта он продавал по 40 руб., второго сорта - по 30 руб., третьего сорта - по 20 руб. за килограмм. Выручка от продажи всех яблок составила 2170 руб. Известно, что масса яблок 2-го сорта меньше массы яблок 3-го сорта на столько же процентов, на сколько процентов масса яблок 1-го сорта меньше массы яблок 2-го сорта. Сколько килограммов яблок второго сорта продал садовод?

Решение

Пусть x (кг) - масса яблок 1 сорта, y (кг) - масса яблок 2 сорта, z (кг) - масса яблок 3 сорта.

Тогда получаем 1 уранвение:

x+y+z = 91.

Так как яблоки 1 сорта садовод продавал за 40 руб. за кг., 2 сорта - за 30 руб., 3-го сорта - за 20 руб., а всего выручка составила 2170 руб., то получаем 2 уравнение:

40x+30y+20z = 2170.

С учетом уравнения 1 получим:

20(x+y+z)+20x+10y = 2170,

20*91+20x+10y = 2170,

20x+10y = 350,

2x+y = 35, откуда x = (35-y)/2.

Так как масса яблок 2-го сорта меньше массы яблок 3-го сорта на столько же процентов, на сколько процентов масса яблок 1-го сорта меньше массы яблок 2-го сорта, то получаем 3 уравнение:

100% - (y/z)*100& = 100% - (x/y)*100%,

или

y/z = x/y, откуда zx = y2.

z = y2/x = (2y2)/(35-y).

Подставим полученные выражения для x и z в первое уравнение:

35−y2+y+2y235−y=91,

(35−y)2+2y(35−y)+4y2=182(35−y),

3y2+182y−5145=0,

y1=21, y2=−245/3.

Получили, что y = 21, то есть садовод продал 21 кг яблок 2 сорта.

 

Ответ: 21.



19


Автор
Дата добавления 15.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1929
Номер материала ДВ-457328
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх