Решение дробных рациональных уравнений

Тема. Рациональные уравнения. Решение рациональных уравнений

Цель: добиться усвоения учащимися содержания понятий: «рациональное уравнение», «целое рациональное уравнение», «дробно-рациональное уравнение» - и осознание логической связи между этими понятиями; сформировать у учащихся представление о содержании понятия «ОДЗ уравнения», его роль в построении общей схемы решения дробно-рационального уравнения и саму схему решения дробно-рационального уравнения; сформировать умение отличать изученные виды уравнений друг от друга и аргументировать свое мнение; находить, используя содержание понятия, ОДЗ уравнения, а также решать простейшие дробно-рациональные уравнения по изученной схеме.

Тип урока: усвоение знаний и первичных умений.

Наглядность и оборудование: опорный конспект «Рациональные уравнения».

Ход урока

I. Организационный этап

II. Проверка домашнего задания

Проверку домашнего задания проводим как анализ самостоятельной работы (см. Предыдущий урок).

III. Формулировка цели и задач урока

На интуитивном уровне учащиеся имеют первичное представление о структуре школьного курса алгебры. Эту информацию учитель мог предоставить учащимся ранее, еще в начале изучения алгебры, или на одном из уроков систематизации и повторения материала, изученного в 7 классе, или предложить схему, отражающую структуру школьного курса алгебры 7-9 класса.

Поэтому они должны осознать тот факт, что изучение способов преобразования самих по себе рациональных выражений не с самоцелью изучение алгебры, наоборот, они интересуют нас лишь потому, что могут быть применены в работе с другими объектами изучения алгебры - уравнениям (и неровностями), которые в свою очередь являются средством для решения текстовых задач. Поэтому вполне логично после изучения способов преобразований дробных рациональных выражений изучить вопрос о видах и способах решения уравнений, состоящие из таких выражений. Эти слова учителя выражают основную дидактическую цель урока.

IV. Актуализация опорных знаний и умений

@ С целью успешного восприняты учащимися учебного материала перед изучением материала урока следует активизировать знания и умения учащихся: определение целых и дробных рациональных выражений, тождественных преобразований целых выражений и рациональных дробей (преобразований суммы, разности, произведения и частного двух рациональных дробей на рациональный дробь), а также условия равенства дроби нулю, ОДЗ рационального (целого и дробного выражения) и основного свойства пропорции; содержания основных понятий, связанных с понятием уравнения с одной переменной (корень уравнения или решение уравнения, что значит решить уравнение с одной переменной)

Выполнение устных упражнений

1. Вычислите: ; ; ; ; ; ; ; .

2. Укажите допустимые значения переменной в выражении: х2 - 4; ; ; ; ; .

При каких значениях переменных выражения приобретают значение, равное нулю?

3. Назовите порядок выполнения действий в выражении:

А) ; б) ; в) .

4. Представьте выражения в виде несократимый дроби:

А) ; б) ; в) ; г) ; д) .

V. Усвоение знаний

План изучения нового материала

1. Определение рационального уравнения, целого рационального уравнения, дробно-рационального уравнения (с примерами и контрприкладами).

2*. Определение ОДЗ (рационального) уравнения; нахождение ОДЗ рационального уравнения.

3. Алгоритм решения дробно-рационального уравнения вида = 0, (где А и В - некоторые многочлены от одной переменной).

4. Пример применения изученного алгоритма.

5*. Схема решения простейших дробно-рациональных уравнений с параметром.

Конспект 6 Рациональные уравнения
1.	Рациональные выражения					Рациональные уравнения
		Целые выражения	Дробные вы раза				Целые уравнения = 2	Дробные уравнения = 2
2. Дробно-рациональное уравнение. ОДЗ: значения переменной, при которых существуют выражения в обеих частях уравнения. 3. Алгоритм решения уравнений вида = 0 (А и В - многочлены от одной переменной). = 0. 1) ≠ 0 (найти ОДЗ уравнения): 2) А = 0 (найти, при каких значениях переменной числитель равен нулю); 3)  (найти, какие из корней уравнения А = 0 удовлетворяют ОДЗ уравнения); 4) Ответ. (Запишите в ответ эти корни)

@ Изучения материала урока начинается с систематизации знаний учащихся по видам уравнений с одной переменной и дополнение знаний учащихся о видах уравнений представлениям о общий вид рациональных уравнений, а также разновидностей таких уравнений (целых и дробных). При этом важно, чтобы учащиеся осознали, что именно вид выражений, из которых состоит данное уравнение, и определяет вид уравнения, который в свою очередь определяет способ решения уравнения.

На этом уроке начинается кропотливая работа по формированию устойчивых умений учащихся решать дробные уравнения путем равносильных преобразований, по общей схеме, представленной в Таблицах по алгебре, 7-11 классы» Есть. П. Нелина, которая предполагает прежде всего понимание учащимися содержания понятия «ОДЗ уравнения». Поэтому для формирования у учащихся умения математически грамотно решать дробные уравнения правильно было бы уже на первых уроках знакомства учащихся с новым для них видом уравнений, отталкиваясь от знакомого учащимся понятие ОДЗ выражения, сформировать определение ОДЗ уравнения и на примерах продемонстрировать, как влияет изменение ОДЗ (переход от целого уравнения с дробной) на количество и возможность существования корней уравнения (такой подход к изложению вопроса о решение дробно-рациональных уравнений в 8 классе целесообразно осуществлять при условии надлежащего уровня интеллектуальной подготовки учащихся). Далее целесообразно было бы составить с учащимися алгоритм нахождения ОДЗ простейшего дробного рационального уравнения вида

 = 0

(где А и В - некоторые многочлены от одной переменной).

В 8 классе традиционно изучается несколько способов равносильного преобразования дробных уравнений, но на первом уроке, чтобы не перегрузить учащихся новыми понятиями, к рассмотрению предлагается способ решения дробных уравнений, который предусматривает использование условия равенства дроби нулю.

* Если позволяет уровень подготовки учащихся (сформированы четкое представление о содержании понятия уравнения с параметром и умение решать линейные уравнения с параметрами), то уже на этом уроке можно предложить учащимся ознакомиться со схемой решения дробно-рациональных уравнений с параметром.

VI. Усвоение знаний

Выполнение устных упражнений

1. Какие из уравнений: 2х - 1 = 0; х2 - 3х + 5 = 0; ; ;  являются рациональными? Целыми рациональными? Дробно-рациональными?

2. Прокомментируйте (используя алгоритм) решения уравнения .

1) ОДЗ: х ≠ 0 и х + 1 ≠ 0; х ≠ 0 и х ≠ -1;

2) , , ;

3) х - 1 = 0,

Х = 1 - входит в ОДЗ.

Ответ. 1.

3. Заполните таблицу:

Уравнение	ОДЗ	Значение переменной, при которой в числителе ноль	Не входит в ОДЗ	Ответ
	Х ≠ 5
	Х ≠ 0, х ≠ -5	0; 5

Выполнение письменных упражнений

Для реализации дидактической цели урока следует решить задачи следующего содержания:

1*. Нахождение ОДЗ дробно-рационального уравнения вида = 0, где А и В - некоторые многочлены от одной переменной.

2. Проверка по известным ОДЗ уравнения, которые из заданных чисел не являются корнями уравнения (не входят в ОДЗ).

3. Решение дробно-рациональных уравнений вида = 0 (где А и В - некоторые многочлены от одной переменной) по алгоритму (см. Выше).

1) Решите уравнение: а) ; б) ; в) .

2) Решите уравнение: а) ; б) ; в) .

3) Решите уравнение: а) ; б) ; в) .

4. Составление и решение уравнений по словесному описанию.

1) Какое число надо прибавить к знаменателю дроби , чтобы получить дробь ?

2) Какое одно и то же число надо добавить в числитель дроби  и умножить на него знаменатель этой дроби, чтобы получить дробь ?

5. Составление и решение уравнений по условию задачи. Знаменатель дроби на 3 больше числителя. Если в числитель дроби прибавить 32, то получим дробь, вдвое больше данного. Найдите начальный дробь.

6*. Решение дробно-рациональных уравнений с параметром.

Решите уравнение с параметром а: .

7. Логические упражнения и задачи повышенного уровня сложности для учащихся, имеющих достаточный и высокий уровни знаний.

1) При каком значении а тождественно равные выражения  и ?

2) Какое число пропущено?

Ах - 3 = х	1
7х - 5 = mх	7
Bх + 2 = 3х	?

8. На повторение: преобразуйте рациональное выражение с использованием приобретенных ранее знаний.

Упростите выражение:

А) ;

Б) ;

В) ;

Г) .

@ Упражнения для письменного решения, предложенные на урок, предусматривают формирование умений использовать алгоритм решения дробно-рациональных уравнений, рассмотренный выше, поэтому представляют достаточно большое количество рациональных уравнений; но, чтобы разнообразить работу учащихся на уроке, упражнения на решение уравнений можно дополнить упражнениями на составление уравнений или по описанию соотношение выражений, из которых состоит уравнения (на этом этапе можно провести работу по составлению всех возможных видов уравнений для данной записи соотношения выражений), или по условию арифметической задачи. Также упражнения урока можно дополнить упражнениями на повторение предыдущего материала (преобразование рациональных выражений).

@ *Если позволяет уровень подготовки учащихся (с целью долгосрочной подготовки к независимому внешнему оцениванию учащихся в 12 классе), можно предложить к решению серию простейших дробно-рациональных уравнений с параметром (изучив предварительно соответствующий алгоритм).

VII. Итоги урока

В любом из случаев правильно решенное уравнение?

1) ,	2) ,	3) . А) ОДЗ: х + 3 ≠ 0, х ≠ -3.
Х - 2 = 0, х = 2.	Х + 3 = 0, х = -3.	Б) х - 2 = 0, х = 2 - удовлетворяет ОДЗ.
Ответ. 2	Ответ. -3	Ответ. 2

VIII. Домашнее задание

1. Изучить определение рационального уравнения, целой рационального уравнения, дробно-рационального уравнения, ОДЗ рационального уравнения, алгоритм решения дробно-рационального уравнения вида = 0, (где А и В - некоторые многочлены от одной переменной).

2. Решить упражнения на применение изученного алгоритма разного уровня сложности.

3. Повторить свойства равносильных уравнений, основное свойство пропорции; развязали серию уравнений на применение этих свойств (см. 6, 7 классы).