Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Решение №11, №13. ЕГЭ Математика. Профильный уровень.

Решение №11, №13. ЕГЭ Математика. Профильный уровень.



57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

1.Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, на 16 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Половина пути для второго автомобиля 0,5.

 Время второго автомобиля, за которое он прошел весь путь http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/1/image006.png

 Время первого автомобиля равно времени второго автомобиля.

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/1/image007.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/1/image008.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/1/image009.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/1/image010.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/1/image011.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/1/image012.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/1/image013.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/1/image014.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/1/image015.png

 2. Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Половина пути для второго автомобиля - это 0,5.

 Время второго автомобиля, за которое он прошел весь путь:

 http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/2/image006.png

 Время первого автомобиля равно времени второго автомобиля:

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/2/image007.png

 

Перенесём всё влево:

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/2/image008.png

 Общий знаменатель:

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/2/image009.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/2/image010.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/2/image011.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/2/image012.png

 

т.к. по условию задачи скорость первого автомобиля больше 48 км/ч, то:

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/2/image013.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/2/image014.png

3. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Велосипедист потратил на 6 часов больше автомобилиста:

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/3/image005.png

 Перенесём всё влево:

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/3/image006.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/3/image007.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/3/image008.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/3/image009.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/3/image010.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/3/image011.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/3/image012.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/3/image013.png

4. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.

На путь из А в В велосипедист затратил на 3 часа больше времени, чем обратно:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/4/image005.png

 Перенесём всё влево:

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/4/image006.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/4/image007.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/4/image008.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/4/image009.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/4/image010.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/4/image011.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/4/image012.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/4/image013.png

5. Два велосипедиста одновременно отправились в 240-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 1 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 1 час раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

Второй велосипедист затратил на 1 час больше, чем первый велосипедист:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/5/image005.png

 

Перенесём всё влево:

 http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/5/image006.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/5/image007.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/5/image008.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/5/image009.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/5/image010.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/5/image011.png



6. Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

На путь против течения моторная лодка затратила на 6 часов больше, чем по течению:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/6/image008.png

 

Перенесём всё влево:

 http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/6/image009.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/6/image010.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/6/image011.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/6/image012.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/6/image013.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/6/image014.png

 

Ответ: 3.



7. Моторная лодка, собственная скорость которой равна 30 км/ч, прошла по течению реки расстояние 48 км и против течения 42 км. Какова скорость течения реки, если известно, что на путь по течению лодка затратила столько же времени, сколько на путь против течения?

Составим уравнение:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/7/image007.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/7/image008.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/7/image009.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/7/image010.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/7/image011.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/7/image012.png

 

Ответ: 2 км/ч.



8. Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Так как на обратный путь было затрачено на 2 часа меньше, то получим уравнение:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/8/image006.png

 

 

Перенесем 2 в левую часть уравнения:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/8/image007.png

 

 

Приведем к общему знаменателю:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/8/image008.png

 

 

 

Раскроем скобки и приведем подобные:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/8/image009.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/8/image010.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/8/image011.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/8/image012.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/8/image013.png

 

Ответ: 16 км/ч

9. Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 18:00. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 1 км/ч.

Определим общее время, которое лодка провела в движении:

 

18.00 – 10.00 - 2,5 = 5,5 часов.

 

Составим уравнение:

 http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/9/image006.png

 

Перенесём всё в левую часть уравнения:

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/9/image007.png

 

Приведем к общему знаменателю:

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/9/image008.png

 

 

Применим формулу разности квадратов там, где это уместно:

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/9/image009.png

 

Получим:

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/9/image010.png

 

Раскроем скобки:

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/9/image011.png

 

Приведем подобные:

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/9/image012.png

 

Умножим обе части уравнения на (-2), чтобы избавиться от десятичных дробей и поменять знаки:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/9/image013.png

 

 

Получилось отличное квадратное уравнение. Решим же его скорее:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/9/image014.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/9/image015.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/9/image016.png

 

 

Первый корень - отрицательное число – не удовлетворяет условию задачи, т.к. скорость не может быть отрицательной. Значит ответ 11.

Ответ: 11 км/ч.

 10. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Найдём общее время, которое теплоход провёл в движении:

40 – 10 = 30 часов.

 

Составим уравнение:

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/10/image006.png

 

Перенесём всё в левую часть уравнения:

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/10/image007.png

 

Упростим уравнение (приведем к общему знаменателю):

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/10/image008.png

 

В левой части возможно применение формулы разности квадратов:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/10/image009.png

 

Получаем:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/10/image010.png

 

Раскроем скобки (не расслабляемся – следим за знаками):

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/10/image011.png

 

Приведем подобные (радуемся тому, как всё красиво сокращается):

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/10/image012.png

 

 

Осталось только выразить http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/10/image005.png :

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/10/image013.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/10/image014.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/10/image015.png

 

Ответ: 5 км/ч.

 

11. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 255 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 34 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Найдём общее время, которое теплоход провёл в движении:

34 – 2 = 32 часа.

 

Составим уравнение:

 http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/11/image006.png

 

Перенесём всё в левую часть:

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/11/image007.png

 

Упростим уравнение (приведем к общему знаменателю):

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/11/image008.png

 

Напрашивается применение формулы разности квадратов:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/11/image009.png

 

Получаем:

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/11/image010.png

 

Раскроем скобки (внимательно - не путаем знаки):

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/11/image011.png

 

 

Приведем подобные:

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/11/image012.png

 

Поменяем знаки (умножив мысленно обе части на -1):

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/11/image013.png

 

Сократим на 2:

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/11/image014.png

 

 

Получаем прекрасное квадратное уравнение. Решаем его:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/11/image015.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/B13/11/image016.png

 

Ответ: 16 км/ч.





















































































































































































































1. Решите уравнение    http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/1/image001.png

ОДЗ:

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/1/image004.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/1/image007.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/1/image008.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/1/image009.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/1/image013.png

Решение:

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/1/image015.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/1/image016.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/1/image017.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/1/image018.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/1/image019.png

Пусть http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/1/image020.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/1/image021.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/1/image022.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/1/image023.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/1/image024.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/1/image025.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/1/image026.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/1/image027.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/1/image028.png


http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/1/image040.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/1/image041.png http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/1/image042.png

Ответhttp://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/1/image043.png,http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/1/image044.png,http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/1/image045.png

2. Решить уравнение     http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/2/image001.png                    

ОДЗ:

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/2/image002.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/2/image003.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/2/image004.png

Решение:

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/2/image007.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/2/image008.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/2/image009.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/2/image010.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/2/image011.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/2/image012.png

Пусть http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/2/image013.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/2/image014.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/2/image015.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/2/image016.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/2/image017.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/2/image018.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/2/image023.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/2/image024.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/2/image025.png


http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/2/image026.png

 

Ответ:  http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/2/image026.png

3. Решить тригонометрическое уравнение:

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/3/image001.png

ОДЗ: http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/3/image002.png.

Решение: 

Воспользуемся формулой  http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/3/image003.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/3/image004.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/3/image005.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/3/image006.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/3/image007.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/3/image008.png

 

Используя группировку, получаем:

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/3/image009.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/3/image010.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/3/image011.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/3/image012.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/3/image013.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/3/image014.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/3/image015.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/3/image016.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/3/image017.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/3/image018.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/3/image019.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/3/image020.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/3/image021.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/3/image022.png

Ответ: http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/3/image025.png 

4. Решить уравнение:

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/4/image001.png

Решение:

Выполним замену http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/4/image002.png

 http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/4/image003.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/4/image004.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/4/image005.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/4/image006.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/4/image007.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/4/image008.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/4/image009.png

5. Решите уравнение:

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/5/image001.png

Решение:

Воспользуемся формулой синуса двойного угла

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/5/image002.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/5/image003.png

 

Разложим левую часть уравнения на множители (вынесем http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/5/image004.png за скобки).

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/5/image005.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/5/image006.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/5/image007.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/5/image008.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/5/image009.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/5/image010.png

6. Решите уравнение:

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/6/image001.png

Решение:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/6/image002.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/6/image003.png

 

Раскроем скобки:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/6/image004.png

 

Приведем подобные:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/6/image005.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/6/image006.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/6/image007.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/6/image008.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/6/image009.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/6/image010.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/6/image011.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/6/image012.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/6/image013.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/6/image014.png

7. Решите уравнение:

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/7/image001.png

все тригонометрические уравнения >>>

 

Решение:

 

Перенесем все в левую часть:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/7/image002.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/7/image003.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/7/image004.png

 

Раскроем скобки и приведем подобные:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/7/image005.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/7/image006.png

 

Получили однородное уравнение. Поделим уравнение на http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/7/image007.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/7/image008.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/7/image009.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/7/image010.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/7/image011.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/7/image012.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/7/image013.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/7/image014.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/7/image015.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/7/image016.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/7/image017.png

8. Решите уравнение:

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/8/image001.png

Решение:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/8/image002.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/8/image003.png

 

4 можно представить, как 4 х 1, а 1 в свою очередь, как http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/8/image004.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/8/image005.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/8/image006.png

 

Перенесем все влево и приведем подобные слагаемые:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/8/image007.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/8/image008.png

 

Получили однородное уравнение. Поделим уравнение на http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/8/image009.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/8/image010.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/8/image011.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/8/image012.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/8/image013.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/8/image014.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/8/image015.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/8/image016.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/8/image017.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/8/image018.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/8/image019.png

9. Решите уравнение:

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/9/image001.png

Решение:

Оценим левую и правую части уравнения.

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/9/image002.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/9/image003.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/9/image004.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/9/image005.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/9/image006.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/9/image007.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/9/image008.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/9/image009.png

Используя «метод мажорант» (метод крайних), получаем, что уравнение http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/9/image010.png равносильно системе:

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/9/image011.png

Сначала решим:

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/9/image012.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/9/image013.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/9/image014.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/9/image015.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/9/image016.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/9/image017.png

Выполним проверку:

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/9/image018.png

Следовательно, решений нет.

Ответ: решений нет.

10. Решите уравнение:

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/10/image001.png

 

ОДЗ:

 http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/10/image002.png

 http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/10/image003.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/10/image005.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/10/image006.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/10/image007.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/10/image008.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/10/image009.png

Решение:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/10/image011.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/10/image012.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/10/image013.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/10/image014.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/10/image015.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/10/image016.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/10/image017.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/10/image018.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/10/image019.png

 

Обратная замена:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/10/image020.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/10/image021.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/10/image023.png

 http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/10/image026.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/10/image027.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/10/image029.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/10/image030.png

11. Решите уравнение:

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/11/image001.png

 

ОДЗ:

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/11/image002.png

 

Решение:

 

Выполним замену

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/11/image003.png

 

тогда данное уравнение примет вид:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/11/image004.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/11/image005.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/11/image006.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/11/image007.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/11/image008.png

 

Выполним обратную замену:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/11/image009.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/11/image010.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/11/image011.png

12. Решите уравнение:

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/12/image001.png

 

ОДЗ:

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/12/image002.png

 

Решение:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/12/image003.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/12/image004.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/12/image005.png

 

  Разделим обе части уравнения почленно на http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/12/image006.png (если http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/12/image007.png , то http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/12/image008.png , то есть http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/12/image009.png , а это невозможно, так как нарушается основное тригонометрическое тождество http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/12/image010.png ).

Получим:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/12/image011.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/12/image012.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/12/image013.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/12/image014.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/12/image015.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/12/image016.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/12/image017.png

 

Вернемся к прежней переменной http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/12/image018.png .

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/12/image019.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/12/image020.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/12/image021.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/12/image022.png

13.  Решите уравнение:

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/13/image001.png

 

ОДЗ:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/13/image002.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/13/image003.png

 

Воспользуемся формулой разности квадратов:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/13/image004.png

Решение:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/13/image007.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/13/image008.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/13/image009.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/13/image010.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/13/image011.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/13/image012.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/13/image013.png

 

Разложим http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/13/image014.png через синус двойного угла:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/13/image015.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/13/image016.png

 

Вынесем http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/13/image017.png за скобки:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/13/image018.png

 

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/13/image019.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/13/image020.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/13/image021.png

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/13/image023.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/13/image024.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/13/image025.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/13/image026.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/13/image027.png

14. Решить уравнение:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/14/image001.png

 

Решение:

 

Преобразуем уравнение, воспользовавшись формулой приведения:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/14/image002.png

 

Так как угол http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/14/image003.png – угол 2 четверти, а cos во 2 четверти принимает отрицательные значения, то в ответе появляется « - ». Для угла http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/14/image003.png название исходной функции «cos» заменяется на «sin».

 

Тогда уравнение принимает вид:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/14/image004.png

 

 

Выполним замену:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/14/image005.png

 

Получаем:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/14/image006.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/14/image007.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/14/image008.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/14/image009.png

 

Выполним замену http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/14/image010.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/14/image011.png

 

Решим уравнение через дискриминант:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/14/image012.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/14/image013.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/14/image014.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/14/image015.png

 

Выполним обратную замену:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/14/image016.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/14/image017.png

 

Теперь отберем корни уравнения из промежутка http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/14/image018.png .

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/14/image020.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/14/image021.png

15. Решить уравнение:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image001.png

 

ОДЗ:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image002.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image003.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image004.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image005.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image006.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image007.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image008.png

 

Следовательно:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image009.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image010.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image011.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image012.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image013.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image014.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image015.png

 

Из 1) и 2) следует:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image015.png

 

Решение:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image016.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image017.png

 

Заменим:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image018.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image019.png

 

Умножим обе части уравнения на tg b:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image020.png

 

Разложим:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image021.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image022.png

 

Умножим обе части уравнения на cos a cos b, получим:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image023.png

 

Свернем левую часть уравнения по формуле сложения:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image024.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image025.png

 

Выполним обратную замену:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image026.png

 

Поделим обе части уравнения на http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image027.png :

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image028.png

 

Далее воспользуемся формулой:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image029.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image030.png

 

Тогда получаем:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image031.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image032.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image033.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image034.png

 

Умножим обе части уравнения на   http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image035.png :

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image036.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image037.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image038.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image039.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image040.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image041.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image042.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image043.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image044.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image045.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image046.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image047.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image048.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image049.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image050.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image051.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image052.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image053.png

 

Следовательно, решение уравнения:

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image054.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image055.png

 

http://www.1variant.ru/images/matematika/trigonom-uravneniya-c1/15/image056.png













57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 15.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров154
Номер материала ДВ-530843
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх