Решение экономических задач с помощью таблицы в ЕГЭ

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение гимназия

г. Вятские Поляны Кировской области, ул. Гагарина, д.17, факс/телефон

(83334) 6-29-29 e-mail: [e-mail], сайт: гимназия-вп.рф

Решение экономических задач с помощью таблицы в ЕГЭ

                                                                     Составила: Гатауллина Гульфия Анасовна

                                                       учитель математики                                    

                                             МКОУ гимназии г. Вятские Поляны

                                                          Кировской области                                                                     

2019

Оглавление

Введение. 3

Примеры решения задач. 4

Задачи для самостоятельного решения. 11

Заключение. 12

Список литературы. 13

Введение

В условиях современных требований к выпускникам средней школы при поступлении в ВУЗы, профилирующие предметы которых связаны с математической наукой, ЕГЭ по математике профильного уровня расширен.

С 2015 года в него добавлено экономическая (банковская) задача. Эта задача ориентирована на реальную жизнь. В этих заданиях рассматриваются идеализированные жизненные ситуации, которые являются некоторыми текстовыми упрощениями, моделями, реально возникающих, например, при обращении в банк, покупке или продаже ценных бумаг, выпуск производственной продукции и получение прибыли.   

За правильное решение задания № 17 на ЕГЭ можно получить три балла.

В своей работе я решила обратиться к рассмотрению решения таких задач, потому, что с одной стороны по ним представлено не много материала в открытых источниках, а с другой – было большое желание разобраться в их решении на собственном опыте.

Рассмотрим один из подходов к решению задач с «экономическим содержанием» с помощью таблицы на примере следующих задач.

Примеры решения задач

1)  В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

-каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

–             с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

–              в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?

Решение:

Пусть 𝑛− срок кредита

Составим таблицу:

Год	Долг на начало года	Основной платёж	Дополнительный платёж
1	28
…
𝑛

Очевидно, что наибольший годовой платёж будет в первом году (потому что платежи равномерно уменьшаются в течение 𝑛 лет)

Наибольший годовой платёж = 9 млн

𝑛 = 14

В таблице все значения становятся известными:

Год	Долг на начало года	Основной платёж	Дополнительный платёж
1	28		7
…
14	2	2

Общая сумма выплат (ОСВ) – это все основные платежи и все дополнительные платежи (сумму всех дополнительных платежей найдём с помощью формулы суммы первых 𝑛 членов арифметической прогрессии)

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

80,5

Ответ: 80,5 млн

2) В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж составит 1,25 млн рублей?

Решение:

Пусть 𝑛− срок кредита

Составим таблицу:

Год	Долг на начало года	Основной платёж	Дополнительный платёж
1	9
…
𝑛

Очевидно, что наименьший годовой платёж будет в последнем году (потому что платежи равномерно уменьшаются в течение 𝑛 лет)

Наибольший годовой платёж = 1.25 млн

𝑛 = 9

В таблице все значения становятся известными:

Год	Долг на начало года	Основной платёж	Дополнительный платёж
1	9		2.25
…
9	1	1

Общая сумма выплат (ОСВ) – это все основные платежи и все дополнительные платежи (сумму всех дополнительных платежей найдём с помощью формулы суммы первых 𝑛 членов арифметической прогрессии)

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

20.25

Ответ: 20.25 млн

3) В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей?

Решение:

Пусть 𝑛− срок кредита

Составим таблицу:

Год	Долг на начало года	Основной платёж	Дополнительный платёж
1	16
…
𝑛

Общая сумма выплат (ОСВ) – это все основные платежи и все дополнительные платежи (сумму всех дополнительных платежей найдём с помощью формулы суммы первых 𝑛 членов арифметической прогрессии)

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

 

Ответ: 10

4) 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 𝑟% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на

30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите 𝑟.

Решение:

Пусть 𝑥 − сумма кредита

Тогда 1,3𝑥 − общая сумма выплат, превышающая сумму кредита на 30%

Составим таблицу:

Месяц	Долг на начало месяца	Основной платёж	Дополнительный платёж
1	𝑥
2
…
19

Общая сумма выплат (ОСВ) – это все основные платежи и все дополнительные платежи (сумму всех дополнительных платежей найдём с помощью формулы суммы первых 𝑛 членов арифметической прогрессии)

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Ответ: 3

5) К 15 декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тыс. рублей меньше долга на 15-ечисло предыдущего месяца;

- к 15 –му числу 21 месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного погашения составит 1604 тыс. рублей.

S тыс.руб – сумма, которую планируют взять в кредит.

3%=0,03

№	Долг по кредиту на начало месяца	Сумма, на которую возрастает долг на 1-е число каждого месяца	Выплата
1.	s	s∙0,03=0,03 s	30+0,03 s
2.	s-30	0,03 (s-30)	30+0,03 (s-30)
3.	s-2∙30	0,03(s-2∙30)	30+0,03(s-2∙30)
4.	s-3∙30	0,03(s-3∙30)	30+0,03(s-3∙30)
5.	s-4∙30	0,03(s-4∙30)	30+0,03(s-4∙30)
…	….	….	…
20	s-19∙30	0,03(s-19∙30)	30+0,03(s-19∙30)
21	s-20∙30	0,03(s-20∙30)	s-20∙30+0,03(s-20∙30)
Итого:			1604 тыс. рублей

Составим и решим уравнение:

Общая сумма выплат представляет собой сумму суммы, которую планируют взять в кредит, и сумму сумм, на которые возрастает долг на 1-е число каждого месяца.

s +0,03 s +0,03 (s-30)+ 0,03(s-2∙30)+….+ 0,03(s-20∙30)=1604

s +0,03∙(s+( s-30)+(s-2∙30)+… (s-20∙30))=1604

s+0,03∙( 21s- (30+2∙30+…20∙30)+=1604

30;2∙30;…;20∙30-арифметическая прогрессия, а₁ =30, а₂₁ =20∙30

S=*20=6300

s+0,03∙( 21s-6300)=1604

1,63 s-189=1604

1,63s=1793

s=1793:1,63

s=1100

Ответ: 1100 тыс. Рублей

Задачи для самостоятельного решения

1)      Жанна взяла в банке в кредит 1,2 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2 %, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна вернёт банку в течение первого года кредитования?

2)      Александр взял кредит в банке на срок 9 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 12%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Александром. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину.

Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Александром банку (сверх кредита)?

3) 15-го января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условие его выплаты таковы:

- 1-го числа каждого месяца долго возрастёт на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит?

Заключение

Я считаю введение таких задач чрезвычайно полезным так как, работая над моделями, сформулированными в условиях, они заставляют задумываться о реальной жизни. О том, что кредиты, отношения с банками, игра на бирже, колебания курсов ценных бумаг, начисление процентов дело сложное и требует больших знаний.  К этому нельзя относиться легкомысленно. С чего начинать решать экономические задачи – очень внимательно читать условия задачи и по шагам распределить действия, затем постараться математически выразить их и постараться прийти к ответу.

Список литературы

1. Ященко И. В. и др. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2018 году. Базовый и профильный уровни. Методические указания / И. В. Ященко, С. А. Шестаков, А. С. Трепалин. – М.: МЦНМО, 2015. – 288 с.

2. Демонстрационный вариант контрольно-измерительных материалов единого государственного экзамена 2018 года по математике. Профильный уровень. Сайт http://www.ege.edu.ru/

3. Спецификация контрольно-измерительных материалов для проведения в 2018 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень. Сайт http://www.ege.edu.ru/