174220
столько раз учителя, ученики и родители
посетили официальный сайт ООО «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
Добавить материал и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015

Скидка 0%

112 курсов профессиональной переподготовки от 3540 руб.

268 курсов повышения квалификации от 840 руб.

МОСКОВСКИЕ ДОКУМЕНТЫ ДЛЯ АТТЕСТАЦИИ

Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана 26 сентября 2017 г. Департаменотом образования города Москвы

Инфоурок Геометрия Другие методич. материалыРешение геометрических задач ЕГЭ по математике 2016 года

Решение геометрических задач ЕГЭ по математике 2016 года

библиотека
материалов

Задания № 16. ЕГЭ 2016.(Математика. 50 вариантов типовых тестовых заданий; под ред. И.В. Ященко. М.: Издательство «Экзамен», 2016.


  1. На отрезке BDвзята точка С. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABCc основанием ВС является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.

а) Докажите, что треугольникDCL равнобедренный.

б) Известно, что cosABC = 1/6. В каком отношении прямаяDL делит сторону AB?


  1. СторонаCD прямоугольника ABСD касается некоторой окружности в точке М. Продолжение стороны AD пересекает окружность в точках Pи Q, причем точка Pлежит между точками D и Q. Прямая BCкасается окружности, а точка Q лежит на прямой BM.

а) Докажите, что <DMP = <CBM.

б) Известно, чтоCM = 17 и CD = 25. Найдите сторону AD.


  1. Отрезок, соединяющий середины Mи N оснований BCиAD соответственно трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.

а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.

б) Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание BCисходной трапеции равно 10. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания ANтрапеции ABMNи вписанной в неё окружности.


  1. Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.

а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трех окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.

б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 4 и 1.


  1. В параллелограмм вписана окружность.

а) Докажите, что этот параллелограмм – ромб.

б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 3 и 2. Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.


  1. На катетах ACиBC прямоугольного треугольника ABCвне треугольника построены квадраты ACDEиBFKC. Точка M – середина гипотенузы AB, H – точка пересечения прямыхCMиDK.

а) Докажите, чтоCMIDK.

б) НайдитеMH, если известно, что катеты треугольника ABCравны 130 и 312.


  1. (9). Окружность, построенная на стороне ADпараллелограмма ABСD как на диаметре, проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма.

а) Докажите, что ABСD – ромб.

б) Эта окружность пересекает сторону AB в точке M, причем AM:MB = 3:1. Найдите диагональ AC, если известно, что AD = 2˅͞2.


  1. (10). Точки В1и С1лежат на сторонах соответственно АС и АВ треугольника АВС, причем АВ1: В1С = АС1 : С1В. Прямые ВВ1и СС1 пересекаются в точке О.

а) Докажите, чтопрямая АО делит пополам сторону ВС.

б) Найдите отношение площади четырехугольника АВ1ОС1 к площади треугольника АВС, если известно, что АВ1 : В1С = АС1 : С1В = 1 : 4.


  1. (15). МедианыАА1, ВВ1 и СС1 треугольника АВС пересекаются в точке М. Точки А2, В2 и С2 – середины отрезков МА, МВ и МС соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольникаА1В2С1А2В1С2вдвое меньше площади треугольникаАВС.

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что АВ = 4, ВС = 7 и АС = 8.


  1. (16). Окружность с центромО вписана угол, равный 60. Окружность большего радиуса с центром О1 также вписана в этот угол и проходит через точку О.

а) Докажите, что радиус второй окружности вдвое больше радиуса первой.

б) Найдите длину общей хорды этих окружностей, если известно, что радиус первой окружности равен 2˅͞3.


  1. (20). Две окружности пересекаются в точках PиQ. Прямая, проходящая через точку P, второй раз пересекает первую окружность в точкеА, а вторую – в точке D. Прямая, проходящая через точку Qпараллельно AD, второй раз пересекает первую окружность в точке B, а вторую – в точке C.

а) Докажите, что четырехугольник ABCD параллелограмм.

б) Найдите отношение ВР : РС, если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй.


  1. (32). Противоположные стороны ADиBC четырехугольникаABCDпараллельны. Через вершиныВи D проведены параллельные прямые, пересекающие диагональ АС в точках Mи Nсоответственно. Оказалось, что АМ = MB = NC.

а) Докажите, что ABСD – параллелограмм.

б) Найдите отношение площади четырехугольника BMDN к площадипараллелограмма ABСD.


  1. (38). На сторонах AСиBСтреугольника АBСвне треугольника построены квадраты ACDEи BFKC. Точка M– середина стороны AB.

а) Докажите, чтоCM = DK.

б) Найдитерасстояния от точки Mдоцентров квадратов,если AC = 6, BC = 10иACB =30.


  1. (40). Пятиугольник ABСDЕ вписан в окружность. Из вершиныА опущены перпендикуляры AF, AH, APиAQ на прямые DE, BE, CDиBC соответственно.

а) Докажите, чтоFAN = PAQ.

б) НайдитеAH, если AF = ɑ, AP = bиAQ = c.






Вариант №1


На отрезке BDвзята точка С. Биссектриса BL равнобедренного треугольникаABCc основанием ВС является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.

а) Докажите, что треугольникDCL равнобедренный.

б) Известно, что cosABC = 1/6. В каком отношении прямаяDL делит сторону AB?



По условию: ВDL=LВD= αиhello_html_m2a9e691b.png

АСВ=АВС=2α.

Так как LСВ – внешний дляLСD, то 2α = α +СLD, СLD= α = LDС, LСD– равнобедренный.

Доказано.



  1. . По условию: cosB = 1/6,hello_html_332ab38b.png

тогдаВН = ɑ, АВ = 6ɑ,ВС = 2ɑ.

  1. . ВL– биссектриса,

LC : LA = BC : AB = 1 : 3,

LC = 1/4AC = 1.5ɑ=CD; AL =3/4 AC = 4.5ɑ.

  1. . MC– биссектрисаравнобедренного, BM = CL = 1.5ɑ( и MC||KD.

  2. . По теореме о пропорциональных отрезках:

= ; = ;MK = ɑ;BK = ( + )ɑ = ɑ;

AK = (6 )ɑ= ɑ; = = .

Ответ: AK : KB = 9 : 7.



Вариант № 2


СторонаCD прямоугольника ABСD касается некоторой окружности в точке М. Продолжение стороны AD пересекает окружность в точках Pи Q, причем точка Pлежит между точками D и Q. Прямая BCкасается окружности, а точка Q лежит на прямой BM.

а) Докажите, что DMP = CBM.

б) Известно, чтоCM = 17 и CD = 25. Найдите сторону AD.

hello_html_36b814ee.png

а). CBM=BQA= α, (как накрест лежащие при ВСǁAQ),

MQP=MPвписанный;

MOP=MPцентральный; ВMOP:

OMP=OPM= 90–.

ТаккакOMCD , то ∠DMP = 90OMP = 90) == CBM.

Доказано.

б)1. CMOE – квадрат, т.к. C =E =M = 90;CM =EO = RиCE=MO =R.

По условию AB =CD = 25, CM = R = 17, MD= 8.


2. Проведем радиусOQ. Так как DMOH–прямоугольник, то OH = MD = 8.

PH2 = OP2 OH2 = 172 – 82 = 225, PH = 15.DH = MO = R =17.

DP = DH PH = 1715 = 2.


3. BCM иMDPподобны, (CBM = DMP = , C = D = 90),

= ;BC = = 68.AD = 68.

Ответ: AD = 68.



Вариант № 3


Отрезок, соединяющий середины Mи N оснований BCиAD соответственно трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.

а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.

б) Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание BCисходной трапеции равно 10. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания ANтрапеции ABMNи вписанной в неё окружности.


По свойству описанного четырехугольника:hello_html_4fecef90.png

BM+AN = AB+MN, MC + ND = CD + MN.

По условию: BM = MC, AN = ND.

BM+AN = MC+ND, AB +MN=CD +MN, AB = CD.

Доказано.


б). Из п. а)следует, что трапеции ABMNи DCMNсимметричны относительно MN, и MNАВ, MNBC.Рассмотрим прямоугольную трапецию ABCM:

ВМ =5, R = 3. Найти: О1Н1 = r = ?hello_html_m5cccb8e6.png

1). Проведем радиусOLABи отрезокOВ;

По свойству касательных BF = BL = 5 – 3= 2,

BO2= 32 + 22 = 13, BO = .

BOиAO – биссектрисы, A + ∠ B = 180,

ABO–прямоугольный. ALO =AHO.

2). Треугольники AOB, ALO, AHO, OLB–подобны.

OL2 = ALхLB,AL = иAН = ; АO2 = AL2+LО2=;AО = .

Из подобия AOHи AO1H1 AO :AO1= OH :O1H1 ,= 3 : r, причем

AO1 = АО – 3r.r= 18 6r ,r = .

Ответ: r = .



Вариант № 4


Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.

а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трех окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.

б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 4 и 1.


а). Так как точка касания окружностей лежит на линиих центров, получим три уравнения: O1O2 = O1CO2C = R1R2;hello_html_m2751f51.png

O1O3 = O1BO3B = R1R3; O2O3 = O2E+O3E = R2+R3;

Сложим левые и правые части этих уравнений и получим:

O1O2 + O1O3+ O2O3=2R1. Доказано.

б). По условию: R1=O1C=O1B = 4; R2=O2E=O2C = 1.

1. Проведем O3HO1O2; O3H= O3B= O3E= R3 = x.hello_html_cbe3b04.png

O1O2 = R1R2= 3; O1O3 = R1R3=4– x;

O2O3 = R2+ R3 = x + 1;O2H= O1O2O1H =3– O1H.

2. ВO1O3H: (O1H)2 = (O1O3)2– (O3H)2= (4– x)2x 2= =16 –8x, O1H=2; x2, O1O3O1O2.

3. ВO2O3H: (O2O3)2 =(O2H)2+(O3H)2. Получим:

(3– 2)2+x 2= (x+ 1)2.

12 = 24 – 10x; 25x 2 = 0, = 1,92.

Ответ: R31,92.



Вариант № 5


В параллелограмм вписана окружность.

а) Докажите, что этот параллелограмм – ромб.

б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 3 и 2. Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.

hello_html_m70aae217.png

а)ABCD – параллелограмм, AB=CD, BC= AD.

ABCD – описанный четырехугольник,

AB+CD = BC+AD,

2AB = 2CD = 2BC = 2AD,

AB = CD = BC = AD,

ABCDромб.

Доказано.


б)1. M, N, P, Kточки касания, ONBC, OKAD;OMAB, OPCD.AB//CD, BC//AD, NKиMPдиаметры,MNPNPKPKMKMNMNPK = MK·KP.hello_html_1218873.png

2. ПроведемBHCD. BM = BN =HK =2,

AM = AK = 3, AH = 1, AB = 5, cosBAH =1/5, cosKDP=1/5,таккакA +D =

Найдем MK по теореме косинусов в АMК:

MK2 = 32 +32 – 2·3·3· 1/5 = 15,6;

аналогично в DPК: PK2 = 22 + 22 – 2·2·2·(1/5) = 9,6;

MNPK = MK·KP = = = 4.8 .

Ответ: 4.8 .



Вариант № 6



На катетах ACиBC прямоугольного треугольника ABCвне треугольника построены квадраты ACDEиBFKC. Точка M – середина гипотенузы AB, H – точка пересечения прямыхCMиDK.

а) Докажите, чтоCMIDK.

б) НайдитеMH, если известно, что катеты треугольника ABCравны 130 и 312.

hello_html_m2071fbb7.png

а).ACB =DCK–по двум катетам(так какACDEиBFKC – квадраты, тоAC=CDи BC=CK). BAC =КDC = α, ABC = β, иα+β= 90

CMмедиана прямоугольного треугольника

CM = AM = MBMBC = MCB = β.

MCB = HCD = βвертикальные углы.

В DCHCHD= 180 (α + β) = 90,

CMIDK.

Доказано.


б)MH = CM + CH.МедианаCMравна половине гипотенузы AB.

AB2 = AC2 + CB2 =1302 + 3122 = 114244, AB = 338, CM = 169.

CH – высота прямоугольного треугольника DCK

CH = CD·CK: DK = 130·312: 338 =120. MH = CM + CH = 169 + 120 = 289.

Ответ: MH= 289.

Вариант № 9


Окружность, построенная на стороне ADпараллелограмма ABСD как на диаметре, проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма.

а) Докажите, что ABСD – ромб.

б) Эта окружность пересекает сторону AB в точке M, причем AM:MB = 3:1. Найдите диагональ AC, если известно, что AD = 2˅͞2.


а).1. F – точка пересечения диагоналей параллелограмма. Так как AD – диаметр, то hello_html_77b7d759.png

AFD =90.

2. ABF =ADF(по дум катетам),

AB=AD, AB=BC = CD=AD и параллелограмм ABСD – ромб.

Доказано.

б). ПустьBM = a, MA = 3a, AB = 4a;

BF = FD = b, BD = 2b.

  1. По теореме о двух секущих имеем: BA·BM = BD·BF, 4a2=2b2, b2= 2a2.

  2. ТаккакABСDромб, тоAD = AB = 4a= 2˅͞2 , a= ˅͞2 /2, a2 = , b2= 1.

  3. AFD– прямоугольный, по теореме ПифагораAF2 =AD2FD2= 16a2b2 = 7,

  • AF =˅͞7 и AC= 2˅͞7 .

Ответ: AC= 2˅͞7 .



Вариант № 10



Точки В1и С1лежат на сторонах соответственно АС и АВ треугольника АВС, причем АВ1: В1С = АС1 : С1В. Прямые ВВ1и СС1 пересекаются в точке О.

а)Докажите, чтопрямая АО делит пополам сторону ВС.

б) Найдите отношение площади четырехугольника АВ1ОС1 к площади треугольника АВС, если известно, что АВ1 : В1С = АС1 : С1В = 1 : 4.


а)По теореме Чевыимеем:hello_html_5747f437.png

(СВ1 : В1А )· ( АС1: С1В) · (ВА11С) = 1.

По условиюАВ1 : В1С = АС1 : С1В = m:n,

Поэтому (СВ1 : В1А)·( АС1 : С1В)= ·=1ВА1 : А1С = 1, ВА1= А1С.

Доказано.


б) = –;

1. Так как АВ1 : В1С = АС1 : С1В = 1 : 4, то и

::= 1 : 4.

Если= S, то =S, а = =S.

Так как АВ1 :АС = АС1 :АВ= , то В1С1 ВСВ1 АС1и САВ подобны, а также подобны ВОС и В1ОС1( по двум равным углам).

В1О : ВО = В1 С1 : СВ= , и = = (·)SS.

= – =S S =S, : = 1 : 15.


Ответ: : = 1 : 15.



Вариант № 15


Медианы АА1, ВВ1 и СС1 треугольника АВС пересекаются в точке М. Точки А2, В2 и С2 – середины отрезков МА, МВ и МС соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника А1В2С1А2В1С2 вдвое меньше площади АВС.

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что АВ = 4, ВС = 7 и АС = 8.


а)Медиана делит треугольник на два равновеликих hello_html_7e63a6a6.png

=S1; =S2; =S3;=S4;

=S5;=S6;

Тогда= S1+ S2+S3 +S4 + S5 + S6.

= 2(S1+ S2 +S3 +S4 + S5 + S6).

= . Доказано.


б)1.Заметим, что А1В2 = А2В1 = МС= c, как средние линии BCMиАCM.

Аналогично: B1C2 =B2C1 = МA= aиС1А2 = С2А1 = МВ= b, причем по свойству медиан: c= СС1 , a= АА1 , b = BB1 .

2.Продлим медиану АА1 на её длину, получим параллелограмм ABDCcдиагоналями ADиBC.hello_html_m57156aa2.png

Применив теорему косинусов для ABCиABD, получим, что AD2+BC2=AB2+BD2+DC2+AC2,

AD2=4(AA1)2= 2AB2 +2AC 2ВС2,

(АА1)2 = (2АВ2 + 2АС2ВС2).

Аналогично получим:

(ВВ1)2 = (2АВ2 + 2ВС2АС2) и (СС1)2 = (2ВС2 + 2АС2АВ2),

(АА1)2+ (АА1)2+(СС1)2= (АВ2 + ВС2+ АС2). Сумма квадратов сторон шестиугольника равна: 2a2 + 2b2+ 2c2=((АА1)2+ (АА1)2+ (СС1)2) =

·(АВ2 + ВС2 + АС2) = (16 + 49 + 64) = = 21,5.

Ответ:21,5.



Вариант № 16


Окружность с центромО вписана угол, равный 60. Окружность большего радиуса с центром О1 также вписана в этот угол и проходит через точку О.

а) Докажите, что радиус второй окружности вдвое больше радиуса первой.

б) Найдите длину общей хорды этих окружностей, если известно, что радиус первой окружности равен 2˅͞3.


а)Так как окружности вписаны в уголА, то АО1– биссектриса угла А. hello_html_64bc33d6.png

О1АН =30, ОК = R, О1О = О1Н = R1;AO1 = 2R1, AO= 2R, AO1 = AO + О1О, 2R1 = 2R + R1,R1 = 2R.


Доказано.


б)R =2˅͞3 , R1=4˅͞3 .ВС- общая хорда.

ТочкиВ и С симметричны относительно биссектрисы АО1ВР = РС и ВСАО1.

  1. Рассмотрим О1ОC.

О1О= О1С = R1=4˅͞3;ОC = R =2˅͞3 ,OM= МС= ˅͞3 ;hello_html_79d3193d.png

О1М21О2ОМ2 =48 – 3 = 45 и О1М = 3˅͞5 .

2. ОО1М иОCР подобны (Р = М = 90, ∠О общий), ОО1 : ОC = О1М :CР,CР = (ОC·О1М) :ОО1 =

(2˅͞3 ·3˅͞5 ) : 4˅͞3 = 1,5˅͞5 , ВР = 2СР = 3˅͞5 .


Ответ: 3˅͞5 .




Вариант № 20


Две окружности пересекаются в точках PиQ. Прямая, проходящая через точку P, второй раз пересекает первую окружность в точкеА, а вторую – в точке D. Прямая, проходящая через точку Qпараллельно AD, второй раз пересекает первую окружность в точке B, а вторую – в точке C.

а) Докажите, что четырехугольник ABCD параллелограмм.

б) Найдите отношение ВР : РС, если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй.


а)Обозначим PQB =α, PQС=β, причем α+ β= 180 (смежные).hello_html_mf957e46.png

Так как четырехугольники APQBиPDCQ – вписанные, то PQB+ PАB = 180 и ∠PQС+ PDB = 180,

PАB =β, а PDС =α

PАB + PDС = α+ β= 180, а это односторонние углы ABDC, а по условию ADBC, ABCD параллелограмм.

Доказано.


б)PQBи PDС– вписанные и по теореме синусов:

PB:sinPQB = 2R1, PC : sinPQC = 2R2, где R1и R2 соответственно радиусы первой и второй окружностей. PB = 2R1sinPQBи PС = 2R2 sinPQС.

Так как PQB+ PQB= 180, то sinPQB =sinPQС = sinα.

По условию R1 = 2R2,ВР : РС = 4R2 sinα:2R2 sinα=2.

Ответ: ВР: РС=2.





Вариант № 32


Противоположные стороны ADиBC четырехугольникаABCD параллельны. Через вершиныВи D проведены параллельные прямые, пересекающие диагональ АС в точках Mи Nсоответственно. Оказалось, что АМ = MB = NC.

а) Докажите, что ABСD – параллелограмм.

б) Найдите отношение площади четырехугольника BMDN к площадипараллелограмма ABСD.


а) 1. По условию ADBC и BFEDhello_html_m6350dd81.png

FBED – параллелограмми BE = FD = a.

2. По теореме Фалеса:

т.к. AM = MNиBFED, AF = FD = a, тогдаAD = 2a.

т.к. MN= СNиBFED, BE = EC = a, тогдаBC = 2a.AD =BC, ADBC,

ABСDпараллелограмм.

Доказано.


б)Так как медиана делит треугольник на два равновеликих, получим:hello_html_m5f2005a0.png

= = S; = = S,

= 3S, атак как AС – диагональ параллелограмма, то = 6S.

= = S,(ABM=CDN по I признаку). = = S,

= 2S, : =2S : 6S = 1 : 3.

1 : 3.





Вариант № 38


На сторонах AСиBС треугольника АBС вне треугольника построены квадраты ACDEи BFKC. Точка M– середина стороны AB.

а) Докажите, чтоCM = DK.

б) Найдите расстояния от точки Mдо центров квадратов, если AC = 6, BC = 10иACB =30.

а)Проведем HBAC, HBAC; KPCD, KPCD; получим параллелограммы ACBHи CDPK, в которых AC = CDиKC = BC(из условия). hello_html_m5656725e.png

ACD+BCK=30+ 30 = 180

ACB+DCK= 180.

CBH+ACB= 180, как односторонние углы. ∠CBH=DCK. Аналогично ACB =CKP.

Параллелограммы ACBHи CDPKравны, так как равны все соответственные стороны и углы.

CH = DK, а так как точка M– середина стороны AB, то CM = CH=DK.

Доказано.


б)Для нахождения MO иMO1применим метод координат.

Начало координат – точкаА(0;0), ось Ox–вдоль АС, ось OyАС.

Найдем координаты нужных точек из условия ( АС = 6, ВС = 10, ACB =30,

О1– середина СЕ, О– середина ВК,М– середина АВ):

С(6; 0), Е( 0; 6), О1(3; 3),В(65; 5), К(11; 5), О(; ), М(;).

МО2=()2 + ()2= 49, МО = 7.

МО12= ()2 + ()2= 49, МО1 = 7.

Ответ:МО =МО1 = 7.






Вариант № 40


Пятиугольник ABСDЕ вписан в окружность. Из вершиныА опущены перпендикуляры AF, AH, APиAQ на прямые DE, BE, CDиBC соответственно.

а) Докажите, чтоFAH = PAQ.

б) НайдитеAH, если AF = ɑ, AP = bиAQ = c.


а)Докажем, что FAHи PAQподобны.hello_html_347a2609.png

1. Так как AFЕ = AHЕ = 90, то AFЕH– вписанный в окружность с диаметром AЕ,

AFH= AЕHкак вписанные углы. Также

AЕH= AЕB= AСB как вписанные углы.

AFH= AСB(1).

2. ∠AQС = AРС = 90, и AQСР – вписанный в окружность с диаметром AС,

AСQ = AРQ, AFH=AРQ (2).

3. Аналогично AHF= AЕF.

Заметим, что AЕF +AЕD= 180 (смежные) и AЕD+AСD= 180 (AСDЕ вписанный),

AЕF = AСD= AСР; AСD= AQР, т.к. AQСР – вписанный.

AHF=AQР (3). Из (2) и (3) следует, что FAHи PAQподобны.

FAH = PAQ.

Доказано.


б)Так как FAHи PAQподобны, то AH :AQ = AF :AP, AH = = .


Ответ: AH= .



Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
ВНИМАНИЮ УЧИТЕЛЕЙ: хотите организовать и вести кружок по ментальной арифметике в своей школе? Спрос на данную методику постоянно растёт, а Вам для её освоения достаточно будет пройти один курс повышения квалификации (72 часа) прямо в Вашем личном кабинете на сайте "Инфоурок".

Пройдя курс Вы получите:
- Удостоверение о повышении квалификации;
- Подробный план уроков (150 стр.);
- Задачник для обучающихся (83 стр.);
- Вводную тетрадь «Знакомство со счетами и правилами»;
- БЕСПЛАТНЫЙ доступ к CRM-системе, Личному кабинету для проведения занятий;
- Возможность дополнительного источника дохода (до 60.000 руб. в месяц)!

Пройдите дистанционный курс «Ментальная арифметика» на проекте "Инфоурок"!

Подать заявку

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.