Решение иррациональных уравнений. Методическое пособие для ПСР-16 и ПСР-17

Тема: «Решение иррациональных уравнений »

Определение. Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называют иррациональными.

Определение. Арифметическим квадратным корнем из числа называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен , т. е. равенство = означает, что = и .

Если и ,то =∙.

Если и >0, то =.

Если , то =.

= || при любом значении .

Одним из способов решения иррациональных уравнений является использование определения арифметического квадратного корня. Любое уравнение вида =g(x) равносильно системе

.

Пример 1. =.

На основании определения арифметического квадратного корня можно утверждать, что исходное уравнение равносильно системе

;

Решая уравнение системы, находим два корня: − 2 и – 13, второй корень не удовлетворяет неравенству системы, то есть не является корнем исходного уравнения.

Ответ: − 2.

Пример 2. = 1 – х.

На основании определения арифметического квадратного корня имеем

5+=1− 2х + х²

Если х≤1, то = −х + 2, значит,

5 – х + 2 – 1 + 2х − х² = 0,

−х² + х + 6 = 0,

х² – х − 6 = 0,

х₁= −2, х₂= 3.

Корень 3 не удовлетворяет неравенству системы, то есть корень уравнения –2.

Ответ: -2.

Задания для самостоятельного решения

Решите уравнения.

1. = 2.

2. = 1.

3. = 3.

4. = 2.

5. = х+7.

6. + х = 1.

7. = х − 5.

Тема: «Решение иррациональных уравнений с учетом области допустимых значений»

Одним из методов решения иррациональных уравнений является использование области допустимых значений.

Определение. Областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения f(x)= g(x) называется множество значений переменной х, при каждом из которых имеют смысл его левая и правая части.

Заметим, что часто ОДЗ называют областью определения уравнения.

Определение. Число а из ОДЗ называют корнем данного уравнения, если при его подстановке вместо х в обе части уравнения получается верное равенство.

Решить уравнение означает найти множество всех корней этого уравнения или доказать что их нет.

Иногда ОДЗ уравнения состоит из нескольких точек, и остается проверить, какие из них удовлетворяют уравнению. Если ОДЗ – пустое множество, уравнение не имеет корней.

Пример 1. + 3 = .

ОДЗ:

ОДЗ уравнения пустое множество.

Ответ: уравнение корней не имеет.

Пример 2. 3− 4−= − (2 +).

ОДЗ:

ОДЗ:

Проверкой убеждаемся, что х = 1 - корень уравнения.

Ответ: 1.

Задания для самостоятельного решения

Докажите, что уравнение не имеет корней.

1. = 0.

2. = 1.

3. 5.

Решите уравнение.

1. .

2. = 0.