Решение иррациональных уравнений. Открытый урок. 11 класс.

План – конспект урока в 11-Б классе от 19.11.2014г

Тема:  Решение иррациональных уравнений.

Место урока при изучении : Данный урок является пятым при изучении темы: «Обобщение понятия степени» курса алгебры 11класса .(п.33 стр.214).  Учебник: Колмогоров А.Н. и др. «Алгебра и начала анализа 10 - 11 » М.Просвещение,2007.

Тип урока: Урок изучения нового материала.

Цели урока: 1.Обобщить теоретические знания, используемые  при решении  иррациональных уравнений. Проверить знания корня n-ой степени .

2.Ввести понятие иррациональных уравнений и показать способы их решения. Закрепить и развить умения учащихся решать иррациональные уравнения.

 3.Воспитывать интерес к предмету.

Оборудование:

Мультимедийная установка. На уроке  используется презентация

 «Решение иррациональных уравнений»:

1.Определение иррационального уравнения и примеры.

2.Методы решения иррациональных уравнений.

3.Алгоритм решения иррациональных уравнений.

4.При взаимопроверке самостоятельной работы па экране появляются             эталонные ответы  на  соответствующие задания.

5.На столах лежат конверты с карточками для организации самостоятельной работы.

План урока.

1.      Организационный момент.

2.      Контрольные вопросы.

3.      Устная работа.

4.      Самостоятельная работа.

5.      Объяснение нового материала.

6.      Закрепление.

7.      Домашнее задание.

8.      Подведение итогов урока.

Ход урока.

1) Организационный этап урока:  Учитель сообщает тему и цели урока.

Вступительное слово учителя: Решая иррациональные уравнения мы приходим к выводу :

 « Математику уж затем учить следует, что она ум в порядок приводит » Эти замечательные слова принадлежат великому учёному, основателю первого в России университета М.В.Ломоносову, смысл жизни которого состоял в продвижении науки вперёд, в открытии новых законов и формул.

2) Повторение теории: определение корня n-ой степени и иррационального уравнения.

3) Устные упражнения:

    1. Найти значение выражений:

 

   2. Какие из уравнений являются иррациональными?

4) Какие  методы решения иррациональных уравнений вы знаете?

Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень с последующей проверкой

Метод равносильных преобразований

Функционально графический метод

Метод введения новых переменных

 5)  Способ I

Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень с последующей проверкой

,

возведем обе части уравнения в квадрат

,

возведем обе части уравнения в квадрат.

По теореме Виета:

 

Проверка:

1). Если х=42, то

 

Значит, число 42 не является корнем уравнения.

2). Если х=2, то

Значит, число 2 является корнем уравнения.

Ответ: 2

                        Достоинства                                                Недостатки

1. Понятно                                                               1. Словесная запись

2. Доступно                                                              2. Громоздкая проверка иногда занимает

                                                                                      много времени и места

Вывод:

При решении иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и туже степень необходимо вести словесную запись, что делает решение понятным и доступным. Однако обязательная проверка иногда бывает громоздкой и занимает много времени. Этот метод можно использовать для несложных иррациональных уравнений, содержащих 1-2 радикала.

Способ II

Метод равносильных преобразований

 

 

 

  По теореме Виета:

 

  Ответ: 2.

           Достоинства                                                Недостатки

1. Отсутствие словесного описания                 1. Громоздкая запись

2. Нет проверки                                                 2. Можно ошибиться при комбинации знаков

3. Четкая логическая запись                                  системы и совокупности и получить

4. Последовательность равносильных                 неверный ответ

    переходов

Вывод:

При решении иррациональных уравнений методом равносильных переходов нужно четко знать, когда ставить знак системы, а когда совокупности. Громоздкость записи, различные комбинации знаков системы и совокупности не редко приводят к ошибкам. Однако, последовательность равносильных переходов, четкая логическая запись без словесного описания, не требующая проверки, являются бесспорными плюсами данного способа.

 Способ III

Функционально графический метод

+=4,

.

Рассмотрим функции  и .

1). у = - степенная функция.

Найдем область определения функции D(x).

.

Составим таблицу значений х и у:

х	1,5	2	6
у	0	1	3

2). у =4 - - степенная функция.

Найдем область определения функции D(x).

.

Составим таблицу значений х и у:

х	-0,25	0	2	6
у	4	3	1	-1

Построим данные графики функции в одной системе координат.

Графики функции пересекаются в точке с абсциссой х=2.

Ответ: 2

                        Достоинства                                                Недостатки

1. Наглядность                                                            1. Словесная запись

2. Если ответ точный, то не  нужна проверка.         2. Ответ может быть приближенным, не 

                                                                                 точным

Вывод:

Функционально графический метод – это наглядный метод, но применять его лучше тогда, когда легко можно построить графики рассматриваемых функций и получить точный ответ. Если ответ приближенный, то лучше воспользоваться другим методом.

Способ IV

Метод введения новых переменных

+=4.

Введем новые переменные, обозначив ,

Получим первое уравнение системы: a+b=4.

Составим второе уравнение системы:

                              

                                                          

Получим систему двух рациональных уравнений, относительно а и b:

по теореме Виета:

Вернемся к переменной х:

Ответ: 2.

                        Достоинства                                                Недостатки

1. Этот метод для данного уравнения              1.Словесное описание.

 не рационален.                                                 2. Громоздкое решение.

Вывод:

Метод введения новых переменных и переход к системе рациональных уравнений для данного уравнения не рационален. Этот метод лучше применять для иррациональных уравнений, содержащих радикалы различных степеней, или одинаковые многочлены под знаком корня и за знаком корня, или взаимообратные выражения под знаками корня.

Итак, ребята, значит, для каждого иррационального уравнения необходимо выбирать наиболее рациональный способ решения: понятный, доступный, логически грамотно оформленный.

5) Работа в группах.

Каждая  группа учащихся получает карточку с уравнением, и решают его в тетради.

 Из каждой группы по одному ученику готовят решение у доски. Остальные работают в тетрадях, решая уравнения по карточкам разными способами:

  Решить уравнения:

1)

2)

3)  

4) х+2=

4)        Итог урока.

Решение иррациональных уравнений требует от учащихся хороших теоретических знаний,

умений применять их на практике, требует внимания, трудолюбия, сообразительности.

    6) Домашнее задание по распечатке.

• 1 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  РЕШЕНИЕ
  
  ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ
  
  УРАВНЕНИЙ.
  

• 2 слайд

  " Посредством уравнений, теорем
  Я уйму всяких разрешал проблем"
  (Чостер, английский поэт, средние века)
  "Уравнение - это золотой ключ,
  открывающий все
  математические Сезамы"
  

• 3 слайд

  ЦЕЛЬ:
  1.Обобщить теоретические знания, используемые при решении иррациональных уравнений.
  2. Повторить понятие иррациональных уравнений и показать способы их решения. Закрепить и развить умения учащихся решать иррациональные уравнения.
  3. Воспитывать интерес к предмету.
  

• 4 слайд

  Какие из следующих уравнений являются иррациональными:
  

• 5 слайд

  Повторение материала
  Определение.
  Уравнение, в котором под знаком
  корня содержится переменная, называют иррациональным.
  Методы.
  1)Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень с последующей проверкой.
  2) Метод равносильных преобразований.
  3) Функционально-графический метод.
  4) Метод введения новых переменных
  
  
  
  

• 6 слайд

  «Я слышу –
  я забываю,
  я вижу –
  я запоминаю,
  я делаю –
  я понимаю.»
  

• 7 слайд

  Решение уравнения различными методами
  

• 8 слайд

  АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ
  1.Возводим в степень обе части уравнения.
  2.Решаем рациональное уравнение.
  3.Если n-чётное, то обязательно делаем проверку.
  

• 9 слайд

  ВЫВОДЫ РЕШЕНИЯ
  1) Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путём возведения в степень обеих частей уравнения.
  2) При возведении обеих частей уравнения в чётную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании указанного метода следует проверить все найденные корни подстановкой в исходное уравнение.
  3)При решении иррациональных уравнений используют переход к смешанной рациональной системе.
  

• 10 слайд

  Домашнее задание :
  
  п. 33, N424, стр.276 №13 (2)
  Инструктаж.
  Уравнения в домашней работе решите методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.
  

• 11 слайд

  Итог урока
  Какую проблему мы сегодня решили?
  Чему научились?
  Что было самым трудным?
  Как вы оцениваете свою работу на уроке?
  

• 12 слайд

  Спасибо
  за урок.