Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Решение иррациональных уравнений. Решение иррациональных неравенств.

Решение иррациональных уравнений. Решение иррациональных неравенств.


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Урок по теме: «Решение иррациональных уравнений. Решение иррациональных уравнений с помощью возведения обеих частей уравнения в n-ю степень». УМК Мордковича (профильный уровень), 11 класс.

Учитель первой квалификационный категории: Максименко Светлана Александровна, МАОУ «Лицей № 28 имнеи Н.А.Рябова» г.Тамбова.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний.

Цели: вспомнить основные методы решения иррациональных уравнений; подготовка к ЕГЭ, воспитать трудолюбие.

Определение. Уравнение с одной переменной hello_html_m43bd2b0a.png называют иррациональным, если хотя бы одна из функций hello_html_m390427f9.png или hello_html_m4a78fb17.png содержит переменную под знаком радикала.

При решении иррациональных уравнений необходимо установить область допустимых значений переменных, исходя из условия, что все радикалы, входящие в уравнение, должны быть арифметическими.

1. Метод подбора

Этот метод основан на следующем теоретическом положении: “Если функция hello_html_m6fbd003d.pngвозрастает в области определения и число hello_html_68b4a6e1.png входит в множество значений, то уравнение hello_html_6142ed60.png имеет единственное решение.”

Для реализации метода, основанного на этом утверждении требуется:

1) Выделить функцию, которая фигурирует в уравнении.

2) Записать область определения данной функции.

3) Доказать ее монотонность в области определения.

4) Угадать корень уравнения.

5) Обосновать, что других корней нет.

6) Записать ответ.

Пример 1. hello_html_7a76530a.png.

Наличие радикалов четной степени говорит о том, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Поэтому сначала найдем область допустимых значение переменной hello_html_70a38f40.png.

hello_html_3e6f47b9.png

Очевидно, что левая часть уравнения не существует ни при одном значении неизвестного hello_html_70a38f40.png. Таким образом, вопрос о решении уравнения снимается – ведь нельзя же осуществить операцию сложения в левой части уравнения, так как не существует сама сумма. Каков же вывод? Уравнение не может иметь решений, так как левая часть не существует ни при одном значении неизвестного hello_html_70a38f40.png.

Пример 2. hello_html_m528aea2.png

Рассмотрим функцию hello_html_974d771.png.

Найдем область определения данной функции:

hello_html_m24604967.png

Данная функция является монотонно возрастающей.

Для hello_html_58581a12.png эта функция будет принимать наименьшее значение при hello_html_6f08aa28.png, а далее только возрастать.hello_html_a93c0d7.png. Число 5 принадлежит области значения, следовательно, согласно утверждению hello_html_m2f88778b.png.

Проверкой убеждаемся, что это действительный корень уравнения..

2. Метод возведения обеих частей уравнений в одну и ту же степень.

Теорема.

Если возвести обе части уравнения hello_html_m6b71cce9.png (1) в натуральную степень hello_html_752ca791.png, то уравнение hello_html_m1b663d34.png (2) является следствием уравнения (1).

Доказательство. Если выполняется числовое равенство hello_html_56a1e3b1.png, то по свойствам степени выполняется равенство hello_html_3cf6ad63.png, т.е. каждый корень уравнения (1) является и корнем уравнения (2), это значит, что уравнение (2) является следствием уравнения (1).

Если hello_html_2c18b581.png, то справедливо и обратная теорема. В этом случае уравнения (1) и (2) равносильны.

Если hello_html_m3b7b33d4.png, равенство hello_html_m43de57bb.png справедливо, если выполняется хотя бы одно из равенствhello_html_56a1e3b1.png и hello_html_m1f9c9f42.png. Значит уравнения (1) и (2) в этом случае не равносильны. Поэтому, если в ходе решения иррационального уравнения hello_html_m6b71cce9.png приходилось возводить обе его части в степень с четным показателем, то могли появиться посторонние корни. Чтобы отделить их, проверки можно избежать, введя дополнительное требование hello_html_36cbd356.png. В этом случае уравнение hello_html_3339f299.png равносильно системе hello_html_m5b4ace5e.png. В системе отсутствует требование hello_html_3c02dbd0.png, обеспечивающее существование корня степени hello_html_41ffd93e.png, т.к. оно было бы излишним в связи с равенством hello_html_31776cb1.png.

Пример 1.

hello_html_3a750c3c.png

hello_html_54464812.png,


hello_html_m69c57ad.png,

hello_html_m8a8cf06.png.

Ответ:hello_html_225b194e.png

Если в уравнение входят несколько радикалов, то их можно последовательно исключать с помощью возведения в квадрат, получая в итоге уравнение вида hello_html_5fbfec66.png При этом полезно учитывать область допустимых значений исходного уравнения.

Пример 2. 

hello_html_70ad7934.png

hello_html_mfe08ec5.png

Ответ: hello_html_683dba27.png

3. Решение уравнений с использованием замены переменной.

Введение вспомогательной переменной в ряде случаев приводит к упрощению уравнения. Чаще всего в качестве новой переменной используют входящий в уравнение радикал. При этом уравнение становится рациональным относительно новой переменной.

Пример1. 

hello_html_m59ba9793.png

Пусть hello_html_m6693f9cc.png тогда исходное уравнение примет вид:


hello_html_524fcb90.png, корни которого hello_html_m52e0313f.png и hello_html_26e73d0b.png Решая уравнение hello_html_m1d31c002.png, получаем hello_html_70b40ac.png и hello_html_298bd14f.png

Ответ: hello_html_136906e8.png

В следующих примерах используется более сложная замена переменной.

Пример 2

hello_html_m1c19a1d9.png

Перенесем в левую часть все члены уравнения и произведем дополнительные преобразования: hello_html_m7e542b35.png.

hello_html_m52ea17fd.png

Замена hello_html_m1ffd6f79.png приводит уравнение к виду hello_html_4ebed960.png корнями которого являются hello_html_m54a8b65d.png и hello_html_m6bc8ac33.png

Осталось решить совокупность двух уравнений:

hello_html_m40b47b5b.png

Ответ: hello_html_62ab1c54.png

4. Метод разложения на множители выражений, входящих в уравнение.

Теорема.

Уравнение hello_html_m5b808d00.png, определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности уравнений hello_html_354c7207.png

Пример1.

hello_html_60b08293.png

При hello_html_6739133e.png уравнение принимает вид:hello_html_1336bcc6.png которое равносильно совокупности двух уравнений: hello_html_123a0e28.pnghello_html_2ff7f473.png

Ответ: hello_html_7732d244.png

Иррациональные неравенства. Решение иррациональных неравенств.

УОСЗ

Цели: вспомнить основные методы решения иррациональных неравенств; подготовка к ЕГЭ, воспитать активность.

Теория:

A1. Неравенство

hello_html_m749063f7.png

равносильно совокупности систем

Замечание. Из утверждения A1 следует что неравенство

hello_html_602305ad.png

при b ≥ 0 равносильно неравенству f(x) > [b]2n, а при b < 0, равносильно неравенствуf(x) ≥ 0.

A2. Неравенство

hello_html_mb540640.png

равносильно следующей системе неравенств

Замечание.. Из утверждения A2 следует, что если правая часть неравенства есть числоb (g(x) = b), то A3. Неравенство

hello_html_78396293.png

равносильно системе неравенств

A4. Неравенство

hello_html_m377ee221.png

равносильно системе неравенств

A5. Неравенство

hello_html_mff852d8.png

равносильно следующей совокупности систем

A6. Неравенство

hello_html_m6ee38a2a.png

равносильно совокупности

где D(g) означает область определения функции g.

A7. Неравенство

hello_html_51c94371.png

равносильно совокупности

A8. Неравенства

hello_html_2be270c7.png   и   f(x) < [g(x)]2n+1

равносильны.

A9. Неравенства

hello_html_4f13b7bc.png   и   f(x) > [g(x)]2n+1

равносильны.

Замечание. Если m нечетное число, то

f(x) < g(x)      [f(x)]m < [g(x)]m,

f(x) > g(x)      [f(x)]m > [g(x)]m,

т.е. при возведении в нечетную степень знак неравенства не изменяется.

Расмотрим несколько примеров.

Пример 1. Решить неравенства

hello_html_3c2a0f8e.png

Подведение итогов. Выставление отметок.

Домашнее задание: № 30.8 а)б), 30.9 а), 30.14 а), 30.16 а), 30.20 а), 30.34 а)б)

Литература:

  1. http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.htm

  2. http://ege-ok.ru/2012/02/20/reshenie-irratsionalnyih-uravneniy-2

  3. http://yukhym.com/ru/matematika/irratsionalnye-uravneniya-na-primerakh.html






57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Автор
Дата добавления 06.08.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров313
Номер материала ДБ-151984
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх