Решение иррациональных уравнений. Решение иррациональных неравенств.

Урок по теме: «Решение иррациональных уравнений. Решение иррациональных уравнений с помощью возведения обеих частей уравнения в n-ю степень». УМК Мордковича (профильный уровень), 11 класс.

Учитель первой квалификационный категории: Максименко Светлана Александровна, МАОУ «Лицей № 28 имнеи Н.А.Рябова» г.Тамбова.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний.

Цели: вспомнить основные методы решения иррациональных уравнений; подготовка к ЕГЭ, воспитать трудолюбие.

Определение. Уравнение с одной переменной  называют иррациональным, если хотя бы одна из функций  или  содержит переменную под знаком радикала.

При решении иррациональных уравнений необходимо установить область допустимых значений переменных, исходя из условия, что все радикалы, входящие в уравнение, должны быть арифметическими.

1. Метод подбора

Этот метод основан на следующем теоретическом положении: “Если функция возрастает в области определения и число  входит в множество значений, то уравнение  имеет единственное решение.”

Для реализации метода,  основанного на этом утверждении требуется:

1) Выделить функцию, которая фигурирует в уравнении.

2) Записать область определения данной функции.

3) Доказать ее монотонность в области определения.

4) Угадать корень уравнения.

5) Обосновать, что других корней нет.

6)  Записать ответ.

Пример 1. .

Наличие радикалов четной степени говорит о том, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Поэтому сначала найдем область допустимых значение переменной .

Очевидно, что левая часть уравнения не существует ни при одном значении неизвестного . Таким образом, вопрос о решении уравнения снимается – ведь нельзя же осуществить операцию сложения в левой части уравнения, так как не существует сама сумма. Каков же вывод? Уравнение не может иметь решений, так как левая часть не существует ни при одном значении неизвестного .

Пример 2. 

Рассмотрим функцию .

Найдем область определения данной функции:

Данная функция является монотонно возрастающей.

Для  эта функция будет принимать наименьшее значение при , а далее только возрастать.. Число 5 принадлежит области значения, следовательно, согласно утверждению .

Проверкой убеждаемся, что это действительный корень уравнения..

2. Метод возведения обеих частей уравнений в одну и ту же степень.

Теорема.

Если возвести обе части уравнения  (1) в натуральную степень , то уравнение  (2) является следствием уравнения (1).

Доказательство. Если выполняется числовое равенство , то по свойствам степени выполняется равенство , т.е. каждый корень уравнения (1) является и корнем уравнения (2), это значит, что уравнение (2) является следствием уравнения (1).

Если , то справедливо и обратная теорема. В этом случае уравнения (1) и (2) равносильны.

Если , равенство  справедливо, если выполняется хотя бы одно из равенств и . Значит уравнения (1) и (2) в этом случае не равносильны. Поэтому, если в ходе решения иррационального уравнения  приходилось возводить обе его части в степень с четным показателем, то могли появиться посторонние корни. Чтобы отделить их, проверки можно избежать, введя дополнительное требование . В этом случае уравнение  равносильно системе . В системе отсутствует требование , обеспечивающее существование корня степени , т.к. оно было бы излишним в связи с равенством .

Пример 1.

,

,

.

Ответ:

Если в уравнение входят несколько радикалов, то их можно последовательно исключать с помощью возведения в квадрат, получая в итоге уравнение вида  При этом полезно учитывать область допустимых значений исходного уравнения.

Пример 2. 

Ответ: 

3. Решение уравнений с использованием замены переменной.

Введение вспомогательной переменной в ряде случаев приводит к упрощению уравнения. Чаще всего в качестве новой переменной используют входящий в уравнение радикал. При этом уравнение становится рациональным относительно новой переменной.

Пример1. 

Пусть  тогда исходное уравнение примет вид:

, корни которого  и  Решая уравнение , получаем  и 

Ответ: 

В следующих примерах используется более сложная замена переменной.

Пример 2

Перенесем в левую часть все члены уравнения и произведем дополнительные преобразования: .

Замена  приводит уравнение к виду  корнями которого являются  и 

Осталось решить совокупность двух уравнений:

Ответ: 

4. Метод разложения на множители выражений, входящих в уравнение.

Теорема.

Уравнение , определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности уравнений 

Пример1.

При  уравнение принимает вид: которое равносильно совокупности двух уравнений: 

Ответ: 

Иррациональные неравенства. Решение иррациональных неравенств.

УОСЗ

Цели: вспомнить основные методы решения иррациональных неравенств; подготовка к ЕГЭ, воспитать активность.

Теория:

A1. Неравенство

равносильно совокупности систем

		g(x) < 0,
		f(x) ≥ 0,
		g(x) ≥ 0,
		f(x) > [g(x)]2n.

Замечание. Из утверждения A1 следует что неравенство

при b ≥ 0 равносильно неравенству f(x) > [b]²ⁿ, а при b < 0, равносильно неравенствуf(x) ≥ 0.

A2. Неравенство

равносильно следующей системе неравенств

	g(x) > 0,
	f(x) ≥ 0,
	f(x) < [g(x)]2n.

Замечание.. Из утверждения A2 следует, что если правая часть неравенства есть числоb (g(x) = b), то

-    Û   0 ≤ f(x) < [b]2n, если b > 0

- неравенство  не имеет решений, если b ≤ 0.

A3. Неравенство

равносильно системе неравенств

	f(x) > g(x),
	g(x) ≥ 0.

A4. Неравенство

равносильно системе неравенств

	f(x) > [g(x)]2n,
	g(x) > 0.

A5. Неравенство

равносильно следующей совокупности систем

		g(x) < 0,
		f(x) ≥ 0,
		g(x) > 0,
		f(x) ≥ 0,
		f(x) < [g(x)]2n.

A6. Неравенство

равносильно совокупности

		f(x) = 0,
		x Î D(g),
		f(x) > 0,
		g(x) ≥ 0,

где D(g) означает область определения функции g.

A7. Неравенство

равносильно совокупности

		f(x) = 0,
		x Î D(g),
		f(x) > 0,
		g(x) ≤ 0.

A8. Неравенства

   и   f(x) < [g(x)]²ⁿ⁺¹

равносильны.

A9. Неравенства

   и   f(x) > [g(x)]²ⁿ⁺¹

равносильны.

Замечание. Если m нечетное число, то

f(x) < g(x)   Û   [f(x)]^m < [g(x)]^m,

f(x) > g(x)   Û   [f(x)]^m > [g(x)]^m,

т.е. при возведении в нечетную степень знак неравенства не изменяется.

Расмотрим несколько примеров.

Пример 1. Решить неравенства

Подведение итогов. Выставление отметок.

Домашнее задание:  № 30.8 а)б), 30.9 а), 30.14 а), 30.16 а), 30.20 а), 30.34 а)б)

Литература:

1)    http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.htm

2)    http://ege-ok.ru/2012/02/20/reshenie-irratsionalnyih-uravneniy-2

3)    http://yukhym.com/ru/matematika/irratsionalnye-uravneniya-na-primerakh.html