Решение квадратных уравнений графическим способом

Урок по алгебре в 8 классе

«Решение квадратных уравнений графическим способом»

Учитель математики

Дрозд Екатерина Георгиевна

Алгебра

8 класс

Тема: «Решение квадратных уравнений графическим способом»

Цели урока:

      1. Образовательные: познакомить учащихся с графическим способом решения квадратных уравнений, повторить ранее изученные методы решения квадратных уравнений, виды графиков и свойства функций у = , у = х², закрепить навыки построения графиков функций.

     2. Развивающие: развивать навыки творческой, познавательной, мыслительной деятельности, логическое мышление, вырабатывать умение анализировать и сравнивать.

     3. Воспитательные: воспитывать сознательное отношение к учебному труду,  развивать интерес к математике, самостоятельность, прививать аккуратность и трудолюбие.

Оборудование: мультимедийный проектор, компьютеры, карточки с дифференцированными заданиями, сигнальные карточки.

Тип урока: урок формирования знаний.

Вид урока: урок – практикум.

Методы урока: словесные, наглядные, практические.

Организационные формы общения: индивидуальная, парная, коллективная.

Структура урока:

1. Мотивационная беседа с последующей постановкой цели.

2. Актуализация опорных знаний – устная работа, с помощью которой ведётся повторение основных фактов, свойств на основе систематизации знаний.

3. Изучение нового материала – рассматривается ещё один способ решения квадратных уравнений – графический.

4. Закрепление изученного материала.

5. Практическая работа с использованием компьютеров.

6. Обогащение знаний – знакомство с траекториями движения космических аппаратов

7. Подведение итогов урока.

8. Творческое домашнее задание.

9. Рефлексия.

Ход урока.

I. Мотивационная беседа.

Учитель: Как вы думаете, зачем надо изучать математику?

      Ответ на этот вопрос вы найдёте, если узнаете, что означает в переводе с греческого слово «математика». «Математика» - знание, наука. Именно поэтому, если человек был умен в математике, то это всегда означало высшую ступень учености. А умение правильно видеть и слышать – первый шаг к мудрости. Вот поэтому мне сегодня очень хочется, чтобы вы стали немного мудрее и расширили свои знания по математике.

   Итак, запишите в тетрадь число и тему урока.  Сегодня необычный день, 25 января – Татьянин день. Это день всех студентов, день молодости.

  Цель урока -  познакомить вас еще с одним способом решения квадратных уравнений – графическим, закрепить этот способ решения практической работой с использованием компьютеров.

  У вас находятся одинаковые трафареты, состоящие из 10 комбинаций, которые обозначены римскими цифрами.

I             II                      III              IV             V

         VI                   VII                     VIII                                                                                  

                IX                                      X

      В каждую клетку нужно вписать букву или знак препинания. Тогда сложится фраза. Но на трафарете нет места для самого первого слова зашифрованной фразы. Это слово мы получим, решив графические уравнения. У нас получится крылатое изречение из романа А. С. Пушкина  «Евгений Онегин». Следует вам ответить на соответствующие тестовые задания  I –X и вписать в трафарет знак или букву, которой обозначен верный ответ.

Тестовые  задания.

II. Актуализация опорных знаний.

      1. Линию, являющуюся графиком функции у = х², называют…

          ?) синусоидой;         :) гиперболой;          …) параболой.

                                       I

…

      2. Составьте слово, назвав подряд буквы, соответствующие правильному ответу. Является ли функция у = х²  возрастающей на отрезке  [a; в], если:

                   е)  а = - 3;       в = 3;

                   к)  а = 1;         в = 4;

                   д)  а = - 2;       в = - 1;

                   а)  а = 0;         в = 0,5;

                   к)  а = 9;         в = 10;

                   б)  а = - 9;      в = 10; 

                                      II

к

а

к

      3. Назовите буквы, соответствующие точкам, принадлежащим графику функции у = х² :          

                            М(3; 9),  Ж(5; 5),  С(-100; -100),  Н(-2; 4),  О₁ (-1; 1),                                                          

                            Г(0; 0),  В(-7; 7),  А(2; 8),  О₂(2; 4).

                                     III

м

н

о

г

о

     4. Графиком функции  является …

          а) прямая;    б) отрезок;    в) гипербола;    г) ветвь параболы.

                                        IV

в

     5. Назовите буквы, которые соответствуют правильному ответу.

а) Какие из данных уравнений являются квадратными?

     в) 5х + 1 = 0.                к) х³ – 2х² + 1 = 0.     н) 5 – 8х = 0.

     э) 2х² – 9х + 5 = 0.       з) 2х ─  = 0.            м) х² + 3х + 2 = 0.

     т) 3х² – 5х – 8 = 0.       о) х² + 5х – 6 = 0.

                             V

э

т

о

м

  б) Какие из данных квадратных уравнений являются приведенными?

               к) 2х² – 9х + 5 = 0.            в) х² – 4х² + 3 = 0.           о) 3х² + 5х + 2 = 0.

               л) 3х² – 4х – 7 = 0.            ф) 3х² – 2х – 5 = 0.           к) х² + 6х + 8 = 0.

               з) х² – 14х + 49 = 0.           у) х² – 10х + 25 = 0.        е) х² + 11х – 12 = 0.

                                     VI

з

в

у

к

е

III. Изучение нового материала.

         Решим уравнение:    х² + 2х – 3 = 0.

         Какое это уравнение?

         Как это уравнение можно решить?

         Ответ: С помощью формул, с помощью теоремы Виета.

         Можно его решить устно?

         Ответ: Можно, по теореме Виета.

         Какие же корни?

         Ответ:   -3 и 1.

   Я сегодня покажу ещё один способ решения – графический. Представим данное уравнение в следующем виде:

                                          х² = ─ 2х + 3.

Чтобы решить данное уравнение, нужно найти такое значение х, при котором левая часть уравнения была бы равна правой. Введем две функции f(x), равной левой части уравнения и g(x), равной правой части уравнения. Теперь нужно найти такое значение х, при котором f(x)=g(x), т. е. общую точку, принадлежащую графику функции f(x) и графику функции g(x). Эта точка будет являться точкой пересечения графиков функций f(x)=х² и g(x)=-2х+3. Абсцисса точки пересечения будет являться решением исходного уравнения.

В координатной плоскости построим графики функций f(x) = х²  и

  g(x) = ─2х + 3.

Для этого составим таблицы их значений. 

     f(x) = х²  ─ парабола                                                  

х	0	+1	+2	+3
у	0	1	4	9

    [-3; 3]

g(x) = ─2х + 3  ─ прямая 

х	-3	1
у	9	1

В

А

                                          х = -3,          х = 1.

       А(-3;9) и В(1;1)-точки пересечения. Абсциссы этих точек равны -3 и 1.

    Значит х = -3 и х = 1 – решение уравнения  х² + 2х – 3 =0

       Ответ:     так)     х = ─ 1   и   х = 3

                         для)     х = ─ 3   и   х = 1

                         вот)     х = ─ 5   и   х = 0

                                      VII

д

л

я

Рассмотрим алгоритм решения.

Алгоритм решения:

   1. дано уравнение    х² + 2х – 3 = 0.

   2. представим уравнение в следующем виде    х² = ─ 2х + 3.

   3. в одной системе координат строятся графики функций

              у₁ = х²    и          у₂ = ─ 2х + 3.

  4. абсциссы точек пересечения являются решением данного уравнения

IV. Закрепление изученного материала.

1). Решить уравнение  х² – х – 2 = 0.     x [-5; 5]  с шагом 0,5

         у₁ = х²          у₂ = х + 2

   Ответ:      души)       х = - 2    и    х = 1

                      школы)     х = 3      и    х = 1

                      сердца)     х = 2      и    х = - 1.

                                    VIII

с

е

р

д

ц

а

2). Решить самостоятельно.

·        х² – 2х – 8 = 0     x [-5; 5]  с шагом 0,5

            а) один ученик решает графически;

            б) другой ученик решает аналитически с помощью теоремы Виета.

    Ответ :  широкого)   х = 5   и   х = 1;

                    русского)     х = 4   и   х = - 2;

                    красного)     х = 3   и   х = - 1.

                                      IX

р

у

с

с

к

о

г

о

·        2х² + х – 3 = 0     x [-4; 4]  с шагом 0,5

            а) один ученик решает графически;

            б) другой ученик решает аналитически с помощью квадратных корней

    Ответ:  слилось)           х = 1   и   х = -1,5;

                   расцвело)         х = 3   и   х = - 2;

                   приснилось)     х = -1   и   х = 2.

                                          X

с

л

и

л

о

с

ь

Физминутка.

Отвели свой взгляд направо,

Отвели свой взгляд налево,

Оглядели потолок,

Посмотрели все вперёд.

Раз – согнуться – разогнуться,

Два ─ согнуться – потянутся,

Три – в ладоши три хлопка,

Головою три кивка.

Пять и шесть тихо сесть.

V. Практическая работа.

Раздаются учащимся дифференцированные задания на карточках.

С помощью графиков нескольких функций, построенных на заданных промежутках, получаются буквы: М; О; С; К; В; А. и фигуры: КИТ; ЗОНТИК; ОЧКИ. (см. приложение к уроку).

Учитель: Какие буквы у вас получились?

Ответы учащихся: М О С К В А

Учитель: Получилась фраза А.С. Пушкина из романа «Евгений Онегин»        «Москва… как много в этом звуке для сердца русского слилось».

                   (Как часто в горестной разлуке,

                    В моей блуждающей судьбе,

                    Москва, я думал о тебе!

                    Москва … как много в этом звуке

                    Для сердца русского слилось!

                    Как много в нём отозвалось.)

VI. Обогащение знаний.

Высвечивается слайд, на котором находится парабола и гипербола.

    а) мы сегодня на уроке применяли эти два графика: параболу и гиперболу.

Я хочу вам сказать ребята, что окружающий нас мир тесно связан с математикой. Валерий Чкалов говорил: «Полёт–это математика». Оказывается, траектории движения космических аппаратов описываются параболой, гиперболой, эллипсом. При первой космической скорости (7,91 км/с) космический аппарат движется по эллипсу относительно Земли. (на рис. орбита 3)  При второй космической скорости (11,2 км/с) аппарат движется по параболе (на рис. орбита4) и движется в пределах Солнечной системы. При третьей космической скорости (16,6 км/с) космические аппараты движутся по гиперболе (на рис. орбита5) и навсегда покидают пределы Солнечной системы. В 70-х годах ХХ века были запущены такие космические аппараты «Пионер-10», «Пионер-11»,которые навсегда покинули Солнечную систему в поисках разумных цивилизаций во Вселенной. Они несут в себе платиновые пластинки, на которых нанесены силуэты мужчины и женщины на фоне космического корабля, Солнечная система и траектория «Пионера», схема атома водорода и положение Солнца по отношению к наиболее ярким галактическим пульсарам.

     б) графики помогают нам наглядно увидеть изменения различных величин: изменение роста, веса, температуры, скорости и т.д.

Вот посмотрите на эти графики, характеризующие ваш класс:

   1. График успеваемости (Знание – сила. Кто много читает, тот много знает – пословица.

   2. График роста, график веса учащихся 8-го класса.

    Чтобы достичь нормального веса и роста подростку 15-ти лет нужно заниматься спортом, вести здоровый образ жизни, не увлекаться пагубными привычками: алкоголем, табакокурением, наркотиками. Никогда не забывать пословицу «В здоровом теле здоровый дух»

VII. Подведение итогов урока.

    Вы замечательно поработали на уроке. Проверив ваши работы и учитывая ваши ответы за устную работу, я поставила вам оценки в индивидуальную таблицу.

Каждый ученик класса принимал участие в уроке. Во время урока заполняется индивидуальная таблица, в которой виден результат его работы на уроке.

Ф.И	Устная работа	Практическая работа	Общая оценка

    Надеюсь, этот материал вы не забудете. Помните слова французского инженера-физика Лауэ: «Образование есть то, что остается, когда все выученное уже забыто». Думаю, что образование, которое вы получите, будет соответствовать времени, в котором мы живем. А чтобы это случилось на самом деле, предлагаю вам выполнить следующую творческую домашнюю работу.

VIII. Домашнее задание.

Творческое задание: составить рекламу параболе или гиперболе;

                                    сочинить сказку или рассказ на тему «Замечательные

                                    кривые».

IX. Рефлексия.

В конце урока проводится беседа, в которой выясняется:

- Что нового узнали на уроке?

- Понравился ли урок?  (с помощью сигнальных карточек)

- Что понравилось на уроке?

- Что не понравилось?

- Что необходимо изменить, чтобы было еще интереснее?