Решение квадратных уравнений 8 класс

Методическая разработка урока алгебры

«Решение квадратных уравнений» 8 класс

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Форма урока: урок-путешествие.

Цель: обобщение и систематизация знаний по теме квадратные уравнения.

УМК: Алгебра: 8 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. – М.: Вентана-Граф, 2013. – 256 с.

Алгебра: дидактические материалы: 8 класс: пособие для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.М. Рабинович и др. – М.: Вентана-Граф, 2015. – 96 с.

Задачи:

1)                      повторить и обобщить полученные знания по теме

2)                      выявить и восполнить пробелы знаний в теме

3)                      при необходимости составить план индивидуализированной работы по коррекции учебных затруднений

Планируемый результат: 

1)                      личностные результаты:

идентификация себя, как полноправного субъекта общения;

формирование умения структурированно выражать свои мысли;

формирование способности применять свои знания и умения к решению новых проблем;

2)                      метапредметные результаты:

освоение способов познавательной  деятельности;

определение адекватных способов решения учебной задачи на основании заданных алгоритмов;

самостоятельное выполнение творческой работы;

развитие умений анализировать, аргументировать сделанный выбор;

отражение в устной и письменной форме результатов своей деятельности;

оценивание своих учебных достижений;

работа в группах и индивидуально;

владение навыками само- и взаимоконтроля;

умение ставить личностные цели и оценивать степень их достижения.

3)                      предметные результаты: 

решение различными способами квадратных уравнений, а также уравнений и задач сводящихся к ним;

определение количества корней квадратных уравнений по дискриминанту и их знаков по коэффициентам;

расширение знаний учащихся по теме.

Форма работы: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Ресурсы: учебник, раздаточный материал.

План урока:

Организационный момент - 1 мин

Постановка темы и целей урока, мотивация деятельности – 3 мин

Актуализация знаний - 5 мин

Основной этап:

История квадратных уравнений - 5 мин.

Повторение материала, применение знаний на практике – 24 мин.

Рефлексия - 5 мин

Подведение итогов - 2 мин

Организационный момент. Приветствие учащихся. Определение отсутствующих. Проверка готовности учащихся к уроку. Организация внимания.

Постановка темы и целей урока, мотивация деятельности осуществляется при помощи технологии развития критического мышления.

Стадия вызова

Ребята, какой раздел мы с вами изучали на протяжении нескольких занятий?

Учащийся: Квадратные уравнения.                           

Верно!

Включается видеофрагмент из сериала “Доктор Кто”.

Ребята слышите этот звук? Что это такое?

Учащиеся вместе с учителем просматривают видеоролик, где знакомятся со средством передвижения во времени и пространстве - тардис.

Как вы думаете, зачем нам этот летательный аппарат?

Учащийся: Мы отправимся в путешествие?

Правильно, мы отправимся в путешествие во времени, познакомимся с учеными, сделавшими вклад в развитие математики, обогатим наши знания о науке и способах решения квадратных уравнений, а также применим все полученные знания на практике.

Ребята, посмотрите на таблицу, давайте ее заполним:

Знаю	Хочу узнать	Узнал
Что вам уже известно о квадратных уравнениях?  (учащиеся называют, а учитель фиксирует ответы в таблице)	Что бы вы еще хотели узнать на уроке? (учащиеся называют, а учитель фиксирует ответы в таблице)	Заполняем в конце урока (подведение итогов урока)

Учитель перечисляет озвученные учащимися ответы:

Знаю:

Что такое квадратное уравнение

Что такое корень уравнения

Как найти корни квадратного уравнения

Что такое дискриминант

Что такое теорема Виета и как ее применять и т.д.

Хочу узнать:

Когда было первое упоминание о квадратных уравнениях

Как решали уравнения в древности

Кто вывел правила решения квадратных уравнений, которыми мы пользуемся сейчас

Как применять различные алгоритмы решения уравнений

Как решать задачи, сводящиеся к решению квадратных уравнений и т.д.

А чему мы с вами будем продолжать учиться на уроке?

Учащиеся: Решать уравнения, отвечать аргументировано на вопросы, использовать различные алгоритмы решения квадратных уравнений, использовать теорему Виета при решении квадратных уравнений.

Сегодня у нас урок закрепления полученных знаний по теме квадратные уравнения.

Вы многому научились, а сейчас, благодаря тардис у нас есть возможность еще раз переместиться в другую эпоху и вспомнить историю возникновения и становления квадратных уравнений.

Что мы могли бы предложить в качестве оплаты за путешествие?

Учащийся 1: Деньги.

Учащийся 2: Знания.

Хорошая идея, расплачиваться с тардис мы будем нашими знаниями и правильными ответами.

Актуализация знаний 

Итак, чтобы отправиться в Древний Вавилон давайте вспомним, что мы знаем о квадратных уравнениях.

Какие виды квадратных уравнений вы знаете?

Учащиеся: Полные и неполные, приведенные и неприведенные.

Каков общий вид квадратных уравнений?

Учащиеся: .

Назовите коэффициенты этого уравнения  (учащиеся выполняют прямую задачу).

Учащиеся:

Составьте полное квадратное уравнение, если  (учащиеся выполняют обратную задачу).

Учащиеся:

Составьте квадратное уравнение с коэффициентом . Каков вид данного уравнения?

Учащиеся: Неполное квадратное уравнение .

Какой прием мы используем для решения этого уравнения?

Учащиеся: Необходимо вынести общий множитель за скобки, затем использовать равенство 0 произведения множителей.

Назовите вид уравнения, в котором отсутствует коэффициент b, объясните, как решать это уравнение.

Учащиеся: Неполное квадратное уравнение . Есть два способа решения. Первый: перенести свободный член за знак равенства, тогда корни имеют значения , при этом . Второй: если возможно, используем формулу разности квадратов.

Какие уравнения мы называем линейными?

Учащиеся: Уравнения первой степени, общий вид

Что значит решить уравнение?

Учащиеся: Найти значение переменной, которое при подстановке в исходное уравнение дает верное числовое равенство

Как называется данное значение переменной?

Учащиеся: Корень

От чего зависит количество корней квадратного уравнения?

Учащиеся: От значения дискриминанта

Что такое дискриминант?

Учащиеся: Термин образован от лат. discriminar, что в переводе — «разбирать», «различать».

Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант больше 0?

Учащиеся: Два

Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант меньше 0?

Учащиеся: Ни одного.

А что мы можем сказать про значение дискриминанта, если квадратное уравнение имеет всего один корень?

Учащиеся: Дискриминант равен нулю.

Отлично, мы вспомнили некоторые из положений пройденного материала, тардис заправлена и мы можем отправляться в путь.

Кто из вас знает, где и когда были обнаружены первые упоминания о квадратных уравнениях?

Учащийся 1: В Древнем Вавилоне.

Учащийся 2:До нашей эры. 

Отправляемся в Древний Вавилон!

Включается видеофрагмент из сериала “Доктор Кто” (видеофрагмент перемещения во времени).

Основной этап 

История развития квадратных уравнений

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

В древности одними из наиболее часто возникающих перед людьми задач были задачи, связанные с разделением земли. То есть необходимо было находить площади земельных участков.

Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. В то время еще не было алгебраической записи уравнения, большинство трудов имело именно описательный характер, т.е. всё записывалось с помощью слов.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Видеофрагмент перемещения во времени и на слайде изображение древней Индии.

Какую страну мы сейчас посетим?

Учащийся: Древнюю Индию.

Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате в 499 г. Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. Задачи часто облекались в стихотворную форму, некоторые из них сводились к решению квадратных уравнений.

Видеофрагмент перемещения во времени и на слайде изображение древней Индии.

Квадратные уравнения у Аль-Хорезми

Аль-Хорезми арабский учёный, который в 825 г. написал книгу «Книга о восстановлении и противопоставлении». Это был первый в мире учебник алгебры. Он также дал шесть видов квадратных уравнений и для каждого из шести уравнений в словесной форме сформулировал особое правило его решения:

Вы видите, что теорией решения квадратных уравнений занимались величайшие умы древности и их изыскания лежат в основе современных методов решения квадратных уравнений.

Видеофрагмент перемещения во времени.

Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв

Методы решения квадратных уравнений принимают знакомый нам вид уже в XIII-XVII вв в Европе.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду:

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, сбыло сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

Одним из методов решения квадратного уравнения было выделение полного квадрата. Скажите, на чем основан данный метод?

Учащийся: На использовании формул сокращенного умножения.

Верно, давайте рассмотрим следующие примеры

1.  

Кто расскажет, как решить данное уравнение?

Учащийся: Применим формулу квадрата разности и получим уравнение . Данное уравнение имеет один корень .

Хорошо, следующее задание, немного сложнее.

2.  

Учащийся: Прибавим и отнимем 4 к левой части уравнения, чтобы использовать формулу квадрата суммы двух чисел. Получим . Затем . Свернем по формуле . Теперь воспользуемся формулой разность квадратов . (Здесь, учащиеся могут предложить другой способ решения: перенести свободный член за знак равенств, после чего использовать двойственность корней квадратного уравнения. ) Приведем подобные, получим . Если произведение множителей равно нулю, значит, хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, корнями уравнения являются следующие числа:  

Дискриминант облегчил решение квадратных уравнений, т.к. корни уравнений можно найти по формулам.

Ребята, назовите, пожалуйста, формулу нахождения дискриминанта.

Учащийся:

Верно, а как, зная дискриминант, мы находим корни уравнения?

Учащийся:

Задание №656 выполнить в тетрадях.

Учащиеся выполняют задание.

А теперь ребята поменяйтесь тетрадями с соседом по парте для взаимопроверки.

Учащиеся проверяют работы друг друга.

А теперь карандашиком на полях поставьте оценку своему однокласснику:

·         Если задания выполнены верно, ставьте 5

·         Если есть одна ошибка/ несколько исправлений, ставьте 4

·         Если допущено две ошибки, ставьте 3

·         Если верно сделано менее половины заданий, ставьте 2

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Вы помните, что Франсуа Виет – французский математик, основоположник символической алгебры. Он облегчил решение квадратных уравнений.

Ребята, давайте вспомним теорему Виета.

Учащийся: Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Верно. А что же такое приведенное квадратное уравнение?

Учащийся: Это уравнение, у которого первый коэффициент равен единице, а=1.

Правильно, кто назовет мне общий вид приведенного квадратного уравнения?

Учащийся:

Скажите, как зависят знаки корней уравнения от его свободного члена?

Учащийся: Если q<0, корни имеют разные знаки, если q>0, корни одного знака.

Согласно теореме Виета, каким свойством обладают корни квадратного уравнения?

Учащийся: Их сумма равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену.

Рассмотрим пример . Ребята решите данный пример с помощью теоремы Виета.

Учащийся: Согласно теореме  Легко видеть, что данным равенствам удовлетворяют  .

Повторим и обратную теорему. Составьте уравнение, корнями которого являются числа  .

Учащийся: Искомое уравнение имеет вид . Согласно теореме, коэффициенты и корни связаны следующими соотношениями:Следовательно, искомое уравнение:

Мы рассмотрели теорему Виета для приведенного квадратного уравнения, а какова формула для полного квадратного уравнения?

Учащийся:

Поскольку мы уже затронули связь коэффициентов и корней, расскажите мне о способе решения квадратного уравнения, основанном на свойстве коэффициентов.

Учащийся 1: Если , то

Учащийся 2: Если , то

Молодцы! Найдите корни, не производя письменных расчетов.

1.          

Учащийся: Поскольку сумма коэффициентов равна нулю, значит

2.          

Учащийся: Поскольку сумма коэффициентов, когда b взято с противоположным знаком, равна нулю, значит

Вспомните, пожалуйста, что такое биквадратное уравнение или, как его еще называют, двуквадратное?

Учащийся: Биквадратным называют уравнение вида

Каким образом мы можем решить такое уравнение?

Учащийся: С помощью замены переменной

Посмотрите на данный пример:

С помощью замены переменной сведем данное уравнение к виду

Отсюда . Вернемся к замене переменной, . Из первого уравнения получим . Из второго понимаем, что корней нет, поскольку квадрат числа не может быть числом отрицательным.

Посмотрите на следующий пример: . Какую здесь замену будем проводить?

Учащийся: Замена

Верно!

Зная, как решаются квадратные уравнения, вам не составит большого труда решить задачу. Рассмотрим задание №802 учебника.

Каким способом воспользуемся для облегчения решения?

Учащийся: Можно воспользоваться табличным способом. Движение происходит условно на двух участках.. Составим таблицу, обозначив скорость на первом участке за х .

	S	v	T
Первый участок	150км	х
Второй участок	240км	х+5

Составим уравнение, зная, что на весь путь было потрачено 5ч.

Итак, пора возвращаться домой, ребята. Но чтобы вернуться, нам необходимо хорошо выполнить маленькую самостоятельную работу и показать, как вы умеете работать в команде.

Учитель раздает учащимся задания:

1 группа решает полное квадратное уравнение

2 группа решает неполное квадратное уравнение

3группа решает приведенное квадратное уравнение с помощью теоремы Виета

4 группа решает неприведенное квадратное уравнение с помощью теоремы Виета

5 группа решает биквадратное уравнение

6 группа решает уравнение с помощью замены переменной

7 группа составляет уравнение для решения задачи. Моторная лодка прошла 35 км по озеру, а затем 34 км по реке, впадающей в это озеро, за 2 ч. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки составляет 1 км/ч.

Учитель собирает тетради для проверки и выставления оценок, говорит, что пора возвращаться, тардис готова.

Видеофрагмент перемещения во времени.

Мы успешно приземлились. Спасибо вам за работу на уроке.

Понравилось вам наше путешествие? (ответы учащихся)

Сейчас мы вернемся к таблице, которую заполняли в начале урока и заполним последний столбец. (Учащиеся заполняют таблицу)

Итак, мы с вами узнали:

•        Когда было первое упоминание о квадратных уравнениях

•        Историю квадратных уравнений

•        Как применять методы решения квадратных уравнений т.д.

А сейчас давайте определим степень вашей готовности к контрольной работе.

Учитель раздает карточки каждому учащемуся для заполнения:

Я знаю
Я умею
Я затрудняюсь в решении
Я хочу получить знания/научиться

Учитель собирает заполненные карточки для диагностики готовности к контрольной работе по теме и определения дальнейшей индивидуальной работы с учащимися.

Учитель дает оценку работы учащихся, ставит отметки в журнал.

Домашнее задание: №918 (1, 3, 5, 7), №919 (2), №920 (1)