"Решение квадратных уравнений разными способами"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Лицей»

ИТОГОВЫЙ ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

«Решение квадратных уравнений разными способами»

Выполнила:

Крутова Арина

Сергеевна,

обучающаяся

9 класса

Руководитель:

Кочешкова Ксения

Александровна,

учитель математики

МБОУ «Лицей»

Арзамас, 2020

Содержание работы:

1. Определение квадратного уравнения, его виды ________________ 3

2. Из истории  квадратных уравнений __________________________ 4

3. Различные способы решения квадратных уравнений:

1) Разложение левой части уравнения на множители ________________ 6

2) Метод выделения полного квадрата ____________________________ 6

3) Решение квадратных уравнений по формуле _____________________ 7

4)Решение уравнений с использованием теоремы Виета _____________  8

5) Решение уравнений способом переброски _______________________ 9

6)Свойства коэффициентов квадратного уравнения ________________ 10

7) Графическое решение квадратного уравнения __________________ 11

5.  Литература _______________________________________________ 12

1. Определение квадратного уравнения, его виды.

 Определение: Квадратным уравнением называется уравнение вида

                                                   ax² + bx + c = 0,

 где  х- переменная, а,b и с-некоторые числа, причем,  а ≠ 0.  

   Если в квадратном уравнении ах² + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным  квадратным уравнением.

Неполные квадратные  уравнения бывают трёх видов:

1) ах² + с = 0, где с ≠ 0;

2) ах² + bх = 0, где b ≠ 0;

3) ах² = 0.

2. Из истории квадратных уравнений

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучаются общие свойства действий над величинами.

3. Различные способы решения квадратных уравнений.

1) Разложение левой части уравнения на множители.

     ●  Примеры.

     1. Решим уравнение х² + 10х – 24 = 0.

             Разложим левую часть уравнения на множители:

х² + 10х – 24 =  х² + 12х – 2х – 24 = х (х + 12) – 2 (х +12) = (х + 12)(х – 2).        

Следовательно, уравнение можно переписать так:

                               (х + 12)(х – 2) = 0.

Так как произведение равно нулю, то по крайне мере один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при  х = 2, а также при х =  - 12. это означает, что числа 2 и – 12 являются корнями уравнения  х² + 10х – 24 = 0.

2)  Метод выделения полного квадрата

Поясним этот метод на примере.

     ● Пример

              Решим уравнение  х² + 6х – 7 = 0

Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение

х² + 6х  в следующем виде:

                                    х² + 6х  = х² + 2· х ·3.

   В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа  х, а второе – удвоенное произведение х на 3. поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3², так как

                                  х² + 2· х ·3 + 3² = (х + 3)² .

 Преобразуем теперь левую часть уравнения

                                х² + 6х – 7 = 0,

прибавляя к ней и вычитая 3^2.  Имеем:

х² + 6х – 7 =  х² + 2· х ·3 + 3²  –  3² – 7 =  (х + 3)² –   9  – 7 =  (х + 3)² – 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:     

   (х + 3)² –16 = 0, т.е. (х + 3)²  = 16.

Следовательно, х = 3 = 4,  х₁ = 1, или х +3 = - 4 ,  х₂   = –  7.

3)  Решение квадратных уравнений по формуле

Вывод формулы:

Умножим обе части уравнения

ах² + bх +  с = 0, а ≠ 0,

на 4а   и следовательно имеем:

4а²х² + 4аbс + 4ас = 0.

((2ах)² + 2ах  · b + b²) – b² + 4ас = 0,

(2ах + b)² = b² – 4ас,

2ах + b =  ±  

2ах = – b ±

Х_1,2 = 

●  Примеры

Решим уравнения:

а) 4х²+ 7х + 3 = 0.

  а = 4, b = 7, с = 3, D =  b² –  4ас = 7²  –  4· 4 ·3 = 49 – 48 = 1, D >два разных корня;

х = ,   х = ;  х = ,  х₁ =  , х = ,  х₂  =  –1

 Таким образом, в случае положительного дискриминанта,

        т. е. при b² –  4ас≥0  уравнение ах² + bх +  с = 0 имеет два различных корня.

б) 4х² – 4х + 1 = 0,

а =4, b= - 4, с = 1. D =  b² –  4ас= 16 – 4∙4∙1 = 0, D = 0, один корень;

х=

Итак, если дискриминант равен нулю, т. е. =  b² –  4ас= 0, то уравнение ах² + bх +  с = 0 имеет единственный корень, х =

в) 2х² +3х + 4 = 0, а =2, b= 3, с = 4, D =  b² –  4ас= 9 – 4∙2∙4 =9 – 32 = - 13,

D < 0.  Уравнение  не  имеет  корней.

Итак, если дискриминант отрицателен, т. е. =  b² –  4ас< 0, то уравнение

 ах²+ bх +  с = 0 не имеет корней.

4)  Решение  уравнений с использованием теоремы Виета

(прямой и обратной)

а) Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

                                              х² + px + q = 0.                               (1)

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при  а = 1 имеет вид

                                                 

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и qможно предсказать знаки корней).

а) Если свободный член  qприведенного уравнения (1) положителен (q >0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p.

Если p>0, то оба корня отрицательные, если p<0, то оба корня положительны.

Например,

х² – 3х + 2 = 0;  х₁ = 2  и  х₂ = 1, так как  q = 2 > 0  и   p =  – 3 <0;

х² +8х + 7 = 0;  х₁ =  –  7   и  х₂ =  – 1, так как  q = 7 > 0 и  p = 8 >0.

б) Если свободный член  qприведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p<0, или отрицателен, если p>0.

Например,

х² + 4х – 5 = 0;  х₁ =  –  5   и  х₂ = 1, так как  q = –  5<0 и  p = 4 > 0;

х²  –   8х – 9 = 0;  х₁ = 9   и  х₂ =  –  1, так как  q = –  9<0 и  p = –  8 >0.

б) Теорема Виета для квадратного уравнения

                       ах² +вх +с = 0

  имеет вид

                      

Справедлива теорема, обратная теореме Виета:

Если числа х₁ и х₂ таковы, что х₁+х₂ = -р,  х₁х₂ = q, то х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения 

                                   х² +рх + q = 0.

Эта теорема позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней.

 ● Примеры

       1. Решить уравнение

                         х² – 9х + 14 =0

     Попробуем найти два числа х₁ и х₂ , такие, что

                                       х₁ +х₂ = 9

                                       х₁х₂ = 14

Такими числами являются 2 и 7. По теореме, обратной теореме Виета, они и служат корнями заданного квадратного уравнения.

   2. Решить уравнение

                             х² +3х – 28 = 0

     Попробуем найти два числа х₁ и х₂ , такие, что

                                       х₁ +х₂ = - 3

                                       х₁х₂ =  - 28

Нетрудно заметить, что такими числами будут – 7 и 4. Они и являются корнями заданного уравнения.

5)Решение уравнений способом «переброски»

Рассмотрим квадратное уравнение

                                      ах² + bх +  с = 0, а ≠ 0.

Умножая обе его части на  а, получаем уравнение

                                      а² х² + а bх +  ас = 0.

Пусть  ах = у, откуда  х = ; тогда приходим к уравнению

                                      у² + by + ас = 0,

равносильного данному. Его корни у₁ и у₂   найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х₁ =   и  х₁ =  . При этом способе коэффициент  а  умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют  способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

● Примеры

 Решим уравнение  2х² – 11х  + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент  2  к свободному члену, в результате получим уравнение

                                    у² – 11y +30 = 0.

Согласно теореме Виета

 Ответ: 2,5;3.

6. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

А. Пусть дано квадратное уравнение

                             ах² + bх +  с = 0, а ≠ 0.

1.Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то    х₁ = 1, х₂  = . 

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

         х²  +  х +   = 0.

Согласно теореме Виета

                                   

По условию а + b + с = 0, откуда  b =  – а – с. Значит,  

                             

Получаем х₁ = 1, х₂  = , что и требовалось доказать.

2. Если а - b + с = 0, или b = а + с, то х₁ = – 1, х₂  = –  . 

Доказательство. По теореме Виета

                                  

По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,

                               

т.е. х₁ = – 1 и х₂  =  , что и требовалось доказать.  

● Примеры

1. Решим уравнение 345х²  – 137х – 208 = 0.

Решение. Так как  а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х₁  = 1,  х₂  =  = .

Ответ: 1; – .

2. Решим уравнение 132х² + 247х + 115 = 0

Решение. Т. к. а-b+с = 0 (132 – 247 +115=0), то

х₁= - 1, х₂= -  

Ответ: - 1; -

Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней

х_1,2  =

можно записать в виде

х_1,2  =

● Пример

Решим уравнение 3х²  – 14х + 16 = 0.

Решение. Имеем: а = 3,  b = –  14,  c = 16,   k = –  7;

D = k² – ac = (– 7)² – 3 · 16 = 49 – 48 = 1, D>0, два различных корня;

х =  

Ответ: 2; .

В.  Приведенное уравнение

x²  + px + q = 0

совпадает с уравнением общего вида, в котором  а = 1, p и c = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

х_1,2  =

принимает вид:

х_1,2  =  или х_1,2  =  -       (3).

Формулу (3) особенно удобно использовать, когда p – четное число.

● Примеры

1. Решим уравнение х²  – 14х – 15 = 0.

Решение. Имеем: х_1,2 = 7±= 7±= 7±8.

Ответ: х₁  = 15,   х₂ =  – 1 .

 7. Графическое решение квадратного уравнения

   Если в уравнении

         x²  + px + q = 0

перенести второй и третий члены в правую часть, то получим

          x²  = – px –  q .

   Построим графики зависимостей  у = х²  и  у =   – px –  q .

График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат.

График второй зависимости – прямая.

   Возможны следующие случаи:  прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

- прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка),т.е. уравнение имеет одно решение;

- прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.  

                                                           у

                                                                              у=х²

                                                                                        у = - рх - q

                                                                           х₁                    х₂                                х                                                                                          

● Пример

1.Решим графически уравнение

   х²  – 3х – 4 = 0. 

    Решение.  Запишем уравнение в виде

                х²  = 3х + 4

Построим параболу  у = х²  и прямую  у = 3х + 4.

Прямую  у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0;4) и

N (3;13).

 Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и B с абсциссами х₁ = – 1  и

х₂ = 4.

                                                           у

                                  у=х²                                                             у = - 3х + 4

                                                                   - 1                          4                           х

Ответ: х₁  = – 1  ,   х₂ =  4 .

Литература:

1.     Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений / Г. В. Дорофеев и др. – М.: Дрофа, 2004

2.     Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1988

3.     Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: просвещение, 1982

4.     Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы для среденй школы. – м., просвещение, 1990

5.     Окунев А. К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1972

6.     Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. М., Квант, №4/72. С.34.

7.     Дидактические материалы по алгебре.

8.       М., Математика (приложение к газете «Первое сентября»), №№ 21/96, 10/97, 24/97, 40/2000.