Решение линейных и квадратных неравенств

1. ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

1.1. Теоретический материал

Неравенства

Решение: значение переменной, обращающее неравенство в верное числовое неравенство.	Решить: найти все решения или доказать, что их нет.	Равносильные: неравенства, имеющие одно и то же множество решений.
	неравенство
можно переносить слагаемое из одной части в другую с противоположным знаком	можно умножать (делить) обе части на одно и то же положительное число	можно умножать (делить) обе части на одно и то же отрицательное число,  изменив при этом знак неравенства на противоположный.

Название неравенства	Общий вид
Линейное неравенство с одной переменной	1) ax>b	3) ax<b
	2) ax≥b	4) ax≤b
Квадратное неравенство с одной переменной	1) ax2 + bx + c>0 (а≠0)	3) ax2 + bx + c<0 (а≠0)
	2) ax2 + bx + c≥0 (а≠0)	4) ax2 + bx + c≤0 (а≠0)

Свойства числовых неравенств

1.   если a>b, то b<a;

2.   если a>b,  b>c, то a>c;

3.   если a>b, с – любое число, то a+c>b+c;

4.   если a>b, c>0, то ac>bc;

5.   если  a>b, c<0, то ac<bc;

6.   если a>b, c>d, то a+c >b+d;

7.   если a>0, b>0, c>0, d>0, a>b и c>d, то ac>bd;

8.   если a>b>0, n – натуральное число, то aⁿ>bⁿ;

9.   если a>0, b>0, a>b, то  ˂.

1.2. Решение линейных неравенств

Цели и задачи блока

-  обобщить, систематизировать и несколько расширить знания;

-  учащихся о решении линейных неравенств;

-  повторить виды числовых промежутков, их иллюстрации;

-  обозначение и запись.

Таблица 1.1

Числовые промежутки

вид промежутка	геометрическое изображение	обозначение	запись, с помощью неравенства
Интервал			a< x< b
Отрезок			a≤ x≤ b
Полуинтервал			a< x≤ b
Полуинтервал			а≤ x <b
Луч			x≥a
Луч			x≤b
Открытый  луч			x>a
Открытый  луч			x<b

1.3 Упражнения по закреплению знаний и умений

Для работы в классе, а также для индивидуальной самостоятельной работы можно предложить учащимся следующий набор упражнений, а так же контрольную работу.

1.Решите неравенства:

      а)   4 + 6р < 2(5р – 4),                                  б)   4(3 – 4q) – 6(2 - 3q) < 0,

      в)   -(6а +2) + 6(а – 1) > 0,                           г)   7 – 16с < -2(8с – 1) + 5,

      д)                                                         е)   ,

      ж)   ,                                                 з)  

      м)   ,                                          и)   а (а – 2) – а² > 5 – 3а,

      к)   0,2х² – 0,2(х – 6)(х+6) > 3,6х,                л) (4q – 1)² > (2q + 3)(8q – 1).

2.Найдите наименьшее целое решение неравенства:

       а)  6(у – 2) – 8 ≥ 4(у + 3),         б)    

3.Решите двойные неравенства:

       а)  -1≤ 2х-7 ≤ 2,                            б)    -14.

Ключевым элементом содержания в этих заданиях  является решение линейных неравенств. Вспомогательный элемент: упрощение неравенств с помощью основных свойств неравенств.

2.КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

2.1.Решение квадратных неравенств

Цели и задачи блока

- продолжить формирование умений решать квадратные неравенства;

- коррекция умений и навыков, полученных на уроках;

- развитие самостоятельности, самоконтроля.

Теоретический материал.

Квадратные неравенства – это неравенства вида

ax²+bx+c>0, ax²+bx+c<0,ax²+bx+c≤0,  ax²+bx+c≥0, где а0.

 Если квадратное уравнение ax²+bx+c=0  имеет два различных корня, то решение соответствующих квадратных неравенств можно свести к решению системы неравенств первой степени, разложив левую часть квадратного неравенства на множители.

Например:

-3х2-5х+2>0, 3х2+5х-2<0, 3х2+5х-2=0, x1,2 = x1=,  x2= -2; 3х2+5х-2=3(x-)(x+2); Ответ: (-2; )

Решить квадратное неравенство можно графически. Квадратичная функция задается формулой у=ax²+bx+c, где a0.

Поэтому решение квадратного неравенства сводится к отысканию нулей квадратичной функции и промежутков, на которых квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения.

Таблица 2.1

Графическое изображение

D	a>0	a<0
D<0
D=0	х1,2=	х1,2=
D>0	х1,2=	х1,2=

2.2. Упражнения по закреплению знаний и умений

Для работы в классе, а также для индивидуальной самостоятельной работы можно предложить учащимся следующий набор упражнений, а так же контрольную работу.

1. Решите квадратные неравенства двумя способами:

 а)   (х-1)(х+2)>0,                         в)    x²-3x+2<0,

 б)   (x-6)(x+10)<0,                           г)   2 x²-4x-6>0.

2. Решите неравенства (любым способом):

       а)   х² –3х > 0,                              д)   2х ≤ -х²

       б)   х² > 25х,                                  е)   

       в)   х² – 36 < 0,                              ж)  

       г)   3h² + h + 2 > 0,                        з)  

3. Найдите наименьшее целочисленное решение неравенств: 2х² + 14х ≤-60.

4. Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства: 3х – х² > -40.

5. Установите, при каких значениях х имеют смысл выражения:

         а)                               в)  

         б)                                   г)  

6. Сколько целочисленных решений имеют неравенства:

           а)   15 – х² + 10х ≥ 0,                 б)   х² + 5х – 8 < 0.      

7. При каких значениях параметра р квадратное уравнение                              3х² – 2рх – р + 6 = 0

а) имеет два различных корня;      б) имеет один корень;       в) не имеет корней.

Ключевым элементом содержания в этих заданиях  является решение квадратных неравенств. Вспомогательный элемент: решение квадратных уравнений, построение графика квадратичной функции.