"Решение логарифмических уравнений и неравенств в свете требований ФГОС"

26

Дагестанский институт повышения квалификации педагогических кадров

Проектная работа на тему:

«Решение логарифмических уравнений

и неравенств в свете требований ФГОС»

Выполнила: учитель математики

гимназии № 17 г. Махачкала

Саратовкина Л.Г.

Махачкала – 2015 г.

Содержание

Введение. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. Логарифмические уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

   1. Логарифмические уравнения, решение которых основано на определении логарифма . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . .4

   2. Уравнения, решаемые логарифмированием . . . . . . . . . . . .. . . 7

   3. Логарифмические уравнения, решаемые потенцированием . 8

   4. Решение уравнений вида f(log_ag(x)) =0, где f(x) – некоторая функция.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

   5. Решение логарифмических уравнений с помощью формул перехода от одного основания логарифма к другому. . . . . . 14

   6. Уравнения, содержащие неизвестные в основаниях

логарифмов и показателях степеней. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1. 1. Уравнения, содержащие логарифм в показателе степени. . . 18

   2. Решение уравнений вида . . . . . . . . . 19

2. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

   1. Избранные методы решения логарифмических неравенств..21

      1. Метод равносильных преобразований. .. . . . . . . . . . .. 21

      2. Решение логарифмических неравенств методом

интервалов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

1. 2. Метод рационализации. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Выводы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

Заключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Введение

Темы «Логарифмические уравнения» и «Логарифмические неравенства » занимают важное место в курсе школьной математики. Они богаты по содержанию, по способам и приемам решения, по возможностям их применения.

Уравнения и неравенства широко используются в различных разделах математики, в решениях важных прикладных задач.

Несмотря на значительный положительный опыт в методике преподавания этих тем, как показывает анализ результатов тестов, контрольных работ, результаты ЕГЭ, учащиеся недостаточно полно владеют знаниями и умениями по решению логарифмических уравнений и неравенств.

Тема «Логарифмические неравенства» активно представлена на экзаменах за курс основной общеобразовательной школы. Решению логарифмических уравнений и неравенств в вариантах ЕГЭ по математике посвящены задания №6 в части І и задания № 10 и 17 в части ІІ. Научиться решать эти задания из ЕГЭ по математике должен каждый выпускник, если он хочет , чтобы количество баллов за экзамен было конкурентно способно при поступлении в ВУЗ.

Основная цель этих заданий – проверка умения анализировать задачу, выбирать математическую модель, использовать рациональный метод решения и уметь применять теоретические знания к решению задач.

Таким образом , перед учителем встает задача: спланировать изучение этих тем таким образом. Чтобы учащиеся получили максимальный объем информации, успели закрепить навыки на достаточном количестве примеров, а осознав изученный материал, расширили набор методов решения и порой использовали и методы, не вошедшие в учебник.

1. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

   1. Логарифмические уравнения, решение которых

основано на определении логарифма.

Логарифмическими уравнениями называются уравнения, содержащие неизвестные под знаком логарифма или в его основании.

А) Уравнение log_a f(x) =b, Где а и а›0, равносильно уравнению f (x) = a^b . Так как а^b ›0, то при х₀ таком, что f (x₀) = a^b , f (x₀) ›0, то находить область допустимых значений уравнения или делать проверку не надо.

Пример 1. Решить уравнение log₃ (x2 – 4х + 6) = 1

Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению x² – 4х+ 6=3; x² – 4х+ 3=0, т.е. х₁=1, х₂=3.

Ответ: 1; 3.

Пример 2. Log₂log₃ log₃ x=0.

Решение. Log₂ (log₃ log₃ x) =0 равносильно log₃ (log₃ x)=1, log₃ x=3, х=27.

Ответ: 27.

Пример 3. Log₃log₃ log₂ =0.

Решение. Данное уравнение равносильно уравнениям:

log₃ log₂ = 1; log₂ =3; =8; 1-х = ; x = .

Ответ: ¾ .

б) Уравнение log_g(x) f(x) = b равносильно системе

Можно решить уравнение f(x)=g^b (x) , проверив при найденных корнях выполнение неравенств g(x)1 и g(x)>0. Поскольку f(x)=g^b (x)>0, то выполнять проверку неравенства f(x)>0 нет необходимости.

Можно найти область определения, решив систему неравенств Можно решить приведенное выше уравнение f(x)=g^b (x) и непосредственной подстановкой значений найденных корней в уравнение log_g(x) f(x)=b, проверить их, помня при этом об области определения, т.е. о выполнении неравенств, приведенной выше системы.

Пример 4. Log_2-x (x²+ 3x -6) = 1.

Решение. Область определения уравнения системы имеет вид

Решая данное уравнение, получим x²+ 3x -6=2-х; x²+ 4x -8=0; х_1,2 = -2±2 Оба корня входят в ОДЗ и следовательно являются решением уравнения.

Ответ: -2±2.

Пример 5. Log_2х-3 (3х²-7х+3) – 2 =0.

Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению (2х-3)²=3х²-7х+3 или х²- 5х += 6 =0. Числа 2 и 3 – корни квадратного уравнения. Подстановка х=2 в исходное уравнение дает в основании 1, что противоречит определению логарифма. При х=3 получаем верное равенство log₃9-2=0.

Ответ: 3.

В) Решение уравнений вида где а>0,а1,b>0 сводится к решению равносильного уравнения f(x)=b.

При решении уравнений вида = b, b>0 , обязательна либо проверка неравенств g(x)0, g(x) 1, либо непосредственная проверка. Выполнять проверку f(x)˃ 0 не обязательно, так как f(x)= b ˃0.

Пример 6. =9.

Решение. Область определения уравнения задается неравенством х-2˃0, то есть х˃2. )². Значит ( х-2)²=9, х-2=3 и х=5 –корень данного уравнения. Решая х-2=-3, находим х=-1, который является посторонним корнем.

Ответ: 5.

Пример 7.

Решение. Областью определения уравнения является решение системы неравенств

Согласно свойству логарифма имеем х²- 2x=3; х²- 2x-3=0; х₁=-1, х₂=3.Корень х₁=-1 является посторонним, так как не удовлетворяет неравенству х²+x>0. Подстановка корня х=3 обращает уравнение в верное равенство.

Ответ : 3.

Пример 8. Log_{cos x} sin x =1.

Решение.

Система неравенств Является областью определения данного уравнения. Следовательно х – угол первой четверти. Решая однородное уравнение sin x= cos x, получим tg x=1, x=. Из полученных корней выбираем лишь значения х, принадлежащие первой четверти: х=.

Ответ: .

Пример 9. Log _{sin x} (2 sin2x + 4 sin² x +1 )= 0.

Решение. Решение данного уравнения равносильно решению системы

4sinx cosx=4sin²x=0, 4sinx (cosx + sinx) = 0, (cosx + sinx) = 0, tgx =-1, следовательно x=

Ответ: x=

1. 2. Уравнения, решаемые логарифмированием.

К этому типу уравнений можно отнести уравнения, содержащие неизвестные в основаниях логарифмов и показателях степеней выражений, стоящих под логарифмами. Рассмотрим их решение на примерах.

Пример 1. Решить уравнение = 8x

Решение. Область определения уравнения – неравенство х ˃ 0. Прологарифмировав обе части уравнения по основанию 2, получим log₂ ()= log₂ (8x); (log₂ x – 1) log₂ x= 3 + log₂ x. Введем переменную t = log₂ x , получим квадратное уравнение t² – 2t – 3=0, решая которое находим t= -1 и t=3. Таким образом log2 x = - 1, х = ½ и log2 x=3, х = 8.

Ответ: 0,5; 8.

Пример 10. Решить уравнение = 9x.

Решение. Область определения исходного уравнения Прологарифмируем уравнение по основанию 3. Получим x=log₃9x. Применяя соответствующие свойства логарифмов, получим уравнение x – log₃x -2=0. Полагая t= log₃x, решим квадратное уравнение относительно переменной t. Корнями его являются числа 2 и -1. Возвращаясь к прежней переменной имеем log₃x=2, x=9 и log₃=-1, x=. Оба корня входят в область определения.

Ответ: ; 9.

1. 3. Логарифмические уравнения, решаемые потенцированием.

При решении логарифмических уравнений часто применяются формулы:

log_c a + log_c b= log_c (ab) ( a0 , b˃0; c˃0, c 1 ); (1)

log_c a – log_c b= log (2)

k log_c a = log_c a^k ( a˃0 , c˃0, c 1). (3)

Так же учитываем тот факт, что если равны логарифмы при одинаковых основаниях, то равны и выражения, стоящие под знаками логарифмов.

Решение данных уравнений требует либо нахождения области определения их, либо выполнения проверки найденных корней. Общеизвестно, что уравнение log _p(x) f(x) = log _p(x) g(x) равносильно системе

Кроме того, следует участь, что из двух неравенств f(x)˃0 и g(x)˃ 0 можно оставить только то, которое наиболее выгодно решающему. Отборы корней буду осуществлять на отдельных примерах.

Пример 11. Решить уравнение lg (x-4) – lg (x+4)= lg x – lg 15.

Решение. Областью определения данного уравнения является решение системы неравенств

Откуда х˃2.

С учетом формулы (2), имеем lg = lg или 15 (х-2)= х² +4х, х²-11х+30=0, х=5 и х=6. Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ: 5; 6.

Пример 12. Решить уравнение log₅ (sin2x+ cos2x +x²)= log₅ (sin2x+ cos2x +1).

Решение. Решение данного уравнения равносильно решению системы

Отсюда х²=1, корни уравнения х=1 и х= -1 удовлетворяют неравенству системы.

Ответ: х=± 1.

Пример 13. Решить уравнение lg (3^x+x-17)= x lg30 –x.

Решение. Область определения уравнения выражается неравенством 3^x+x-17˃0.

Преобразуем правую часть уравнения x lg30 –x= lg3^x+lg10^x-x. Воспользуемся формулой представления любого числа а в виде логарифма по основанию с: а=log_c c^a (c˃0, c), тогда х = lg10^x. После применения соответствующих формул и преобразований имеем (3^x+x-17)= 3^x, х=17.

Ответ: 17.

Пример 14. Решить уравнение log₃2+log₃log₃(4-x) = log₃log₃(19-6x).

Решение. Для нахождения области определения решим систему неравенств

Применяя формулу (1), получим исходное уравнение в виде log₃2log₃ (4-x)=log₃log₃(19-6x); 2log₃ (4-x)=log₃(19-6x); (4-x)²=19-6x; x²-2x-3=0. Уравнение имеет два корня х=3 и х=-1. Х=3 не удовлетворяет условию Значит решением уравнения является х=-1.

Ответ: -1.

Пример 15. Решить уравнение log_{cos x}sin x+log_cosx ( sinx- 0,5)= log_cosx0,5.

Решение. Область определения уравнения задается системой Или После преобразования приходим к уравнению sin²x-0,5sinx-0,5=0 или 2sin²x- sinx-1=0. Решая его, получим sinx=1 и sinx=-0,5. Если sinx=1, то что противоречит неравенству из области определения , если sinx=-0,5, то не выполняется условие Значит исходное уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример 16. Решить уравнение 1+ log₂

Решение. Решение системы неравенств дает нам область определения уравнения

откуда х Далее потенцируем помня, что log_ax^2k=2klog_a IxI, (k: log₂log₂ I x-2I; I x-2I. Предположим х˃2, тогда =х-2; х²-2х-6=0; х= Условию х˃2 удовлетворяет корень 1+ Если х то -(х-2); 2(х+1)= - х² +4; х²+2х-2=0; х= -1 Очевидна оба корня входят в указанный промежуток.

Ответ: -1

Пример 17. Решить уравнение 2х-1-log₃ (2·3^x -9) = log₃ (3^x -6).

И вновь найдем область определения уравнения:

3^х˃6. Представим 2х-1 в виде логарифма по основанию 3: log₃ 3^2x-1- log₃ (2·3^x -9) = log₃ (3^x -6); log₃ =log₃ (3^x-6) ; 3^2x-1=2·3^2x-21·3^x+54; ·3^2x-21·3^x+54=0. Пусть 3^x = t, t˃0; 5t²- 63t + 162=0; D=3969-3240=27²,t₁=9; t₂=3,6. Возвращаясь к прежней переменной, получим 3^x=9 и3^x = 3,6. Однако, по условию 3^x˃6, значит х=2.

Ответ: 2.

1. 4. Решение уравнений вида f(log_ag(x)) =0,

где f(x) – некоторая функция.

Как правило, решение такого вида уравнений осуществляется с помощью введения новой переменной log_a g(x) =t, тогда log_a g(x) =t_{i ,} где t_i - корни уравнения f(t)=0. При этом необходимо выполнение условий . Аналогично решаются уравнения вида f(log_m(x) g(x)) =0, но в отличие от уравнения f(log_ag(x)) =0 при решении данного вида уравнений необходимо либо учитывать область определения, либо выполнять проверку, так как уравнения log_m(x) g(x) =y и m²(x) =g(x) не равносильны. Например, уравнения log_x(x²-6) =1 не равносильно уравнению х²-х-6=0, так как второе уравнение имеет корни х=3 и х=-1, а первое – только 3.

Пример 1. Решить уравнение 2– log₂x³ +1=0.

Решение. Используя свойства логарифмов получим уравнение равносильное данному 2 -3 log₂x +1=0 и введя новую переменную log₂x=t, получим уравнение 2t²-3t+1=0, корни которого t₁=1 и t₂=0,5. Поэтому, данное уравнение равносильно

Ответ: 2, .

Пример 2. Решить уравнение 2ln²x²- lnx⁶ -2 =0.

Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению 8 ln²|x| - 6 ln |x| -2=0, так как ln²x²=4 ln²|x| ; ln x⁶ =6 ln |x| или уравнению 4 ln²|x| - 3 ln |x| -1=0. Очевидно, что ln |x| =1 и ln |x| = , корни уравнения х=e^-0,25.

Ответ:

Пример 3. Решить уравнение 3lg x²- lg (-x) =5.

Решение. Область определения хlg x²=2 lg |x|=2lg (-x), и получим уравнение lg²(-x)-6lg(-x)+5=0, lg(-x)=5 и lg(-x)=1, x=-10⁵ и x=-10.

Ответ: -10⁵ ; -10.

Пример 4. Решить уравнение =3.

Решение. Область определения уравнения Тогда уравнение равносильное данному в области определения имеет вид: =3. Откуда + – 2 =0, и =-2.Корнями уравнения являются числа х=5 и х= . Заметим, что первый из них не входит в область определения и, следовательно, не является крнем исходного уравнения, а х= корень данного уравнения.

Ответ: .

Пример 5. Решить уравнение (9x) + log₃ = 8.

Решение. Воспользуемся теоремами о логарифме произведения и частного, получим (log₃9 +log₃x)²+ log₃ x² – log₃ 8=8; log₃x-7=0. Полагая log₃x=t, получаем уравнение t²+6t-7=0, корни которого t₁=1 , t₂= -7. Значит, данное уравнение равносильно совокупности уравнений log₃x=1 и log₃x=-7,

Ответ: 3; .

Пример 6. Решить уравнение log₉ (3^x-2) ·log₉ (3^x+1-6) = .

Решение. Очевидно, что log₉ (3^x+1-6)= log₉(3· (3^x-2))= + log₉ (3^x-2), поэтому, полагая log₉ (3^x-2)= t, получим уравнение t·( ; 2t² + t -1=0, откуда имеем t₁= -1 и t₂= Значит, данное уравнение равносильно двум уравнениям вида log₉ (3^x-2) =-1 и log₉ (3^x-2) = х = log₃ и х =log₃5.

Ответ: log_{3 и} log₃5.

1. 5. Решение логарифмических уравнений с помощью формул перехода от одного основания логарифма к другому.

При решении логарифмических уравнений довольно часто приходится использовать модуль перехода от одного основания к другому:

log_a b ₌ (a (1)

Если в этой формуле положить с=b, то

log_a b= . (2)

Очевидно, что log_a b и – взаимно обратные числа.

Еще одна полезная формула :

= . (3)

Рассмотрим применение этих формул при решении логарифмических уравнений на конкретных примерах.

Пример 1. Решить уравнение log₈ x + log₄ x + log₂ x = 3

Решение. Область определения уравнения х˃0. Согласно формуле (3) получаем

x=4.

Ответ: 4.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. 1). Решим уравнение и сделаем проверку. Так как нахождение области определения уравнения потребует больших усилий:

; Ведя в квадрат обе части уравнения, получим откуда

Проверка.

При х=4 получаем верное равенство

2).Положим х=2^у. Исходное уравнение примет вид

y² +2y-8=0, откуда у=2 (у˃0) и х=2²=4.

Ответ: 4.

Пример 3. Решить уравнение log₅x +

Решение. Область определения уравнения задается объединением двух промежутков: (0;1) Заметим, что поэтому исходное уравнение принимает вид log₅x+log_x5= (log₅x+log_x5)² – 2- . Далее , введя новую переменную =t, получим уравнение t² – t - = 0, откуда t_{1= ;} t₂₌ . Остается решить уравнение log₅x+log_x5₌ и log₅x+log_x5= . Превое уравнение корней не имеет. Решение второго уравнения дает log₅x+=2+ откуда log₅x=2, log₅x= 0,5. Значит, х= 25 и х= .

Ответ: 25; .

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Область определения уравнения задается системой неравенств Перейдем в логарифмах к основанию 2, воспользовавшись формулой (1): Обозначив получим уравнение которое после преобразований принимает вид t³+4t²-14t+9=0. Это уравнение имеет очевидный корень t=1 (1+4-14+9=0). Разложим левую часть полученного уравнения на множители

t³+4t²-14t+9= (t -1) (t²+5t-9) =0; t= . Значит,

.

Ответ: 2; .

1. 6. Уравнения, содержащие неизвестные

в основаниях логарифмов и показателях степеней.

Рассмотрим уравнение (f(x))^g(x) =1.

Область определения уравнения задается областями определения функций f(x) и g(x), а также неравенством f(x)>0. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию а (а>0, а) при условии f(x)>0, получим g(x) log_af(x) = 0, откуда, используя условие равенства нулю произведении двух сомножителей, получаем

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения х поскольку области определения функций есть х

Имеем совокупность откуда х=3.

Ответ: 3.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения выражается неравенствами Решаем совокупность систем

Уравнение первой системы дает корни х=1 Неравенству первой системы удовлетворяет только значение х = 1+ Значит, х = 1+ - корень данного уравнения.

Решим уравнение второй системы откуда х=-4 и х=1. Неравенству второй системы удовлетворяет только значение х=-4; 1+

Ответ: -4; 1+

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения х Используя равенство

а^mb^m (ab)^m (a, получим Далее необходимо решить совокупность систем Из нее следует, что х= .

Ответ: .

Рассмотрим уравнение .

Корни этого уравнения должны удовлетворять неравенству и, конечно же, входить в область определения функций .

Прологарифмируем обе части уравнения, например, по основанию 10: (. Откуда

Необходимо сделать проверку, принадлежат ли корни первого уравнения системы областям определений функций

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Так как (х – 2)²= то уравнение может быть переписано в виде . Согласно сделанным ранее замечаниям получаем или Корни первого уравнения 1 и 3, а вторая система имеет единственное решение х=1.

Ответ: 1; 3.

Пример 5. Решить уравнение =.

Решение. Корни уравнения должны удовлетворять системе неравенств откуда Данное уравнение равносильно совокупности из которой легко получить х=0,1 и х=100.

Ответ: 0,1; 100.

1. 7. Уравнения, содержащие логарифм в показателе степени.

Такие уравнения решаются логарифмированием обеих частей уравнения по одному и тому же основанию. Как правило, выбирается основание, содержащееся в основании логарифма. Другой способ решения таких уравнений – введение новой переменной.

Пример 6. Решить уравнение х^{lg x+1} = 10⁶.

Решение. Область определения уравнения устанавливается неравенством Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10, получим (lg x+1) lg x=6. Ввод новой переменной lg x=t преобразует наше уравнение к виду t²+ t – 6=0, корни которого числа 2 и -3. Значит lg x=2, х=100 и lg x=-3, х=10^-3.

Ответ: 100; 0,001.

Пример 7. Решить уравнение х

Решение. Логарифмируем обе части уравнения по основанию 2, полагая, что х Получаем уравнение

Решим это уравнение, обозначив =t, тогда х^t =2, x=. Исходное уравнение принимает вид

.

Ответ: 2.

1. 8. Решение уравнений вида .

Область определения уравнения складывается из областей определения функций f(x), g(x), p(x). Кроме того, корни уравнения должны удовлетворять неравенствам f(x), g(x). Считая, что последние условия выполнимы, логарифмируем обе части уравнения по основанию 10 ( можно и по любому другому основанию), получаем p(x) (lg f(x) – lg g(x) ) =0, откуда или Последнюю систему можно заменить на систему Решая находим их корни и проверяем выполнение неравенств решать которые нет необходимости.При этом над помнить, что найденные корни должны принадлежать области определения каждой из функций f(x), g(x), p(x). Нахождение области определения уравнения существенно упрощает его решение.

Пример 9. Решить уравнение

Решение. Так как логарифмы определены только для положительных чисел, то х-7 но тогда поэтому достаточно решить два уравнения:

х² – 6х – 16=0. Неравенству из двух корней х=-2 и х=8 последнего уравнения удовлетворяет только 8.

Ответ: 8.

Пример 10. Решить уравнение (2х²-х-1)^2х+2 = (х²+2х-2) ^2х+2.

Решение. Согласно сделанным выше общим рассуждениям необходимо решить две системы: Уравнение дает х=-1, при этом первоенеравенство системы выполняется, а второе –нет. Решений нет.

откуда х=3.

Ответ: 3.

2. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА.

   1. Избранные методы решения логарифмических неравенств.

Различают несколько подходов в решение логарифмических неравенств : алгебраический, функциональный или геометрический.

При алгебраическом подходе выполняются равносильные общие или частичные преобразования неравенств. При функциональном подходе используются свойства функций, входящих в данное неравенство, такие как монотонность, ограниченность и т.д. В некоторых случаях эти подходы взаимозаменяемы.

Основой геометрического подхода является интерпретация неравенств и их решений на координатной прямой, координатной плоскости или в пространстве, что позволяет перейти к равносильным неравенствам, опираясь на геометрические утверждения.

1. 1. 1. Метод равносильных преобразований.

В средней школе учащиеся, как правило, знакомятся с такими приемами решения логарифмических неравенств, которые основаны на построении цепочки равносильных преобразований:

Неравенство вида log_af(x) > b, a >0, a

если 01, то , если а.

Неравенство вида log_af(x) b, a >0, a

если 01, то если а

Пример1. Решить неравенство .

Решение.

Ответ: (1;3)

Неравенство вида log_a f(x) log_a g(x), a>0, a

если 01, то если а

Неравенство вида log_a f(x) log_a g(x), a>0, a

если 01, то если а, то

Пример 2. Решить неравенство lg (x+27) – lg (16-2x) lg x.

Решение. Перепишем неравенство в виде lg (x+27) lg (16-2x)+ lg x,

Ответ: (0;3)

Неравенство вида log_h(x) f(x) log _h(x) g(x) равносильно совокупности систем:

Неравенство вида log_h(x) f(x) log _h(x) g(x) равносильно совокупности систем

Пример 3. Решить неравенство log_2x(x²-5[+6)

Решение.

log_2x(x²-5[+6)

Ответ: (0;0,5)

1. 1. 2. Решение логарифмических неравенств методом интервалов

При решении неравенств методом интервалов, находят область определения функции, затем определяют нули функции, которые разбивают область определения на промежутки, в каждом из которых функция сохраняет постоянный знак.

Пример1. Решить неравенство log₃

Решение. Запишем неравенство в виде log₃ и введем функцию log₃

Итак, D(f): (0;1) Найдем нули функции

x²+2x-5=0; x=-1±x=-1- -посторонний корень.

Ответ: (0;1)

Пример 2. Решить неравенство lg²x-2lgx-8

Решение. f(x)= lg² x- 2lg x-8; D(f): (0; +∞). Для нахождения нулей функции решим уравнение lg² x- 2lg x-8=0, откуда lgx =-2;lgx =4 и х= ; х=10000.

Несколько контрольных значений для

функции дают f(10⁵)=25-10-8=7˃0; f(1)˂0; f(10^-1)=9+6-8=7˃0.

Ответ: .

Пример 3. Решить неравенство log_0.3(x²-x-20) - log_0.3(x+4) ˃0.

Решение. Областью определения функции f(x) является решение системы неравенств то есть х˃ 5.Решение уравнения х²-х-20- - (х+4)=0 дает нам нули функции. Области определения х˃5 удовлетворяет корень уравнения х=6.

Ответ: (5;6)

1. 2. Метод рационализации.

Многие неравенства, в том числе и логарифмические, сводятся к решению неравенств методом интервалов. Однако, при решении неравенств этим методом могут возникнуть проблемы вычислительного характера с вычислением значений функций в промежуточных точках. Хотя , для рациональных функций такие вычисления несколько проще.

Поэтому, для расширения возможности применения метода интервалов при решении неравенств используется идея рационализации неравенств упоминаемую в математической литературе как метод декомпозиции -Моденов В.П., метод замены множителей - Голубев В.И.

Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x), при которой неравенство G(x)∨0 равносильно неравенству F(x)∨0 в области определения выражения F(x). (Под знаком ∨ подразумевается один из знаков >,<,≥,≤.)

Рассмотрим, например, выражение f(x)−g(x). Заметим, что оно принимает значения таких же знаков, что и выражение f−g на своей области определения, действительно: f(x)⇔f(x)g(x)⇔f(x)>g(x) в силу возрастания функции t(x)=x. Любое неравенство приводимо к виду где u_1, u_{2, ...,} u_n,v₁,v₂,..., v_k некоторые функции. Довольно часто каждую из них можно заменить на другую знакосовпадающую функцию на области определения. Приведём основные типы выражений, для которых можно использовать метод рационализации.

В первом столбце таблицы — функция F(x), которую мы рационализируем. Во втором столбце — функция G(x) — знакосовпадающая с функцией F(x) на области её определения. При этом, используя метод рационализации, нельзя забывать про область определения функций. При решении задачи исходное неравенство преобразуется в систему: рационализированное неравенство и ОДЗ исходного неравенства.

(f(x)−1)·(g(x)−1)·(h(x)−1)·

(g(x)−f(x))

h(x)>0,f(x)>0,f(x)≠1, g(x)>0,g(x)≠1

h(x)^f(x)−h(x)^g(x)

(h(x)−1)·(f(x)−g(x))

h(x)>0

h(x)^f(x)−1

(h(x)−1)·f(x)

h(x)>0

f(x)^h(x)−g(x)^h(x)

(f(x)−g(x))·h(x)

f(x)>0,g(x)>0

|f(x)|−|g(x)|

(f(x)−g(x))·(f(x)+g(x))

любые значения f(x) и g(x)

Выпишем некоторые наиболее часто применяющиеся следствия из этой таблицы, которые выполняются в ОДЗ рассматриваемых функций:

log_h(x)f(x)·log_p(x)q(x)∨0 ⇔ (h(x)−1)·(f(x)−1)·(p(x)−1)·(q(x)−1)∨0;

log_h(x)f(x)+log_h(x)g(x)∨0 ⇔ (f(x)g(x)−1)·(h(x)−1)∨0;

0 ⇔ f(x)−g(x)∨0;

⇔.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Решим его методом рационализации.

Ответ: (-

Выводы

В данной работе были рассмотрены методы решения логарифмических уравнений, решение которых основано на определении логарифма, уравнения , решаемые логарифмированием и потенцированием, решение уравнений f(log_ag(x)) =0, где f(x) – некоторая функция, решение логарифмических уравнений с помощью формул перехода от одного основания логарифма к другому, уравнения, содержащие неизвестные в основаниях логарифмов и показателях степеней, уравнения, содержащие логарифм в показателе степени, а так же решение уравнений вида . Кроме того, были решены конкретные примеры с применением предложенных методов решения, которые помогут выпускникам выполнить задания ЕГЭ.

Даны рекомендации по решению логарифмических неравенств. Рассмотрены избранные методы решения логарифмических неравенств, применение таких методов при их решении, как метод равносильных преобразований , метода интервалов и метод рационализации. Применение этих методов так же показано на конкретных примерах. Большинство разобранных задач взято из тренировочных заданий ЕГЭ и пособия для подготовки к ЕГЭ авторов Корянова А.Г., Прокофьева А.А. «Методы решения неравенств с одной переменной», и авторов Севрюкова П.Ф, Смолякова А.Н. «Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства».

Но какие бы приемы и методы не были рассмотрены по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств», к каждому неравенству дать ученику рецепт невозможно.

Заключение.

Итак, что нужно для того, чтобы решать логарифмические уравнения и неравенства?

Во - первых, внимание. Не допускать ошибок в проводимых преобразованиях. Следить за тем, чтобы каждое действие не расширяло и не сужало область допустимых значений неравенства, и не приводило таким образом ни к потере , ни к приобретению посторонних решений.

Во – вторых, умение мыслить логически. Главная учебно-методическая идея заданий из ЕГЭ по математике состоит в том, чтобы проверить умение выпускников оперировать такими понятиями как система неравенств (пересечение множеств), совокупность неравенств (объединение множеств), осуществлять отбор решений неравенства, руководствуясь его областью допустимых значений.

В – третьих, четкое знание свойств всех элементарных функций ( степенные, рациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические), изучаемых в школьном курсе.

Главное же требование – это настойчивость в достижении своей цели.

«Математические сведения могут применяться умело и с пользой только в том случае, если они усвоены творчески, так что учащийся видит сам, как можно было бы прийти к ним самостоятельно» - говорил А.Н. Колмогоров.

Список литературы.

1. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Уч. пос. для студ. пед. ист-ов по спец. 2014 «Математика» и 2015 «Физика»/ А. Блох, Е.С. Канин и др. Сост Е.С. Черкасов, А.А. Столяр.- М.: Просвещение, 1985.-336с.

2. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Уч. пос. для студ. пед. ист-ов по физ-мат. спец-м / А Блох, В.А.Гусев, Г.В.Дорофеев, и др. Сост. В.И. Мишин.- М.: Просвещение , 1987.-416 с.: ил.

3. Вавилов В.В., Мельников И.И. и др. «Задачи по математике. Уравнения и неравенства» М.: Изд. «наука» 1987.

4. Загиров Н.Ш. , Эфендиев Э.И., Джанакаев Р.Д. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену . Математика (учебное пособие).-Мазачкала 2007.

5. Загиров Н.Ш. , Эфендиев Э.И., Джанакаев Р.Д. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену . Математика (учебное пособие).-Мазачкала, ДИПКПК, 2009.-132 с.

6. Севрюков П.Ф.Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства и методика их решения. : Учебное пособие/ П.Ф.Севрюков, А.Н. Смоляков.-М.: Илекса; Народное образование; Ставрополь: Сервисшкола, 2008.-352 с.- ( Серия "Изучение сложных тем школьного курса математики").

7. Севрюков П.Ф. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Учебно-методическое пособие/ П.Ф. Севрюков, А.Н. Смоляков.-М. Илекса, Народное образование, Ставрополь Сервисшкола, 2006.- 184 с. ( Серия "Изучение сложных тем школьного курса математики").

8. Ткачук В.В. Математика – абитуриенту.- 13-е изд., исправленное и дополненное. М.: МЦНМО, 2006.-960 с.

9. Колесникова С.И. Математика. Решение сложных задач Единго государственного экзамена.-М.: Айрис-пресс, 2005.

10. Власова А.П. Математика: "Уравнениия и неравенства" тестовые задания базового, повышенного и высокого уровня сложности.- М: АСТ Астрель. 2011.

11. Башмаков М.И. Уравнения и неравенства. Библиотечка физико-математической школы.-Изд. Второе, переработанное. М.: Наука, 1976.

12. ЕГЭ. Математика Экзаменационные тесты. Профильный уровень, практикум по выполнению типовых тестовых заданий ЕГЭ/. Лаппо Л. Д, Попов М. А. - М. Издательство " Экзамен".- 46 с (Серия "ЕГЭ. ОФЦ. Практикум")