Решение логарифмических уравнений (10 класс).

Решение логарифмических уравнений вида 

Методическая разработка.

                                                 Солодовникова Галина Николаевна, учитель математики

                                                 МБОУ Школа №16 город Саров Нижегородская область.

  Решение уравнений вида , где а-положительное число, рассматривается в учебнике «Алгебра и начала анализа ,10класс» авторов  Ю.М.Колягина, М.В.Ткачева и др. в

 §5 « Логарифмические уравнения» главы 7  на примере уравнения  .

Рассмотрим три способа решения данного уравнения.

1способ.

Приравниваем выражения, стоящие под знаком логарифма, получаем

3х+4=5х+8, откуда х=-2.

Выполняя проверку, убеждаемся, что при х=-2 левая и правая части исходного уравнения не имеют смысла.

Ответ. Корней нет.

Именно так представлено решение этого уравнения в учебнике.

Этот способ можно назвать – решение  уравнения с помощью проверки.

Нужно отметить, если корень (или корни) выражается «плохим» числом, то проверку бывает выполнить труднее, чем  найти сам корень. И при выполнении проверки можно допустить вычислительные ошибки.

2 способ.

Найдем ОДЗ уравнения, решив систему:

              ;     х   > - 1 .

3х+4=5х+8

Х= - 2 не уловлетворяет  ОДЗ.

Ответ. Корней нет.

Этот способ можно назвать – решение уравнения с помощью ОДЗ.

При его применении нужно помнить о необходимости проверки корней, вошедших в ОДЗ. Они не всегда являются корнями исходного уравнения.

3 способ.

Уравнение равносильно системе:

          система решений не имеет.

Ответ. Корней нет.

Этот способ можно назвать – решение уравнения с помощью равносильных переходов.

Очевидно, что решать неравенство   5х+8 > 0 лишнее.

 Данное  решение короче и не требует проверки. На мой взгляд, это самый «удачный» способ при решении уравнений такого вида.

Итак:    уравнение вида   равносильно системе:           или            Выбираем ту систему, неравенство которой легче решить.

Например.

1.Решите уравнение: .

Решение.

Уравнение равносильно системе:

       x=7.

Ответ.  х=7.

2.Решите уравнение: 

Решение.

Уравнение равносильно системе:

    решений нет.

 Ответ. Корней нет.

3.Решите уравнение:            Ответ. 4;8.

4.Решите уравнение:  (x+3))=.  Ответ.  -1; -5.