Решение
некоторых геометрических задач из второй части ОГЭ по математике
Павлова
И. В., учитель математики МОУ СОШ № 7 г. Каменки
В курсе геометрии основной школы (как и средней), есть
некоторые утверждения, которые изучаются как следствия из теорем, частные
случаи и т. п. При изучении им уделяется буквально 1 урок, а порой одна задача
в классной и одна задача в домашней работе. Но все эти утверждения могут помочь
при решении некоторых задач во второй части ОГЭ по математике. При организации
повторения изученного материала в конце 9 класса следует уделить внимание этим
фактам.
Рассмотрим некоторые примеры.
1.
(Математика. Типовые экзаменационные варианты. П/р И. В. Ященко )
Углы В и С треугольника АВС равны соответственно 71º и 79º.
Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника, равен 8.
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов,
причем коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной около
треугольника окружности. (Хотя этот факт приведен в
справочных материалах)
,
a=2RsinA. Угол А равен 30 º.
2.
(Математика. Подготовка к ОГЭ в 2018 году. Библиотека Статград)
Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках К и Р
соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если
АР=30, а сторона ВС в 1,2 раза меньше стороны АВ.
1
способ: Во вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180º.
Четырехугольник ВКРС вписан в окружность, следовательно, сумма углов КВС и КРС
равна 180º.
Углы
АРК и СРК смежные, значит, их сумма также равна 180º.
Получаем,
что угол КВС равен углу АРК.
Рассмотрим
треугольники АВС и АРК. Угол А – общий, угол КВС равен углу АРК (по
доказанному).
Следовательно,
эти треугольники подобны. Значит, .
2
способ: Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то
произведение одной секущей на ее внешнюю часть, равно произведению другой
секущей на ее внешнюю часть.
АС•АР=АВ•АК,
отсюда .
Угол
А – общий для треугольников АВС и АРК. Стороны, образующие
этот угол, пропорциональны, следовательно, треугольники АВС и АРК подобны.
Далее аналогично.
3.
(Тренировочный вариант № 180 alexlarin.net)
В треугольник АВС вписана окружность с центром О. Луч АО пересекает сторону
ВС в точке К. Найдите площадь треугольника АВС, если АВ=13, АС=15, ВК=6,5.
Центр
окружности, вписанной в треугольник, - точка пересечения биссектрис
треугольника. Следовательно, АК – биссектриса угла А. Биссектриса угла
треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные
прилежащим сторонам.
, , СВ=14. Площадь треугольника АВС найти по теореме Герона.
4.
(Тренировочная работа по математике от 21.03.2018 г. Статград)
В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА1 и СС1.
Докажите, что углы СС1А1 и САА1 равны.
Обычно
для доказательства равенства углов используется доказательство равенства (или
подобия) треугольников.
Четыре
точки А, В, С и D лежат на одной окружности, если:
точки А и В лежат по одну сторону от прямой CD и
угол CAD равен углу CBD.
В
нашем случае: точки А1 и С1 лежат по одну сторону от
прямой АС и угол АА1С равен углу АС1С. Значит, около
четырехугольника АС1А1С можно описать окружность.
(Треугольник
АА1С – прямоугольный, около него можно описать окружность. Центр
этой окружности – середина гипотенузы АС. R=АО.
Аналогично,
треугольник СС1А – прямоугольный, около него можно описать
окружность. Центр этой окружности – середина гипотенузы АС. R=АО.
Значит,
около четырехугольника АС1А1С можно описать окружность.)
Угол
СС1А1 – вписанный, опирается на дугу А1С, угол
САА1 также вписанный, опирается на дугу А1С. Значит, углы
СС1А1 и САА1 равны.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.