Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Решение нестандартных задач. Методическая статья по внеклассной работе.

Решение нестандартных задач. Методическая статья по внеклассной работе.

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Ямковая Людмила Ивановна

учитель математики

Донецкой ОШ № 88

2015год


РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

Текстовые задачи занимают важное место в программе математики всех классов и всех уровней. Решение данных задач формирует логическое мышление, смекалку, совершенствует вычислительные навыки, показывает практическое значение математики.

Начиная с 5 класса, учащиеся овладевают на уроках математики алгебраическим и арифметическим способами решения текстовых задач. По любой теме существует определенный алгоритм – схема решения задачи.

Успешно решить творческую задачу – это значит точно определить тип задачи, несмотря на нестандартную формулировку. Этот опыт учащиеся могут приобрести только в процессе решения многих задач.

Приведем примеры некоторых конкурсных задач.

1.(РО) Четверо друзей решили купить вместе небольшую игру. Первый внес половину суммы, вносимой остальными, второй – треть суммы, вносимой остальными, третий – треть суммы, вносимой остальными, а четвертый внес 1грн. 30коп. сколько стоит игра, и сколько денег внес каждый.

Решение

hello_html_7b27bc0d.gif1- ый: hello_html_m3fc952d9.gif суммы, вносимой остальными, составляет hello_html_565ddd28.gif часть всей суммы:

hello_html_m3fc952d9.gif от hello_html_2168e2c6.gif=hello_html_m6e099bef.gif


hello_html_m3fc952d9.gifостальные hello_html_2168e2c6.gif


2- ой: hello_html_565ddd28.gif суммы, вносимой остальными, составляет hello_html_3de723da.gif часть всей суммы:

hello_html_565ddd28.gifотhello_html_5542776a.gif=hello_html_m650af3b5.gif


hello_html_565ddd28.gifhello_html_3de723da.gif

3-ий: hello_html_3de723da.gif суммы, вносимой остальными, составляет hello_html_1870151f.gif часть всей суммы:

hello_html_3de723da.gifотhello_html_m332cbe4.gif


hello_html_3de723da.gifhello_html_m78431b39.gif


1) hello_html_681be44f.gif

2) hello_html_59fd248a.gifчетвертого друга, уплатившего 1гр. 30коп.

3) hello_html_23dfbadd.gif(коп.)=6гр. – стоимость игры.

4) hello_html_127c6bc3.gif(гр.) – заплатил первый друг.

5) hello_html_27b26d40.gif

6) hello_html_22d70ca2.gif - заплатил третий друг.

Ответ: 6гр; 2гр; 1гр.50коп; 1гр.20коп.

  • В данной задаче использовались всего лишь два правила: нахождение дроби от числа, нахождение целого числа по его дроби.

  • Самым сложным моментом в решении задачи – является представление ее в стандартном виде, которое заключалось в нахождении дроби от дроби. Наглядная иллюстрация этого условия помогает учащимся сознательно осмыслить данную формулировку задачи.

Рассмотрим аналогичную задачу:

2. Четыре отряда решили посадить около школы сад. Ученики первого отряда посадили половину всех деревьев, ученики второго отряда hello_html_565ddd28.gif того, что посадили другие отряды вместе. Ученики третьего отряда посадили hello_html_3de723da.gif того, что посадили остальные. Ученики четвертого отряда посадили 5деревьев. Сколько деревьев посажено всего?

Решение

Представим данные доли в отрезках:

1-ый: hello_html_m3fc952d9.gif всех долей:


hello_html_m3fc952d9.gifhello_html_m3fc952d9.gif

2-ой: hello_html_565ddd28.gif от всех остальных – это hello_html_3de723da.gif часть:


hello_html_565ddd28.gifот hello_html_7ef2ab31.gif

3-ий: hello_html_3de723da.gif от всех остальных – это hello_html_1870151f.gif часть:


hello_html_3de723da.gifот hello_html_6701ffe4.gif

1) hello_html_73b0ea2.gif(часть) - 1, 2, 3 отряды

2) hello_html_m5c6686e8.gif(часть) - 4 отряд

3) hello_html_m2df2ac16.gif(деревьев)

Ответ: 100 деревьев посажено всего.

  • Существует и алгебраический способ решения данных задач. Однако он сложный. Некоторые учащиеся могут успешно справится с решением уравнения.

Приведем пример нестандартной задачи для 8 класса:

3. (ОО) На дне озера бьют с постоянной мощностью источники. Стадо из 12 слонов выпивает озеро за 4 минуты, а стадо из 9 слонов – за 6минут. Определенного дня к озеру подошло 6 слонов. За сколько минут они выпьют всю воду из этого озера? (объем воды в озере в начале водопоя один и тот же)

Решение:

Пусть х – начальный объем воды в озере, у – объем воды наполняемый источниками за 1 час.

Объем воды в озере:

12 слонов – за 4 мин. х+4у

9 слонов – за 6 мин. х+6у

6 слонов – за z мин. х+zу

Один слон за 1 мин. согласно условию задачи может выпить:

hello_html_6f8b5b6d.gif

Приравнивая эти значения, найдем z (время за которое 6 слонов выпивают озеро)

hello_html_7f59bc8e.gif/*6 hello_html_692d6b35.gif

hello_html_m1735a540.gifhello_html_531cf825.gif

9(x+4y)=8(x+6y) hello_html_m76f2d60b.gif/*hello_html_m251de47c.gif

9x-8x=48y-36y hello_html_m7addd3a6.gif

x=12y 12+z=2zhello_html_7b27bc0d.gif=> z=12(мин.)

  • Эту задачу целесообразно решить на уроке в 8 классе, когда решаются текстовые задачи на производительность труда.

  • Ученики знают, что производительность труда – это часть работы, выполняемой за единицу времени. Обычно, в простых стандартных задачах работа постоянна и принимается за 1.

  • Нестандартность этой задачи заключается в том, что объем воды в озере – переменная величина и выпивание воды слонами следует считать работой.

4. (РО) Заготовленную в карьере руду первый самосвал может вывести на 3 часа быстрее, чем второй. Если треть руды вывезет первый самосвал, а потом оставшуюся часть вывезет второй, то будет затрачено на hello_html_6623fd45.gif часа больше, чем при одновременной работе обоих самосвалов. За сколько часов может вывести руду каждый.?

Решение:

Примем за 1 всю работу – заготовленную в карьере руду.

Пусть первый самосвал перевезет ее - за х (ч.)

Тогда второй самосвал – за х+3 (ч.)

Производительность первого самосвала hello_html_6d0c4aca.gif=hello_html_m25f18a9.gif;

Производительность второго самосвала hello_html_m37d57388.gif=hello_html_m3404444e.gif;

Если самосвалы будут работать вместе, то hello_html_m3f5b2544.gif, где у – время одновременной работы самосвалов.

Выразим у: hello_html_63a0134d.gif => hello_html_m6293a157.gif => hello_html_65e7e921.gif.

С другой стороны, из формул производительности можно выразить время:

hello_html_6d0c4aca.gif=hello_html_50f8ebf3.gif => hello_html_3d5932d1.gif => hello_html_m36ee4057.gif (ч.)

hello_html_7bb34ea.gifhello_html_m46be8096.gif=> hello_html_770825af.gif => hello_html_4423ad0d.gif

С учетом, соответственно, условию работы по частям hello_html_m77773b3.gif задачи составляем уравнение задачи, приравнивая время:

hello_html_11822bf3.gif


hello_html_m161fb397.gif

hello_html_m2223efe5.gif

hello_html_m6bbc21a0.gifhello_html_2c3f0189.gif

3(hello_html_3fe1507d.gif+3х)=(3х-16)(2х+3)

3hello_html_3fe1507d.gif+9х=6hello_html_3fe1507d.gif+9х-32х-48

-3hello_html_3fe1507d.gif+32х+48=0

Д=1024-4*3(-48)=1600

hello_html_43be865d.gif(ч.)

hello_html_m795e24d3.gif<0 не удовлетворяет условию задачи

х+3=12+3=15(ч.)

Ответ: 12ч. и 15ч.

  • Данная задача содержит две неизвестные величины х и у. Поэтому решение ее сводится к системе уравнений и ее решению.

5. (ЗК) От двух кусков сплава одинаковой массы m, но с различным процентным содержанием (hello_html_m78f18f68.gif% и q%) меди отрезали по куску равной массы х. Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого куска, после чего процентное содержание меди в обоих кусках стало одинаковым. Чему равно соотношение hello_html_m65e09c6a.gif?

Решение:

1 кусок 2 кусок

hello_html_m170cab0e.gif% X

m

hello_html_4a0988fc.gif% X

m

0,01p*m содержится меди в 1-ом 0,01q*m содержится меди во 2-ом куске куске

Отрезали:

0,01p*x 0,01qx

Сплавили с остатком:

0,01p(m-x) 0,01q(m-x)

Процентное содержание меди стало одинаковым:

0,01px+0,001q(m-x)=0,01qx+0,01p(m-x)

0,01px+0,01qm-0,01qx=0,01qx+0,01pm-0,01px

0,02px=0,02qx-0,01qm+0,01pm

0,02px-0,02qx=-0,01m(p-q)

0,02x(p-q)=0,01(p-q)

hello_html_m284ceb96.gif

hello_html_m50cd432e.gif

Ответ: hello_html_m25912869.gif

  • Эту задачу можно предложить учащимся 6 класса в четвертой четверти при обобщении и систематизации изученного материала. Предварительно следует ввести понятие «концентрация», «процентное содержание», «проба», «влажность» и т. д., основанных на следующих допущениях:

  • Все рассматриваемые смеси (сплавы, растворы) однородны.

  • Если смесь (сплав, раствор) массы m состоит из веществ А, В, С (которые имеют соответственно массы hello_html_285214f.gif, то величина hello_html_34502b62.gif называется концентрацией вещества А, В, С в смеси. Величина hello_html_m668fa12a.gif*100%, hello_html_41aac41d.gif*100%, hello_html_35689402.gif*100% называется процентным содержанием вещества в смеси. Тогда hello_html_m668fa12a.gif+hello_html_41aac41d.gif+hello_html_35689402.gif=1.

6. (ЗК) Когда одинаковые шары сложили в виде равностороннего треугольника, то 47 шаров оказались лишними. Но, чтобы каждую сторону треугольника увеличить на 1 шар, не хватает 16 шаров?

Решение:



Пусть сумма всех шаров определяется формулой hello_html_3ddd36.gif, где n шаров было первоначально hello_html_m64aca153.gif.

По условию а) hello_html_m5675b279.gif

б) hello_html_6a544b84.gif

hello_html_44e0d9e7.gif

Составляем уравнение:

hello_html_5a247031.gif/*2

n+hello_html_m3ac8cb40.gif+94=hello_html_m3ac8cb40.gif+2n+n+2-32

-2n=-124

n=62

S=hello_html_m55269f91.gif шаров

Ответ: 1953 шара.

  • Эту задачу можно решать с учащимися 9 класса при изучении темы «Арифметическая прогрессия» с применением формулы суммы n – членов арифметической прогрессии.

7. (ЗК) Профессор тестер провел серию тестов с Вовой и подсчитал среднее количество баллов, набранных Вовой в одном тесте. Если бы Вова в последнем тесте набрал 97 баллов, то средний балл составил бы 90, но Вова набрал всего 73 балла за последний тест и 87 баллов в среднем. Сколько тестов было в серии ?

Решение:

Последний тест

Средний балл

97

90

73

87

Пусть до последнего теста было проведено n тестов с результатами hello_html_35fae1a9.gif

hello_html_7b27bc0d.gifhello_html_m18b6e333.gif=hello_html_daa7d1b.gif – среднее

n*hello_html_daa7d1b.gif=x – сумма набранных баллов.

hello_html_1c5f0666.gifи hello_html_fc81417.gif

hello_html_m13987048.gif

hello_html_m40ccb1bd.gif/*3

30(x+73)=29(x+97)

39x-29x=29*97-30*73

x=623

hello_html_5bba3c9d.gif

n=8-1

n=7

Ответ: 7тестов.

8. (ЛО) Из учащихся выполнивших работу, 30% получили «5», 40% - «4», 8 учащихся получили «3», остальные «2». Средний балл составил 3,9. Сколько и каких оценок получено на контрольной работе?

Решение:

Пусть х – число учащихся, получивших «2», (х+8) – это 30% - «2» и «3»

100%-(30%+40%)=30%

(х+8)*0,3=hello_html_m6f1339c5.gif - число всех учащихся.

Тогда на «5» (х+8), а на «4» 0,4*hello_html_m7a044f7c.gif. Составим уравнение, выразив средний балл по среднему арифметическому:

hello_html_38fc47dc.gif

5х+40+hello_html_m53f3173.gif+hello_html_m5e8eb971.gif

или

5(х+8)+hello_html_16e0efd6.gif

(х+8)(hello_html_45a79527.gif)+2х=-24

hello_html_m3c6b3df6.gif

hello_html_m39ba5ba9.gif

hello_html_392d5db8.gif

hello_html_43f5fa76.gif

х=hello_html_m7fe139df.gif

х=4 (ученика) – на «2».

1) hello_html_m143342e3.gif(учеников) – всего

2) 0,3*40=12 (учеников) – на «5»

3)0,4*40=16 (учеников) – на «4»

Ответ: 4 на «2», 12 на «5», 16 на «4».

Эту задачу можно предложить учащимся 7-9 классов, предварительно повторив определение среднего арифметического нескольких чисел, на основании которого выразить средний балл учащихся как отношение суммы всех баллов, заработанных учениками, к количеству учащихся.

Решение подобных задач формирует в учащихся умения и навыки применять полученные знания в практических задачах, переводить условие задачи на стандартную математическую модель.





9


Общая информация

Номер материала: ДВ-342283

Похожие материалы