Решение нестандартных задач с использованием свойств функции

Решение нестандартных задач с использованием

общих свойств функций

Бирагова Л.Л.МБОУ лицей г.Владикавказ

Решение некоторых нестандартных задач может быть основано на свойствах монотонности, периодичности, четности или нечетности, входящих в них функций. Частично такой подход бы уже рассмотрен при разборе уравнений и неравенств, содержащих показательную и логарифмическую функцию.  Приведем несколько примеров.

Пример 1.

Решить уравнение.

.

Решение.

Похожесть формы записи каждого из двух слагаемых в левой чисти уравнения,  наталкивает на мысль рассмотреть функцию:

.

Данное уравнение запишется в виде:

,

поскольку нечетная функция.

Если , то уравнение выполняется.

Покажем, что других решений нет. Функция монотонно возрастает на всей числовой оси R.

Действительно, если , то    и

Если же , то  , и уже по доказанному:                

.

В оставшемся случае  имеем, . Монотонность доказана. Тогда равенство  верно, только если . Поэтому других решений уравнение не имеет.

Ответ: .

Бывает удобно использовать следующие утверждения:

Утверждение 1. Пусть функция  монотонно возрастает на промежутке Е, причем все ее значения на этом промежутке принадлежат Е, тогда уравнение                                                                                               (1) Равносильно на промежутке Е уравнению                                                                                                    (2) Утверждение 2. Пусть функция   монотонно возрастает на промежутке Е, причем все ее значения на этом промежутке принадлежат Е, тогда неравенство

Пример 2.

Для каждого неотрицательного значения, а решить неравенство

Решение.

Перепишем неравенства в виде:

Положим , тогда неравенство примет вид .

Если , то .

Если , то  при всех , поэтому все числа  удовлетворяют неравенству.

Остается рассмотреть луч , где функция  монотонно  возрастает и отображает этот луч в себя. Согласно утверждению 2 имеем:

                                               (*)

1)    если , то все решения системы  (*) будет ;

2)    если , то все решения системы (*) является множество ;    .

Ответ: при , 

            при  ,  

            при  ,  .

Пример 3.

Найдите все пары чисел pи q , при которых неравенство

не имеет решений на отрезке .

Решение.

Сформулируем задачу в другом виде:

Найти все пары чисел pи q, при которых на отрезке  справедливо неравенство  . Иначе говоря, необходимо так разместить параболу  на координатной плоскости, чтобы ее ветви пересекали только боковые стороны квадрата , то есть отрезки    и      Рис.1

.

.

.

.

.

Такой геометрический подход позволяет встать на другую точку зрения. Вспомним, что график функции  получается из графика функции

 параллельным переносом  (ведь ). Значит, вместо параболы   можно переносить квадрат К.

Теперь становится ясным, что единственное возможное положение квадрата относительно параболы , удовлетворяющие условию задачи, изображено на рис. 2.

.

.

.

.

.

Итак .

Ответ: .

Разобранный метод удобно применять, когда

1)       алгебраическое выражение в условиях задачи разбивается на группы одинаковых по виду членов, которые можно выпазить с помощью одной и той же функции , обладающей простыми свойствами.

2)       Уравнение или неравенство удается представить в виде композиции одной функции: , и т.п., причем монотонно возрастает. Иногда для такого представления необходимо проделать тождественные преобразования.

3)       Если в уравнении или неравенстве участвуют функции с хорошими известными свойствами)монотонность, периодичность, ограниченность и т.п.).

Дома

1. Для каждого неотрицательного значения параметра а решить неравенство:   

.

Ответ: при ;

            при    ,  Ж

            при ,  .

2. Найти все пары чисел а и b, при которых неравенство  не имеет

    решений на отрезке .

   Ответ: