Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Решение нестандартных задач с использованием свойств функции

Решение нестандартных задач с использованием свойств функции

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


Решение нестандартных задач с использованием

общих свойств функций

Бирагова Л.Л.МБОУ лицей г.Владикавказ

Решение некоторых нестандартных задач может быть основано на свойствах монотонности, периодичности, четности или нечетности, входящих в них функций. Частично такой подход бы уже рассмотрен при разборе уравнений и неравенств, содержащих показательную и логарифмическую функцию. Приведем несколько примеров.

Пример 1.

Решить уравнение.

hello_html_m38875211.gif.

Решение.

Похожесть формы записи каждого из двух слагаемых в левой чисти уравнения, наталкивает на мысль рассмотреть функцию:

hello_html_329868be.gif.

Данное уравнение запишется в виде:

hello_html_m66e3740f.gif,

поскольку hello_html_66b91b7c.gifнечетная функция.

Если hello_html_m15aa0d2e.gif, то уравнение выполняется.

Покажем, что других решений нет. Функция hello_html_66b91b7c.gifмонотонно возрастает на всей числовой оси R.

Действительно, если hello_html_m372b0e2c.gif, то hello_html_2103bb1d.gif и

hello_html_m31d73319.gif

Если же hello_html_m7bd648f5.gif, то hello_html_m1d0905d4.gif, и уже по доказанному:

hello_html_m35f67cc0.gif.

В оставшемся случае hello_html_2ddccd13.gif имеем, hello_html_1f9beee.gif. Монотонность доказана. Тогда равенство hello_html_mf681d8f.gif верно, только если hello_html_45ff758a.gif. Поэтому других решений уравнение не имеет.

Ответ: hello_html_m5af141de.gif.

Бывает удобно использовать следующие утверждения:


Утверждение 1.

Пусть функция hello_html_m7ab13190.gif монотонно возрастает на промежутке Е, причем все ее значения на этом промежутке принадлежат Е, тогда уравнение

hello_html_5e27d625.gif(1)

Равносильно на промежутке Е уравнению

hello_html_m34435669.gif(2)


Утверждение 2.

Пусть функция hello_html_m7ab13190.gif монотонно возрастает на промежутке Е, причем все ее значения на этом промежутке принадлежат Е, тогда неравенство

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m12ebdce1.gif



Пример 2.

Для каждого неотрицательного значения, а решить неравенство

hello_html_42b0b7c2.gif

Решение.

Перепишем неравенства в виде:

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m3d3a7c5b.gif

Положим hello_html_3397b5e5.gif, тогда неравенство примет вид hello_html_m4e49e15f.gif.

Если hello_html_516b0bce.gif, то hello_html_m7bbd45f2.gif.

Если hello_html_m19ee7f0a.gif, то hello_html_69638e0.gif при всех hello_html_2d1505d3.gif, поэтому все числа hello_html_m2b415fa.gif удовлетворяют неравенству.

Остается рассмотреть луч hello_html_1181c650.gif, где функция hello_html_m7ab13190.gif монотонно возрастает и отображает этот луч в себя. Согласно утверждению 2 имеем:

hello_html_m49ce1873.gif()

  1. если hello_html_6194db41.gif, то все решения системы () будет hello_html_1181c650.gif;

  2. если hello_html_m70e4dbe7.gif, то все решения системы () является множество hello_html_44753be8.gif; hello_html_685381a5.gif.

Ответ: при hello_html_516b0bce.gif, hello_html_m7abc2af5.gif

при hello_html_652da940.gif, hello_html_e1489d9.gif

при hello_html_2aa9e01f.gif, hello_html_mbcceb29.gif.


Пример 3.

Найдите все пары чисел pи q , при которых неравенство

hello_html_77feb6e5.gif

не имеет решений на отрезке hello_html_6c47acf1.gif.

Решение.

Сформулируем задачу в другом виде:

Найти все пары чисел pи q, при которых на отрезке hello_html_6c47acf1.gif справедливо неравенство hello_html_m35915a19.gif. Иначе говоря, необходимо так разместить параболу hello_html_5f0b8271.gif на координатной плоскости, чтобы ее ветви пересекали только боковые стороны квадрата hello_html_mfe937f8.gif, то есть отрезки hello_html_58dcb6a0.gif и hello_html_m42a4758b.gif Рис.1

.

.

.

.

.

Такой геометрический подход позволяет встать на другую точку зрения. Вспомним, что график функции hello_html_5f0b8271.gif получается из графика функции

hello_html_4ef3c7bc.gifпараллельным переносом (ведь hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m691f2526.gif). Значит, вместо параболы hello_html_4ef3c7bc.gif можно переносить квадрат К.

Теперь становится ясным, что единственное возможное положение квадрата относительно параболы hello_html_4ef3c7bc.gif, удовлетворяющие условию задачи, изображено на рис. 2.

.

.

.

.

.

Итак hello_html_ea59cb0.gif.

Ответ: hello_html_m67ad1bd7.gif.


Разобранный метод удобно применять, когда

  1. алгебраическое выражение в условиях задачи разбивается на группы одинаковых по виду членов, которые можно выпазить с помощью одной и той же функции hello_html_3dab57f.gif, обладающей простыми свойствами.

  2. Уравнение или неравенство удается представить в виде композиции одной функции: hello_html_7b0cd4a.gif, и т.п., причем hello_html_66b91b7c.gifмонотонно возрастает. Иногда для такого представления необходимо проделать тождественные преобразования.

  3. Если в уравнении или неравенстве участвуют функции с хорошими известными свойствами)монотонность, периодичность, ограниченность и т.п.).

Дома

1. Для каждого неотрицательного значения параметра а решить неравенство:

hello_html_m3fd7be4f.gif.

Ответ: при hello_html_m8019196.gif;

при hello_html_m1e7bb57f.gifhello_html_4fe16d9e.gif, hello_html_m113e5fab.gifЖ

при hello_html_3646680.gif, hello_html_4294d2ef.gif.

2. Найти все пары чисел а и b, при которых неравенство hello_html_m7606bb80.gif не имеет

решений на отрезке hello_html_m482ab2ba.gif.

Ответ: hello_html_67be3169.gif

hello_html_m53d4ecad.gif


Автор
Дата добавления 15.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров176
Номер материала ДВ-261221
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх