Решение однородных тригонометрических уравнений 10 класс

   Тема «Решение однородных  тригонометрических уравнений».

Тип урока: Урок изучения нового.

Учебник: А.Г. Мордкович и др. Алгебра и начала анализа 10 – 11.

Цели урока:

1. Сформировать умение решать однородные тригонометрические уравнения, отработать навыки решения всех видов тригонометрических уравнений,
2. Развивать и совершенствовать умения, применение знаний в измененной ситуации, развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщения.
3. Воспитывать аккуратность при записях, самостоятельность выбора способа решения.

        Оборудование урока: презентация, магнитная доска, карточки; чистые листы для   самостоятельной работы; таблицы по тригонометрии:

             а) значения тригонометрических функций;

             б) решение простых тригонометрических уравнений (частные случаи);

             в) основные формулы тригонометрии;

I.                   Организационный этап.

=  сообщение целей урока

=  организация внимания учеников

=  готовность рабочего места учеников.

II.                Проверка домашнего задания.

а) записать на доске решения простейших тригонометрических уравнений вида:

  sin x = a , cos x = a , tg x= a , ctg x = a.

б) решить уравнения:

                        

      Эти уравнения решают вызванные к доске учащиеся.

      в)  Устный опрос: 

           найти ошибки в решениях тригонометрических уравнений:

•    вычислите  arcsin (-0,5),  arccos (-0,5)  , arctg (-) , arcsin .

III.             Этап подготовки к активному и сознательному усвоению нового материала.

       Назвать уравнения, которые учащиеся знают, каким способом можно решить

1. cos ( 4x – 2 ) = 0,5
2. cos ² x- 2 cos x = 0
3. 3 sin ² x – 5 sin x – 2 = 0
4. 2 sin x – 3 cos x = 0
5. ( tg x - ( 2 sin  
6. 3 sin ² x - 4 sin x • cos x + cos ² x = 0.

IV.              Этап усвоения новых знаний.

 Преподаватель дает учащимся определения однородных тригонометрических уравнений, знакомит со способами их решения.

Определение. Уравнение вида a sinx + b cosx =0, где a ≠ 0, b ≠ 0  называется однородным тригонометрическим уравнением первой степени.

Примером такого уравнения является уравнение №4. Выпишем общий вид уравнения и проанализируем его.

а sinx + b cosx = 0.

Если cosx = 0, то sinx = 0.

– Может ли получиться такая ситуация?

– Нет. Получили противоречие основному тригонометрическому тождеству.

Значит, cosx ≠ 0. Выполним почленное деление на cosx:

а · tgx + b = 0

– простейшее тригонометрическое уравнение.

Вывод: Однородные тригонометрические уравнения первой степени решаются делением обеих частей уравнения на cosx (sinx).

Например: 2 sinx – 3 cosx = 0,

Т.к. cosx ≠ 0, то    

                                  2tgx – 3 = 0;

                                     tgx = ;

                               х = arctg  +πn, n ∈Z.   

Определение. Уравнение вида a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0 , где a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 называется тригонометрическим уравнением второй степени.

Примером такого уравнения является уравнение №6. Выпишем общий вид уравнения и проанализируем его.

a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0.

Если cosx = 0, то sinx = 0.

Опять получили противоречие основному тригонометрическому тождеству.

Значит, cosx ≠ 0. Выполним почленное деление на cos²x:

                       а tg²x + b tgx + c = 0 – уравнение, сводящееся к квадратному.

Вывод: Однородные тригонометрические уравнения второй степени решаются делением обеих частей уравнения на cos²x (sin²x).

Например: 3 sin²x – 4 sinx cosx + cos²x = 0.

Т.к. cos²x ≠ 0, то    

                                      3tg²x – 4 tgx + 1 = 0 (Предложить ученику выйти к доске и дорешать уравнение самостоятельно).

Замена:  tgx = у.   3у²– 4 у + 1 = 0

                               D = 16 – 12 = 4,  = 1 или

tgx = 1 или  tgx =

tgx = 1:   х = arctg1 + πn, n ∈Z.

                x = + πn, n ∈Z.

tgx = : x = arctg () + πn, n ∈Z.

V.                 Этап проверки понимания учащимися нового материала

Выберите лишнее уравнение:

                                                 sinx = 2cosx; 2sinx + cosx = 2;

                                               √3sinx + cosx = 0; sin²x – 2 sinx cosx + 4cos²x = 0;

                                               4cosx + 5sinx = 0; √3sinx – cosx = 0.

VI.              Закрепление нового материала.

Учащиеся вместе с отвечающими у доски решают уравнения на новый материал.

1) √3sinx + cosx = 0,

Т.к.  cosx ≠ 0, то √3tgx + 1 = 0; tgx = – ;   х = arctg (-) + πn, n ∈Z.

                                                                         х = –+ πn, n ∈Z.

2) sin²x – 10 sinx cosx + 21cos²x = 0.

Т.к. cos²x ≠ 0, то tg²x – 10 tgx + 21 = 0

Замена: tgx = у.  у² – 10 у + 21 = 0

                             у₁ = 7 или у₂ = 3

                           tgx = 7 или tgx = 3

tgx = 7:   х = arctg7 + πn, n ∈Z

tgx = 3:   х = arctg3 + πn, n ∈Z  

3) sin²2x – 6 sin2x cos2x + 5cos²2x = 0.

Т.к. cos²2x ≠ 0, то 3tg²2x – 6tg2x +5 = 0

Замена: tg2x = у.  3у² – 6у + 5 = 0

                               D = 36 – 20 = 16.   у₁= 5 или у₂ = 1

                                  tg2x = 5 или  tg2x = 1

tg2x = 5: 2х = arctg5 + πn, n ∈Z         

                х = arctg5 +  n, n ∈Z    

tg2x = 1: 2х = arctg1 + πn, n ∈Z

                 х = + n, n ∈Z

4) 6sin²x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1.

6sin²x + 4 sinx cosx = 1.

5sin²x + 4 sinx cosx – cos²x = 0.

Т.к. cos²x ≠0, то 5tg²x + 4 tgx –1 = 0

Замена: tg x = у.  5у² + 4у – 1 = 0

                              D = 16 + 20 = 36.  у₁ = или у₂ = –1

                              tg x =  или tg x = –1

tg x = : х = arctg+ πn, n ∈Z         

tg x = –1: х = arctg(–1) + πn, n ∈Z ,  х = – + πn, n ∈Z

Дополнительно (на карточке):

Решить уравнение и, выбрав один вариант из четырех предложенных, отгадать имя математика, который вывел формулы приведения:

2sin²x – 3 sinx cosx – 5cos²x = 0.

Варианты ответов:          

х = arctg2 + 2πn, n ∈Z   х = –π/2 + πn, n ∈Z – П.Чебышев

х = arctg 12,5 + 2πn, n ∈Z   х = –3π/4 + πn, n ∈Z – Евклид

х = arctg 5 + πn, n ∈Z   х = –π/3 + πn, n ∈Z  – Софья Ковалевская

х = arctg2,5 + πn, n ∈Z   х = –π/4 + πn, n ∈Z  – Леонард Эйлер

Правильный ответ: Леонард Эйлер.

VII.           Дифференцированная самостоятельная работа

Великий математик и философ более 2500 лет назад подсказал способ развития мыслительных способностей. «Мышление начинается с удивления» – сказал он. В правильности этих слов мы сегодня неоднократно убеждались.  Выполнив самостоятельную работу по 2-м вариантам, вы сможете показать, как усвоили материал и узнать имя этого математика. Для самостоятельной работы используйте раздаточный материал, который находится у вас на столах. Вы можете сами выбрать одно из трех предложенных уравнений. Но помните, что решив уравнение, соответствующее желтому цвету, вы сможете получить только «3», решив уравнение, соответствующее зеленому цвету – «4», красному цвету – «5». (Приложение )

Какой бы уровень сложности не выбрали учащиеся, после правильного решения уравнения у первого варианта получается слово «АРИСТ», у второго – «ОТЕЛЬ». Листочки с самостоятельной работой сдаются на проверку.

VIII.        Запись домашнего задания

Д/з: № 376(в, г), №378(в, г), №379(в, г).

Подведение итогов урока, выставление оценок

Учитель еще раз обращает внимание, на те типы уравнений и те теоретические факты, которые вспоминали на уроке, говорит о необходимости выучить их.

Учащиеся отвечают на вопросы:

1. С каким видом тригонометрических уравнений мы познакомились?
2.  Как решаются эти уравнения?

Учитель отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных учащихся, выставляет отметки.

Анализ усвоения материала и интереса учащихся к теме.

К сожалению, нельзя указать общего метода решения тригонометрических уравнений, почти каждое из них (кроме простейших) требует особого подхода.

            «Мышление начинается с удивления», – заметил 2 500 лет назад Аристотель. Наш соотечественник Сухомлинский считал, что «чувство удивления – могучий источник желания знать; от удивления к знаниям – один шаг». А математика замечательный предмет для удивления.

            Учащиеся освоили решение однородных уравнений, в процессе решения проявили интерес к данной теме. Полученные знания будут использованы при решении более сложных уравнений.

Приложение

Карточки на столы:

Вариант 1

(3 балла)	sin3x - cos3x = 0	х= + n, nZ                  (АРИСТ) х= + 3πn, nZ                   (ЕВК) х= + n, nZ                      (ДЕК) х= + 2πn, nZ                      (ЭЙ)
(4 балла)	sin² x - 5 sinx cosx + 4cos²x = 0	х= arctg4+ πn, nZ      х= +πn, nZ                   (АРИСТ) х= 4 arctg4+ 4πn, nZ                      х= π + 4π n, nZ                       (ДЕК) х=arctg4+ n, nZ          х= + n, nZ                         (ЕВК) х=arctg2+  n, nZ     х= + n, nZ                       (ЭЙ)
(5 баллов)	3sin²x – sinx cosx  = 2	х= arctg2+ 4πn, nZ                        х= -+ 2πn, n Z                    (ЕВК) х= 5 arctg2+ 5πn, nZ         х= - + , nZ                      (ЭЙ) х= arctg2+ πn, nZ  х= - + πn, nZ                   (АРИСТ) х=arctg4+ n, nZ     х= - + 5πn, nZ                   (ДЕК)

Вариант 2

(3 балла)	5 sin2x +6 cos2x = 0	х= -arctg  +n, nZZ                    (ОТЕЛЬ) х= -2arctg +2πn, nZ                  (ЛИД) х= arctg +π n, nZ                       (АРТ) х= -arctg +π/2 n, nZ                  (ЛЕР)
(4 балла)	sin²x - 4 sinx cosx - 5cos²x = 0	х= arctg5+ πn, nZ                             х=- +πn, nZ                                (ОТЕЛЬ) х=arctg5+  n, nZ          х=- π/32 +n, nZ                             (АРТ) х=8 arctg5+ 8π n, nZ                   х=-  +8πn, nZ                                  (ЛИД) х=-arctg4+ n, nZ                  х=- +n, nZ                                     (ЛЕР)
(5 баллов)	4sin²x +2sinx cosx  = 3	х=2аrctg3+πn, nZ   х=π+4 πn, nZ                                      (ЛИД) х=-2аrctg3+πn, nZ   х=+ πn, nZ                                         (ЛЕР) х=-аrctg3+πn, nZ   х=+πn, nZ                                      (ОТЕЛЬ) х=-4аrctg6+2πn, nZ   х=+2 πn, nZ                                     (АРТ)