Задача № 1.

         Сколько цифр содержит число     ?

Ответ: 13.

Задача №2.

Вычислить, не используя, калькулятор:

 1, 2345⁴ + 0, 7655⁴ -  1, 2345³ 0, 7655² – 1, 2345²0, 7655³ +  4, 9383, 062.

Решение:

Пусть 0,2345 = а, тогда 1,2345 = 1+ а; 0,7655 = 1 – а.

(1+а)⁴ + (1 – а)⁴ – (1+а)³(1 – а)² – (1+а)²(1 – а)³ = (1+а)⁴ + (1 – а)⁴ –

- (1+а)²(1 – а)² ((1 + а) + (1 – а)) = (1+а)⁴ + (1 – а)⁴ – 2(1 +а)²(1 + а)² = ((1+а)² –

- (1 – а)²)² = (1 + а² + 2а – 1 – а² – 2а)² = (4а)².

Пусть 0,938 = в, тогда 4,938 = 4 + в; 3,062 = 4 – в и

4,938 * 3,062 = (4 + в)(4 – в) = 16 – в². Заметим так же, что 4*0,2345 = 0,938 получаем, что 4а = в. Из этого имеем: (4а)² + 16 – в² = в² + 16 – в² = 16.

Ответ: 16.

Задача №3.

Выразите через  значение выражения , если  известно, что .

Решение: Преобразуем выражение

. Т.к. .

 Ответ: 3xyz.

Задача № 4.

Решите уравнение:     .

  Решение: Умножьте обе части уравнения на 2,   , ,  после группировки получим , откуда  .

Ответ: .

Задача № 5.

 При  каких целых значениях a, число    является целым?

Решение:

Выполним следующие преобразования:

 =  =  +  = +  = а – 3 +

Для того, чтобы результат  был целым числом, необходимо, чтобы:  а  было целым,

 ( -3 – уже целое)  и  (а + 3)  равнялось или 1, или -1, или 5, или -5, так как только в этом случае дробь     будет  являться целым числом.

Получаем:

а + 3 = 1, значит  а = -2,

а + 3 = -1, значит  а = -4,

а + 3 = 5, значит  а = 2,

а + 3 = -5, значит  а = -8.

 Ответ: -8; -4; -2; 2.

Задача № 6.

 Пусть    xyz = 1,  a = x +  ,  b = y +  ,   c = z + .   Вычислите 

 Решение:

.

Следует заметить , что .

Аналогично,  и .

Тогда ,       ,

.

Следовательно, .

 Ответ: 4

Задача № 7.

  Заданы четыре числа a,  b,  c    и   1-a-b-c. Пусть  число  N- наименьшее из этих чисел.  Найдите наибольшее значение N.

 Решение:

Обозначим:  m = 1 – a – b – c , тогда из условия задачи следует, что 

a + b + c + m = 1.

Предположим, что  N >  , тогда каждое из данных чисел больше, чем  ,

Следовательно,  a + b + c + m  > 1 – противоречие. Значение  N =   

достигается, если  a = b = c =

 Ответ:   .

Задача № 8.

Найдите все пары целых чисел a и b, удовлетворяющих уравнению

.

 Решение:

Преобразуем уравнение , ,

 , ,  Число 11 разлагается на целые множители следующими способами:

Рассматривая всевозможные варианты, получим 4 пары целых чисел, удовлетворяющих уравнению.

Рассмотрим один вариант

, следовательно, .

Аналогично находим еще три пары решений.

 Ответ:

Задача № 9.

 Решите в натуральных числах уравнение      ab+1=(a+1)².

  Решение:

Очевидно, что при а=1 и b=1 уравнение решений не имеет. Преобразуем уравнение , , . Т.к. так как a и b – натуральные, то a≠0, получаем a+2-b=0,

a=b-2 и так как a и b– натуральные, то b≥3. Ответ: любая пара вида (t, t-2), где tN, t≥3.

Ответ: Любая пара вида (t, t-2), где tN, t≥3. 

Задача № 10.

Докажите, что   .

 Решение:

Заметим, что    Тогда получим   

=

 

 

Задача № 11.

Даны пять точек (- 2; 8), (1; ), (  ; 1), (  ), ( ).

Какое максимальное количество этих точек может принадлежать линии, заданной уравнением 

 Решение:

Подставив координаты каждой точки в равенство, найдем зависимость в от а для каждой точки: 1) в = 8 + 4а; 2) в = 0,5 – 0,5а;  3) в = 1 – 3а;

4) в = 0,2 – 0,8а; 5) в = 0,25 – 0,5а.

Равенства 2) и 5) не могут выполняться одновременно. Одновременно могут выполняться равенства 1), 3) и 4). Одновременно не могут выполняться равенства 1), 2), 3) и 4) или 1), 3), 4) и 5).

Итак, указанному графику могут принадлежать максимум три точки: (-2; 8),

 (  ; 1), (  ).

Ответ: (-2; 8),   (  ; 1), (  ).

Задача № 12.

Найдите все пары чисел (m, n) такие, что каждое из уравнений x²-mx+n=0  и    x²-nx+m=0 имеет два различных натуральных корня.

 Решение:

Пусть х₁ и х₂ - корни 1-го уравнения, а у₁ и у₂ – корни второго уравнения.  По теореме Виета из 1-го уравнения следует, что  , из 2 – го уравнения следует, что 

Следовательно,  . Сложив почленно эти равенства и выполнив преобразования, получим равенство . Каждое слагаемое левой части этого равенства равно 1, либо одно из них равно 2, а другое 0 (т.к.  х₁, х₂ и у₁, у₂ - натуральные числа).

1) Если каждое слагаемое левой части равно 1, то х₁ = х₂ = у₁ = у₂ =2. Это не соответствует условию задачи. 

2) Если одно из слагаемых равно 2 (если это первое слагаемое, то х₁ =2, х₂ =3, или наоборот), тогда , т.е. у₁ =5,  у₂ =1 (или наоборот). По найденным значениям х₁, х₂ и у₁, у₂ найдем, что m=5, q=6; m=6 q=5.

Ответ: m=5, n=6; m=6 n=5.

Задача № 13.

Осваивая новые земли, колонисты нашли заболоченный участок, но если осушить его, то земля будет пригодна для проживания. На дне этого болота с постоянной силой бьют ключи. Если поставить 12 насосов, то болото можно осушить за 4 дня, а если 9 насосов, то за 6 дней. Но у колонистов только 6 насосов. За сколько дней они смогут осушить данное болото? ( Объем воды в болоте на момент начала осушения всегда одинаков).

Решение: Пусть объем воды в болоте - а литров и каждую минуту добавляется (за счет подземных вод) р литров, а искомое время - х дней. Тогда 12 насосов откачают за 4 дня 4р + а литров воды из болота, а каждый насос за один день откачивает     литров. Значит 9 насосов за 6 дней откачают 6р + а литров воды из болота, следовательно, каждый насос за день откачивает
. Так как, количество воды, которую откачивает насос за один день , постоянно, то  = . Отсюда получим, что а = 12р. Так как у колонистов всего 6 насосов, то за х дней они откачают хр +а литров воды, а значит каждый из насосов за день откачает     = . Отсюда, заменив а на 12р, получим х = 12 дней.

Ответ: за 12 дней.

Задача № 14.

Попав на восточный базар, вы попадете в восточную сказку, которую описывала Шахерезада в «1000 и 1 ночи». Путешественник решил привезти в подарок 1кг пряностей. Но хозяин лавки сказал, что у него есть только гирька в 1г. Как возможно самым быстрым способом отвесить покупателю 1кг пряностей?

Решение:

Потребуется 10 взвешиваний. При этом последовательно отвешивается : 1, 2, 4, 8, 16г (при этом уже взвешенные пряности каждый раз пересыпаются на чашку с гирей); гиря снимается, отвешивается 31г, гиря кладется и пряности пересыпаются, отвешивается 63 г, гиря окончательно снимается  и последовательно отвешивается : 125 г, 250 г, 500 г. Ссыпав вместе все пряности , получаем 1кг.

Ответ: 10 взвешиваний.

Задача № 15.

На благоустройство пришкольного участка пришли 16 представителей  от трех девятых  классов. Каждый представитель от 9 "А" класса посадил по 13 саженцев клена, каждый представитель от 9 "Б" - по 5 саженцев клена, а каждый представитель от 9 "В" - по 4 саженца. Всего было посажено 113 саженцев клена. Сколько представителей от каждого класса принимали участие в работе по благоустройству пришкольного участка?

 Решение:

Данную задачу решим, составив несложную систему уравнений. Пусть х - количество представителей 9 "А" класса, у - количество представителей 9 "Б" класса, z - количество представителей 9 "В" класса. Из условий задачи следуют уравнения 13х+5у+4z=113, х+у+z=16. Из второго уравнения выразим переменную z=16-x-y и подставим в первое уравнение, получим 9х+у=49. 9х=49-у, число 49-у должно делиться на 9, при этом у должно быть меньше 16. Этим  условиям удовлетворяют два значения

49-у, это 45 или 36. Если 49-у=36, то у=13, х=4 (не удовлетворяют условию задачи, в сумме уже больше 16), если 49-у=45, то у=4, а х=5, z=7.

 Ответ: 9 "А"  - 5 человек, 9 "Б" - 4 человека, 9 "В" - 7 человек.

Задача № 16.

Девятнадцать непересекающихся областей нарисованы на тетрадном листке в клетку. Площади этих областей составляют соответственно 1, 2, 3, ...., 19 клеточек. Одну из этих областей закрасили фиолетовым цветом, девять областей   - желтым цветом и еще девять областей - красным цветом. Известно, что общая площадь областей, закрашенных желтым цветом, на 90 квадратиков  больше, чем общая площадь областей, закрашенных красным цветом. Найдите площадь области, закрашенной фиолетовым цветом.

  Решение:

Площадь красных областей не меньше, чем 1+2+...+9=45, а площадь желтых областей не больше, чем 11+12+...+19=135. Если хотя бы одно из этих неравенств было бы строгим, то разница между площадями была бы меньше 90, значит, площадь красных областей 45, а площадь желтых - 135, это в свою очередь возможно, если девять областей с самыми маленькими площадями - красные, а девять самых больших - желтые, следовательно, площадь фиолетовой области равна 10 квадратных единиц.

 Решение: 10 квадратных единиц.

Задача № 17.

На Новогодний вечер в городском дворце культуры, от каждой школы были приглашены отличники.  Всего было не более 40 человек от каждой школы.  В школе № 1053 дети были из разных классов, но некоторые из них были знакомы между собой. Когда они собрались возле автобуса, чтобы отправиться на вечер, то каждая девочка улыбнулась знакомому мальчику, а каждый мальчик улыбнулся каждой незнакомой девочке. Всего улыбок было 117. Сколько мальчиков и сколько девочек отправилось от школы № 1053 на Новогодний вечер?

 Решение:

Допустим, что не каждый мальчик улыбнулся незнакомой девочке, а каждая девочка улыбнулась незнакомому мальчику. От этого общее количество улыбок не изменится, но тогда каждая девочка улыбнулась каждому мальчику. Если принять за х количество девочек, а за у количество мальчиков, то ху = 117. Необходимо найти такие целые х и у, что х + у ≤ 40 и ху = 117. Такими числами являются 13 и 9.

Ответ: 13 и 9 человек

Задача № 18.

Каждое утро вся семья Саши Иванова за завтраком выпивает по полной чашке кофе со сливками. Сам Саша выпивает четверть всех сливок и шестую часть всего кофе. Сколько человек в Сашиной семье пьют кофе со сливками за завтраком каждое утро?

 Решение:

Пусть х - количество выпитых чашек кофе со сливками, у- количество сливок в чашках, тогда х-у - количество кофе в чашках. Так как Саша выпил одну целую чашку кофе со сливками, которая состояла из четверти всех сливок и шестой части кофе, то составим уравнение =1, из которого следует, что у+2х=12, где у  и  х - только целые числа, причем у - еще и четное число и у  х (т.к. количество молока не может быть больше, чем количество всего напитка в чашках). Перебором находим решение последнего несложного уравнения, получаем три пары: х = 6, у = 0;  х = 5, у = 2; х = 4, у = 4.

Условию задачи удовлетворяет вторая пара чисел.

Задача №  19.

         Из горячего крана ванна заполняется за 23 минуты, из холодного за 17 минут. Маша открыла сначала горячий кран. Через сколько минут она должна открыть холодный кран, чтобы к моменту наполнения ванны горячей воды налилось в 1,5 раза больше, чем холодной?

 Ответ: 7 минут.

Задача № 20.

У девятиклассника Саши на столе стоят два графина, в одном из них 1 литр сока, второй графин пустой. Саша последовательно проводит переливания из первого графина во второй, из второго в первый и т.д., причем доля отливаемого сока составляет последовательно: , ,  и т.д. от количества сока в графине, из которого сок отливается. Сколько будет сока в графинах после 2007 переливаний?

  Решение:

После первого, третьего, пятого переливаний в обоих графинах будет по ½ л сока (это можно заметить, рассмотрев несколько первых переливаний сока). Необходимо доказать, что так будет после любого переливания с нечетным номером. Если после переливания с нечетным номером 2k-1 в графинах было по 0,5  л сока, то при следующем переливании из второго графина берется  1/(2k + 1) часть, так что в первом графине оказывается – 1/2 + (1/ 2(2k + 1)) = (k + 1)/(2k + 1) л сока. При следующем переливании, имеющем номер 2k+1, из него берется 1/(2k + 2) часть и остается (k + 1)/(2k + 1)-(k + 1)/((2k + 1)(2k + 1)) = 1/2 (л). Поэтому после седьмого, девятого и вообще любого нечетного переливания в графинах будет  по 0,5   л сока.

Ответ: 0,5 л сока.

Задача № 21

В магазине «Чайная церемония»  продают два сорта популярного черного чая – «Цейлонский» - по 10 рублей за фунт и «Индийский» - по 6 рублей за фунт. Ч увеличить прибыль, хозяин магазина решил смешать два сорта чая, а продавать смесь по-прежнему – по 10 рублей за фунт. В какой пропорции следует ему смешать сорта чая, чтобы получить по 3 рубля за фунт сверх положенной прибыли?

 Решение:

Предположим, что доля цейлонского чая в одном фунте равна  х, тогда доля индийского чая  равна (1 – х). Чтобы при цене 10 рублей за фунт иметь прибыли на 3 рубля больше, чем раньше, нужно, чтобы старая цена фунта равнялась 7 рублям. Получаем уравнение:

10∙х + 6∙(1 – х) = 7,

Откуда находим:   х =  ,               1 – х =  .

Значит,  наше отношение  есть:  1: 3.

 Ответ:    1 : 3.

Задача № 22

 Ученики Саша и Андрей играли в следующую игру.  Саша записал по кругу семь чисел, затем для каждых двух соседних чисел он посчитал их сумму и записал между ними, а первоначальные числа стер.  У Саши получилась замкнутая цепочка чисел   1, -5, 5, 22, 9, -1, 3. О своих действиях с числами он рассказал Андрею.    Может ли Андрей  найти исходные числа, записанные Сашей?

 Решение:

Пусть х – некоторое число, которое было записано между числами  1 и -5. Зная одно из чисел и сумму, можно определить и второе число, составим таблицу с несложными вычислениями.

 

Порядковый номер числа	Число
1	х
2	-5-х
3	5-(-5-х)=10+х
4	22-(10+х)=12-х
5	9-(12-х)=х-3
6	-1-(х-3)=2-х
7	3-(2-х)=1+х
1	1-(1+х)=-х

 

Приравниваем первую и последнюю строки таблицы, получаем уравнение х=-х, где х=0. Находим искомые числа 0, −5, 10, 12, −3, 2, 1.

 Ответ: Андрей сможет найти числа. Это числа 0, −5, 10, 12, −3, 2, 1.

 

Задача № 23

 Окружность радиуса  R   касается основания  АС  равнобедренного треугольника АВС  в его середине и пересекает  сторону АВ  в точках P  и  Q , а сторону  СВ  в точках   S  и  T.  Окружности, описанные около треугольников   SQB  и PTB , пересекаются  в точках  В  и Х.  Найдите  расстояние от точки  Х до основания треугольника АВС.

 

 Решение:

 

 

Очевидно, что на чертеже выполняется симметрия относительно прямой BH, которая делит угол  ABC  на два равных угла. Заметим, что равны и углы  QBX  и QSX (как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу). Аналогично, равны и  углы  XQS  и XBS, но угол  QBX равен углу  XBS в силу симметрии, поэтому все четыре угла равны. Значит, треугольник QSX равнобедренный с основанием QS. Следовательно, точка  X  лежит на серединном перпендикуляре к хорде QS, кроме того, она, очевидно что

равноудалена от точек Q и T , поэтому  X является центром исходной окружности. Следовательно, расстояние от  X до AC равно  R.

 Ответ:   R.

Задача № 24.

 

В параллелограмме MNPK на сторонах MN и MK отмечены точки X и Y соответственно, причем так, что   . Отрезок XY пересекает диагональ MP в точке Z. Найдите отношение . 

 

 Решение:

Отметим точки  А и В на диагонали MP так,  чтобы   . Треугольники MNA  и MXZ подобны, так же как и треугольники MKB и  MYZ .

; , складываем равенства и получаем .

Так как стороны треугольников MNA и PKB  попарно параллельны и стороны MN=PK, то эти треугольники равны. Тогда MA=PB  и MA+MB=PB+MB=MP.

Следовательно, , отсюда находим, что , .

  Ответ:  .

 

Задача № 25.

Стороны треугольника относятся как 4:13:15, радиус вписанного в треугольник круга равен 6. Определите площадь треугольника.

    Решение:

     Дано: , АВ : ВС : АС = 4 : 13 :15, r = 6.

      Найти:  S_ABC

     Решение:   так   как    АВ : ВС : АС = 4 : 13 :15, то   АВ = 4х,   ВС=13х,   АС = 15х, где   х -  коэффициент пропорциональности.  Периметр треугольника  

  Р = 4х + 13х + 15х = 32х. Используя формулу Герона, найдем площадь    ∆ АВС:                            p=16x – полупериметр,

(1)

С другой стороны,  ,  где  r – радиус вписанной окружности.

  (2)

  Из   (1)   и   (2)  

  Число 0 не подходит, значит,  коэффициент пропорциональности  -  число   4.

 

  Ответ: 384.

Задача № 26.

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 5, а радиус вписанной в него окружности равен 2.

 Решение:

Используя свойства вписанной и описанной окружности и теорему Пифагора, запишем систему.    . Откуда . Площадь равна .

 Ответ: 24.

Задача № 27.

Основания трапеции равны 3 и 2. Диагонали его равны 4 и 3. Найдите площадь трапеции.