Решение олимпиадных задач при помощи координат

Предпросмотр материала:

Как координаты помогают решать олимпиадные задачи?

Аннотация:

В статье школьница Вера на примере задачи о шахматном короле на доске 100×100 объясняет, как метод координат помогает решать олимпиадные задачи по математике.

Перечисляются основные «суперсилы» координат: задание точного адреса точек, превращение движений в уравнения, использование чётности и симметрии, подсчёт расстояний. Также предлагается новая задача с дополнительными ходами (влево-вверх и вправо-вниз) для самостоятельного решения. В итоге, подчёркивается главный вывод: координаты переводят геометрическую или логическую головоломку в управляемую числовую модель.

Текст статьи

Как координаты превращают сложные задачи в простые уравнения

Я занимаюсь в математическом кружке с 1 класса. Мне очень нравится, что каждая новая ступень в математике - это превращение сложного в простое. А озарение приходит от понимания системы. В олимпиадной математике часто встречаются задачи, которые на первый взгляд кажутся слишком запутанными: фишки ходят по доске, роботы движутся по клеткам, нужно найти наибольшее или наименьшее число шагов. Иногда перебрать все варианты просто невозможно, а интуиция подсказывает неверный ответ. В этом случае нам могут помочь КООРДИНАТЫ.

Что даёт метод координат?

Координаты — это похоже на адреса домов на улице. Каждая точка на плоскости получает пару чисел (x, y). В шахматах клетка обозначается буквой и цифрой (например, e4), но в математике мы используем числа. Такой подход дает нам возможность:

• точно описывать положение любой клетки или точки;

• записывать каждый шаг или ход как изменение координат;

• составлять уравнения, связывать начальное и конечное положения;

• находить скрытые закономерности, например, чётность суммы координат или инварианты.

В итоге задача о движении превращается в систему уравнений, а это уже знакомая и понятная алгебра.

Разберём на примере: король на большой доске.

Представьте шахматную доску размером 100×100 клеток. В левом нижнем углу, в клетке (1,1), стоит король. Он может ходить только вправо (x+1, y), вверх (x, y+1) или по диагонали вправо-вверх (x+1, y+1). Назад и в стороны ходить нельзя. Требуется добраться до правого верхнего угла (100,100) за наибольшее возможное число ходов.

Сразу приходит мысль: если всё время идти по диагонали, потребуется 99 ходов. Но нам нужно максимум — значит, надо «тянуть время», делать лишние шаги. Однако, как это сделать, если назад ходить нельзя? Кажется, что больше 99 шагов не получится, но это не так.

Переводим на язык координат:

Обозначим:

a — количество ходов только вправо, b — количество ходов только вверх, c — количество ходов по диагонали.

Каждый ход вправо увеличивает координату x на 1. Ход по диагонали тоже увеличивает x на 1. Вверх x не меняет. За весь путь x должен вырасти с 1 до 100, то есть на 99. Получаем уравнение: a+c=99

Аналогично для y (увеличивается при ходах вверх и по диагонали):

b+c=99

Общее число ходов:

N=a+b+c Выразим: a=99−c b=99−c

Подставим:

N=(99−c)+(99−c)+c=198−c

Мы получили простую формулу! Чтобы N было максимальным, нужно сделать c как можно меньше. Самое маленькое возможное c — это 0 (король не ходит по диагонали). Тогда N=198.

Проверим, возможен ли такой маршрут: сначала 99 шагов вправо — король оказывается в (100,1). Затем 99 шагов вверх — приходит в (100,100). Всё в пределах доски. Значит, 198 ходов — это реальный максимум.

Без координат мы бы долго гадали, можно ли сделать 200 ходов или 150. А метод координат дал чёткий ответ за несколько строк.

Почему это помогает в олимпиадах?

Координаты не только помогают считать шаги. Они позволяют:

• находить расстояние между любыми точками по формуле Пифагора;

• проверять, лежит ли точка на прямой или внутри многоугольника;

• использовать свойства чётности (например, цвет клетки на шахматной доске — это чётность суммы координат);

• решать задачи о замощениях, симметрии, поворотах.

Многие сложные головоломки, где фишка ходит по клеткам, сводятся к системе линейных уравнений. А если в задаче есть ограничения (нельзя выходить за границы, нужно избегать препятствий), координаты помогают правильно записать все условия.

Попробуйте сами

Вот задача для самостоятельного решения (попробуйте применить тот же метод). На доске 50×50 из клетки (1,1) в (50,50) ходит ладья. За один ход она может передвинуться на любое число клеток вправо или вверх (но не по диагонали). Какое наименьшее число ходов ей потребуется? (Подсказка: вводите переменные для каждого хода, но учтите, что длина хода может быть разной. На самом деле ответ очень простой.)

Координаты — это мост между геометрией и алгеброй. Как только вы научитесь переводить условия задач на язык чисел и уравнений, многие олимпиадные задания перестанут быть страшными. Успехов в математике!

Решение олимпиадных задач при помощи координат

Математика

Другие методич. материалы

PDF

08.04.2026

Математика

Другие методич. материалы

Файл будет скачан в формате:

PDF

Автор материала

Проскурякова Вера Андреевна

На сайте: 5 дней
Всего просмотров: 77
Подписчики: 0
Всего материалов: 3

77
просмотров
3
материалов
0
подписчиков

Настоящий материал опубликован пользователем Проскурякова Вера Андреевна.
Инфоурок является информационным посредником. Всю ответственность за опубликованные материалы несут пользователи, загрузившие материал на сайт. Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете на материал.