Решение показательных уравнений и неравенств

            Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе.

Тема урока:«Решение показательных уравнений и неравенств».

Цели урока:

Образовательные:

• обобщение знаний и умений учащихся по применению методов решения показательных уравнений;
• закрепление свойств показательной функции в процессе решения показательных неравенств;
• формирование заинтересованности учащихся в решении нестандартных показательных уравнений и неравенств при подготовке к ЕГЭ.

Развивающие:

• развивать у учащихся умения анализа условия задачи перед выбором способа её решения;
• развивать навыки исследовательской деятельности, синтеза, обобщения;
• активизация познавательной деятельности посредством использования компьютерных технологий;
• развитие навыков самоконтроля и самооценки, самоанализа своей деятельности.

Воспитательные:

• формирование умения работать самостоятельно, принимать решения и делать выводы;
• воспитание устремленности к самообразованию и самосовершенствованию;
• осознание учащимися социальной, практической и личной значимости учебного материала по изучаемой теме.

Тип урока: урок обобщения, систематизации и коррекции  знаний.

Форма урока: урок – практикум.

Оборудование урока, средства обучения:

1.      Учебник: А.Н. Колмогоров, А. М. Абрамов и др. « Алгебра и начала анализа» .Учеб. для 10- 11 кл. общеобразоват. учреждений/ – М.: Просвещение, 2010 г.

2. Раздаточный материал для  самостоятельной работы.

3. Технические  средства:  компьютер, видеопроектор, экран.

4. Авторская презентация, подготовленная с помощью MicrosoftPowerPoint.

ХОД УРОКА

1.      Организационный момент.

Учитель сообщает учащимся тему урока и цели урока. ( Слайд1, 2)

2.      Устный опрос.

1)Дайте определение показательных уравнений.

(Определение: Показательным уравнением называется уравнение вида

a= b, где a> 0, a ≠ 1 и уравнения, сводящиеся к этому виду). (Слайд 3)

 2)Сколько решений может иметь показательное уравнение?

(Так как область значений функции у = a - множество положительных чисел, то при b< 0 и b = 0 – корней  нет, при b> 0 – один корень.)

3)Назовите методы решения показательных уравнений и приведите примеры уравнений к каждому методу( слайд 4) :

а) Метод уравнивания оснований.

 б)Метод вынесения общего множителя за скобки.

      в) Метод введения вспомогательной переменной

г)Графический метод, метод подбора

4) Для каждого показательного уравнения  определите метод решения ( Слайд 5):

1)  ;         2)   ;

3)  ;      4)   ;

5)   6)  ;

7)  ;  8)   .

     5) На каком свойстве функции y =aосновано решение простейших показательных неравенств?

(Показательная функция y = a возрастает при  a> 1  и убывает при   0<a<1)

3.      Математический диктант ( по вариантам) 6- 7 мин.(Слайд 6)

У каждого ученика  на парте приготовлен бланк для выполнения математического диктанта.  В этих бланках ученик либо сразу записывает ответ, либо выполняет решение, если это требуется.  Перед проведением математического диктанта учитель  повторяет  с учениками  правила проведения математического диктанта.

 Задания математического диктанта:

2.       Какие из указанных функций являются: 1) возрастающими;  2) убывающими?

Вариант1                                                             Вариант 2

а) ;     б) ;      в) ;              а) у =    ;  б)  у=  ;   в)     у =2^х  ;

   г) ;      д) .                           г)  у =      ;     д)       у =

2.  Приведите к основанию 2;       2.  Приведите    к основанию 4;

25 к основанию 5;    (5);                                49 ^{5 – х}  к основанию    7;

к основанию 2,    (2).    к основанию    6.

3. Решите уравнение:                                       3. Решите уравнение:

а) ;      б)5^х-2= 25;      в) ;                   а)  5 ^х  = 625;     б)   3 ^{х – 8} = 27;     в)   6 ^{х + 12} =  ;

 г);д)   6^{х- 4} = -6;      е) 3^{х + 2} + 3^х = 90.    г)     ;     д) 56^х+23 = - 56  ;  е) 2 ^{х – 1} + 2^х = 6.

4. Решите неравенство:                                 4. Решите неравенство:

           а) ;     б) ;                               а) 5^х ≤  125 ;   б)  5^х  > - 5 ;  в)  3^х ≤ -3

  в) ;      г)  0,2  ^х  ≤  .                                         г) 0,25 ^х  ≥  .

Проверка выполнения математического диктанта осуществляется учениками. По просьбе учителя учащиеся, которые сидят за одной партой обмениваются своими бланками с решениями. Учитель с помощью проектора выводит  правильные ответы к заданиям математического диктанта на экран. Также на доске записаны  критерии выставления оценки. После того как ученики выставили оценки,  они сдают работу учителю.

Ответы к математическому диктанту: (Слайд 7)

	Вариант1		Вариант2
1.	Возрастающая функция	Убывающая функция	Возрастающая функция	Убывающая функция
	;;	; ;	у= ;   у =2х   ; у =	у =  ;у =     ;
2.	2- х ;     5 4 – 2х;     2 2х - 2		4- х  ;      7 10 – 2х;     6  4х - 6
3.	а) х= 5;  б) х = 4 ;в) х = - 2; г) х1=0, х2 = -1; д) корней нет;  е) х = 2.		а) х = 4;   б) х = 11;  в)  х = - 15 г) х1=0, х2 = -2; д) корней нет;  е) х = 2.
4.	а) (2; +);   б) R;   в) нет решения ; г)		а)  ; б) R;   в) нет решения ;

 Критерии проверки:( слайд 8)

За каждый правильный ответ выставляется 1 балл.

18баллов – оценка «5»

17баллов- оценка «4»

16-12 баллов – оценка « 3»

11-0 баллов – оценка « 2»

4.       Решение показательных уравнений и неравенств.

Решение уравнений и неравенств разного уровня сложности (1 и 2 уровня) разбираются  учащимися на доске.

При этом класс  решает задания и 1 и 2 уровня сложности.  К доске учитель вызывает по два ученика. Сначала разбирается задание  1 уровня сложности, которое решает ученик с более слабой математической подготовкой, затем  2 уровня сложности – решает ученик, который имеет более высокую  математическую подготовку. При этом  первый ученик решает задание под контролем учителя, а из второй решает самостоятельно и только потом его решение проверяется учителем совместно с учащимися.

Первый уровень:

№164 (а)из раздела « Задачи на повторение».

5^3х - 2 5^{3х -1} - 3 5^{3х – 2}= 60,

Учитель  обращает внимание ученика на то, какой общий множитель присутствует в каждом  слагаемом в левой части уравнения и каким методом решается уравнение.

5^3х (1-2 5 ^-1 - 3 5^{– 2} ) = 60,

5^3х = 60, разделим обе части уравнения  на дробь  , получаем

5^3х = 125,

3х =3,

х=1.

Ответ: х=1.

Второй уровень сложности.

№164(г)  из раздела « Задачи на повторение».

5^2х-1+ 2^2х  = 5^2х  – 2^2х+2.Приведем все степени в данном уравнении к одному основанию,  разделив обе части уравнения на 5^2х 0.

,

,

,

2х = 2,

х=1.

Ответ: х=1.

Далее учитель предлагает учащимся самостоятельно решитьуравнение:

3^х + 4^х = 5^х..

Но данное уравнение учащиеся известными  им способами решить не смогут, поэтому учитель разбирает решение совместно с учениками и знакомит их с использованием искусственного приема.

Разделим обе части уравнения на 5^х, т. к 5^х >0. Получаем

;

Совместно с учениками подбирает  корень уравнения х=2.

Покажем, что других решений нет.  Рассмотрим функцию f(x)=. Так как данная функция является суммой двух убывающих функций, следовательно, она является также убывающей функцией. Поэтому каждое свое значение  она принимает только один раз.

Ответ: х=2.

5.Физкультминутка:

Сначала выполняются задания на дыхательную гимнастику, затем упражнения зрительной гимнастики. В это время экран должен быть выключен.

Ученики продолжают работать у доски.

Первый уровень сложности.

 № 169 (в)

Решите неравенство  4^х – 10  2^х +16  0.

Заметим, что 4^х= 2^2х , тогда можно выполнить замену переменной. Пусть 2^х = у, тогда получаем следующее неравенство:  у² -10у +16 0.

Решим неравенство методом интервалов. Рассмотрим функцию f(y) = у² -10у +16.  Найдем нули данной функции, следовательно решим уравнение: у² -10у +16 = 0,

D= 36,

                                                        у₁ = 8, у₂= 2, следовательно возвращаемся в замену, получаем:

                                                      2^х = 8       и       2^х = 2,

                                                       х₁= 3       и    х₂  = 1.

 Наносим нули функции на числовую ось Х.+                ___                        +

Определяем знак на каждом промежутке                       1                          3           х

Ответ:  х ( 1 ; 3).

 Второй уровень сложности (задание по карточке).

 Решите неравенство  -28 +  0 .

Найдем ОДЗ: х + 1 0,

                      х  - 1, следовательно,  х

Обозначим   = у, где  у0.

Тогда исходное равенство примет вид

 3 у-28  +   0.  Решим неравенство методом интервалов, следовательно, решим уравнение

3 у-28  +   =0.

Приведем к общему знаменателю.

Получаем 3у² -28у + 9 = 0   и  у0

                у₁ =  ,    у₂ = 9 .

Возвращаемся  к замене,  получаем        =    ,      = 9 ,             0,

 = -1,                 =2,              х- любое .

                                                              нет корней.х=3.

Наносим  х=3 на числовую ось Х. С учетом ОДЗ,  определяем знаки на промежутках.

----                                  +                       

 

-1                                  3                       х

Ответ: .

6.      Самостоятельная работа  по вариантам. (10-15 мин)

Учащиеся продолжают закреплять навыки решения показательных уравнений и неравенств, выполняя уровневую самостоятельную работу по вариантам. Задания учащиеся выполняют на заранее приготовленных листах.

1 уровень.

                        Вариант 1.                                                Вариант 2.

№1 Решите уравнение:                                               №1 Решите уравнение:

а)  ;  а)

б) 2 ^{х – 1} + 2 ^{х + 2}= 36. б) 5 ^х  - 5 ^{х - 2}= 600.

№2. Решите неравенства:      №2. Решите неравенства: 

а)   ; а)       ;   

б)  4^х – 2^х 2.                                                             б) 9^х – 3^х 6.         

 2 уровень.

                        Вариант 1.                                                Вариант 2.

№1 Решите уравнение:                                               №1 Решите уравнение:

а) ;а)  ;

б) 3^х-1 + 3^х+ 3^{х +1} = 13.                                          б) б) 2^х+2 + 2^х+3+ 2^{х +4} = 7. 

№2. Решите неравенства:                                           №2. Решите неравенства: 

а);                                                        а);

б) 5^х + 5^1-х6 .                                                                   б) 4^1-х + 4^х 5.

3 уровень.

 Вариант 1.                                                                            Вариант 2.

№1 Решите уравнение:                                               №1 Решите уравнение:

а) ;                                             а)   ;

б) 6^х + 6^{х +1} = 2^х + 2^{х +1} + 2^{х +2}.                                  б) 3^{х - 1} + 3^х + 3^{х +1} = 12^х-1 + 12^х.

№2. Решите неравенства:                                           №2. Решите неравенства: 

а)    ;                                                          а)    ;

б) 4^{х +1} - 136^х + 9^х+1                                             б) 25^{х +0,5} - 710^х + 2^2х+1

         По истечению выделенного времени учащиеся сдают свою работу учителю.

7.Подведение итога урока.

В конце урока учитель задает вопросы, побуждающие к рефлексии урока. Например: что на уроке было главным? Что было интересным? (Следует различать главное и интересное.) Что нового сегодня узнали? Чему научились?

8.Домашнее задание:( Слайд 9)

 Раздел « Задачи на повторение» стр. 299 № 164 (в), 165 (в, г), 169 (а,б),

170 ( в,г).

• 1 слайд

  « Решение показательных уравнений и неравенств»
  

• 2 слайд

  Цели урока:
  
  повторить основные методы решения показательных уравнений и неравенств ;
  
  повторить свойства показательной функции в процессе решения показательных неравенств.
  
  

• 3 слайд

  Показательным уравнением называется уравнение вида :
  𝒂 𝒙 = b, где a> 0, a ≠ 1 .
  
  

• 4 слайд

  Основные методы решения показательных уравнений:
  Метод уравнивания оснований;
  Метод вынесения общего множителя за скобки;
  Метод введения вспомогательной переменной;
  Графический метод, метод подбора .
  

• 5 слайд

  Определите метод решения показательного уравнения:
  1) 𝟐 𝟐х−𝟒 =𝟒; 2) 𝟐 х−𝟏 + 𝟐 х+𝟏 =𝟓 ;
  
  3) 𝟏 𝟑 х =х−𝟓; 4) 𝟗 х + 𝟑 х+𝟏 −𝟏𝟖=𝟎;
  
  5) 𝟓 х+𝟏 +𝟑∙ 𝟓 х =𝟖𝟎;6) 𝟐 х =𝟔−х ;
  
  7) 𝟒𝟗 х −𝟖∙ 𝟕 х +𝟏=𝟎; 8) 𝟑 х−𝟏 = 𝟏 𝟐𝟕 .
  
  

• 6 слайд

  Математический диктант
  

• 7 слайд

  Ответы к математическому диктанту
  

• 8 слайд

  Критерии выставления оценки:
  За каждый правильный ответ выставляется 1 балл.
  18баллов – оценка «5»;
  17баллов- оценка «4»;
  16-12 баллов – оценка « 3»;
  11-0 баллов – оценка « 2»;
  
  

• 9 слайд

  Домашнее задание:
  Раздел « Задачи на повторение»
  на стр. 299
  № 164 (в), 165 (в, г), 169 ( а, б), 170 ( в , г).
  
  

• 10 слайд

  
  Спасибо за урок !