Решение простейших тригонометрических неравенств

Конспект урока по теме: «Решение тригонометрических неравенств».

            Тема «Тригонометрические неравенства»  является объективно сложной для восприятия и осмысления  учащимися 10 класса. Поэтому очень важно последовательно, от простого к сложному формировать понимание алгоритма и вырабатывать устойчивый навык решения тригонометрических неравенств.

Успех освоения данной темы зависит от знания основных определений и свойств тригонометрических и обратных тригонометрических функций, знания тригонометрических формул, умения решать целые и дробно-рациональные неравенства, основные виды тригонометрических уравнений.

Особый упор нужно делать на методике обучения решения простейших тригонометрических неравенств, т.к. любое тригонометрическое неравенство сводится к решению простейших неравенств.

Первичное представление о решении простейших тригонометрических неравенств предпочтительно вводить, используя графики синуса,  косинуса, тангенса и котангенса. И только после учить решать тригонометрические неравенства на окружности.

Остановлюсь на основных этапах рассуждения при решении простейших тригонометрических неравенств.

1.      Находим на окружности точки, синус (косинус) которых равен данному числу.

2.      В случае строгого неравенства отмечаем на окружности эти точки, как выколотые, в случае нестрогого – как заштрихованные.

3.      Точку, лежащую на главном промежутке монотонности функции синус (косинус), называем Р_t1, другую точку – Р_t2.

4.      Отмечаем по оси синусов (косинусов) промежуток, удовлетворяющий данному неравенству.

5.      Выделяем на окружности дугу, соответствующую данному промежутку.

6.      Определяем направление движения по дуге (от точки Р_t1 к точке Р_t2 по дуге), изображаем стрелку по направлению движения, над которой пишем знак «+» или «-» в зависимости от направления движения. (Этот этап важен для контроля найденных углов. Ученикам можно проиллюстрировать распространенную ошибку нахождения границ интервала на примере решения неравенства по графику синуса или косинуса и по окружности).

7.      Находим координаты точек Р_t1 (как арксинус или арккосинус данного числа) и Р_t2 т.е. границы интервала, контролируем правильность нахождения углов, сравнивая t₁ и t_2.

8.      Записываем ответ в виде двойного неравенства (или промежутка) от меньшего угла до большего.

Рассуждения при решении неравенств с тангенсом и котангенсом  аналогичны.

Рисунок и запись решения, которые должны быть отражены в тетради у учеников, приведены в предлагаемом конспекте.

Конспект урока по теме: «Решение тригонометрических неравенств».

Задача урока – продолжить изучение решения тригонометрических неравенств, содержащих функции синус и косинус, перейти от простейших неравенств к более сложным.

Цели урока:

¾    закрепление знаний тригонометрических формул, табличных значений тригонометрических функций, формул корней тригонометрических уравнений;

¾    формирование навыка решения простейших тригонометрических неравенств;

¾    освоение приёмов решения более сложных тригонометрических неравенств;

¾    развитие логического мышления, смысловой памяти, навыков самостоятельной работы, самопроверки;

¾    воспитание аккуратности и чёткости в оформлении решения, интереса к предмету, уважения к одноклассникам.

¾    формирование учебно-познавательных, информационных, коммуникативных компетенций.

Оборудование: графопроектор, раздаточные карточки с готовыми чертежами тригонометрических кругов, переносная доска, карточки с домашним заданием.

Форма организации обучения – урок.  Методы обучения, используемые на уроке – словесные, наглядные, репродуктивные, проблемно-поисковые, индивидуального и фронтального опроса, устного и письменного самоконтроля, самостоятельной работы.

N п/п	Этапы урока.	Содержание.
1.	Организация класса на работу.
2.	Проверка домашнего задания.	(Сбор тетрадей с домашней работой)
3.	Формулировка цели урока.	- Сегодня на уроке повторим решение простейших тригонометрических неравенств и рассмотрим более сложные случаи.
4.	Устная работа.	(Задания и ответы записаны на кодоскопной ленте, открываю ответы по ходу решения) 1.      Решить тригонометрические уравнения: sinx = -, 2sinx =, sin2x = , sin(x - ) = 0, cosx = ,  cosx = -,  cos2x = 1, tgx = -1. 2.      Назовите главные промежутки монотонности функций синус и косинус.
5.	Повторение.	- Вспомним алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств. (На доске – заготовки двух окружностей. Вызываю по одному двух учащихся для решения неравенств. Ученик подробно объясняет алгоритм решения. Класс работает совместно с отвечающими у доски на заранее подготовленных карточках с изображением окружности). 1)  sinx  ≥ -; t1 < t2; t1 = arcsin(-) = -; t2 = p +  = ; -  + 2pn ≤ х ≤  + 2pn, n Î Z. 2) cosx ≥ -; t1 > t2; t1 = arccos(-) = p - arccos = = p -  = ; t2 = -; - + 2pn ≤ х ≤ + 2pn, n Î Z. - Каким образом отражается на ответе решение строгого неравенства? (3) и 4) неравенства два ученика решают на кодоскопной ленте, класс – самостоятельно на карточках). 3) cosx < ; t1 < t2; t1 = arccos = ; t2 = 2p -  = ;  + 2pn < х < + 2pn, n Î Z. 4) sinx < ; t1 > t2; t1 = arcsin = ; t2 = -p -  = -;  + 2pn < х < + 2pn, n Î Z. - Поменяйтесь вариантами, возьмите ручку другого цвета, проверьте работу товарища. (Самопроверка с кодоскопной ленты. Комментирует решение ученик, выполняющий задание. После возвращения работ – рефлексия). - Как измениться решение неравенства при замене аргумента х на 2х, на ?(Оценивание работ учащихся).
6.	Новый материал.	- Переходим к более сложным тригонометрическим неравенствам, решение которых будет сводиться к решению простейших тригонометрических неравенств. Рассмотрим примеры. (Решение неравенств на доске под руководством учителя). №1. cos22x – 2cos2x ≥ 0.  (Вспомним прием решения тригонометрических уравнений вынесением общего множителя за скобку). cos2x(cos2x – 2) ≥ 0. Замена: cos2x = t,  ≤ 1; t(t – 2) ≥ 0; Второе неравенство не удовлетворяет условию  ≤ 1. cos2x ≤ 0. (Решить неравенство самостоятельно. Проверить ответ). Ответ:  + pn < х < + pn, n Î Z. №2. 6sin2x – 5sinx + 1 ≥ 0. (Вспомним прием решения тригонометрических уравнений заменой переменной. У доски решает ученик с комментариями). Замена sinx = t,  ≤ 1. 6t2 – 5t +1 ≥ 0, 6(t - )(t - ), Ответ:  + 2pn ≤ х ≤ + 2pn, -p-arcsin+ 2pk ≤ х ≤ arcsin+ 2pk, n, k Î Z. №3. sinx + cos2x > 1. (Обсуждаем варианты решения. Вспоминаем фомулу косинуса двойного угла. Класс решает самостоятельно, один ученик – на индивидуальной доске с последующей проверкой). sinx + cos2x - 1> 0, sinx – 2sin2x > 0,  sinx(1 - 2 sinx) > 0, Ответ: 2pn < x <  + 2pn,  + 2pn < x < p + 2pn, nÎ Z. Проанализировать ситуации, когда ответ к решению квадратного неравенства записываем в виде совокупности двух неравенств, а когда – в виде системы. Полезна следующая схема:   №4. coscosx - sinsinx < -. (Обсуждение.  К доске вызываются по одному ученику на каждый шаг решения, комментируются этапы. Учитель проверяет запись у учеников, работающих на месте). cos(x + ) < -, cost < -.  + 2pn < t <  + 2pn, nÎZ,  + 2pn < x +  <  + 2pn, nÎZ,  + 2pn < x <  + 2pn, nÎZ. Ответ:  + 2pn < x <  + 2pn, nÎZ. №5. Определите все а, при каждом из которых неравенство 4sinx + 3cosx ≤ а имеет хотя бы одно решение. (Вспомнить алгоритм решения тригонометрического уравнения с нормирующим множителем. Решение записано на кодоскопной ленте. Открываю его поэтапно по мере рассуждений. Дифференцированная работа). 4sinx + 3cosx ≤ а, М =  = 5. Разделим обе части неравенства на 5: sinx + cosx ≤ . Так как ()2 + ()2 = 1, то существует такой угол α, что cosα = ,  а sinα = . Перепишем предыдущее неравенство в виде: sin(x + α) ≤ . Последнее неравенство, а, значит, и исходное неравенство имеет хотя бы одно решение при каждом а таком, что  ≥ -1, то есть при каждом а ≥ -5. Ответ: а ≥ -5.
7.	Домашнее задание.	(Раздаю карточки с записью домашнего задания. Комментирую решение каждого неравенства). 1.      cosx > sin2x; 2.      4sin2xcos2x < -; 3.      cos2 ≤ sin2 - 0,5; 4.      sinx + cosx > 1. Повторить тригонометрические формулы сложения, подготовиться к самостоятельной работе.
8.	Подведение итогов, рефлексия.	- Назовите приемы решения тригонометрических неравенств. - Каким образом знание алгоритма решения простейших тригонометрических неравенств используется при решении более сложных неравенств? - Какие неравенства вызвали наибольшее затруднение? (Оцениваю работу учащихся на уроке).

Самостоятельная работа

по результатам освоения материала.

Вариант 1.       Решите неравенства 1 – 3: 1.      sin3x -  < 0; 2.      cos2x + 3cosx > 0; 3.      coscos2x - sinsin2x ≥ -. 4.      Определите все а, при каждом из которых неравенство 12sinx + 5cosx ≤ а имеет хотя бы одно решение.

Вариант 2.       Решите неравенства 1 – 3: 1.      2cos > 1; 2.      sin2x – 4sinx < 0; 3.      sincos3x - cossin3x ≤ -. 4.      Определите все а, при каждом из которых неравенство 6sinx - 8cosx ≤ а имеет хотя бы одно решение.