Решение рациональных уравнений

• 1 слайд

  Решение рациональных уравнений при подготовке к экзамену
  Эпиграф урока
  "Ничего не делается само собой,
  без усилий и воли, без труда".
  А.И. Герцен
  
  
  

• 2 слайд

  Рациональные уравнения
  1.
  = +
  
  2. 3х2 – 5х + 2 = 0
  3. 0,7∙(2х-5)= 17 – 2∙(0,3х + 7,25)
  4. 9х2– 1 = 0
  5. х2 + 7х + 12 = 0
  6. 2х - 3∙(х + 5) = -12
  7. х 2 + 4х – 5 = 0
  8. х 2 – 5х = 0
  9. 7х 2 + 13х + 6 = 0
  10. х4 – 26х2 + 25 = 0
  11. 3х2 + 8х + 5 = 0
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 3 слайд

  1.Линейные уравнения
  Алгоритм решения линейного уравнения
  1.Раскрыть скобки.
  2. Перенести известные слагаемые в одну часть уравнения, неизвестные – в другую . Перенести слагаемые с противоположным знаком.
  3.Привести подобные слагаемые.
  4.Найти неизвестный множитель.
  5. Записать ответ.
  2х - 3∙(х + 5)=-12
  

• 4 слайд

  1.Линейные уравнения
  Алгоритм решения линейного уравнения
  1.Раскрыть скобки.
  2. Перенести известные слагаемые в одну часть уравнения, неизвестные – в другую . Перенести слагаемые с противоположным знаком.
  3.Привести подобные слагаемые.
  4.Найти неизвестный множитель.
  5. Записать ответ.
  2х - 3∙(х + 5)=-12
  2х – 3х - 15 = -12
  

• 5 слайд

  1.Линейные уравнения
  Алгоритм решения линейного уравнения
  1.Раскрыть скобки.
  2. Перенести известные слагаемые в одну часть уравнения, неизвестные – в другую . Перенести слагаемые с противоположным знаком.
  3.Привести подобные слагаемые.
  4.Найти неизвестный множитель.
  5. Записать ответ.
  2х - 3∙(х + 5)=-12
  2х – 3х - 15 = -12
  2х – 3х = -12 + 15
   
  

• 6 слайд

  1.Линейные уравнения
  Алгоритм решения линейного уравнения
  1.Раскрыть скобки.
  2. Перенести известные слагаемые в одну часть уравнения, неизвестные – в другую . Перенести слагаемые с противоположным знаком.
  3.Привести подобные слагаемые.
  4.Найти неизвестный множитель.
  5. Записать ответ.
  2х - 3∙(х + 5)=-12
  2х – 3х - 15 = -12
  2х – 3х = -12 + 15
    -х = 3
  
  

• 7 слайд

  1.Линейные уравнения
  Алгоритм решения линейного уравнения
  1.Раскрыть скобки.
  2. Перенести известные слагаемые в одну часть уравнения, неизвестные – в другую . Перенести слагаемые с противоположным знаком.
  3.Привести подобные слагаемые.
  4.Найти неизвестный множитель.
  5. Записать ответ.
  2х - 3∙(х + 5)=-12
  2х – 3х - 15 = -12
  2х – 3х = -12 + 15
    -х = 3
  х = 3 : (- 1)
  х = -3
  Ответ: -3
  

• 8 слайд

  Рациональные уравнения
  1.
  = +
  
  2. 3х2 – 5х + 2 = 0
  3. 0,7∙(2х-5)= 17 – 2∙(0,3х + 7,25) Ответ: 3
  4. 9х2– 1 = 0
  5. х2 + 7х + 12 = 0
  6. 2х - 3∙(х + 5) = -12 Ответ: -3
  7. х 2 + 4х – 5 = 0
  8. х 2 – 5х = 0
  9. х 2 + 13х + 6 = 0
  10. х4 – 26х2 + 25 = 0
  11. 3х2 + 8х + 5 = 0
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 9 слайд

  2.Квадратные уравнения.
  

• 10 слайд

  2.Квадратные уравнения.
  Алгоритм решения квадратного уравнения
  

• 11 слайд

  2.Квадратные уравнения.
  Алгоритм решения квадратного уравнения
  ax² + bx + c = 0
  Вычислить дискриминант D = b²- 4ac.
  Сравнить D с нулем:
  

• 12 слайд

  2.Квадратные уравнения.
  Алгоритм решения квадратного уравнения
  ax² + bx + c = 0
  Вычислить дискриминант D = b²- 4ac.
  Сравнить D с нулем:
  • если D>0, то уравнение имеет два корня, которые равны
  x1 =
  и x2 =
  
  
  

• 13 слайд

  2.Квадратные уравнения.
  Алгоритм решения квадратного уравнения
  ax² + bx + c = 0
  Вычислить дискриминант D = b²- 4ac.
  Сравнить D с нулем:
  • если D>0, то уравнение имеет два корня, которые равны
  x1 =
  и x2 =
  
  
  • если D=0, то уравнение имеет единственный корень, который равен
  
  х =
  

• 14 слайд

  2.Квадратные уравнения.
  Алгоритм решения квадратного уравнения
  ax² + bx + c = 0
  Вычислить дискриминант D = b²- 4ac.
  Сравнить D с нулем:
  • если D>0, то уравнение имеет два корня, которые равны
  x1 =
  и x2 =
  
  
  • если D=0, то уравнение имеет единственный корень, который равен
  
  х =
  если D<0, то уравнение не имеет корней.
  

• 15 слайд

  Рациональные уравнения
  1.
  = +
  
  2. 3х2 – 5х + 2 = 0 Ответ: 1
  3. 0,7∙(2х-5)= 17 – 2∙(0,3х + 7,25) Ответ: 3
  4. 9х2– 1 = 0
  5. х2 + 7х + 12 = 0
  6. 2х - 3∙(х + 5) = -12 Ответ: -3
  7. х 2 + 4х – 5 = 0
  8. х 2 – 5х = 0
  9. х 2 + 13х + 6 = 0 Ответ: -1
  10. х4 – 26х2 + 25 = 0
  11. 3х2 + 8х + 5 = 0
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 16 слайд

  Свойство коэффициентов квадратного уравнения a x² + bx + c = 0
  
  
  

• 17 слайд

  Свойство коэффициентов квадратного уравнения a x² + bx + c = 0
  
  • Если b = a + c , то уравнение имеет корни x1 = -1, x2 =
  
  

• 18 слайд

  Свойство коэффициентов квадратного уравнения a x² + bx + c = 0
  
  • Если b = a + c , то уравнение имеет корни x1 = -1, x2 =
  
  №11 Найдите произведение корней уравнения 3x 2 + 8х + 5 = 0.
  
  
  
  
  

• 19 слайд

  Свойство коэффициентов квадратного уравнения a x² + bx + c = 0
  
  • Если b = a + c , то уравнение имеет корни x1 = -1, x2 =
  
  №11 Найдите произведение корней уравнения 3x 2 + 8х + 5 = 0.
  
  b = a + c, 8 = 3 + 5
  
  

• 20 слайд

  Свойство коэффициентов квадратного уравнения a x² + bx + c = 0
  
  • Если b = a + c , то уравнение имеет корни x1 = -1, x2 =
  
  №11 Найдите произведение корней уравнения 3x 2 + 8х + 5 = 0.
  
  b = a + c, 8 = 3 + 5 значит x1 = -1, x2 = = -1
  
  
  
  
  

• 21 слайд

  Свойство коэффициентов квадратного уравнения a x² + bx + c = 0
  
  • Если b = a + c , то уравнение имеет корни x1 = -1, x2 =
  
  №11 Найдите произведение корней уравнения 3x 2 + 8х + 5 = 0.
  
  b = a + c, 8 = 3 + 5 значит x1 = -1, x2 = = -1
  
  x1 ∙ x2 = -1 ∙ (-1 )= 1 Ответ: 1
  
  
  
  

• 22 слайд

  Рациональные уравнения
  1.
  = +
  
  2. 3х2 – 5х + 2 = 0 Ответ: 1
  3. 0,7∙(2х-5)= 17 – 2∙(0,3х + 7,25) Ответ: 3
  4. 9х2– 1 = 0
  5. х2 + 7х + 12 = 0
  6. 2х - 3∙(х + 5) = -12 Ответ: -3
  7. х 2 + 4х – 5 = 0
  8. х 2 – 5х = 0
  9. х 2 + 13х + 6 = 0 Ответ: -1
  10. х4 – 26х2 + 25 = 0
  11. 3х2 + 8х + 5 = 0
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 23 слайд

  Свойство коэффициентов квадратного уравнения
  
  • Если a + b + c = 0 , то уравнение имеет корни x1 = 1, x2 =
  
  

• 24 слайд

  Свойство коэффициентов квадратного уравнения
  
  • Если a + b + c = 0 , то уравнение имеет корни x1 = 1, x2 =
  
  №7 Найдите наименьший корень уравнения х 2 + 4х – 5 = 0.
  
  
  

• 25 слайд

  Свойство коэффициентов квадратного уравнения
  
  • Если a + b + c = 0 , то уравнение имеет корни x1 = 1, x2 =
  
  №7 Найдите наименьший корень уравнения х 2 + 4х – 5 = 0.
  
  a + b + c = 0, 1 + 4 + (-5) = 0
  
  
  

• 26 слайд

  Свойство коэффициентов квадратного уравнения
  
  • Если a + b + c = 0 , то уравнение имеет корни x1 = 1, x2 =
  
  №7 Найдите наименьший корень уравнения х 2 + 4х – 5 = 0.
  
  a + b + c = 0, 1 + 4 + (-5) = 0
  
  значит x1 = 1, x2 = = -5
  Ответ: -5.
  
  

• 27 слайд

  Рациональные уравнения
  1.
  = +
  
  2. 3х2 – 5х + 2 = 0 Ответ: 1
  3. 0,7∙(2х-5)= 17 – 2∙(0,3х + 7,25) Ответ: 3
  4. 9х2– 1 = 0
  5. х2 + 7х + 12 = 0
  6. 2х - 3∙(х + 5) = -12 Ответ: -3
  7. х 2 + 4х – 5 = 0 Ответ: -5
  8. х 2 – 5х = 0
  9. х 2 + 13х + 6 = 0 Ответ: -1
  10. х4 – 26х2 + 25 = 0
  11. 3х2 + 8х + 5 = 0 Ответ: 1
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 28 слайд

  № 5 Найдите наибольший корень уравнения х2 + 7х + 12 = 0
  Франсуа Виет (1540–1603г) французский математик.
  Теорема, обратная теореме Виета:
  Если для чисел х₁ и х₂, p и q справедливы формулы
  х₁ + х₂ = - p, а х₁· х₂ = q ,
  то х₁ и х₂ - корни приведённого квадратного уравнения х² + px + q = 0.
  
  Использование этой теоремы позволяет экономить время при решении уравнений.
  
  
  

• 29 слайд

  Рациональные уравнения
  1.
  = +
  
  2. 3х2 – 5х + 2 = 0 Ответ: 1
  3. 0,7∙(2х-5)= 17 – 2∙(0,3х + 7,25) Ответ: 3
  4. 9х2 – 1 = 0
  5. х2 + 7х + 12 = 0 Ответ: -3
  6. 2х - 3∙(х + 5) = -12 Ответ: -3
  7. х 2 + 4х – 5 = 0 Ответ: -5
  8. х 2 – 5х = 0
  9. х 2 + 13х + 6 = 0 Ответ: -1
  10. х4 – 26х2 + 25 = 0
  11. 3х2 + 8х + 5 = 0 Ответ:1
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 30 слайд

  №4. Найдите сумму корней уравнения
  9х2 – 1 = 0
  
  №8. Найдите произведение корней уравнения х 2 – 5х = 0
  
  
  

• 31 слайд

  №4. Найдите сумму корней уравнения
  9х2 – 1 = 0
  
  №8. Найдите произведение корней уравнения х 2 – 5х = 0
  
  №10. Найдите наибольший корень уравнения
  х4 – 26х2 + 25 = 0
  

• 32 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  
  неполное квадратное уравнение αx² + c = 0
  
  Если в уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент b = 0, то уравнение ax² + c =0 имеет противоположные корни х =± (- >0).
  
  
  

• 33 слайд

  Если в уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент b = 0, то уравнение ax² + c =0 имеет противоположные корни х =± (- >0).
  
  Определите при каком значении параметра n корни уравнения
  2х2 + ( 5n -2) x – 1 = 0 равны по модулю ?
  
  
  
  
  
  неполное квадратное уравнение ax² + c = 0
  

• 34 слайд

  
  
  Если в уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент b = 0, то уравнение ax² + c =0 имеет противоположные корни х =± (- >0).
  
  Определите при каком значении параметра n корни уравнения
  2х2 + ( 5n -2) x – 1 = 0 равны по модулю ?
  Решение: Корни уравнения 2х2 + (5n -2)x –1=0 равны по модулю, если b = 0. b
  
  
  неполное квадратное уравнение ax² + c = 0
  

• 35 слайд

  
  
  Если в уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент b = 0, то уравнение ax² + c =0 имеет противоположные корни х =± (- >0).
  
  Определите при каком значении параметра n корни уравнения
  2х2 + ( 5n -2) x – 1 = 0 равны по модулю ?
  Решение: Корни уравнения 2х2 + (5n -2)x –1=0 равны по модулю, если b = 0.
  
  5n -2 = 0, 5n = 2, n = 2 : 5, n = 0,4
  
  
  
  неполное квадратное уравнение ax² + c = 0
  

• 36 слайд

  
  
  Если в уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент b = 0, то уравнение ax² + c =0 имеет противоположные корни х =± (- >0).
  
  Определите при каком значении параметра n корни уравнения
  2х2 + ( 5n -2) x – 1 = 0 равны по модулю ?
  Решение: Корни уравнения 2х2+(5n -2)x –1=0 равны по модулю, если b = 0.
  
  5n -2=0, 5n=2, n=5:2, n=0,4
  
  Ответ: Корни уравнения равны по модулю при n = 0,4.
  
  
  
  неполное квадратное уравнение ax² + c = 0
  

• 37 слайд

  
  
  Если в уравнении ax² + bx + c =0 коэффициент с = 0, то уравнение ax² + bx = 0 имеет 2 корня x1=0 и x2=
  
  ax² + bx = 0
  неполное квадратное уравнение
  

• 38 слайд

  
  
  Если в уравнении ax² + bx + c =0 коэффициент с = 0, то уравнение ax² + bx = 0 имеет 2 корня x1=0 и x2=
  
  Определите при каком значении параметра n один из корней уравнения х2 + 8х + n2 – 6n + 5 = 0 равен нулю ?
  
  ax² + bx = 0
  неполное квадратное уравнение
  

• 39 слайд

  
  
  Если в уравнении ax² + bx + c =0 коэффициент с = 0, то уравнение ax² + bx = 0 имеет 2 корня x1=0 и x2=
  
  Определите при каком значении параметра n один из корней уравнения х2 + 8х + n2 – 6n + 5 = 0 равен нулю ?
  Решение: один из корней уравнения х2+8х+n2–6n+5=0 равен нулю, когда с = 0.
  с
  ax² + bx = 0
  неполное квадратное уравнение
  

• 40 слайд

  
  
  Если в уравнении ax² + bx + c =0 коэффициент с = 0, то уравнение ax² + bx = 0 имеет 2 корня x1=0 и x2=
  
  Определите при каком значении параметра n один из корней уравнения х2 + 8х + n2 – 6n + 5 = 0 равен нулю ?
  Решение: один из корней уравнения х2+8х+n2–6n+5=0 равен нулю, когда с = 0.
  n2 – 6n + 5 = 0
  
  
  
  
  ax² + bx = 0
  неполное квадратное уравнение
  

• 41 слайд

  
  
  Если в уравнении ax² + bx + c =0 коэффициент с = 0, то уравнение ax² + bx = 0 имеет 2 корня x1=0 и x2=
  
  Определите при каком значении параметра n один из корней уравнения х2 + 8х + n2 – 6n + 5 = 0 равен нулю ?
  Решение: один из корней уравнения х2+8х+n2–6n+5=0 равен нулю, когда с = 0.
  n2 – 6n + 5 = 0 a+b +c=0, 1+(-6)+5=0
  значит n = 1 и n = = 5.
  
  
  
  
  
  ax² + bx = 0
  неполное квадратное уравнение
  

• 42 слайд

  
  
  Если в уравнении ax² + bx + c =0 коэффициент с = 0, то уравнение ax² + bx = 0 имеет 2 корня x1=0 и x2=
  
  Определите при каком значении параметра n один из корней уравнения х2 + 8х + n2 – 6n + 5 = 0 равен нулю ?
  Решение: один из корней уравнения х2+8х+n2–6n+5=0 равен нулю, когда с = 0.
  n2 – 6n + 5 = 0 a+b +c=0, 1+(-6)+5=0
  значит n = 1 и n = = 5.
  Ответ: один из корней уравнения равен нулю при n=1 и n=5.
  
  
  
  
  
  ax² + bx = 0
  неполное квадратное уравнение
  

• 43 слайд

  Рациональные уравнения
  1.
  = +
  
  2. 3х2 – 5х + 2 = 0 Ответ: 1
  3. 0,7∙(2х-5)= 17 – 2∙(0,3х + 7,25) Ответ: 3
  4. 9х2– 1 = 0 Ответ: 0
  5. х2 + 7х + 12 = 0 Ответ: -3
  6. 2х - 3∙(х + 5) = -12 Ответ: -3
  7. х 2 + 4х – 5 = 0 Ответ: -5
  8. х 2 – 5х = 0 Ответ: 0
  9. х 2 + 13х + 6 = 0 Ответ: -1
  10. х4 – 26х2 + 25 = 0 Ответ: -5
  11. 3х2 + 8х + 5 = 0 Ответ:1
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 44 слайд

  3.Дробно-рациональные уравнения
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  2.Найти О.Д.З., исключив значения х, при которых знаменатель дроби равен нулю.
  
  3. Решить уравнение Р(х) = 0.
  
  4.Определить корни уравнения, удовлетворяющие О.Д.З., записать ответ.
  Алгоритм решения дробно-рационального уравнения.
  1.Привести уравнение к виду
  = 0.
  Катер, собственная скорость которого 18 км/ч прошел 50 км по течению реки и 8 км против течения за 3 часа. Найдите скорость течения реки.
  
  Пусть скорость течения реки равна х км/ч.
  
  Выберите уравнение для решения задачи 1) 50(х-3) - 8(Х+3) =18
  
  2) + = 3
  
  3) + = 3
  
  

• 45 слайд

  3.Дробно-рациональные уравнения
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  2.Найти О.Д.З., исключив значения х, при которых знаменатель дроби равен нулю.
  
  3. Решить уравнение Р(х) = 0.
  
  4.Определить корни уравнения, удовлетворяющие О.Д.З., записать ответ.
  Алгоритм решения дробно-рационального уравнения.
  1.Привести уравнение к виду
  = 0.
  Катер, собственная скорость которого 18 км/ч прошел 50 км по течению реки и 8 км против течения за 3 часа. Найдите скорость течения реки.
  
  Пусть скорость течения реки равна х км/ч.
  
  Выберите уравнение для решения задачи 1) 50(х-3) - 8(Х+3) =18
  
  2) + = 3
  
  • 3) + = 3
  
  

• 46 слайд

  Вариант 1
  1.Решите уравнение
  3х+16=120-х Ответ:________
  2.Соотнесите каждое квадратное уравнение
  А)х2-9=0 Б)2х -х2=0 В) х2-3х-4=0
  и его корни
  1)0и2 2)-3и3 3)-1и4 4)-4и1
   
  
  
  
  
  
  3. Катер, собственная скорость которого 15 км/ч прошел 40 км по течению реки и 18 км против течения за 4 часа. Найдите скорость течения реки.
  Пусть скорость течения реки равна х км/ч.
  15(х-4) - 18(х+4) =40
  + = 4
  
  + = 4
  
  
  
  
  2.Соотнесите каждое квадратное уравнение
  А)х2-4=0 Б)2х +х2=0 В) х2+9=0 и его корни
  1)0 и -2 2)-2 и 2 3)-3 и 3 4) нет корней
  3. Катер, собственная скорость которого 20 км/ч прошел 18 км по течению реки и 20 км против течения за 2 часа. Найдите скорость течения реки.
  Пусть скорость течения реки равна х км/ч.
  20(20+х) - 18(20-х) =2
  + = 2
  
  3) + = 2
  
  
  
  
  
  

• 47 слайд

  Продолжите предложения
  Сегодня на уроке
  • Я повторил … • Мне понравилось… • Я затруднялся… • У меня получилось… • Я могу… • Я попробую…
  Домашнее задание.
  № 272, № 285.
  

• 48 слайд

  Используемые интернет-ресурсы
  http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2013/02/10/prezentatsiya-kvadratnye-uravneniya
  http://88.147.129.234/cgi-bin/block?reason_to_block=15
  http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2012/01/12/urokprezentatsiya-teorema-vieta-8-klass