Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Решение различных практических задач имитационного моделирования с применением математических методов. Оценка надежности простейших систем методом Монте-Карло

Решение различных практических задач имитационного моделирования с применением математических методов. Оценка надежности простейших систем методом Монте-Карло

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

План урока

Учебная дисциплина МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ

Тема урока Решение различных практических задач имитационного моделирования с применением математических методов. Оценка надежности простейших систем методом Монте-Карло.

Цели урока

  1. Научить оценивать надежность простейших систем методом Монте-Карло.

  2. Научить оценивать надежность СМО с отказами методом Монте-Карло

  3. Развитие качества ума, внимания, умений учебного труда студентов.

  4. Воспитание дисциплинированности, целеустремленности студентов.


Оснащение урока конспект лекций, В.П.Агальцов «Математические методы в программировании», В.Е. Гмурман «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики»

Ход урока:

  1. Организационный момент:

проверка отсутствующих, заполнение журнала.



  1. Актуализация опорных знаний: ответы на контрольные вопросы:

  1. В чем заключается суть имитационного моделирования?

  2. В чем заключаются достоинства и недостатки такого типа моделирования?

  3. Как применяется метод Монте-Карло? Приведите пример такой задачи.

  4. Какие способы получения случайных величин Вы знаете?

  5. Что такое псевдослучайные числа? Расскажите о двух основных способах их получения.


ответы на контрольные вопросы «Понятие СМО»:

  1. Какие виды СМО Вы знаете?

  2. Приведите примеры на каждый вид СМО.


  1. Изучение нового материала:

Тема лекции: «Решение различных практических задач имитационного моделирования с применением математических методов. Оценка надежности простейших систем методом Монте-Карло»


План лекции:

  1. Оценка надежности простейших систем методом Монте-Карло.

  2. Расчет СМО с отказами методом Монте-Карло.


1. Оценка надежности простейших систем методом Монте-Карло


Пример: Система состоит из двух блоков, соединенных последовательно. Система оказывает при отказе хотя бы одного блока. Первый блок содержит два элемента: А, В (они соединены параллельно) и оказывает при одновременном отказе обоих элементов. Второй содержит один элемент С и отказывает при отказе этого элемента.

а) Найти методом Монте-Карло оценку Р* надежности (вероятности безотказной работы) системы, зная вероятности безотказной работы элементов: Р (А)=0,8, Р (В)=0,85, Р (С)=0,6; б) найти абсолютную погрешность Р-Р* , где Р- надежность системы, вычисленная аналитически. Произвести 50 испытаний.



Решение. а) Выбираем из таблицы приложения (равномерно распределенные числа) три случайных числа: 0,10, 0,09 и 0,73; по правилу *) (если случайное число меньше вероятности события, то событие наступило; если случайное число больше или равно вероятности события, то событие не наступило) разыграем события А, В, С, состоящие в безотказной работе соответственно элементов А, В, С. Результаты испытания будем записывать в расчетную таблицу .

Поскольку Р (А)=0,8 и 0,10 <0,8, то событие наступило, т.е. элемент А в этом испытании работает безотказно. Так как Р (В)=0,85 и 0,09< 0,85, то событие В наступило, т.е. элемент В работает безотказно.

Таким образом, оба элемента первого блока работают; следовательно, работает и сам первый блок. В соответствующих клетках табл. ставим знак плюс.

Таблица

Номер

испытания


Блок

Случайные числа,

моделирующие элементы

Заключение о работе

элементов

блоков

системы

А

В

С

А

В

С

1

Первый

Второй

0,10

0,09

0,73

+

+

-

+

-

-

2

Первый

Второй

0,25

0,33

0,76

+

+

-

+

-

-

3

Первый

Второй

0,52

0,01

0,35

+

+

+

+

+

+

4

Первый

Второй

0,86

0,34

0,67

-

+

-

+

-

-



Так как Р (С)=0,6 и 0,73< 0,6, то событие С не наступило, т.е. элемент с получает отказ; Другими словами, второй блок, а значит и вся система, получают отказ. В соответствующих клетках табл. 57 ставим минус.

Аналогично разыгрываются и остальные испытания. В табл. приведены результаты четырех испытаний.

Произведя 50 испытаний, получим, что в 28 из них система работала безотказно. В качестве оценки искомой надежности Р примем относительную частоту Р * =28/50=0,56.

б) Найдем надежность системы Р аналитически. Вероятности безотказной работы первого и второго блоков соответственно равны:

hello_html_m49db97ed.gif

Вероятность безотказной работы системы

P=P1*P2=0,97*0,6=0,582

Искомая абсолютная погрешность Р-Р*=0,582-0,56=0,022.


2. Расчет СМО с отказами методом Монте-Карло

Пример: В трехканальную систему массового обслуживания с отказом поступает пуассоновский поток заявок. Время между поступлениями двух последовательных заявок распределено по показательному закону f()=5e-5 . Длительность обслуживания каждой заявки равна 0,5 мин. Найти методом Монте-Карло математическое ожидание а числа обслуженных заявок за время Т=4 мин.

Решение:

Пусть Т1=0- момент поступления первой заявки. Заявка поступит в первый канал и будет им обслужена. Момент окончания обслуживания первой заявки Т1+0,5=0+0,5=0,5. В счетчик обслуженных заявок записываем единицу.

Моменты поступления последующих заявок найдем по формуле

Т= Т-1+ ,

где - длительность времени между двумя последовательными заявками с номерами -1 и .

Возможные = - (1/) ln ri = = (1/)(- ln ri ).

Учитывая, что, по условию, =5, получим =0,2 (- ln ri ).

Случайные числа ri берем из таблицы приложения, начиная с первой строки сверху. Для нахождения времени между поступлениями первой и второй заявок возьмем случайное число r=0,10.

Тогда 2=0,2*(-ln 0,10)=0,2*2,30=0,460. Первая заявка поступила в момент T1=0.

Следовательно, вторая заявка поступила в момент T2= T1+0,4600+0,460=0,460. В этот момент первый канал еще занят обслуживанием первой заявки, поэтому вторая заявка поступит во второй и будет им обслужена. Момент окончания обслуживания второй заявки T2+05=0,460+0.5=0.960 . В счетчик обслуженных заявок добавляем единицу.

По очередному случайному числу r=0.09 разыграем время 3 между поступлениями второй и третьей заявок:

3=0,2(-ln 0,09)=0,2*2,41=0,482.

Вторая заявка поступила в момент T2= 0,460 . Поэтому третья заявка поступила в момент T3= T2+0,482=0,460+0,482=0,942. В этот момент первый канал уже свободен и третья заявка поступит в первый канал. Момент окончания обслуживания третьей заявки

T3+0,5=0,942+0,5=1,442.В счетчик обслуженных заявок добавляем единицу.

Дальнейший расчет производят аналогично (табл. 59), причем если момент поступления заявки все каналы заняты (момент поступления заявки меньше каждого из моментов окончания обслуживания), то в счетчик отказов добавляют единицу.

Заметим, что обслуживание 20-й заявки закончится в момент 4 148,>4, поэтому эта заявка получает отказ.

Испытание прекращают (в таблице записывают «стоп»), если момент поступления заявки T>4.

Таблица

номер заявки

i

Случайное числоri

-ln ri

Время между двумя последовательными заявками

i=0,2(-ln ri)

Момент поступления заявки

Ti= Ti-1+i

Момент

Ti+0,5

окончания обслуживания заявки каналом

Счетчик

1

2

3

Обслуженных заявок

отказов

1




0

0,500



1


2

0,10

2,30

0,460

0,460


0,960


1


3

0,09

2,41

0,482

0,942

1,442



1


4

0,73

0,32

0,064

1,006


1,506


1


5

0,25

1,39

0,278

1,284



1,784

1


6

0,33

1,11

0,222

1,506

2,006



1


7

0,76

0,27

0,054

1,560


2,060


1


8

0,52

0,65

0,130

1,690





1

9

0,01

4,60

0,920

2,610

3,110



1


10

0,35

1,05

0,210

2,820


3,320


1


11

0,86

0,15

0,030

2,850



3,350

1


12

0,34

1,08

0,216

3,066





1

13

0,67

0,40

0,080

3,146

3,646



1


14

0,35

1,05

0,210

3,356


3,856


1


15

0,48

0,73

0,146

3,502



4,002


1

16

0,76

0,27

0,054

3,556





1

17

0,80

0,22

0,044

3,600





1

18

0,95

0,05

0,010

3,610





1

19

0,90

00,10

0,020

3,630





1

20

0,91

0,09

0,018

3,648

4,148




1

21

0,17

1,77

0,354

4,002










(стоп)



итого

Х1=12

8

Из таблицы находим, что за 4 мин всего поступило 20 заявок; обслужено x1=12.

Выполним аналогично еще пять испытаний, получим x2=15, x3=14, x4=12, x5=13, x6=15.

В качестве оценки искомого математического ожидания а числа обслуженных заявок примем выборочную среднюю

a *=hello_html_4885333d.gif=(2*12+13+14+2*15)/6=13,5.


5.Подведение итогов урока: выводы, оценки, домашнее задание:

подготовиться к практическому занятию

Ср17: нахождение финальных вероятностей



Подпись преподавателя

Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Автор
Дата добавления 30.09.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров324
Номер материала ДБ-227317
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх