РЕШЕНИЕ СИСТЕМ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Урок 14. Арифметический квадратный корень

Цели:

Развивающие:

формирование умений выполнять обобщение и конкретизацию; развивать математическую речь при комментарии решений; развитие качеств мышления: гибкость, целенаправленность, рациональность;

Обучающие: формирование практических навыков вычисления квадратных корней; отработка основных моментов теории; систематизация знаний по теме;

Воспитательные:

развитие взаимовыручки и взаимопомощи, умение вести культурную дискуссию; развитие творческого подхода к решению;

Ход урока

1. Организационный момент. Фронтальный опрос.
2. Работа по группам.
3. Выступление учащегося с историческими сведениями по теме.
4. Подведение итогов урока, выставление оценок, задание на дом.

I. Устная работа (фронтальный опрос).

Ребятам объявляются цели урока, начинается работа (демонстрируется 2 слайд, на нём записаны выражения:).

Учитель: Ответьте на мои вопросы: в чём отличие данных выражений

(первое выражение целое, второе – рациональное). Правильно ответивший, решает отдельное задание на доске (назначается его контролирующий ученик).Какова область допустимых значений выражения?Задание оценивается аналогично.

Задания, предлагаемые для решения на карточках.

К-1 Вычислите: .

К-2 Вычислите:

Учитель: Что называется квадратным корнем? Что такое арифметический квадратный корень? Символ квадратного корня? Какое ещё название он имеет? Какое название получило выражение, стоящее под знаком квадратного корня, каким оно может быть?

Пока ребята работают у доски, вычислим значения квадратных корней, записанных в первой строке (демонстрируется 3 слайд, с выражениями:).

Ученики читают выражение и называют его значение.

Учитель

: Какое число, записанное в этом ряду, отличается от остальных?

(– это иррациональное число, остальные числа рациональные квадратные корни, так как являются квадратами натуральных чисел).

Учитель

: Сравните числа, записанные во второй строке

.Объясните, чем вы пользовались присравнении? (При сравнении пользовались определением арифметического квадратного корня, свойствами функции,так как она является возрастающей). На слайде выделяются большие числа. После ответов на вопросы следует проверка работающих у доски с помощью учеников-консультантов.

II. Работа по группам.

Демонстрируется 4 слайд. Работа начинается спервой группой (более сильные дети), а вторая работает самостоятельно.

1. Решить графически уравнение:.

Учитель: Какие функции соответствуют левой и правой части уравнения?

Что является графиком этих функций?

Как построить график первой функции

(обсуждается построение графика с помощью параллельного переноса вдоль оси ординат)?

В ходе обсуждения и решения, получаем x=1.

Дальше группа работает самостоятельно, решая задания 2, 3.

2.Решите уравнения:; 3)При каких значениях x и y имеют смысл выражения:).

Учитель

: Начинаем устную проверку работывторой группы

.

1.       

Проверьте, верны ли данные равенства, и объясните почему:.

2.

Решите уравнения:

После фронтального опроса результатов каждого уравнения, на слайде выделяются верные равенства в первом задании и верный ответ для второго задания.

Учитель: Какое уравнение оказалось трудным? Почему?

При выполнении третьего задания страница 76 учебника рисунок 14 (график функции ) ребята отвечают на вопросы, поставленные учителем:

- Назовите значения функции при x=2, x=9.
- Найдите значение аргумента, если значение функции равно 2, 0, 3?
- Определите наибольшее и наименьшее значения функции?

Дальше эта группа самостоятельно выполняет четвёртое задание.

Начинается устная проверка уравнений из задания второго,выполненных первойгруппой (Ответы: а) 6,25; б)-2. Если уравнения вызвали затруднения при решении, то они подробно разбираются у доски. Ответы к третьему заданию: а) x?0, y – любое число; б) x – любое число, y?0; в) x?0 и y?0 или x?0и y?0; г)x?0 и y?0или x?0 и y?0).

Дальше учащийся из первой группы выполняет последнее четвёртоезадание на доске

4) Укажите допустимые значения переменной в выражениях:

Ответы: а) a;б).

Вторая

группа сверяет ответы четвёртого задания

3.

Вычислите:

Ответы: а) 0,2; б) 0; в) -0,1; г) 12; д)1,25; е) 17; ж) 24.

Ответы появляются на слайде, на доске разбираются решения не получившихся заданий.

II. Исторические сведения (выступление учащегося,демонстрируется 5 слайд).

Интересная история современного обозначения корня, а также самого названия «корень». С древних времён в уравнениях, как правило, фигурировали как неизвестное, так и его степени, т.е. неизвестное являлось основой возникающих соотношений. Индийцы называли его «мула»–корень (дерева), основание, начало; арабы – «джузр» – корень,основание квадрата, а европейцы,сохранив смысл, перевели его на латынь. Так появилось название radix(по-латыни «корень»), отсюда – радикал. Сначала обозначение корня сократили до R_x, затем до строчной буквы r. В дальнейшем букваr трансформировалась в знак. Рене Декарт объединил его с горизонтальной чертой, которую ставили над подкоренным выражением, в результате появился современный знак. Относительно квадратных корней дополнительных указаний не делали. Извлечение корня считается седьмой операцией над числами.

III. Подводятся итоги работы групп, итоги урока.

Выводы:

на уроке повторили основные моменты теории (определение квадратного корня, свойства и график функции,решение уравнений вида).Выставляются оценки за работу на уроке.

IV. Домашнее задание (слайд 6).

Для домашнего задания используются проверочные работы с элементами тестирования. Алгебра 8 класс. «Лицей», 2003г, автор Альхова З.Н.

Первой группе: тест № 7 вариант 2, № 1- 4 из обязательной части теста.

Второй группе: тест №7 вариант 2, № 5-9 из допол

Краткое описание документа:

Цели: продолжить формирование умения решать графически системы уравнений; дать наглядные представления о возможном количестве решений систем уравнений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Сколько решений имеет система уравнений, если графики уравнений, входящих в нее, изображены ниже на рисунке?

а)           б) 

в) 

III. Проверочная работа.

В а р и а н т  1

Решите графически систему уравнений:

а)                         б)

В а р и а н т  2

Решите графически систему уравнений:

а)                          б)

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

1. № 420, № 422.

2. № 421.

После выполнения № 421 можно поставить перед учащимися вопрос: сколько решений может иметь система уравнений? При поиске ответа на этот вопрос предложить им использовать графические представления.

В итоге, учащиеся должны прийти к выводу, что система уравнений может иметь одно, два, три, четыре решения, а может не иметь решений. К каждой из этих ситуаций учащиеся в тетрадях должны изобразить по несколько примеров.

О д н о   р е ш е н и е:

Д в а   р е ш е н и я:

Т р и   р е ш е н и я:

Ч е т ы р е   р е ш е н и я:

Н е т   р е ш е н и й:

В классе с высоким уровнем подготовки можно дополнительно выполнить еще несколько номеров.

1. № 423.

Р е ш е н и е

Графиком уравнения х² – 4 = 0 будут две прямые: х = 2 и х = –2, а графиком уравнения у² – 9 = 0 – прямые у = 3 и у = –3.

Таким образом, данная система имеет 4 решения.

О т в е т: (–2; 3), (–2; –3), (2; 3), (2; –3).

2. № 525.

Р е ш е н и е

Графиком уравнения х² + у² = r² является окружность с центром в начале координат и радиусом r. Графиком уравнения у = – х² + 4 является парабола.

Для  нахождения  возможного  количества  решений  этой  системы нужно построить параболу и рассмотреть варианты расположения окружности х² + у² = r² относительно этой параболы.

В результате получаем следующие графические иллюстрации:

Таким образом, данная система уравнений может иметь два, три, четыре решения, а может не иметь решений.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:

– В чем состоит суть графического способа решения систем уравнений?

– Что такое решение системы уравнений?

– Сколько может иметь решений система уравнений?

Домашнее задание: № 419, № 524.

Д о п о л н и т е л ь н о: № 526.