Решение систем линейных уравнений методом интервалов

• 1 слайд

  7 класс
  Решение систем линейных уравнений
  методом сложения
  

• 2 слайд

  Пример № 1.
  Решить систему уравнений
  х+у=6 2х−у=3
  

• 3 слайд

  1 шаг
  Определим в каком уравнении легче выразить одну величину через другую
  В нашем случае это первое уравнение : х+у=6
  Это уравнение мы переписываем для дальнейшего решения, не изменяя его
  

• 4 слайд

  2 шаг – получение второго уравнения, путем сложения двух уравнений
  Сложим два уравнения первой системы:
  1) Коэффициенты при х складываем отдельно, рассуждая так: х+2х=3х
  2) Коэффициенты при у складываем отдельно, рассуждая так:
  у+(-у)=0у ( то есть у в уравнении не будет)
  3) Свободные коэффициенты складываем отдельно:
  6+3=9
  Таким образом мы получаем второе уравнение нашей новой системы: 3х=9
  

• 5 слайд

  В тетради в результате наших двух шагов должна появиться запись:
  
  х+у=6 2х−у=3 х+у=6 3х=9
  

• 6 слайд

  3 шаг – решить второе уравнение и найти в нем неизвестную величину
  Первое уравнение переписываем без изменения
  Второе уравнение решаем – нужно найти х
  
  х+у=6 2х−у=3 х+у=6 3х=9 х+у=6 х=9:3 х+у=6 х=3
  

• 7 слайд

  4 шаг – подставить найденное число в первое уравнение
  Второе уравнение переписываем без изменения
  В первое уравнение подставляем число 3 и решаем систему до конца
  В тетради должна быть такая запись:
  х+у=6 2х−у=3 х+у=6 3х=9 х+у=6 х=9:3 х+у=6 х=3 3+у=6 х=3
  у=6−3 х=3 у=3 х=3
  
  

• 8 слайд

  5 шаг - проверка
  Подставляем в первоначальное условие системы
  х+у=6 2х−у=3
  вместо х=3, вместо у=3 , получаем:
  Проверка:
  3+3=6 2∗ 3−3=3 6=6 3=3 (верно)
  
  
  
  

• 9 слайд

  6 шаг – записать ответ.
  Правильное оформление примера:
  х+у=6 2х−у=3 х+у=6 3х=9 х+у=6 х=9:3 х+у=6 х=3 3+у=6 х=3
  у=6−3 х=3 у=3 х=3
  Проверка:
  3+3=6 2∗ 3−3=3 6=6 3=3
  Ответ (3;3)
  
  

• 10 слайд

  Пример № 2.
  Решить систему уравнений
  
  х+у=6 2х+у=−3
  

• 11 слайд

  1 шаг
  Определим, в каком уравнении легче выразить одну величину через другую
  В нашем случае это первое уравнение: х+у=6
  Это легкое уравнение мы переписываем для дальнейшего решения, не изменяя его
  

• 12 слайд

  2 шаг –Уравнять коэффициенты (или Умножить на коэффициент)
  Если сложить х и 2х, то получится 3х: х+2х=3х
  Если сложить у и у, то получится 2у: у+у=2у
  Таким образом ни одна из переменных не уничтожилась, поэтому в таких уравнениях нужно выполнить умножение обоих уравнений на коэффициент
  Допустим, что хотим чтобы уничтожился у, уравняем коэффициенты при у, поэтому
  Первое уравнение умножим на 1, а второе уравнение умножим на -1
  Получим следующую систему: х+у=6│ 1 2х+у=−3│−1 х+у=6 −2х−у=3
  

• 13 слайд

  3 шаг – сложение уравнений
  Сложим два уравнения второй системы:
  Коэффициенты при х складываем отдельно, рассуждая так: х+(-2х)=-х
  Коэффициенты при у складываем отдельно, рассуждая так:
  у+(-у)=0у ( то есть у в уравнении не будет)
  Свободные коэффициенты складываем отдельно:
  6+3=9
  Таким образом мы получаем второе уравнение нашей новой системы: - х=9
  

• 14 слайд

  В тетради в результате наших двух шагов должна появиться запись:
  х+у=6│ 1 2х+у=−3│−1 х+у=6 −2х−у=3 х+у=6 −х=9
  

• 15 слайд

  4 шаг – нахождение неизвестного из второго уравнения
  Первое уравнение переписываем
  Второе уравнение решаем до конца, пока не найдем результат
  В тетради должно быть записано:
  х+у=6│ 1 2х+у=−3│−1 х+у=6 −2х−у=3 х+у=6 −х=9 х+у=6 х=−9
  

• 16 слайд

  5 шаг – подставить найденное число в первое уравнение
  Второе уравнение переписываем без изменения
  В первое уравнение подставляем число -9 и решаем систему до конца
  В тетради должна быть сделана запись:
  х+у=6│ 1 2х+у=−3│−1 х+у=6 −2х−у=3 х+у=6 −х=9 х+у=6 х=−9 −9+у=6 х=−9 у=6−(−9) х=−9
  у=6+9 х=−9 у=15 х=−9
  
  

• 17 слайд

  6 шаг - проверка
  Подставляем в первоначальное условие системы х+у=6 2х+у=−3
  Вместо х = - 9, вместо у = 15
  
  Проверка:
  −9+15=6 2∗ −9 +15=−3 6=6 −3=−3 ( верно)
  
  

• 18 слайд

  7 шаг – записать ответ
  В тетради все задание должно быть записано так:
  
  х+у=𝟔│ 𝟏 𝟐х+у=−𝟑│−𝟏 х+у=𝟔 −𝟐х−у=𝟑 х+у=𝟔 −х=𝟗 х+у=𝟔 х=−𝟗 −𝟗+у=𝟔 х=−𝟗
  
  у=𝟔−(−𝟗) х=−𝟗 у=𝟔+𝟗 х=−𝟗 у=𝟏𝟓 х=−𝟗
  
  Проверка:
  
  −𝟗+𝟏𝟓=𝟔 𝟐∗ −𝟗 +𝟏𝟓=−𝟑 𝟔=𝟔 −𝟑=−𝟑 (верно)
  
  Ответ (-9;15)
   
  
  

• 19 слайд

  Пример № 3
  
  х 3 + у 2 =4 х 5 − у 2 =−4
  

• 20 слайд

  Шаг 1. Умножение уравнений на коэффициент
  Умножим первое уравнение на 6 (НОК для знаменателей 3 и 2)
  Умножим второе уравнение на 10 (НОК для знаменателей 5 и 2)
  х 3 + у 2 =4 х 5 − у 2 =−4 х 3 + у 2 =4 │ 6 х 5 − у 2 =−4 │ 10
  В первом уравнении получим: х 3 *6=2х ; у 2 *6=3у; 4*6=24
  Во втором уравнении получим: х 5 *10=2х; у 2 *10=5у; -4*10=-40
  Таким образом получим: 2х+3у=24 2х−5у=−40
  

• 21 слайд

  Шаг 2 Уравняем коэффициенты при у
  Умножим первое уравнение на 1:
  2х*1=2х; 3у*1=3у; 24*1=24
  Умножим второе уравнение на -1:
  2х*(-1)=-2х; -5у*(-1)=5у; -40*(-1)=40
  Получим новую систему:
  2х+3у=24 │1 2х−5у=−40 │−1 2х+3у=24 −2х+5у=40
  

• 22 слайд

  Запись в тетради:
    х 3 + у 2 =4 х 5 − у 2 =−4 х 3 + у 2 =4 │ 6 х 5 − у 2 =−4 │ 10 2х+3у=24 2х−5у=−40
  
  2х+3у=24 │1 2х−5у=−40 │−1 2х+3у=24 −2х+5у=40
  

• 23 слайд

  Шаг 3. Применим метод сложения
  Первое уравнение перепишем без изменения
  Второе уравнение получим путем сложения уравнений предыдущей системы уравнений
  Решим второе уравнение
  Подставим результат второго уравнения в первое уравнение
  Найдем решение системы
  
  
  

• 24 слайд

  Запись системы в тетради
  
  х 3 + у 2 =4 х 5 − у 2 =−4 х 3 + у 2 =4 │ 6 х 5 − у 2 =−4 │ 10 2х+3у=24 2х−5у=−40
  
  2х+3у=24 │1 2х−5у=−40 │−1 2х+3у=24 −2х+5у=40 2х+3у=24 8у=64 2х+3у=24 у=64:8
  
  2х+3у=24 у=8 2х+3∗8=24 у=8 2х+24=24 у=8 2х=24−24 у=8 2х=0 у=8
   
  х=0 у=8
  
  

• 25 слайд

  Шаг 4 Проверка
  Подставим в первоначальную систему х 3 + у 2 =4 х 5 − у 2 =−4
  вместо х=0, вместо у=8
  0 3 + 8 2 =4 0 5 − 8 2 =−4 4=4 −4=−4
  верно
  
  

• 26 слайд

  Правильная запись решения системы в тетради
  
  х 𝟑 + у 𝟐 =𝟒 х 𝟓 − у 𝟐 =−𝟒 х 𝟑 + у 𝟐 =𝟒 │ 𝟔 х 𝟓 − у 𝟐 =−𝟒 │ 𝟏𝟎 𝟐х+𝟑у=𝟐𝟒 𝟐х−𝟓у=−𝟒𝟎
  
  𝟐х+𝟑у=𝟐𝟒 │𝟏 𝟐х−𝟓у=−𝟒𝟎 │−𝟏 𝟐х+𝟑у=𝟐𝟒 −𝟐х+𝟓у=𝟒𝟎 𝟐х+𝟑у=𝟐𝟒 𝟖у=𝟔𝟒 𝟐х+𝟑у=𝟐𝟒 у=𝟔𝟒:𝟖
  
  𝟐х+𝟑у=𝟐𝟒 у=𝟖 𝟐х+𝟑∗𝟖=𝟐𝟒 у=𝟖 𝟐х+𝟐𝟒=𝟐𝟒 у=𝟖 𝟐х=𝟐𝟒−𝟐𝟒 у=𝟖 𝟐х=𝟎 у=𝟖 х=𝟎 у=𝟖
  
  ПРОВЕРКА:
  𝟎 𝟑 + 𝟖 𝟐 =𝟒 𝟎 𝟓 − 𝟖 𝟐 =−𝟒 𝟒=𝟒 −𝟒=−𝟒 верно
  
  Ответ: (0;8)
  
  

• 27 слайд

  Пример № 4
  
  
  3 2х−у +5=−2 х+3у +4 6 у+1 −1=5 2х−1 +8
  
  
  
  
  

• 28 слайд

  
  𝟑 𝟐х−у +𝟓=−𝟐 х+𝟑у +𝟒 𝟔 у+𝟏 −𝟏=𝟓 𝟐х−𝟏 +𝟖 𝟔х−𝟑у+𝟓=−𝟐х−𝟔у+𝟒 𝟔у+𝟔−𝟏=𝟏𝟎х−𝟓+𝟖
  
  𝟔х+𝟐х−𝟑у+𝟔у=𝟒−𝟓 −𝟏𝟎х+𝟔у=−𝟓+𝟖−𝟔+𝟏 𝟖х+𝟑у=−𝟏 −𝟏𝟎х+𝟔у=−𝟐
  
  𝟖х+𝟑у=−𝟏 │ −𝟏𝟎х+𝟔у=−𝟐│:−𝟐 𝟖х+𝟑у=−𝟏 𝟓х−𝟑у=𝟏
  
  𝟖х+𝟑у=−𝟏 𝟏𝟑х=𝟎 𝟖х+𝟑у=−𝟏 х=𝟎:𝟏𝟑 𝟖х+𝟑у=−𝟏 х=𝟎
  
  𝟖∗𝟎+𝟑у=−𝟏 х=𝟎 𝟑у=−𝟏 х=𝟎 у=−𝟏:𝟑 х=𝟎 у=− 𝟏 𝟑 х=𝟎
  

• 29 слайд

  Проверка
  𝟑 𝟐∗𝟎−(− 𝟏 𝟑 ) +𝟓=−𝟐 𝟎+𝟑(− 𝟏 𝟑 ) +𝟒 𝟔 − 𝟏 𝟑 +𝟏 −𝟏=𝟓 𝟐∗𝟎−𝟏 +𝟖 𝟑∗(𝟎+ 𝟏 𝟑 )+𝟓=−𝟐∗ 𝟎−𝟏 +𝟒 𝟔∗ 𝟐 𝟑 −𝟏=𝟓∗ 𝟎−𝟏 +𝟖
  
  𝟑∗ 𝟏 𝟑 +𝟓=−𝟐∗ −𝟏 +𝟒 𝟒−𝟏=𝟓∗ −𝟏 +𝟖 𝟏+𝟓=𝟐+𝟒 𝟑=−𝟓+𝟖
  
  𝟔=𝟔 𝟑=𝟑 верно
  
  Ответ : 𝟎;− 𝟏 𝟑