Тема занятия « Решение систем линейных
уравнений (с двумя переменными) с параметрами.
Цели: формировать умение решать системы
линейных уравнений с параметрами, осуществлять оперативный контроль учащихся,
развивать умения сравнивать и обобщать закономерности.
Ход урока
I. Актуализация
знаний.
- при каких значениях
переменных имеют смысл выражения:
; 
; 
решите уравнение
= 0, 
= 0, 
= 0.
II.
Объяснение теоретического материала.
Определение : системой
линейных уравнений с двумя переменными называется два линейных уравнения,
рассматриваемых совместно:
Решением системы линейных уравнений называются
такие пары чисел (х;у), которые являются решениями одновременно и первого, и
второго уравнения системы.
Если система уравнений имеет решения , то
говорят, что она совместна.
Совместную систему уравнений называют
определённой, если она имеет единственное решение.
Совместную систему уравнений называют
неопределённой, если она имеет более одного решения.
Пусть 
отличны от нуля.
1. Если
, то система имеет
единственное решение.
2. Если
, то система не имеет решений.
3. Если
, то система имеет бесконечное
множество решений.
Если с₁=с₂=0,
то система называется однородной и всегда имеет решение (0;0).Если однородная
система имеет не нулевое решение (х
значит она имеет бесконечное
множество решений (
)
Пример 1. При
каких значения параметра а система 
а) имеет бесконечное множество решений :
б) имеет единственное решение.
Решение .
Воспользуемся условием 3.
, а=4
б) Воспользуемся условием 1
, а
4
Обратим внимание на то, что уравнения
поменяли местами, т.к. число а не определенно. В нашем случае а=0 является
решением в случае б), чтобы не было недоразумений с делением на нуль, лучше
вторым считать уравнение, в которым все коэффициенты определены и не равны
нулю.
Ответ: а) если а=4, то система имеет
бесконечное множество решений; б) ) если а4, то система имеет единственное
решение.
Пример 2.
Решить систему уравнений :
а) система имеет
единственное решение, если
, то есть m
Решим систему при m
, откуда у=
, где m1.
Найдём х, воспользовавшись любым уравнением
системы:
x=n-2∙
x=
при m1 решением системы является
пара чисел (
б) система не имеет решение, если 
, т.е. m=1,
n.
в) система имеет бесконечное множество решений,
если 
т.е. m=1,
n
.
Пары вида (
где 
- любое число, являются
решениями данной системы.
Ответ: система не имеет решение, m=1,
n, система имеет бесконечное
множество решений вида (, если m=1,
n; при m и n-любое
число система имеет одно решение (
Пример 3
(учащиеся выполняют самостоятельно). Решите систему уравнений :
Решение: система имеет одно решение, т.к. 
Найдём его: 
=
, откуда у=
.
Найдём теперь х: х= а- , х = 
Ответ: (
Пример 4.Графики
функций у=(4-а)х+а и у=ах+2 пересекаются в точке с абсциссой -2. Найдите
ординату этой точки.
Решение: х=-2 является решением системы 
, тогда имеем 
,
,
а=2.⃓
Подставим значения а и х в любое уравнение
системы и найдем у.
у=-2
Ответ: у=-2
Пример 5.
Графики функций у= кх-4 и у=2х+в симметричны относительно оси абсцисс. Найдите:
а) в и к; б) точку пересечения графиков.
Решение: Графики функций симметричны
относительно оси абсцисс, значит в=4 и пересекаются в точке (х;0). Получим систему:
, 
Ответ: а) в=4,
; б) (-2:0)
Пример 6.
Решите уравнение 
⃓+⃓х+а׀ =0
Решение: т.к. каждое слагаемое неотрицательно,
то можно перейти к системе:
, 
, откуда а=-2.
Ответ: если а=-2,то 
если а-2, то решений нет.
III.
Решение задач.
1) Решить
систему уравнений :
( ответ: при а=1 х-любое
число, у=1-х; при а=-1 решений нет, при а
х=
, у=-
)
2) Найдите
все значения параметра а, при которых систему уравнений 
не имеет решений. ( ответ:
при а=
3) Найдите
все значения параметра р, при которых систему уравнений 
не имеет решений. ( ответ:
при р=
IV.
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА.
Вариант 1
1. Найдите
значения параметра к, при которых систему уравнений 
имеет бесконечное множество
решений. (Ответ:к=2,5)
2. Решить
систему уравнений :
(Ответ:при а
; при а=1 х-любое число,
у=2х-5)
Вариант 2
1. Найдите
значения параметра d, при которых систему
уравнений не имеет решений. ( Ответ:d=-20)
2. Решить
систему уравнений :
(Ответ: при m=-1,5
х-любое число, у=-3+ 1,5х; при m-1,5 х=0, у=-3)
Домашнее задание:
1. Найдите
значения параметра в, при которых систему уравнений 
а) не имеет решений; б)
имеет бесконечное множество решений. ( ответ: а) в
; в) в=10)
2. .
Графики функций у= 4х+в и у=кх+6 симметричны относительно осиординат. Найдите:
а) в и к; б) точку пересечения графиков.(Ответ: а) в=6, к=-4; б) (0;6)
3. Решить
систему уравнений :
( Ответ: при mn=1,
m,n
решений нет; при, m,n
х- любое число, у=1+mx,
при mn1, m,n х=
y=
.
