Решение системы линейных уравнений.

Практическая работа № 28

Тема: Решение системы линейных уравнений.

Цель работы:  решить систему линейных уравнений основными методами.

Студен должен:

знать:

-       метод Гаусса;

уметь:

-       решать системы линейных уравнений.

Теоретическое обоснование.

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений с  n  неизвестными:

В ней a_ij – коэффициенты при неизвестных x_j. Решением этой системы называется такой набор значений неизвестных x_j, который удовлетворяет системе.

Коэффициенты a_ij можно записать в виде матрицы (таблицы):

, правую часть системы в виде вектора , а неизвестные в виде вектора . Тогда систему можно записать в виде матрично-векторного уравнения .

Известно, что такая система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда матрица системы невырожденная, т.е.  (определитель матрицы  не равен нулю).

Для решения таких систем используются как прямые методы, в которых получают точные значения неизвестных после применения заранее известного числа операций, так и итерационные методы, в которых число шагов (итераций) заранее неизвестно, и на каждом шаге получают некоторое приближенное решение системы до тех пор, пока не будет получено решение с нужной точностью.

Метод Гаусса

Этот метод относится к прямым методам решения линейных систем. Он основан на приведении матрицы системы к треугольному виду путем последовательного исключения неизвестных из уравнений системы (прямой ход метода Гаусса) и последующем решении этой треугольной системы, начиная с последнего уравнения (обратный ход метода Гаусса).

Сначала с помощью первого уравнения исключается  из всех последующих уравнений системы. Затем с помощью второго уравнения исключается   из третьего и всех последующих уравнений и т.д. При этом, если в уравнении с номером  k  отсутствует неизвестная   (), то производится перестановка этого уравнения с любым нижестоящим уравнением, содержащим эту переменную.

Этот процесс называется прямым ходом Гаусса и продолжается до тех пор, пока в левой части последнего (n-го) уравнения не останется лишь один член с неизвестным .

Если на каком-то этапе этого процесса оказывается, что очередной исключаемой переменной уже нет ни в одном из последующих уравнений, то матрица системы является вырожденной, и метод Гаусса в этом случае неприменим.

Обратный ход метода Гаусса состоит в последовательном вычислении неизвестных. Решая последнее уравнение, находят единственное неизвестное . Далее, используя это значение, из предыдущего уравнения вычисляют  и т.д. Последним находят  из первого уравнения.

Рассмотрим применение метода Гаусса для системы из трех уравнений:

      (1)

Для исключения  из второго уравнения прибавим к нему первое, умноженное на   . Затем, умножив первое уравнение на   и прибавив результат к третьему уравнению, также исключим из него  . Получим равносильную систему уравнений вида:

         (2)

Теперь из третьего уравнения системы (2) нужно исключить . Для этого умножим второе уравнение на    и прибавим результат к третьему. Получим:

     (3)

                    

Матрица системы (3) имеет треугольный вид. На этом завершается прямой ход метода Гаусса.

Заметим, о чем уже говорилось выше, что в процессе исключения неизвестных приходится выполнять операции деления на   и т.д. Поэтому они должны быть отличны от нуля; в противном случае необходимо соответственным образом переставить уравнения системы.

Обратный ход начинается с решения третьего уравнения системы (3):

Используя это значение, можно найти  из второго уравнения, а затем    из первого:

Аналогично строится вычислительный алгоритм для линейной системы с другим числом неизвестных.

Пример 1

Найдем решение следующей линейной системы методом Гаусса:

Сначала с помощью первого уравнения исключим  x₁  из второго и третьего уравнений. Это можно сделать так, как было описано выше.

Но мы для простоты понимания проделаем это в два этапа. Сначала сделаем коэффициенты перед переменной  x₁  во всех уравнениях равными единице, поделив каждое уравнение на коэффициент, стоящий перед этой переменной. Т.е. поделив первое на 2, второе на 2, а третье на 4.

Поместив слева схему производимых действий, запишем полученную систему, эквивалентную исходной:

        

Теперь избавимся от переменной  x₁  во втором и третьем уравнениях, вычтя из них первое:

     

Теперь нам нужно с помощью второго уравнения избавиться от переменной  x₂  в третьем уравнении. Сделаем это тоже в два этапа. Сначала поделим второе уравнение на  0.5, а третье уравнение на  -1.75. Получим систему:

 

Далее преобразуем третье уравнение, вычтя из него второе:

      

На данном этапе система приведена к треугольному виду. Найдем значения неизвестных, начиная с третьего уравнения.

Сделаем проверку, подставив полученные значения неизвестных в левые части уравнений системы, чтобы убедиться в выполнении условий:

Ход работы:

1.     Изучить теоретическое обоснование.

2.     Представить результаты практических заданий преподавателю.

3.     Оформить отчет.

4.     Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1.     Название и цели работы.

2.     Решение системы линейных уравнений по варианту.

3.     Вывод.

Практические задания:

Задание 1. Решить методом Гаусса.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.

Контрольные вопросы.

1.    Как выглядит система линейных уравнений?

2.    В чем заключается прямой ход метода Гаусса?

3.    В чем заключается обратный ход метод Гаусса?

4.    Для какой цели предназначен метод Гаусса?

Литература.

1.     И. Ю. Ефимова  Компьютерное моделирование. Сборник практических работ – М-Флинта, 2014 г.

2.     Овечкин Г. В. Компьютерное моделирование. Учебник  – М., 2015 г