Нестандартные методы решения стереометрических задач

при подготовке к ЕГЭ

Нестандартные методы решения стереометрических задач на ЕГЭ включают метод координат, векторный метод, метод объемов (интегрирование и метод "карандаша"), метод площадей и метод сечений (призмы, пирамиды). Также полезно применять преобразование фигур, метод аналогии (плоскость-пространство), а также геометрические построения и алгебраический метод.

Методы решения

·                     Метод координат: Построение системы координат и нахождение координат вершин фигуры, а затем использование формул для вычисления расстояний и углов.

·                     Векторный метод: Использование векторов для представления точек и направлений, что позволяет упростить решение задач, связанных с углами и расстояниями.

·                     Метод объемов:

o         Интегрирование: Для вычисления объемов сложных тел, хотя этот метод не входит в стандартную программу ЕГЭ.

o         Метод "карандаша": Разделение фигуры на более простые части, например, на треугольные пирамиды.

·                     Метод сечений:

o         Призмы: Разделение призмы на более простые фигуры, такие как треугольные призмы.

o         Пирамиды: Разделение пирамиды на треугольные пирамиды.

·                     Метод аналогии (плоскость-пространство): Перенос известных методов решения планиметрических задач в стереометрию. Например, если есть параллелограмм, то в пространстве это будет параллелепипед.

·                     Геометрические построения: Используются для построения вспомогательных фигур, которые помогают визуализировать задачу и найти решение.

·                     Метод площадей: Применение формулы для площади проекции фигуры.

·                     Преобразование фигур: Замена фигуры на эквивалентную, но более простую, чтобы облегчить решение. 

Дополнительные методы

·                     Метод алгебраического решения: Представление геометрических объектов в виде уравнений и решение их алгебраически.

·                     Метод проб и ошибок: Поиск решений путем перебора различных вариантов и гипотез. Этот метод может быть полезен для задач, где нет четкого алгоритма.

·                     Метод “карандаша”: Один из методов решения задач на объем. Он основан на делении фигуры на более простые части (например, треугольные пирамиды), объем которых можно вычислить по стандартным формулам. 

Важные навыки

·                     Теоретическая подготовка: Необходимо выучить все формулы, теоремы и аксиомы стереометрии.

·                     Чертежи: Умение строить правильные, наглядные чертежи играет ключевую роль в решении задач.

·                     Практика: Для успешного решения задач необходимо много практиковаться, решая задачи различных уровней сложности. 

Как научиться решать стереометрические задачи C2 (№14) из ЕГЭ по математике? Этот вопрос в преддверии экзамена возникает у будущих выпускников все чаще. Нас учителей этот вопрос так же волнует, т.к. мы занимаемся подготовкой школьников к сдаче ЕГЭ.

Отметим основные виды задач второй части ЕГЭ:

·                   Задача на доказательство и вычисление.

·                   Угол между скрещивающимися прямыми. 

·                   Угол между прямой и плоскостью. 

·                   Угол между плоскостями. 

·                   Расстояние от точки до прямой и до плоскости. 

·                   Расстояние между прямыми и плоскостями. 

·                   Сечения многогранников. 

·                   Объёмы многогранников. 

·                   Круглые тела: цилиндр, конус.

  Сегодня мы поговорим с вами о двух основных метода решения задач C2 из ЕГЭ по математике. Условно назовем их «методом построений» и «векторным методом». Каждый из них удобен в том или ином случае.

Наиболее универсальным является «метод построений», с его помощью можно решить практически любую задачу по стереометрии из тех, что предлагаются в вариантах ЕГЭ по математике. Однако, он не всегда целесообразен с точки зрения временных и вычислительных затрат. В этом случае на помощь приходит  векторный метод. Но обо всем по порядку.

      Итак, что же нужно, чтобы решать задачи C2 с использованием «метода построений». Необходимым (но, конечно, не достаточным) условием является безупречное знание и понимание основных теорем стереометрии, связанных с взаимным расположением прямых и плоскостей в пространстве. Они потребуются для доказательств, которые непременно сопровождают решение практически любой задачи C2, без которых часть баллов за это задание на экзамене может быть потеряна.

Приведем в справочном виде основные из этих теорем (данный систематизированный материал вы можете использовать  в качестве  справочного и методического материала при подготовке  учащихся к ЕГЭ)

Итак, задачи 14 из ЕГЭ. Какие же это задачи?

 Я бы хотела показать Вам разбор задач типа 14 двумя методами: вычислительно-аналитическим и векторно-координатным.

1)  Задача на нахождение угла между двумя скрещивающимися прямыми.

• Углом между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образованных при пересечении прямых.

• 0˚ < ∠(a;b)≤ 90˚ .

• Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся.

• Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90˚ .

• Угол между параллельными прямыми считается равным нулю.

• При нахождении угла между прямыми используют:

1) формулу  cosφ  =   для нахождения углаφ  между прямыми m и l , если стороны а и b треугольника АВС соответственно параллельны этим прямым;

2) формулу  cosφ  =   или в координатной форме   cosφ =

для нахождения угла φ между прямыми m и l , если векторы  (х₁;у₁;z₁) и (х₂;у₂;z₂) параллельны соответственно этим прямым; в частности, для того чтобы прямые m и l были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы = 0 или x₁·x₂ + y₁·y₂+z₁·z₂ = 0.

Пример.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол  между прямыми A₁D и D₁E , где Е – середина  ребра CC₁ .

Решение.

1-й способ.  

 Пусть F – середина ребра  ВВ₁ , а –ребро куба, φ - искомый угол.

Так как A₁ F ǁ D₁ E  , то φ - угол при вершине  A₁ в треугольнике A₁FD.

Из треугольника BFD имеем

FD² = BD² + BF² = 2a² +  = ,

 а  из треугольника A₁B₁F  получаем

A₁ F ² = A₁B₁² + B₁F ² = a² + = , откуда

A₁F =

Далее в треугольнике A₁FD используем теорему косинусов

FD² = A₁D ² + A₁F ² –2 A₁D · A₁Fcosφ,

 = 2а² +-  2 · · cosφ ,  откуда

cosφ =    и  φ = arccos  .

Ответ:  arccos  .

2-й способ.

Введем прямоугольную систему координат, как указано на рисунке.

Не нарушая общности задачи, обозначим длину ребра куба а.

Тогда А₁(0; а; а), D(а; а; 0), D₁(а; а; а),

 Е(а; 0;  ).

Найдём координаты направляющих векторов прямых A₁D и D₁E

= , = .

Тогда

сosφ =  =  = .

cosφ =    и  φ = arccos  .

Ответ:  arccos  .

2) Задача на нахождение угла между прямой и плоскостью.

• Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.   0˚ < ∠(a;α ) < 90˚ .

• Угол между взаимно перпендикулярными прямой и плоскостью равен 90˚ .

• Если прямая параллельна плоскости (или лежит в ней), то угол между ними считается равным 0˚ .

   Угол между прямой l и плоскостью α можно вычислить:

1) если этот угол удается включить в прямоугольный треугольник в качестве одного из острых углов;

2) по формуле  sinφ =  или в координатной форме

sin φ =   , где

(x₁ ; y₁ ; z₁) - вектор нормали плоскости α ,

(x₂ ; y₂ ; z₂) - направляющий вектор прямой l;

• прямая l и плоскость α параллельны тогда и только тогда, когда

 x₁ x₂ + y₁ y₂ + z₁ z₂ = 0 .

Пример.

В кубе ABCDA₁ B₁ C₁ D₁ точка Е – середина ребра  A₁ В₁ . Найдите синус угла между прямой АЕ и плоскостью  ВDD₁ .

Решение.

1-й способ.

     Угол между прямой АЕ и плоскостью ВDD₁ будем искать как угол  между данной плоскостью и прямой DЕ₁, параллельной прямой АЕ.

Из точки Е₁ опустим перпендикуляр Е₁Е₂ на прямую В₁D₁.

Искомый угол – это угол между прямыми DE₂ и DE₁.

Пусть сторона куба равна а.

А₁С₁ =  а.

Е₁Е₂ = · А₁С₁ =  · а =  .

DE₁ =  = .

=  =  :   =     =  = .

Ответ:  .

2-й способ.

Введем прямоугольную систему координат, как указано на рисунке.

Не нарушая общности задачи, обозначим длину ребра куба а.

За вектор нормали плоскости ВDD₁ возьмем вектор

Найдём координаты нужных точек.

А(0; 0; 0), Е(0;  ; а), С(а; а; 0).

Тогда = , = .

sin φ =   =  =  .

Ответ:  .

3)  Задача на нахождение угла между двумя плоскостями.

• Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру.

• Величина двугранного угла принадлежит промежутку (0˚ ;180˚ ).

• Величина угла между пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку (0˚ ;90˚ ].

• Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным 0˚ .

Угол между пересекающимися плоскостями можно вычислить:

1) как угол между прямыми, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными к линии их пересечения;

2) как угол треугольника, если удается включить линейный угол в некоторый треугольник;

3) как угол между перпендикулярными им прямыми;

4) по формуле 

  или в координатной форме

где  (

Пример.

Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямоугольник ABCD, в котором АВ = 12, AD =  . Найдите косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD перпендикулярно прямой  BD₁, если расстояние между прямыми AC и  B₁D₁ равно 5.

Решение.

 1-й способ.

    Решение этой задачи вычислительно-аналитическим методом очень громоздкое и сложное, даже выполнить чертеж к этой задаче крайне сложно, поэтому я его не привела, а методом координат эта задача решается легко и просто.  

2-й способ.

   Легко видеть, что этот угол равен углу между нормалями к этим плоскостям.

 Вектор – вектор нормали плоскости основания.

А вектором нормали плоскости, проходящей через середину ребра АD перпендикулярно прямой ВD₁ будет вектор.

   Введем прямоугольную систему координат, как указано на рисунке.

Найдём координаты нужных точек, т.е. точек А, А₁, В, D₁.

А (0; 0; 0), А₁(0; 0; 5), В(0; 12; 0),

 D₁(; 0; 5).

Тогда   = , = .

=  =  =

 =  =  .

Ответ:  .                                    

     Стереометрические задачи на нахождение углов в пространстве можно разделить  на три группы:

1)                это задачи на нахождение угла между скрещивающимися прямыми,

2)                задачи на нахождение угла между прямой и плоскостью и

3)                  на нахождение угла между двумя плоскостями.

    Так как, я считаю, что векторно-координатный метод является более рациональным, то я сформулировала алгоритмы решения стереометрических задач данным методом по озвученной теме.

     Алгоритм нахождения угла между скрещивающимися прямыми:

1) мы ввели прямоугольную систему координат,

 2) нашли координаты нужных точек,

3) затем нашли координаты направляющих векторов прямых и

4) вычислили косинус угла между ними.

     Следующий алгоритм несущественно отличается от предыдущего.

Алгоритм нахождения угла между прямой и плоскостью.

Третьим шагом мы должны ввести нормальный вектор к плоскости и найти его координаты, а затем вычислить синус искомого угла. Он равен косинусу угла между направляющим вектором прямой и вектором нормали  к плоскости.

     При решении задачи на нахождение угла между двумя плоскостями, необходимо найти координаты нормальных векторов к заданным плоскостям и вычислить по формуле модуль косинуса угла между этими векторами.

Выводы

Рассмотрев различные подходы к решению задач, и проанализировав “эффект” от применения этих способов решения можно сделать следующие выводы:

- учащиеся выбирают метод решения задачи в соответствии со своими математическими предпочтениями, базирующимися на более прочных знаниях и уверенных навыка;

- рекомендовать учащимся  составлять план последовательных этапов для достижения результата;

- используя основные теоремы стереометрии  обосновывать все предпринимаемые шаги и вычисления;

 Данный материал направлен на  развитие пространственного мышления учащихся, на  подготовку к сдаче ЕГЭ.

Метод координат, его плюсы  и минусы

—     Избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных изображений. +

—     При решении не нужна высокая степень сообразительности, что негативно сказывается на творческих способностях учащихся. -

—     Одна и та же задача получает различное аналитическое представление в зависимости от того или иного выбора системы координат.  -

—     Нацелен на результат ЕГЭ, т.е. в рамках учебного времени, даёт возможность «натаскивания» учащихся на решение подобного типа задач. + и –

—     Нет необходимости в дополнительных построениях каких-либо сечений, линейных углов, линий пересечения плоскостей. Полностью отсутствует доказательства, обоснование того или иного применения теорем стереометрии. +

—     Экономит время и место в оформлении задачи. +

—     Легко усваиваемый большинством учащихся с разной математической подготовкой. +