Решение типовых задач по дисциплине "Метрология, стандартизация и сертификация"

Разбор решения типовых задач по дисциплине «Метрология, стандартизация и сертификация»

Пример 1

Погрешность измерения напряжения DU распределена по нормальному закону, причем систематическая погрешность DU_с равна нулю, а s равно 50 мВ.

Найдите вероятность того, что результат измерения U отличается от истинного значения напряжения U_и не более чем на 120 мВ.

Решение. Из выражения

Р_д = Р [ - D₁ £ D £ D₂ ] = ½  { Ф [ (D₂ -D_с)/s ] + Ф [ (D₁ + D_с)/s ] }          ( 1 )

при D_с = 0 и D₁ = D₂

следует, что

Р_д = Р [ çD ç £  D₁ ] = Ф  (D₁ / s).                                                                 ( 2 )

Воспользовавшись ( 2 ) и найдя по таблицам интеграл вероятности Ф (z), получим

Р_д = Р [ ç U  - U_и ç £  120 ] = Ф (120 / 50) = 0,984.

Пример 2

Погрешность измерения напряжения DU распределена по нормальному закону, причем систематическая погрешность DU_с равна 30 мВ, а s равно 50 мВ.

Найдите вероятность того, что результат измерения U отличается от истинного значения напряжения U_и не более чем на 120 мВ.

Решение. Если в результате измерения U не вносить поправку, учитывающую систематическую погрешность, то для нахождения искомой вероятности можно воспользоваться соотношением ( 1 ):

Р_д = Р [U - D₂ £ U_и £ U + D₁ ] = Р [- D₁ £ DU £  D₂] = ½ {Ф [(120 - 30) / 50] + Ф [(120 +30)/50]} =0,963.

Если в результат измерения U внести поправку, т.е. считать, что

U_испр = U -  DU_с,

 то

Р_д = Р [U_испр - D₂ £ U_и £ U_испр + D₁ ] = Р [- D₁ £ DU - DU_с £  D₂] = Ф (120 / 50) = 0,984.

Нетрудно заметить, что для нормального закона распределения погрешностей при одинаковом доверительном интервале доверительная вероятность больше в том случае, когда DU_с равна нулю  или внесена соответствующая поправка в результат измерения.

Пример 3

В результате поверки амперметра установлено, что 70% погрешностей результатов измерений, произведенных с его помощью, не превосходят ± 20 мА. Считая, что погрешности распределены по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием, определить среднюю квадратическую погрешность.

Решение. Воспользовавшись ( 2 ), получим

Р [ çD ç £  20 ] = Ф  (20 / s) = 0,7.                     

Найдя значение функции Ф (z) по таблицам, находим значение аргумента:

20 / s = 1,04,

откуда s = 19 мА.

Пример  4

Погрешности результатов измерений, произведенных с помощью амперметра, распределены по нормальному закону; s равно 20 мА, систематической погрешностью можно пренебречь. Сколько независимых измерений нужно сделать, чтобы хотя бы для одного из них погрешность не превосходила ± 5 мА с вероятностью не менее 0,95?

Решение. Вероятность того, что при одном измерении погрешность не превзойдет ± 5 мА, равна

 Р = P  [ çD ç <  5 ] = Ф  (5 / 20) = 0,197. 

Вероятность того, что при n независимых измерениях ни одно из них не обеспечит погрешности, меньшей  ± 5 мА, равна

(1 – Р)ⁿ = 0,803ⁿ.

Следовательно,

0,803ⁿ £ 0,05,

откуда

n ³ (lg 0,05 / lg 0,803) = 13,6.

Так как число измерений n может быть только целым, то

n ³ 14.

Пример 5

Сопротивление R составлено из параллельно включенных сопротивлений R1 и R2, математические ожидания и средние квадратические отклонения которых известны: m₁ = 12 Ом; m₂ = 15 Ом; s₁ = 1 Ом; s₂ = 0,5 Ом. Найдите математическое ожидание m_R и среднюю квадратическую  погрешность s_R сопротивления R.

Решение. При параллельном соединении

R = R1 R2 / (R1 + R2).

Воспользуемся формулами для нахождения математического ожидания m_у и среднего квадратического отклонения s_у   

m_у = F (m_у1, m_у2, …, m_уn);

                                                         n

s_у = Ö å (¶F / ¶y_i)²_m s²_yi,

                                                       i = 1

где  (¶F / ¶y_i)_m - частная производная функции F (у₁, у₂, …, у_n) по y_i, взятая в точке (m_у1, m_у2, …, m_уn).

Тогда

m_R = m₁ m₂ / (m₁ + m₂) = 12× 15 / (12 + 15) = 6,67 Ом.

Для нахождения s_R вычислим сначала частные производные:

(¶R / ¶R1)_m = (¶R2 / R1 + R2)²_m =( m₂ / m₁+ m₂ )² = 0,31,

(¶R / ¶R2)_m = (¶R1 / R1 + R2)²_m =( m₁ / m₁+ m₂ )² = 0,20.

Далее получим

s_R = Ö (¶R / ¶R1)²_m s²₁+ (¶R / ¶R2)²_m s²₂ = Ö 0,31²  × 1² + 0,2² × 0,5² = 0,33Ом.

Пример 6

Сопротивление Rх измерено с помощью четырехплечего моста и рассчитано по формуле

Rх = R2 R4 / R4.

Найдите относительную среднюю квадратическую погрешность результата измерения, если относительные средние квадратические погрешности сопротивлений R2, R3 и R4 соответственно равны 0,02; 0,01 и 0,01%.

Решение. Относительная средняя квадратическая погрешность сопротивления R_i равна

s_0i =  (s_i / R_i ) 100%,

где s_i – средняя квадратическая погрешность сопротивления R_i.

Воспользовавшись формулой среднего квадратического отклонения s случайной погрешности результата косвенного измерения

                                                         n

s = Ö å (¶F / ¶y_i)² s²_i,

                                                       i = 1

где – среднее квадратическое отклонение случайной погрешности результата прямого измерения Y_i, а частная производная берется в точке у₁, у₂, …, у_n, соответствующей результатам прямых измерений, получим

                                                          4

s_Rх  = Ö å (¶F / ¶R_i)² s²_i.

                                                       i = 2

Для данной функции F

(¶F / ¶R₂)² =(R₃  / R₄)² = R²_х / R²₂.

Аналогично

(¶F / ¶R₃)²  = R²_х / R²₃,          (¶F / ¶R₄)² = R²_х / R²₄.

Тогда

                                        4                                  4

s_Rх  = Ö å (R²_х / R²_i) s²_i  = R_х Ö å (s²_i / R²_i ),

                                     i = 2                            i = 2

откуда

                                    4

s_ох  = Ö å s²_oi  = Ö 0,02² + 0,01² + 0,01² = 0,025%.

                                   i = 2

Пример 7

Сопротивление Rх измерено с помощью четырехплечего моста и рассчитано по формуле

Rх = R2 R4 / R4.

Найдите относительную систематическую погрешность D_с,ох результата измерения, если относительные систематические погрешностиD_с,о2, D_с,о3, D_с,о4 сопротивлений R2, R3, R4 соответственно равны + 0,02; - 0,01 и – 0,01%.

Решение. Относительная систематическая погрешность D_с,оi сопротивления R_i равна

D_с,оi = (D_сi / R_i )100%,

где D_сi – систематическая погрешность сопротивления R_i.

Воспользовавшись формулой, связующей  систематическую погрешность D_с результата косвенного измерения с систематическими погрешностями D_с1, D_с2,…, D_сn соответствующих прямых измерений

                                                       n

D_с » å (¶F / ¶y_i) D_сi,

                                                     i = 1

получим

                                                        4

D_сх = å (¶F / ¶R_i) D_сi.

                                                    i = 2

Для данной функции F нетрудно получить

¶F / ¶R₂  = R_х / R₂,      ¶F / ¶R₃  = R_х / R₃,     ¶F / ¶R₄ = R_х / R₄.

Тогда

D_с,ох  =  R_х  (D_с2 / R₂  +  D_с3 / R₃   -  D_с4 / R₄),

откуда

D_с,ох  = D_с,о2 + D_с,о3 - D_с,о4 = 0,02 – 0,01 + 0,01 = 0,02%.

Пример 8

В цепь с сопротивлением R = 100 Ом для измерения ЭДС Е включили вольтметр класса 0,2 с верхним пределом измерения 3 В и внутренним сопротивлением R_в = 1000 Ом. Определите относительную методическую погрешность измерения ЭДС.

Решение. Напряжение, которое измеряет вольтметр, определяется по формуле

U_в = [Е / (R + R_в)] R_в.

Относительная методическая погрешность измерения Е равна

d_Е = [( U_в - Е) / Е] 100 = - [ R /( R + R_в)] 100 = - [100 / (100 + 1000)] 100 = - 9,1%.

Пример 9

Необходимо измерить ток  I = 4 А. Имеются два амперметра: один класса точности 0,5 имеет верхний предел измерения 20 А, другой класса точности 1,5 имеет верхний предел измерения 5 А. Определите, у какого прибора меньше предел допускаемой основной относительной погрешности и какой прибор лучше использовать для измерения тока I = 4 А.

Решение. Пределы допускаемых основных погрешностей равны:

при измерении амперметром класса 0,5

DI₁ =  gI_н = ± (0,5 × 20 / 100) = ± 0,1 А;

при измерении амперметром класса 1,5

DI₂ = gI_н = ± (1,5 × 5 / 100) = ± 0,075 А.

Наибольшие относительные погрешности прибора равны:

при измерении заданного тока амперметром класса 0,5

d₁ = (DI₁ / I) 100 = ± (0,1 / 4 ×100) = ± 2,5%;

при измерении зажданного тока амперметром класса 1,5

d₁ = (DI₂ / I) 100 = ± (0,075 / 4 × 100) = ± 1,9%.

Следовательно, в данном случае при измерении тока I = 4 А лучше использовать прибор класса 1,5 с верхним пределом измерения 5 А вместо прибора класса 0,5 с верхним пределом измерения 20 А.

Пример 10

Верхний предел измерений образцового прибора может превышать предел измерения поверяемого прибора не более чем на 25%. Проверить правомерность выбора образцового электроизмерительного прибора, если его верхний предел измерения Х_Ко превышает верхний предел измерения поверяемого прибора Х_Кп класса 2,5 (К_п) в 2 раза?

Решение. Проверка производится по соотношению классов точности при заранее установленном значении этого соотношения (m), например, 1 : 5.

Класс точности образцового прибора

К_о £ m (Х_Кп / Х_Ко) К_п.

Для нашего случая Х_Кп = Х_Ко / 2;  К_о £ 1 / 5 × 1 / 2 × 2,5 £ 0,25.

Проверка прибора класса 2,5 возможна по прибору класса 0,2 и при соотношении значений верхних пределов измерения 1 : 2.

Пример 11

Поверяется вольтметр типа Э421 класса точности 2,5 с пределами измерения 0 – 30 В методом сличения с показаниями образцового вольтметра типа Э59 класса точности 0,5. Заведомо известно, что погрешность образцового прибора находится в допускаемых пределах (± 0,5% от верхнего предела измерения), но максимальна. Как исключить влияние этой погрешности образцового прибора на результат поверки, чтобы не забраковать годный прибор?

Решение. Погрешность поверяемого прибора может быть в пределах допуска, определяемого по формуле

Dп_доп = Кп × Хп / 100,

где Кп – класс точности поверяемого прибора; Хп – нормируемое значение для поверяемого прибора (верхний предел измерения).

В то же время возможная погрешность образцового прибора может быть найдена аналогично:

Dо_доп = Ко × Хо / 100.

Эта погрешность может как складываться, так и вычитаться из допуска проверяемого прибора. Если ее заранее учесть в погрешности поверяемого прибора, то можно гарантировать, что годный прибор не будет забракован, т.е. установить новый допуск на показания поверяемого прибора

D¢п_доп  =  ± (Dп_доп  - Dп_доп) или

D¢п_доп = ± ( Кп × Хп / 100 – Ко × Хо / 100) = ± 1/100 (Кп × Хп – Ко × Хо) = ± 0,01 (Кп × Хп – Ко × Хо).

В нашем случае этот допуск будет равен  D¢п_доп = ± 0,01 (2,5 × 30 – 0,5 × 30) = ± 0,6 В, а без учета погрешности образцового прибора  Dп_доп = ± (2,5 × 30) / 100 = ± 0,75 В.

На практике, при совпадении верхних пределов измерений поверяемого и образцового приборов достаточно из значения класса точности поверяемого прибора вычесть значение класса точности образцового прибора, полученное значение будет вновь выбранным допускаемым значением для погрешности поверяемого прибора: Кп¢ = Кп – Ко = 2,5 – 0,5 = 2%.

Тогда D¢п_доп = (Кп × Хп) / 100 = (2× 30) / 100 = ± 0,6 В.

Пример 12

При поверке ваттметра на постоянном токе действительное значение мощности Р измеряют потенциометром. При этом отдельно измеряют (с помощью шунта) ток в последовательной цепи ваттметра и (с помощью делителя) напряжение в параллельной цепи. Известно, что пределы допускаемых погрешностей для элементов, участвующих в измерениях, следующие: dп потенциометра 0,005%; dн нормального элемента 0,005%; dд делителя напряжения 0,005%; dш шунта 0,01%. Определите относительную погрешность измерения мощности.

Решение. Действительное значение мощности определяется в соответствии с зависимостью

Р = Uд  Uш / Кд Rш,

где Uд, Uш – напряжения на делителе и шунте; Кд – коэффициент деления делителя;         Rш – сопротивление шунта.

Погрешность измерения напряжения складываетсяиз погрешности потенциометра и погрешности нормального элемента.

dР = Ö (2dп)² + (2dн) ² + (dд) ² + (dш) ² = Ö (2 0,005) ² + (2 0,005) ² + 0,005² + 0,01² = 0,018%.

Пример 13

Двумя пружинными манометрами на 600 кПа измерено давление воздуха в последней камере компрессора. Один манометр имеет погрешность 1% от верхнего предела измерений, другой 4%. Первый показал 600 кПа, второй 590 кПа. Назовите действительное значение давления в камере, оцените возможное истинное значение давления, а также погрешность измерения давления вторым манометром.

Решение. Дейстительное значение А_д = 600 кПа; истинное значение А_ист ориентировочно лежит в пределах (600 ± 6) кПа. Абсолютная погрешность измерения этого давления вторым манометром DА_изм = А_изм – А_д, отсюда DА_изм = 590 кПа – 600 кПа = - 10 кПа. Относительная погрешность

d = (DА_изм ×100) / 600 % = (- 10 × 100) / 600 % = - 1,7%.

Пример 14

К зажимам элементов с Е = 10 В и r = 1 Ом подсоединим вольтметр с сопротивлением R_и = 100 Ом. Определите показания вольтметра и вычислите абсолютную погрешность его показания, возникновение которой обусловлено тем, что вольтметр имеет не бесконечно большое сопротивление; классифицируйте погрешность.

Решение.   

U = Е [1 – r / (r + R_и)] » 9,9 В.

Если R_и = ¥,   r / (r + R_и) = 0,   то  U = Е = 10 В.

Тогда  D = 9,9 В – 10 В = - 0,1 В.

Измерение прямое и абсолютное   , непосредственной оценки, так как со шкалы вольтметра сняты показания, выраженные в единицах измеряемой величины; однократные, так как результат получен путем одного измерения; статическое, так как ЭДС в процессе измерения не изменялась. Погрешность систематическая.

Пример 15

В цепь с сопротивлением R = 49 Ом и источником тока с Е = 10 В и R_вн = 1 Ом включили амперметр сопротивлением R_I = 1 Ом. Определите показания амперметра I и вычислите относительную погрешность d его показания, возникающую из-за того, что амперметр имеет определенное сопротивление, отличное от нуля; классифицируйте погрешность.

Решение.

I = Е / (R_вн + R + R_I) = 0,166 А » 0,17 А.

Если R_I = 0, то I_о = Е / (R_вн + R) = 0,2 А.

Тогда d = [(0,17 – 0,2) / 0,2] × 100% = - 15%.

Пример 16

Погрешность измерения одной и тй же величины, выраженная в долях этой величины: 1 × 10^-3 – для одного прибора; 2 × 10^-3 – для другого. Какой из этих приборов точнее?

Решение. Точности характеризуются значениями, обратными погрешностям, т.е. для первого прибора это 1 / (1 ×10^-3) = 1000, для второго 1 / (2 × 10^-3) = 500; 1000 > 500. Следовательно, первый прибор точнее второго в 2 раза.

К аналогичному выводу можно прийти, проверив соотношение погрешностей:                  (2 × 10^-3) / ( 1 × 10^-3) = 2.

Пример 17

Определите относительную погрешность измерения в начале шкалы (для 30 делений) для прибора класса 0,5, имеющего шкалу 100 делений. Насколько эта погрешность больше погрешности на последнем – сотом делении шкалы прибора?

Решение. Для прибора класса 0,5 относительная приведенная погрешность (на 100 делений шкалы):

d = (0,5 × 100) / 100 = 0,5%.

Относительная погрешность измерения в начале шкалы (на 30 делений шкалы):

d_зо = (0,5 × 100) / 30 = 1,6%.

d_зо > d_пр более чем в 3 раза.

Пример 18.

Определите действительное значение тока I_д в электрической цепи, если стрелка миллиамперметра отклонилась на a_о = 37 делений, его цена деления С_Iо = 2 мА/дел., а поправка для этой точки D = - 0,3 мА.

Решение.

Iд = С_Iоa_о + D.

Подставив числовые значения, получим

I_д = 2× 37 + (-0,3) = 73,7 мА.

Пример 19

Можно ли определить измеряемую величину, зная, с какой абсолютной и относительной погрешностями она измерена?

Решение. Абсолютная погрешность

D = gА_N / 100,

 относительная погрешность  

d =  gА_N / А,

 где g – допускаемая погрешность, приведенная к нормируемому значению А_N; А – измеренное значение.

100D = gА_N; dА = gА_N; 100D = dА.

Откуда

А = 100D / d.

Если мы измерили омметром какую-то величину с d = 10% и D = 10 Ом, то величина эта

А = - (100 × 10) / 10 = 100 Ом.

Пример 20

При определении диаметра ведущего валика ручных часов допущена ошибка ± 5 мкс, а при определении расстояния  до Луны допущена ошибка ± 5 км. Какое из этих двух измерений точнее? Диаметр   часового вала d=0,5 мм.

Решение.

Найдем .

Т.к  диаметр часового вала d= 0,5 мм, то

= = =10^-2=1%

1.                Расстояние до Луны L»4*10⁵км

2.                Найдем .

 = =1.2*10^-5»0.001%

ВЫВОД: Как видно второе измерение значительно  точнее первого

( приблизительно на три порядка)

Пример 21

Измерение падения напряжения на участке электрической цепи сопротивлением R=4 Ом осуществляется  вольтметром класса точности 0,5 с верхним пределом  диапазона измерений 1,5 В. Стрелка вольтметра  остановилась против  цифры 0,95 В. Измерение  выполняется в сухом отапливаемом помещении с температурой до 30°С при магнитном поле до 400 А/м. Сопротивление вольтметра R_v=1000 Ом. Рассчитать погрешности.

Решение.

1.                Рассчитаем  предел d.

Основная погрешность вольтметра указана в приведенной  форме. Следовательно при показании вольтметра 0,95 В предел d на этой отметке шкалы:

d = ±=±0.7894 »0.79%

2.                Рассчитаем дополнительную погрешность.

Дополнительная погрешность из-за влияния магнитного поля равна:

d_доп1 = ±0,75%

Дополнительная температурная погрешность, обусловленная отклонением  температуры от нормальной (20 °) на 10 °С будет равна:

d_доп2=±0,3%

3.                Найдем полную инструментальную погрешность.

Полная инструментальная погрешность в этом случае равна:

Q(Р)=к

При доверительной вероятности Р=0,95 коэффициент к=1,1, число слагаемых m=3. Отсюда:

d=1.1*=±1.243 » ±1.2%

В абсолютной форме: D=±0.011 В

4.                Найдем погрешность метода измерения.

Эта погрешность определяется соотношением между сопротивлением участка цепи R и сопротивлением вольтметра R_v.

Методическую погрешность в абсолютной форме можно вычислить по формуле:

D_мет= - U_X= -  = - 0.004 В

Оцененная методическая погрешность является систематической  составляющей погрешности измерений и должна быть внесена в результат измерения в виде поправки +0,004 В.

5.                Записываем окончательный результат измерения.

Окончательный результат измерения падения напряжения должен быть представлен в виде:

U=0.954 В;   D=±0.011;P=0.95

Пример 21

Для определения  объема параллелепипеда сделано по n=10  измерений каждой его стороны. Получены следующие средние значения и средние квадратичные ошибки (в мм):

`a = 4,31       `S_a = 0.11

`b = 8,07       `S_b = 0.13

`c = 5,33       `S_c = 0.09

Вычислить ошибку измерения.

Решение.

1.                Вычислим относительную погрешность.

Удобно воспользоваться формулой для  относительной погрешности:

V=abc

S_V¢==0.035

`v=`a`b`c=185мм.

2.                Зададим сначала доверительную вероятность и по ней определим доверительный интервал. Возьмем a=0,8

По таблице при n=10 определяет коэффициент Стьюдента:

t_0.8;10=1.4.

3.                Далее из формулы t_a;n= находим

DV= t_a;n*S_V¢

4.  Отсюда DV=185*0,049=9мм³

5. Окончательно записываем:

При a=0,8           V= (185±9)мм³

E_V=DV/`V*100%=5%

Пример 22

По сигналам точного времени имеем 12ч.00мин, часы показывают 12ч.05 мин. Найти абсолютную  и относительную  погрешность.

Решение:

1.                Найдем абсолютную погрешность :

Dх=12ч.05мин – 12ч.00мин=5минут

2.                Найдем относительную погрешность:

g_отн =  *100%=0.7%

Тема:  Обработка данных с однократными измерениями.

Пример 23

Выполнено  однократное измерение напряжения на участке электрической цепи сопротивлением R=(10±0.1) Ом с помощью вольтметра класса 0,5 по ГОСТ 8711-77 (верхний предел диапазона 1,5 В, приведенная погрешность 0,5%). Показания  вольтметра 0,975 В. Измерение выполнено при температуре 25°С при возможном магнитном поле, имеющем напряженность до 300 А/м.

Решение.

1.                Для определения методической погрешности найдем падение напряжения.

Методическая погрешность Dм   определяется соотношением между сопротивлением участка цепи R и сопротивлением вольтметра R_v=900 Ом (которое известно  с погрешностью 1%). Показание вольтметра свидетельствует о падении напряжения на вольтметре, определяемом как:

U_V = » 0.975

2.                Найдем методическую погрешность.

D_м = U_V-U= - » - 0.011 В

3.                Введем поправку.

После введения поправки получим:

`U=U_V-x_м =0.975+0.11=0.986

4.                Оценим неисключенную  методическую погрешность.

Неисключенная  методическая погрешность (т.е погрешность введения поправки) определяется погрешностями измерений сопротивления цепи и вольтметра, которые имеют границы 1%. Поэтому погрешность поправки оценивается границами 0,04%, то есть  очень мала.

5.                Найдем инструментальную погрешность.

Инструментальная составляющая погрешности определяется  основной и дополнительной погрешностями.

Основная погрешность оценивается  по приведенной погрешности и результату измерения:

d₀ = =0.77%

Дополнительная погрешность до влияния магнитного поля лежит в границах Q_н=±0,5%.

Дополнительная температурная погрешность, обусловленная отклонением  температуры от нормальной (20 °) на 5 °С лежит в границах Q_т=±0,5%.

Доверительные границы инструментальной погрешности при Р=0,95 находят по формуле:

Q₀=1.1*=1.1%

В абсолютной форме Q₀=0,011.

6.                Окончательный результат.

После округления результат принимает вид:

U=(0,99 ± 0,01) В; Р=0,95

Тема: Обработка данных с многократными измерениями.

 

Пример 24

В результате двух параллельных определений были получены данные, характеризующие содержание хрома в эталоне: 4,50% и 4,70%. Требуется оценить a - истинное содержание  хрома в эталоне. Надежность Р=0,9.

Решение:

1.                Найдем точечную оценку:

`х = (4,50+4,70)/2=4,60 %

очевидно, что при двух измерениях утверждать , что a»4,60 слишком рискованно.

2.                Найдем доверительный интервал для a:

S= = =0.14

3.  При Р=0,9 по таблице распределения Стьюдента при к=2-1=1 степени свободы находим соответствующее значение t = 6,31.

Следовательно с вероятностью 0,9 (90%) истинное значение хрома заключено в интервале:

(4,60-6,31* ; 4,60+6,31*)

Пример 25

С помощью оптиметра выполнено 10 последовательных измерений калибра – пробки и получены указанные в таблице указанные в таблице значения x_i:

i	Xi
1	29,947
2	29,968
3	30,076
4	30,052
5	29,940
6	29,962
7	29,995
8	30,015
9	30,055
10	30,060

Решение.

1.                Для обработки результатов измерений выберем близкое к среднему значение `х=30,000 мм и находим отклонение от этого среднего и вычисляем w_i²:

 

xi	wi	wi2*10-3
29,947	-0,053	2,809
29,968	-0,032	1,024
30,076	+0,076	5,776
30,052	+0,052	2,704
29,940	-0,060	3,600
29,962	-0,038	1,444
29,995	-0,005	0,025
30,015	+0,015	0,225
30,055	+0,055	3,025
30,060	+0,060	3,600

2. Суммированием значений в таблице получим:

=0.070         =0.02423               ()² =  0.0049

3. Найдем сумму квадратов отклонений  от среднеарифметического:

Sv²=  Sw² - =0.02423 - =0.02374

4. Вычисляем  приблизительную оценку среднего квадратичного  

    отклонения:

S= ==0.0514

4. Для доверительной вероятности b=0,95 по таблице функции Лапласа находим t=2,80.

Тогда границы доверительного интервала:

e=t*S=2,8*0,0514=0,1439

5. Найдем пределы погрешности измерения.

Погрешность измерения, то есть предельное  отклонение показаний прибора от истинного значения измеряемой величины находятся в пределах:

+0,1439 мм ³s³-0,1439 мм

С доверительной вероятностью 95% этим погрешностям соответствуют размеры калибра:

30,1439 мм ³ х ³ 29,8561 мм

6. Среднее арифметическое результатов измерений  :

`х=`х¢+ =30+=30,007 мм

7. Доверительные границы среднего значения при b=0,95:

Е_(95%)===0,0455

Следовательно:

`х_max=30,007+0,0455=30,0525

`х_min=30,007-0,0455=29,9615 мм

Тема: Косвенные  измерения.

Пример 26

Сопротивление резистора R измеряется с помощью

миллиамперметра и вольтметра по схеме на риcунке.

                                                      I

 

                                                    U     

                                                             R

Результаты прямых измерений напряжения U и тока I:

(1,030±0,050) В, Р=1

(10,35±0,25) мА, Р=1

Сопротивление вольтметра R_v=(10,0±0,1)кОм. Требуется  записать результат косвенного измерения R.

Решение.

1.                Вычислим R:

R===99.517 Ом.

В данном случае имеется 3 составляющие погрешности косвенного измерения R: погрешности результатов прямых измерений напряжения и тока и погрешность от взаимодействия вольтметра с объектом измерения, т.е. с резистором R. Последняя обусловлена тем, что подключение вольтметра измеряет ток, протекающий по параллельно соединенным R и R_v.

2.                Вычислим предельное значение относительных погрешностей результатов прямых измерений напряжения и тока:

d_U,п = ± 100*0,50*1,030 = ± 4,85%

d_I,п = ± 100*0.25/10.35 = ± 2.42%

Легко показать, что при R£R_v относительная погрешность  от взаимодействия вольтметра с резистором определяется выражением:

d_вз = -100*

Подставляя вычисленное значение R и номинальное значение R_v получим:

d_вз = -100*99.517/10⁴ = - 0.995 %

Соответственно:

D_вз = 10^-2Rd_вз = - 99.517*0.01=-0.990 Ом

Эта погрешность систематическая и ее можно исключить, введя поправку в результат. Тогда останется погрешность, обусловленная отклонением R_v от номинального значения. Однако ясно, что при R_v=(10,0±0,1) кОм ее относительное значение будет около ±0,01%, т.е. оно  ничтожно по сравнению с d_U,п и d_I,п .

3.                Находим Dп.

Dп=±10^-2R(½d_U,п½+½d_I,п ½) = ±10^-2*99.517(4.85+2.42)=±7.23 Ом » 7,2 Ом.

4.                Таким образом, после округления и с учетом поправки результат косвенного измерения R можно представить в виде:

(10±7,2) Ом, Р=1

Пример 27

         Потенциометром типа Р309 класса 0,005/0,0025 в нормальных условиях получены значения U₀=0,10254 В и U = 0,20831 В при использовании образцового резистора с номинальным значением  сопротивления R₀ = 1 Ом класса 0,01.

                                        R₀                     I              R   

 
 

                                          U₀                      U

Конечное значение  диапазона измерения  потенциометра U_К=2,12111 В. Требуется  записать результат измерения.

Решение.

1.                Найдем  R.

В соответствии с формулой R=R₀ c  использованием калькулятора с отсчетным устройством  на 10 десятичных разрядов получим:

R=2,031499903 Ом.

2.                Найдем  d.

В соответствии с:

d_R,П = ± {d_R0,П +[ с+d(| | - 1)] + [ с+d(| | - 1)]} = ± {d_R0,П +2 (c – d )+ +dUК(+)].

d_R,П = ± [0.01 + 2 (0.05 - 0.00025 ) + 0.0002 * 2.12111 * (1/0.20831 + +1/10254) ] = ±0.0273 %

3.                Найдем предельные  абсолютные погрешности результата измерения.

D R,п=10^-2 d_R,П R= ± 10^-2*0,0273*2,03149903=±0,000554 Ом.

4.                Результат измерения:

(2031,50±0,55) мОм; Р=1.

4. Блок задач для самостоятельного решения

Вариант предложенных задач для решения выбирается в соответствии с программой, которая из общего набора из 30 задач случайным образом комплектует набор из трех задач и выдает студенту на экран монитора и на печать

Вариант 0

Задача 4

Результат измерения тока содержит случайную погрешность, распределенную по нормальному закону; s равно 4 мА, D_с равно нулю. Какова вероятность того, что погрешность превысит по абсолютной величине 12 мА?

Задача 11

Определите сопротивление шунта к магнитоэлектрическому милливольтметру, имеющему сопротивление R_о = 2,78 Ом и ток полного отклонения I_о = 26 мА, для получения амперметра на 25 А.

Задача 23

Для измерения напряжения U = 3300 В вольтметр типа Д566/8 с конечными значениями шкалы  U_к, равными 75 и 150 В, включен через измерителный трансформатор напряжения типа И510. Шкала вольтметра имеет 150 делений.  Определите цену деления вольтметра С_в на всех пределах измерения, если коэффициент  трансформации                      К = 6000/100.

Вариант 1

Задача 5

Результат измерения мощности содержит случайную погрешность, распределенную по нормальному закону; s равно 100 мВт, D_с равно минус 50 мВт. Найдите вероятность того, что результат измерения (неисправленный) превысит истинное значение мощности.

Задача 12

Сопротивление магнитоэлектрического амперметра без шунта R_о = 1 Ом. Прибор имеет 100 делений, цена деления 0,001 А / дел. Определите предел измерения прибора при подключении шунта с сопротивлением R = 52,6 × 10^-3 Ом и цену деления.

Задача 22

Электродинамический ваттметр типа Д566/12 имеет два предела измерения по току    (I_к равно 2 и 5 А) и три по напряжению (U_к равно 75; 150 и 300 Вт). Шкала ваттметра односторонняя с числом делений a_к = 150.

Вариант 2

Задача 2

Результат измерения мощности содержит случайную погрешность, распределенную по нормальному закону; s равно 100 мВТ, D_с равно минус 50 мВт. Найдите вероятность того, что истинное значение мощности отличается от результата измерения (неисправленного) не более чем на 150 мВт.

Задача 15

Верхний предел измерения микроамперметра 100 мкА, внутреннее сопротивление 15 Ом. Чему должно быть равно сопротивление шунта, чтобы верхний предел измерения увеличился в 10 раз?

Задача 25

Вольтметр, имеющий верхний предел измерения 3 В, имеет внутреннее сопротивление R_п = 400 Ом. Определите сопротивление добавочных резисторов, которые нужно подключить к вольтметру, чтобы расширить диапазон измерений до 15 и 75 В.

Вариант 3

Задача 6

В результате поверки амперметра установлено, что 80% погрешностей результатов измерений, произведенных с его помощью, не превосходит ± 20 мА. Считая, что погрешности распределены по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием, найдите вероятность того, что погрешность результата измерения превзойдет ± 40 мА.

Задача 13

Определите, какое нужно иметь сопротивление добавочного резистора к электродинамическому вольтметру с верхним пределом измерения 100 В и внутренним сопротивлением 4 кОм, чтобы расширить его верхний предел измерения в № раза?

Задача 24

Чувствительный миллиамперметр используется как вольтметр. Определите цену деления этого прибора в вольтах, если его внутреннее сопротивление 500 Ом и каждое деление шкалы соответствует 1 мА.

Вариант 4

Задача 7

В результате поверки амперметра установлено, что 80% погрешностей результатов измерений, произведенных с его помощью, не превосходит ± 20 мА. Считая, что погрешности распределены по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием, найдите симметричный доверительный интервал для погрешности, вероятность попадания в который равна 0,5.

Задача 14

К вольтметру, сопротивление которого R_в = 30 кОм, подключен резистор с сопротивлением R_д = 90 кОм. При этом верхний предел измерения прибора составляет 600 В. Определите, какое напряжение можно измерять прибором без добавочного резистора R_д?

Задача 27

При контроле метрологических параметров деформационных (пружинных) манометров со шкалой в 300° (300 делений) смещение стрелки от постукивания по корпусу прибора должно оцениваться с погрешностью, не превышающей 0,1 цены деления шкалы. Сопоставьте эту погрешность отсчета с допускаемой погрешностью для манометра класса 0,15.

Вариант 5

Задача 8

В результате поверки амперметра установлено, что 80% погрешностей результатов измерений, произведенных с его помощью, не превосходит ± 20 мА. Считая, что погрешности распределены по  закону равномерной плотности с нулевым математическим ожиданием, найдите вероятность того, что погрешность результата измерения превзойдет ± 40 мА.

Задача 20

Вольтметр электромагнитной системы с верхним пределом измерения 100 В проградуирован для работы с трансформатором напряжения с К_Uн = 800 / 100. Определите напряжение сети, если стрелка указанного вольтметра, включенного  через трансформатор напряжения с К_Uн = 10000 / 100, остановилась на отметке 300 В. Погрешностью трансформатора пренебречь.

Задача 26

Микроамперметр на 100 мкА имеет шкалу в 200 делений. Определите цену деления и возможную погрешность в делениях шкалы, если на шкале прибора имеется обозначение класса точности 1,0.

Вариант 6

Задача 3

Погрешности результатов измерений, произведенных  с помощью амперметра, распределены по закону равномерной плотности; s равно 20 мА, систематической погрешностью можно пренебречь. Сколько независимых  измерений нужно сделать, чтобы хотя бы для одного из них погрешность не превосходила ± 5 мА с вероятностью не менее 0,95?

Задача 16

Для измерения мощности ваттметр включен через измерительные трансформаторы тока с К_Iн = 200 / 5 и напряжения с К_Uн = 600 / 100. Определите мощность, потребляемую нагрузкой, если ваттметр показал 400 Вт. Погрешностями трансформаторов пренебречь.

Задача 21

Поправка к показанию прибора в середине его шкалы С = + 1 ед. Определите абсолютную погрешность и возможный класс точности прибора, если его шкала имеет 100 делений = 100 ед.

Вариант 7

Задача 9

Сопротивление R составлено из последовательно включенных R1 и R2, математические ожидания и средние квадратические отклонения которых известны:  m₁ = 12 Ом;  m₂ = 15 Ом;  s₁ = 1 Ом;  s₂ = 0,5 Ом. Найдите математическое ожидание   m_R и среднюю квадратическую погрешность s_R сопротивления R.

Задача 18

Определите мощность, потребляемую цепью, и показание ваттметра в делениях, если амперметр, вольтметр и ваттметр включены во вторичные обмотки трансформаторов тока   (К_Iн = 150 / 5) и напряжения (К_Uн = 3000 / 100). Показания приборов: I = 4 A; U = 100 B. Сдвиг фаз между током и напряжением в цепи 60°. Ваттметр имеет верхние пределы измерения     Iн = 5 А; Uн = 150 В и шкалу со 150 делениями. Погрешностями трансформаторов пренебречь.

Задача 28

Определите абсолютную погршеность измерения постоянного тока амперметром, если он в цепи с образцовым сопротивлением 5 Ом показал ток 5 А, а при замене прибора образцовым амперметром для получени тех же показаний пришлось уменьшить напряжение на 1 В.

Вариант 8

Задача 10

Сопротивление Rх  измерено с помощью четырехплечего моста и рассчитано по формуле

Rх = R2 R3 / R4.

Найдите максимально возможное значение относительной систематической погрешности результата измерения, если относительные систематические погрешности    сопротивлений R2, R3, R4 не превосходят по модулю соответственно 0,02; 0,01 и 0,01%.

Задача 17

Определите показания амперметра, включенного во вторичную обмотку трансформатора тока, если номиналный коэффициент трансформации  тока К_Iн = 150 / 5, погрешность тока f_I =0,6%, угловая погрешность d_I = 50¢, первичный ток I₁ = 80 A. Погрешностью амперметра пренебречь.

Задача 30

Сравните погрешности измерений давления в 100 кПа пружинными манометрами классов точности 0,2 и 1,0 с пределами измерений на 600 и 100 кПа, соответственно.

Вариант 9

Задача 1

В результате измерений сопротивлений получены следующие значения: R0 = 200 Ом; R1 = 100 Ом; R2 = 600 Ом; R3 = 500 Ом. Средние квадратические отклонения измеренных сопротивлений соответственно равны 0,3; 0,2; 0,6; 0,3 Ом. Определите среднее квадратическое отклонением сопротивления Rх, если

Rх = R0 + R1 R2 / R3.

Задача 19

Для измерения тока I = 0,1 – 0,5 мА необходимо определить класс точности магнитоэлектрического миллиамперметра с конечным значением шкалы I_к = 0,5 мА, чтобы относительная погрешность измерения тока d не превышала 1%.

Задача 29

Потенциометр постоянного тока в диапазоне 0 – 50 мВ имеет основную погрешность    d = ± [0,05 + (2,5 / А)], где А – показания потенциометра, мВ. Определите предел допускаемой погрешности в конце и середине диапазона измерений (Ак = 50 мВ). Сравните их и класс точности 0,05 потенциометра.