Решение тригонометрических уравнений. Урок по алгебре и началам анализа на итоговом повторении в 11 классе

Конспект урока по алгебре и началам анализа на итоговом повторении

в 11 классе.

Тема: «Решение тригонометрических уравнений»

Цели:

·                     образовательные: систематизировать знания обучающихся по теме: «Тригонометрические уравнения»; оказать помощь в совершенствовании навыков решения простейших тригонометрических уравнений. Построить алгоритм действия при решении тригонометрических уравнений.

·                     развивающая: Способствовать развитию умений сравнивать, обобщать, классифицировать, анализировать, делать выводы;

·                     воспитательная: Побуждать учащихся к само и взаимоконтролю, воспитывать познавательную активность, самостоятельность, упорство в достижении цели, развивать коммуникативные умения, рефлексию, культуру и дисциплину умственного труда.

Универсальные учебные действия (УУД): личностные: формирование устойчивой мотивации к обучению на основе алгоритма выполнения заданий; регулятивные: оценивание правильности выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки; познавательные: осуществление поиска необходимой информации для выполнения учебных заданий с использованием учебной литературы; коммуникативные: учитывание разных мнений и стремление к координации различных позиций в сотрудничестве.

Планируемые образовательные результаты: знать: определения обратных тригонометрических функций, основные формулы для решения тригонометрических уравнений; формулы тригонометрии; способы решения однородных тригонометрических уравнений первой степени, второй степени; графическое изображение решений тригонометрических уравнений и неравенств; уметь: вычислять обратные тригонометрические функции некоторых числовых значений; решать простейшие тригонометрическое уравнения и сводящиеся к ним, а также применять тригонометрические  преобразования к более сложным; показывать решение на единичной окружности, воспринимать устную речь, участвовать в диалоге; применять: полученные знания к решению тригонометрических уравнений различной трудности, изученные формулы к преобразованию тригонометрических выражений и решению уравнений; приобретенная компетентность: целостная.

Оборудование:

·                     таблицы

·                     задания на печатной основе;

·                     тетради для самостоятельных работ;

·                     проектор;

·                     Интерактивная доска (рисунки к уроку № 1).

УРОК № 1  «Решение простейших тригонометрических уравнений»

ХОД УРОКА

I.                        Организационный момент.

Данные уравнения могут присутствовать в заданиях групп В и С на ЕГЭ. В заданиях группы В обычно предлагаются простейшие уравнения или задания, в которых приходится применять различные методы решения уравнений. В заданиях группы С решение тригонометрического уравнения является одним из этапов решения показательного, логарифмического уравнений или исследования функции.

II.                     Актуализация знаний, умений и навыков учащихся.

К простейшим тригонометрическим уравнениям относятся  уравнения:

sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a

Повторение материала проводится по таблице 

	sin x = a	cos x = a	tg x = a	ctg x = a
>1	решений нет	решений нет	х = arctg a + πn, nZ	х = arcctga +πn, nZ
<1	x = (–1)narcsina + π n, n Z	x = ± arccosa +2 π n, nZ
a = 1	х =  + 2π n, nZ	x = 2π n, nZ	х = +πn, nZ	x=+πn, nZ
a= –1	x = – + 2π n, nZ	x= π +2π n, nZ	х = – +πn, nZ	x=+πn, nZ
a = 0	x = π n, nZ n,	x=+2π n, nZ	x = π n, nZ	x=+ πn,nZ

Арксинусом числа а называется число b, b [– ; ], sin b = a

Арккосинусом числа а называется число b, b [0; π], cos b = a

arcsin(– a) = – arcsinа;         arccos (–a) = π – arccosa;

arctg(– a) = – arctga;            arcctg(– a) = π – arcctga.

Тригонометрический круг: (интерактивная доска)

III. Реализация целей урока.

Устно. Решить уравнения: 1) sin х= 1;

2) cos x = ; 3) cos x = – ; 4) sin х = ; 5) tg х = 1; 6) сtg х = ; 7) сtg х = – 3;

Письменно:

Задание 1. Решите уравнения:  8) sin х =  

Решение:   х = (– 1)^k arcsin  + π k, k  Z;   х = (– 1)^k  + πk k  Z.

Ответ: х = (– 1)^k  + πk,  kZ.

Работа в парах: (через проектор) Учащиеся в парах обмениваются тетрадями и проводят взаимопроверку.

9) cos 2x = 0,5;	14) sin (2х – 3) =0,5;
10) sin 4х = 0;	15) cos (3х – ) = 0;
11) tg 3х = 0;	16) 2sin = ;
12) 2 cos 2x – = 0;	17) cos( = sin.
13) sin 3х + 1 = 0;

Ответы: 9) х = ; 10) х =k, kZ; 11) х = k, kZ; 

12) х = ; 13) х = ; 14) х = ; 15) х = ; 16) х = ; 17) х = .

Часто в тестах ЕГЭ к заданиям даны дополнительные вопросы. Рассмотрим некоторые из них на примере задания №1 (уравнение 8). При ответах на дополнительные вопросы удобнее представить решения в виде объединения двух семейств решений

х =  + 2πk, kZ (1)      х =  + 2πn, nZ (2).

Дополнительные вопросы (проектор)

А) Найдите наименьший положительный корень.

Выбираем наименьшее положительное решение из каждого семейства. Из (1) имеем х = , из (2)  х = . Наименьшим из них будет .        Ответ:  или 60°.

Б) Найдите наибольший отрицательный корень.

При k = – 1 из (1) имеем х =  – 2πk = - .

При n= – 1 из (2) имеем х =  – 2π = – .

Наибольшим из них будет – .                                 Ответ: –  или – 240°.

В) Укажите те корни уравнения, для которых cos х > 0

Отметим все решения уравнения (1) на тригонометрическом круге. Из этих решений надо выбрать те, для которых cosx > 0. Известно, что cos х > 0, если х лежит в I четверти или в IV четверти. Получаем, что

х =  + 2πk, k  Z                        Ответ:  + 2πk, k  Z.

Г) Укажите те корни, которые лежат в промежутке

[–3π; – π].

Решим системы (1)  и  (2).

Имеем (1)  k = – 1 и х = – .

(2)  n= – 1 и х = –.                           Ответ: – ; – .

Д) Сколько корней имеет уравнение на промежутке [–3π; ]?

Решим системы (1)  и  (2).

Решением (1) системы будет k = – 1 и k = 0. Решением (2) системы будет n= – 1.

Таким образом, получаем 2 + 1 = 3 корня.      Ответ: 3 корня

Е) Найти ближайший к π корень уравнения.

Отметим все корни уравнения (I) на тригонометрическом круге.

Искомым корнем является .

Ответ:.

Ж) Между  какими  корнями заключено число – π ?

Отметим корни уравнения (1) на координатной прямой.

Ответ: – < – π< .

З) Найти наибольшую длину отрезка, внутри которого не содержится ни одного корня уравнения.

Отметим корни уравнения (1) на координатной прямой.

Среди отрезков АВ или ВС надо выбрать наибольший. Длина АВ равна  –  = . Длина ВС равна –  = . Наибольшая длина равна .                                    Ответ: .

И) Найти наименьшую длину отрезка, на котором есть два корня уравнения.

Отметим корни уравнения (1) на координатной прямой.

Среди отрезков АВ или ВС надо выбрать наименьший.

Длина АВ равна –  = . Длина ВС равна –  = . Наименьшая длина равна .                                       

Ответ .

IV. Запись домашнего задания, его анализ:

повторить § 5,6,16,17,18 (формулы!)

В5: № 920, 930, 941;

В14: № 1954, 1961, 2148, 2154 (ЕГЭ 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В.  Под ред. Семенова А.Л., Ященко И.В. (2014, 528с.);

С1 (для желающих)

V. Итог урока: 

1.оценки.

2.Обратить внимание на теоретический материал в таблицах, используемых на уроке.

Информационные ресурсы:

1.     Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 – 11 классов средней школы. Москва 2009.

2.     ЕГЭ. 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В.  Под ред. Семенова А.Л., Ященко И.В. (2014, 528с.)

3.     Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. Москва 2006.

4.     Егерев В.К., Зайцев В.В., Курдемский Б.А. Сборник по математике для поступающих во втузы под редакцией Сканави М.И.

5.     ЕГЭ 2014. Математика. Самое полное издание типовых вариантов заданий. Под ред. Семенова А.Л., Ященко И.В. (2014, 128с.)

6.     ЕГЭ 2014. Математика. Типовые тестовые задания. Базовый и профильный уровни. Под ред. Семенова А.Л., Ященко И.В. (2014, 56с.) (1, 2)

7.     Пособия по решению заданий части В.   Корянов А.Г., Надежкина Н.В.: В 1 (2014), В 4 (2014), В 5 (2014), В 7 (2014), В 8 (2014), В 10 (2014), В 12 (2014), В 13 (2014), В 14 (2014)

8.     Пособия по решению заданий части С (2011-2014).   Корянов А.Г., Прокофьев А.А.: С 1 (2012), С 2 (2013), С 3 (2014), С 4 (2013),  С 5 (2012),  С 6 (2011) .

9.       www.uroki.net

10.   www.uztest.ru

11.   www.mathvaz.ru

Краткое описание документа:

  11 класс.  Алгебра Цель урока: 

Систематизировать знания обучающихся по теме: «Тригонометрические уравнения»; оказать помочь в совершенствовании навыков решения простейших тригонометрических уравнений. Построить алгоритм действия при решении тригонометрических уравнений. Способствовать развитию умения сравнивать, обобщать, классифицировать, анализировать, делать выводы.

Тип урока:   Урок обобщения и систематизации знаний.      Важнейшей проблемой, с которой сталкивается каждый учитель, выпускающий 11 класс, это проблема организации заключительного повторения курса алгебры таким образом, чтобы в процессе повторения создать условия для достижения каждым учеником наивысшего для него образовательного результата. С этой целью предлагаю один из конспектов урока по алгебре и началам анализа на итоговом повторении в 11 классе по теме "Решение тригонометрических уравнений"