Решение тригонометрических уравнений в 10 классе

                                      Элементы модульных уроков  в 10 классе

Модульная педагогическая технология конструируется на основе ряда целей.

Важнейшая из них-создание комфортного темпа работы для каждого ученика.

Каждый ученик получает шанс определить свои возможности в  учении и приспособиться к тем уровням изучения материала, которые предложены.

Самым главным отличием технологии является применение принципов планирования совместной деятельности учителя и ученика.

 Процесс такого планирования:

1)     Определение целей для учеников, т. е. устанавливается, кто хочет знать не более того, что требуется госстандартом, а кто готов заниматься более, поскольку планирует поступать в ВУЗ или просто получить высокую оценку.

2)     После того как учащиеся определить своими целями, учитель выстраивает свое целеполагание, определяя содержание и объем педагогической помощи учащимся.

Исходя из целей проектируется итоговая диагностика. Она создается с учетом уровневой дифференциации, что позволяет осознанно определить тот минимум знаний, который необходим для получения оценок, определяемых желанием каждого ученика.

 На основе целеполагания и планируемой итоговой диагностики отбирается предметное содержание (объяснения и задания из учебника, из дидактических материалов и т. д.)

На основе отобранного содержания выстраивается логика изучения темы ( поурочное планирование). Определяется время и место промежуточной и итоговой диагностик и учебной коррекции. Для каждого урока определяются микро цели и приемы обратной связи; создаются опорные конспекты и задания к уроку.

В результате описанного процесса учитель создает:

-логическую структуру уроков с промежуточной диагностикой;

-разно уровневые материалы для диагностики знаний учеников;

-дидактический материал ко всем урокам.

Модульная педагогическая технология помогает осуществить индивидуальный подход к ученику, включить каждого в осознанную учебную деятельность, мотивировать его, формировать навыки самообучения и самоорганизации, обеспечивая тем самым постепенный переход от пассивно воспринимающей позиции ученика к его сотрудничеству с учителем.

Тема : Решение тригонометрических уравнений

Урок №1  Учебный элемент №1

Простейшие тригонометрические уравнения

Цель:  Формировать навыки решения простейших тригонометрических уравнений по заданному алгоритму.

Ученик должен знать: общий вид уравнений ,, , ctgх=а осознанно выбирая формулы для их решения.

                                                         Ход урока.

Решение любого тригонометрического уравнения сводится к решению простейшего уравнения.

                                                           Схема:

                                                    

           Если │а│, то уравнение решений не имеет, если │а│, то

 

                        Х=Z        

                                                  Частные случаи:

а)     sinх=1, то х=+ 2πn, где  n

б)     sinх=0, то х=πn,         где nΖ

в)     sinх=-1, то х=-+ 2πn, где  n

 

arcsin(-a)=arcsina                              х=    arcsina+πn,  n

                                        

Если   , то уравнение решений не имеет, если , то

 

           Х=

                                                   Частные случаи:

а)              cosх=1,    то х=2πn  , n

б)             cosх=0 ,     то х=+ πn, n

в)             cosх=-1,      то х= π+2πn,   n

 

αrcos (-a)=π- arcosa                                                   х=

                                             tg=a                        a

 

                          х=arctgа+πn,   где   n

          arctg(-a)=-arctga                                                              х=-arctga+πn ,   n

                                                            ctgx=a     a

                                                        х=arcсtga+        

                                                            ctgx=-a    

arcсtg(-a)=;         то         х= arctgа+πn,          где   n

Примеры: а) 2 =1

                          

                            Х=(-1)arcsin +πк , где к

                            Х= + πк , где к

ОТВЕТ:     Х= + πк , где к

б)    tgx=

 x=arctg+πn,   где   n

x=+πn,   где   n

ОТВЕТ:   x=+πn,   где   n

Замечания: 

Уравнения вида   tg,   с=а  так же являются простейшими, их нужно решать сначала относительно , а далее относительно х.

а)

          = + πк , где к

          Х= + 2πк , где к

ОТВЕТ:    Х= + 2πк , где к

б)  )=1

      х+=2πк,     где к

      х=-+2πк,    где к

     ОТВЕТ:  х=-+2πк,    где к

в)  tg(2х-)=

(2х-)=+πn, где nZ

2х=+ πn, где nZ

Х=+,  где nZ

ОТВЕТ:     Х=+,  где nZ

г)    – 5х)=  в силу четности , записываем

      + 5х)= 

      + 5х=±(π-)+ 2πк,    где к

         + 5х=±π+2πк,    где к

        5х=±π+2πк -   , где к

       Х==±π+πк -   , где к

  ОТВЕТ:            Х==±π+πк -   , где к

Д.З :на усмотрение учителя

Урок №2 Учебный элемент №2

Тригонометрические уравнения. Метод сведения к квадратному.

Цель:

    Формировать умения решать тригонометрические уравнения приведением к квадратному уравнению.

     Закрепить и сделать промежуточную диагностику учеников  по простейшим тригонометрическим уравнениям.

                                    Ход урока:

 Раздаются карточки для промежуточной диагностики. У каждого  ученика в контрольную тетрадь вложена карточка(см. приложения).

По окончании времени проводиться самопроверка и сдается для окончательной проверке учителем. Учащиеся выполняют задания верно, то проставляется сразу балл в графу «оценка за 1 элемент» модуля. Те ученики, которые не справились с заданием или  сделали ошибки  закончат полное решение на уроке , выполняя задания соседнего варианта на уроке закрепления материала, при подготовке к тематической контрольной работе где будет предложен 5элемент для сильных ребят. До окончательной диагностики по теме каждый из учеников должен усвоить простейшие методы решения тригонометрических уравнений и получить накопительную оценку по теме.

     ЭЛЕМЕНТ №1,  время выполнения 10 минут

Цель: закрепить решение простейших тригонометрических уравнений.

Решите уравнения :

1 вариант	2 вариант
cos x= ½ (1 балл)	sin x= -1/2 (1 балл)
sin x= - (1 балл)	cos x=  (1 балл)
tg x= 1 (1 балл)	ctg x= -1 (1 балл)
cos(x+)= 0 (2 балл)	sin(x-)= 0 (2 балла)
2cos x= 1 (1 балл)	4sin x= 2 (1 балл)
3tg x= 0 (1 балл)	cos 4x= 0 (2 балла)
sin 4x=1 (2 балла)	5tg x= 0 (1 балл)

Новый материал: Учитель с учениками делают конспект-эталон для решения уравнений второго элемента модуля.

 Метод сведения к квадратному уравнению состоит в том, чтобы пользуясь изученными формулами (см урок №1)нужно  преобразовать уравнения к такому виду, чтобы какую-то функцию sinx, cosx, tgx, ctgx или их комбинацию обозначить через переменную , а полученное при этом  квадратное уравнение решить.

asin²x+bcosx=0 ;  sinx=t;  sin²=1 - cos²x

acos²x+bsinx=0  ;  cosx=t  ; cos²x=1 - sin²x

Пример:    №1 Решить уравнение 4 - .

Решение: Вместо подставим тождественное ему выражение  Тогда исходное уравнение примет вид

Если ввести y = sin x , получим квадратное уравнение

Оно имеет корни 1 и 3. Значит, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

Sin x = 1 или  sin x = 3.

Уравнение sin x = 1  имеет решение x = n, n.

Уравнение sin x = 3 решений не имеет.

                                    Ответ:

№2     3cos² - cos – 2=0

    Замена: 

           cos=t       │t│≤1

3t²-t-2=0

D=25 ; t= - ; t=1

Обратная замена:

cos=1                                       или                                              cos=-

=2n, n                                                                                       =(π-arccos) +2к, к.

Х=4n , n                                                                                      х=(π-arccos) +4к, к.

                                 ОТВЕТ:      4n , n   ;         (π-arccos) +4к, к.

Решение упражнений: а) cos2x+3sinx=2;  используя формулы двойного угла

                                              б) tg²x - (1+)tgx+ =0

Д.З. конспект, 1) tg²2x – 4 tg2x+3=0

                            2)  6sin²x + 5cosx-7=0

Урок №3 Учебный элемент №3

 Тригонометрические уравнения. Метод разложения на множители.

Цель : Формировать навыки решения тригонометрических уравнений методом разложения на множители.

 Проводиться диагностика элемента №2,  время работы 10 минут, условия самопроверки и проставления баллов ученики уже знают.

1 вариант	2 вариант
(2 балла)

Новый материал:

Составляется конспект-эталон.

 Уравнения типа   asin²x+ bsin 2x=0   можно решить при помощи разложения на множители (привести к одному аргументу).

Каждый множитель приравниваем к нулю. Таким образом, исходное уравнение можно представить в виде совокупности более простых уравнений. Одним из самых популярных является способ вынесения за скобки общего множителя, применение формул сокращенного умножения.

Пример. Решить уравнение.

Решение. Сначала сгруппируем первый член с третьим, а cos2x представим в виде .

Из выражения, стоящего в первых скобках, вынесем sin x, а в выражении, стоящем во вторых скобках, вместо  запишем . Уравнение примет вид

Отсюда следует, что исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

 

Ответ:

Примеры:    а)  cosx(3tgx - 5)=-

                        б)  4sinx+sin2x=0

                         в)   Cos3x+cοs5x=0

Д.З.   конспект,  1)  sin(4x - =-

                               2)  3cos² – cos  – 2 =0

                               3)  sin3x+cos7x=0

     Урок №4

Однородные тригонометрические уравнения и к ним сводящиеся

Цель:  Формировать умения решать однородные уравнения.

 Проводиться диагностика решения уравнений учебного элемента №3, после самопроверки выставляются баллы в карточки учащихся.

Задания для самостоятельной работы. Решить уравнения.

1 вариант	2 вариант
(2 балла)	(2 балла)
(3 балла)	(3 балла)

Новый материал:

Однородные уравнения первой степени  asinx+bcosx=0 или однородные второй степени asin²x+bcosxsinx +cos²x=0 приводятся к виду atgx+b=0    atg²x+btgx+c=0.

Покажем как решать однородное уравнение 1-й степени, т.е.

Пример 1. Решить уравнение .

Поделим обе части уравнения на cos x или sin x. Но предварительно надо доказать, что это выражение никогда не обращается в нуль. Предположим, что cos x=0. Тогда 5sin x-2∙0=0  sin x=0. Получается, что если sin x=0, то и cos x=0 , чего быть не может ввиду равенства .

Значит можно поделить уравнение на cos x:

Получим уравнение 5tg x-2=0. Отсюда .

Решение однородных уравнений вида начинается с того, что обе части уравнения делят на cos²x    или    sin²x

Пример 2. .

Решение. Данное уравнение не является однородным. Но его можно превратить в однородное, заменив 3sin2x на 6sin x cos x  и число 2 на .

Приведя подобные слагаемые, получим уравнение

. Аналогично решению примера 1, докажем, что cos x0 .

Тогда можно обе части уравнения поделить на . Получим

 или . Отсюда

.

ОТВЕТ :               

ПРИМЕРЫ:

1.    3sin²x+sin2x=2

2.     4sin²x + 2cos2x=3

3.     Sin2x+2cos2x=1

Д.З.  конспект,  примеры: 1) 4sin²x+sin2x=3       2) sin²x-0,5 sin2x=0 

Урок №5

Решение тригонометрических уравнений

Цель : Закрепить навыки решения различных учебных элементов, скорректировать решение учебных элементов №1-4 . Подготовиться к тематической аттестации по данной теме

Проводиться диагностика решения уравнений учебного элемента №4, после самопроверки выставляются баллы в карточки учащихся.

1 вариант	2 вариант
(2 балла)	(2 балла)
(3 балла)	(3 балла)

Ученики прошли первый обязательный уровень решения тригонометрических уравнений. Теперь им необходимо самостоятельно выбрать метод решения уравнений. У  слабоуспевающих учеников есть возможность провести решение уравнений из учебных элементов соседнего варианта в которых были  сделаны ими ошибки . Дополнительные баллы после самопроверки выставляются в оценочный лист.

Решение примеров:  1) tgx-2ctgx+1=0 решение рассматривается на доске  под руководством учителя

tgx-+1=0                                                   ОДЗ:

  tg²x-2+tgx=0                                          cosx≠0  x≠+πk k

tgx=t                                                          sinx≠0   x≠2πn  n

t²+t-2=0

D=9 t=-2; t=1

Обратная замена: tgx=-2                                        tgx=1

                                                  x=-arctg2+πl; l                      x=+πm ; m

С учетом ОДЗ  ОТВЕТ:  x=-arctg2+πl; l                      x=+πm ; m

РЕШЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙ С КОНСУЛЬТАЦИЕЙ УЧИТЕЛЯ сильными учениками и проведение коррекции учебных элементов №1-4 слабыми учениками.

1)   1-cosx=2sin²                     2б

2)   sin²x+sin2xcosx=0         2б

3)     2ctgx-3tgx+5                       2б

4)   2sinxcosx+-2cosx-sinx=0  3б

Тематическая аттестация по теме: «Решение тригонометрических уравнений»

Учебный элемент №5 Самостоятельный выбор метода

 Слабые ученики могут продолжить решение элементов №1-4 с накоплением коррекционных балов.

1 вариант	2 вариант
	cos2x+3sin x=2
	sin2x-cos2x=0
	cos x cos2x=1

Учебный элемент №6

1.     sin6x+cos6x=1-2sin3x   (2 )

2.    

3.    

4.    

5.     sin x(sin x+cos x)=1

6.    

В случае затруднений воспользуйтесь подсказками.

1.     Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin6 x, сos 6x.

2.     Обозначьте x-2=t , решите уравнение, сведя его к квадратному с помощью формулы .

3.     Сгруппируйте первое и третье слагаемые, примените разложение на множители.

4.     Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin4x, cos4x, формулой понижения степени .

5.     Раскройте скобки, примените основное тригонометрическое тождество.

6.     Приведите дроби к общему знаменателю. А затем используйте основное тригонометрическое тождество , сведите к квадратному.

Приложение 1. Оценочный лист учащегося.

Фамилия
Имя
УЭ	К-во баллов за основные задания	Корректирующие задания	Общее к-во баллов за этап
№1
№2
№3
№4
№5
№6
Итоговое количество баллов    n баллов
Оценка

Приложение 2. Анализ работ учащихся.

В классе ____ учеников.

Писали работу ____ ученика.

Получили оценку	«5»	«4»	«3»	«2»

Уровень успешности –

Уровень обученности –

Основные ошибки.

1.     Ошибки вычислительные.

2.     Незнание тригонометрических формул.

3.     Незнание области определения тригонометрических функций.

Таблица баллов:

«5»    n≥42

«4»    30≤n≤41

«3»     20 ≤n≤29

«2»     n≤19

Краткое описание документа:

Данная разработка рассчитана на 5 уроков по теме "Решение тригонометрических уравнений". Построена с применением элементов модульной технологии в классах , где не всегда возможна спаренная система подачи материала. Принцип модульной технологии сохранен в модульной подаче материала и комфортной для учеников оценочном принципе, где каждый может оценить свои силы и возможности и обратится за подсказкой к эталону решения в своем конспекте,

т. е. устанавливается, кто хочет знать не более того, что требуется госстандартом, а кто готов заниматься более, поскольку планирует поступать в ВУЗ или просто получить высокую оценку.

Исходя из целей проектируется итоговая диагностика. Она создается с учетом уровневой дифференциации, что позволяет осознанно определить тот минимум знаний, который необходим для получения оценок, определяемых желанием каждого ученика.

На основе целеполагания и планируемой итоговой диагностики отбирается предметное содержание (объяснения и задания из учебника, из дидактических материалов и т. д.)