Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Решение тригонометрических уравнений в 10 классе
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Решение тригонометрических уравнений в 10 классе

библиотека
материалов

hello_html_70eb031d.gifhello_html_m786e106b.gifhello_html_m1afc8d9d.gifhello_html_m5e98426d.gifhello_html_m4807819d.gifhello_html_1f2d77dd.gifhello_html_m4dd5eedc.gifhello_html_7c75efa9.gifhello_html_1eee0637.gifЭлементы модульных уроков в 10 классе

Модульная педагогическая технология конструируется на основе ряда целей.

Важнейшая из них-создание комфортного темпа работы для каждого ученика.

Каждый ученик получает шанс определить свои возможности в учении и приспособиться к тем уровням изучения материала, которые предложены.

Самым главным отличием технологии является применение принципов планирования совместной деятельности учителя и ученика.

Процесс такого планирования:

  1. Определение целей для учеников, т. е. устанавливается, кто хочет знать не более того, что требуется госстандартом, а кто готов заниматься более, поскольку планирует поступать в ВУЗ или просто получить высокую оценку.

  2. После того как учащиеся определить своими целями, учитель выстраивает свое целеполагание, определяя содержание и объем педагогической помощи учащимся.



Исходя из целей проектируется итоговая диагностика. Она создается с учетом уровневой дифференциации, что позволяет осознанно определить тот минимум знаний, который необходим для получения оценок, определяемых желанием каждого ученика.

На основе целеполагания и планируемой итоговой диагностики отбирается предметное содержание (объяснения и задания из учебника, из дидактических материалов и т. д.)

На основе отобранного содержания выстраивается логика изучения темы ( поурочное планирование). Определяется время и место промежуточной и итоговой диагностик и учебной коррекции. Для каждого урока определяются микро цели и приемы обратной связи; создаются опорные конспекты и задания к уроку.

В результате описанного процесса учитель создает:

-логическую структуру уроков с промежуточной диагностикой;

-разно уровневые материалы для диагностики знаний учеников;

-дидактический материал ко всем урокам.

Модульная педагогическая технология помогает осуществить индивидуальный подход к ученику, включить каждого в осознанную учебную деятельность, мотивировать его, формировать навыки самообучения и самоорганизации, обеспечивая тем самым постепенный переход от пассивно воспринимающей позиции ученика к его сотрудничеству с учителем.

Тема : Решение тригонометрических уравнений

Урок №1 Учебный элемент №1

Простейшие тригонометрические уравнения

Цель: Формировать навыки решения простейших тригонометрических уравнений по заданному алгоритму.

Ученик должен знать: общий вид уравнений hello_html_m14e40c45.gif,hello_html_m60ee0a04.gif, hello_html_bf583ca.gif, ctgх=а осознанно выбирая формулы для их решения.

Ход урока.

Решение любого тригонометрического уравнения сводится к решению простейшего уравнения.

Схема:

hello_html_m14e40c45.gif

Если аhello_html_m547fa93c.gif, то уравнение решений не имеет, если │а│hello_html_4c7740ea.gif, то





Х=hello_html_m3806cf7d.gifZ



Частные случаи:

а) sinх=1, то х=hello_html_50661fa5.gif+ 2πn, где nhello_html_md08d0e0.gif

б) sinх=0, то х=πn, где nhello_html_m6559db2e.gifΖ

в) sinх=-1, то х=-hello_html_50661fa5.gif+ 2πn, где nhello_html_md08d0e0.gif



arcsin(-a)=arcsina х= hello_html_23d12fd2.gif arcsina+πn, nhello_html_md08d0e0.gif

hello_html_m60ee0a04.gif

Если hello_html_515fb7b8.gif , то уравнение решений не имеет, если hello_html_m31fbd7b.gif, то



Х=hello_html_m51a8b449.gif



Частные случаи:

а) cosх=1, то х=2πn , nhello_html_md08d0e0.gif

б) cosх=0 , то х=hello_html_50661fa5.gif+ πn, nhello_html_md08d0e0.gif

в) cosх=-1, то х= π+2πn, nhello_html_md08d0e0.gif



αrcos (-a)=π- arcosa х=hello_html_efbca4a.gif



tg=a ahello_html_m29117fb9.gif



х=arctgа+πn, где nhello_html_md08d0e0.gif





arctg(-a)=-arctga х=-arctga+πn , nhello_html_md08d0e0.gif



ctgx=a ahello_html_m577110f.gif

х=arcсtga+hello_html_m545423ff.gif

ctgx=-a

arcсtg(-a)=hello_html_29974179.gif; то х=hello_html_315f1bec.gif arctgа+πn, где nhello_html_md08d0e0.gif







Примеры: а) 2 hello_html_57f65499.gif=1

hello_html_317f819c.gif

Х=(-1)arcsinhello_html_6eec8aff.gif +πк , где кhello_html_m451e9ed3.gif

Х=hello_html_m3c13c408.gif + πк , где кhello_html_m451e9ed3.gif

ОТВЕТ: Х=hello_html_m3c13c408.gif + πк , где кhello_html_m451e9ed3.gif



б) tgx=hello_html_5909bbae.gif

x=arctghello_html_5909bbae.gif+πn, где nhello_html_md08d0e0.gif

x=hello_html_351c7e71.gif+πn, где nhello_html_md08d0e0.gif

ОТВЕТ: x=hello_html_351c7e71.gif+πn, где nhello_html_md08d0e0.gif

Замечания:

Уравнения вида hello_html_md20f77c.gif tghello_html_424e278d.gif, сhello_html_75e83f01.gif=а так же являются простейшими, их нужно решать сначала относительно hello_html_m586cb926.gif, а далее относительно х.



а) hello_html_m15a95c40.gif

hello_html_6fb9bb7.gif=hello_html_m3c13c408.gif + πк , где кhello_html_m451e9ed3.gif

Х=hello_html_m17f124c3.gif + 2πк , где кhello_html_m451e9ed3.gif

ОТВЕТ: Х=hello_html_m17f124c3.gif + 2πк , где кhello_html_m451e9ed3.gif

б) hello_html_636fd6fc.gif)=1

х+hello_html_351c7e71.gif=2πк, где кhello_html_m451e9ed3.gif

х=-hello_html_351c7e71.gif+2πк, где кhello_html_m451e9ed3.gif

ОТВЕТ: х=-hello_html_351c7e71.gif+2πк, где кhello_html_m451e9ed3.gif



в) tg(2х-hello_html_m2bf5a2e4.gif)=hello_html_1fc87bde.gif

(2х-hello_html_m2bf5a2e4.gif)=hello_html_1efe9eb4.gif+πn, где nhello_html_m6559db2e.gifZ

2х=hello_html_m3d465071.gif+ πn, где nhello_html_m6559db2e.gifZ

Х=hello_html_679e53c.gif+hello_html_m107bdeea.gif, где nhello_html_m6559db2e.gifZ

ОТВЕТ: Х=hello_html_679e53c.gif+hello_html_m107bdeea.gif, где nhello_html_m6559db2e.gifZ







г) hello_html_m5b9e8363.gif– 5х)=hello_html_m3d15adeb.gif в силу четности hello_html_m328abec3.gif, записываем

hello_html_m4bad5c82.gif+ 5х)=hello_html_m3d15adeb.gif

hello_html_351c7e71.gif+ 5х=±(π-hello_html_351c7e71.gif)+ 2πк, где кhello_html_m451e9ed3.gif

hello_html_351c7e71.gif+ 5х=±hello_html_6a1c94eb.gifπ+2πк, где кhello_html_m451e9ed3.gif

5х=±hello_html_6a1c94eb.gifπ+2πк -hello_html_351c7e71.gif , где кhello_html_m451e9ed3.gif

Х==±hello_html_m795cfe5a.gifπ+hello_html_2ee8300a.gifπк -hello_html_4b91025.gif , где кhello_html_m451e9ed3.gif

ОТВЕТ: Х==±hello_html_m795cfe5a.gifπ+hello_html_2ee8300a.gifπк -hello_html_4b91025.gif , где кhello_html_m451e9ed3.gif

Д.З :на усмотрение учителя











Урок №2 Учебный элемент №2

Тригонометрические уравнения. Метод сведения к квадратному.

Цель:

Формировать умения решать тригонометрические уравнения приведением к квадратному уравнению.

Закрепить и сделать промежуточную диагностику учеников по простейшим тригонометрическим уравнениям.

Ход урока:

Раздаются карточки для промежуточной диагностики. У каждого ученика в контрольную тетрадь вложена карточка(см. приложения).

По окончании времени проводиться самопроверка и сдается для окончательной проверке учителем. Учащиеся выполняют задания верно, то проставляется сразу балл в графу «оценка за 1 элемент» модуля. Те ученики, которые не справились с заданием или сделали ошибки закончат полное решение на уроке , выполняя задания соседнего варианта на уроке закрепления материала, при подготовке к тематической контрольной работе где будет предложен 5элемент для сильных ребят. До окончательной диагностики по теме каждый из учеников должен усвоить простейшие методы решения тригонометрических уравнений и получить накопительную оценку по теме.

ЭЛЕМЕНТ №1, время выполнения 10 минут



Цель: закрепить решение простейших тригонометрических уравнений.

Решите уравнения :



1 вариант

2 вариант

cos x= ½ (1 балл)

sin x= -1/2 (1 балл)

sin x= -hello_html_m2f8c6e6e.gif (1 балл)

cos x= hello_html_m2f8c6e6e.gif (1 балл)

tg x= 1 (1 балл)

ctg x= -1 (1 балл)

cos(x+hello_html_7073e47c.gif)= 0 (2 балл)

sin(x-hello_html_7073e47c.gif)= 0 (2 балла)

2cos x= 1 (1 балл)

4sin x= 2 (1 балл)

3tg x= 0 (1 балл)

cos 4x= 0 (2 балла)

sin 4x=1 (2 балла)

5tg x= 0 (1 балл)



Новый материал: Учитель с учениками делают конспект-эталон для решения уравнений второго элемента модуля.

Метод сведения к квадратному уравнению состоит в том, чтобы пользуясь изученными формулами (см урок №1)нужно преобразовать уравнения к такому виду, чтобы какую-то функцию sinx, cosx, tgx, ctgx или их комбинацию обозначить через переменную , а полученное при этом квадратное уравнение решить.

asin²x+bcosx=0 ; sinx=t; sin²=1 - cos²x

acos²x+bsinx=0 ; cosx=t ; cos²x=1 - sin²x

Пример: №1 Решить уравнение 4 - hello_html_4c052558.gif.

Решение: Вместо hello_html_m5d65980b.gifподставим тождественное ему выражение hello_html_m5f7e280b.gif Тогда исходное уравнение примет вид

hello_html_715a0a22.gif

Если ввести y = sin x , получим квадратное уравнение

hello_html_1fe85e64.gif

Оно имеет корни 1 и 3. Значит, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

Sin x = 1 или sin x = 3.

Уравнение sin x = 1 имеет решение x = hello_html_10f27e36.gifhello_html_33c685de.gifn, nhello_html_79341321.gif.

Уравнение sin x = 3 решений не имеет.

Ответ: hello_html_2f513125.gif

2 3cos²hello_html_m5ed159b0.gif - coshello_html_m5ed159b0.gif – 2=0

Замена:

coshello_html_m5ed159b0.gif=t │t│≤1

3t²-t-2=0

D=25 ; t= - hello_html_6a1c94eb.gif; t=1

Обратная замена:

coshello_html_m5ed159b0.gif=1 или coshello_html_m5ed159b0.gif=- hello_html_6a1c94eb.gif

hello_html_m5ed159b0.gif=2hello_html_33c685de.gifn, nhello_html_79341321.gif hello_html_m5ed159b0.gif=hello_html_m13c2736b.gif(π-arccoshello_html_6a1c94eb.gif) +2hello_html_33c685de.gifк, кhello_html_79341321.gif.

Х=4hello_html_33c685de.gifn , nhello_html_79341321.gif х=hello_html_581e6501.gif(π-arccoshello_html_6a1c94eb.gif) +4hello_html_33c685de.gifк, кhello_html_79341321.gif.



ОТВЕТ: 4hello_html_33c685de.gifn , nhello_html_79341321.gif ; hello_html_581e6501.gif(π-arccoshello_html_6a1c94eb.gif) +4hello_html_33c685de.gifк, кhello_html_79341321.gif.

Решение упражнений: а) cos2x+3sinx=2; используя формулы двойного угла

б) tg²x - (1+hello_html_5909bbae.gif)tgx+hello_html_5909bbae.gif =0

Д.З. конспект, 1) tg²2x – 4 tg2x+3=0

2) 6sin²x + 5cosx-7=0

Урок №3 Учебный элемент №3

Тригонометрические уравнения. Метод разложения на множители.

Цель : Формировать навыки решения тригонометрических уравнений методом разложения на множители.

Проводиться диагностика элемента №2, время работы 10 минут, условия самопроверки и проставления баллов ученики уже знают.

1 вариант

2 вариант

hello_html_17826fc7.gif(2 балла)

hello_html_m287a3cb0.gif

hello_html_m1afc4b72.gif



Новый материал:

Составляется конспект-эталон.

Уравнения типа asin²x+ bsin 2x=0 можно решить при помощи разложения на множители (привести к одному аргументу).

Каждый множитель приравниваем к нулю. Таким образом, исходное уравнение можно представить в виде совокупности более простых уравнений. Одним из самых популярных является способ вынесения за скобки общего множителя, применение формул сокращенного умножения.

Пример. Решить уравнениеhello_html_m1be68ff7.gif.

Решение. Сначала сгруппируем первый член с третьим, а cos2x представим в виде hello_html_419c5b7d.gif.

hello_html_m33012f7b.gif

Из выражения, стоящего в первых скобках, вынесем sin x, а в выражении, стоящем во вторых скобках, вместо hello_html_m5d65980b.gif запишем hello_html_m4481ff24.gif. Уравнение примет вид

hello_html_m57864e8a.gif

Отсюда следует, что исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

hello_html_m470eadef.gif

Ответ:hello_html_m77cf8771.gif

Примеры: а) cosx(3tgx - 5)=-hello_html_6eec8aff.gif

б) 4sinx+sin2x=0

в) Cos3x+cοs5x=0

Д.З. конспект, 1) sin(4x - hello_html_m4e50699f.gif=- hello_html_6eec8aff.gif

2) 3cos²hello_html_m418f76f4.gif – cos hello_html_m418f76f4.gif – 2 =0

3) sin3x+cos7x=0









Урок №4

Однородные тригонометрические уравнения и к ним сводящиеся

Цель: Формировать умения решать однородные уравнения.

Проводиться диагностика решения уравнений учебного элемента №3, после самопроверки выставляются баллы в карточки учащихся.



Задания для самостоятельной работы. Решить уравнения.

1 вариант

2 вариант

hello_html_507429ee.gif(2 балла)

hello_html_7c85e60c.gif(2 балла)

hello_html_m2c65f360.gif(3 балла)

hello_html_652ca7a.gif(3 балла)





Новый материал:

Однородные уравнения первой степени asinx+bcosx=0 или однородные второй степени asin²x+bcosxsinx +cos²x=0 приводятся к виду atgx+b=0 atg²x+btgx+c=0.



Покажем как решать однородное уравнение 1-й степени, т.е.hello_html_392a7df2.gif

Пример 1. Решить уравнение hello_html_m6386c049.gif.

Поделим обе части уравнения на cos x или sin x. Но предварительно надо доказать, что это выражение никогда не обращается в нуль. Предположим, что cos x=0. Тогда 5sin x-2∙0=0 hello_html_75505ab6.gif sin x=0. Получается, что если sin x=0, то и cos x=0 , чего быть не может ввиду равенства hello_html_m62a00377.gifhello_html_m2a589573.gif.

Значит можно поделить уравнение на cos x: hello_html_m934628c.gif

Получим уравнение 5tg x-2=0. Отсюда hello_html_24457d28.gif.

Решение однородных уравнений вида hello_html_m6b7d3a96.gifначинается с того, что обе части уравнения делят на cos²x или sin²x

Пример 2. hello_html_7b98d708.gif.

Решение. Данное уравнение не является однородным. Но его можно превратить в однородное, заменив 3sin2x на 6sin x cos x и число 2 на hello_html_53d24e82.gif.

Приведя подобные слагаемые, получим уравнение

hello_html_m1679a772.gif. Аналогично решению примера 1, докажем, что cos xhello_html_7eeb9f88.gif0 .

Тогда можно обе части уравнения поделить на hello_html_m5d65980b.gif. Получим

hello_html_5ff3787f.gifили hello_html_6db1cee4.gifhello_html_m62a00377.gif. Отсюда

hello_html_me155a9d.gif.

ОТВЕТ : hello_html_me155a9d.gif

ПРИМЕРЫ:

  1. 3sin²x+hello_html_6eec8aff.gifsin2x=2

  2. 4sin²x + 2cos2x=3

  3. Sin2x+2cos2x=1

Д.З. конспект, примеры: 1) 4sin²x+sin2x=3 2) sin²x-0,5 sin2x=0



Урок №5

Решение тригонометрических уравнений

Цель : Закрепить навыки решения различных учебных элементов, скорректировать решение учебных элементов №1-4 . Подготовиться к тематической аттестации по данной теме

Проводиться диагностика решения уравнений учебного элемента №4, после самопроверки выставляются баллы в карточки учащихся.

1 вариант

2 вариант

hello_html_5e4bea7f.gif(2 балла)

hello_html_m6036c962.gif(2 балла)

hello_html_53b45bb.gif(3 балла)

hello_html_m34a537b5.gif(3 балла)



Ученики прошли первый обязательный уровень решения тригонометрических уравнений. Теперь им необходимо самостоятельно выбрать метод решения уравнений. У слабоуспевающих учеников есть возможность провести решение уравнений из учебных элементов соседнего варианта в которых были сделаны ими ошибки . Дополнительные баллы после самопроверки выставляются в оценочный лист.

Решение примеров: 1) tgx-2ctgx+1=0 решение рассматривается на доске под руководством учителя

tgx-hello_html_a4d61a4.gif+1=0 ОДЗ:

tg²x-2+tgx=0 cosx0 xhello_html_50661fa5.gif+πk khello_html_md08d0e0.gif

tgx=t sinx0 x2πn nhello_html_md08d0e0.gif

t²+t-2=0

D=9 t=-2; t=1

Обратная замена: tgx=-2 tgx=1

x=-arctg2+πl; lhello_html_m37885b3c.gif x=hello_html_m2bf5a2e4.gif+πm ; mhello_html_md08d0e0.gif

С учетом ОДЗ ОТВЕТ: x=-arctg2+πl; lhello_html_m37885b3c.gif x=hello_html_m2bf5a2e4.gif+πm ; mhello_html_md08d0e0.gif

РЕШЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙ С КОНСУЛЬТАЦИЕЙ УЧИТЕЛЯ сильными учениками и проведение коррекции учебных элементов №1-4 слабыми учениками.

  1. 1-cosx=2sin²hello_html_m418f76f4.gif

  2. hello_html_5909bbae.gifsin²x+sin2xcosx=0

  3. 2ctgx-3tgx+5

  4. 2sinxcosx+hello_html_5909bbae.gif-2cosx-hello_html_5909bbae.gifsinx=0 3б

Тематическая аттестация по теме: «Решение тригонометрических уравнений»

Учебный элемент №5 Самостоятельный выбор метода

Слабые ученики могут продолжить решение элементов №1-4 с накоплением коррекционных балов.

1 вариант

2 вариант

hello_html_m10c74974.gif

cos2x+3sin x=2

hello_html_m15565b04.gif

sin2x-cos2x=0

hello_html_3d08e046.gif

hello_html_m16c7230f.gif

hello_html_2b7dcc4d.gif

cos x cos2x=1

hello_html_12003966.gif

hello_html_m2a961c1f.gif



Учебный элемент №6

  1. sin6x+cos6x=1-2sin3x (2 )

  2. hello_html_m4fefce96.gif

  3. hello_html_m5b3c51f2.gif

  4. hello_html_5bf02643.gif

  5. sin x(sin x+cos x)=1

  6. hello_html_m211cb031.gif



В случае затруднений воспользуйтесь подсказками.

  1. Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin6 x, сos 6x.

  2. Обозначьте x-2=t , решите уравнение, сведя его к квадратному с помощью формулы hello_html_m62a00377.gifhello_html_35bf174b.gif.

  3. Сгруппируйте первое и третье слагаемые, примените разложение на множители.

  4. Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin4x, cos4x, формулой понижения степени hello_html_72bcbb86.gif.

  5. Раскройте скобки, примените основное тригонометрическое тождество.

  6. Приведите дроби к общему знаменателю. А затем используйте основное тригонометрическое тождество hello_html_m2a589573.gif, сведите к квадратному.













Приложение 1. Оценочный лист учащегося.



Фамилия

Имя

УЭ

К-во баллов за основные задания

Корректирующие задания

Общее к-во баллов за этап

1




2




3




4




5




6




Итоговое количество баллов n баллов

Оценка









Приложение 2. Анализ работ учащихся.



В классе ____ учеников.

Писали работу ____ ученика.



Получили оценку

«5»

«4»

«3»

«2»








Уровень успешности –

Уровень обученности –



Основные ошибки.



  1. Ошибки вычислительные.

  2. Незнание тригонометрических формул.

  3. Незнание области определения тригонометрических функций.







Таблица баллов:

«5» n42

«4» 30n41

«3» 20 n29

«2» n19

Краткое описание документа:

Данная разработка рассчитана на 5 уроков по теме "Решение тригонометрических уравнений". Построена с применением элементов модульной технологии в классах , где не всегда возможна спаренная система подачи материала. Принцип модульной технологии сохранен в модульной подаче материала и комфортной для учеников оценочном принципе, где каждый может оценить свои силы и возможности и обратится за подсказкой к эталону решения в своем конспекте,

т. е. устанавливается, кто хочет знать не более того, что требуется госстандартом, а кто готов заниматься более, поскольку планирует поступать в ВУЗ или просто получить высокую оценку.


Исходя из целей проектируется итоговая диагностика. Она создается с учетом уровневой дифференциации, что позволяет осознанно определить тот минимум знаний, который необходим для получения оценок, определяемых желанием каждого ученика.

На основе целеполагания и планируемой итоговой диагностики отбирается предметное содержание (объяснения и задания из учебника, из дидактических материалов и т. д.)

Автор
Дата добавления 03.08.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров390
Номер материала ДA-000372
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх